選修3-4第十一章機械振動第三節簡諧運動的回復力和能量一、單選題1．（2021·北京西城區·高三一模）用小球和輕彈簧組成彈簧振子，使其沿水平方向振動，振動圖像如圖所示，下列描述正確的是（）A．1~2s內，小球的速度逐漸減小，加速度逐漸增大B．2~3s內，彈簧的勢能逐漸減小，彈簧彈力逐漸增大C．t=4s時，小球的動能達到最大值，彈簧的勢能達到最小值D．t=5s時，彈簧彈力為正的最大值，小球的加速度為負的最大值【答案】C【解析】A．由圖可知，1~2s內小球的位移減小，說明彈性勢能轉化為動能即速度增大，由可知，加速度減小，故A錯誤；B．由圖可知，2~3s內小球的位移增大，說明動能轉化彈性勢能即彈性勢能增大，彈簧彈力逐漸增大，故B錯誤；C．由圖可知，t=4s時，小球位于平衡位置此時動能最大，由能量守恒可知，彈簧的勢能達到最小值，故C正確；D．t=5s時，小球的位移正向最大，則彈簧彈力為負的最大值，小球的加速度為負的最大值，故D錯誤。故選C。2．（2021·浙江衢州市·高三二模）在科幻電影《全面回憶》中有一種地心車，無需額外動力就可以讓人在幾十分鐘內到達地球的另一端，不考慮地球自轉的影響、車與軌道及空氣之間的摩擦，乘客和車的運動為簡諧運動，則（）A．乘客做簡諧運動的回復力是由車對人的支持力提供的B．乘客達到地心時的速度最大，加速度最大C．乘客只有在地心處才處于完全失重狀態D．乘客所受地球的萬有引力大小與到地心的距離成正比【答案】D【解析】A．乘客做簡諧運動的回復力是由地球對乘客的萬有引力提供的，故A錯誤；B．乘客達到地心時的速度最大，加速度為零，因為地心處乘客所受引力的合力為零，故B錯誤；C．乘客只受地球引力的作用，全程處于完全失重狀態，故C錯誤；D．乘客做簡諧運動，地心處為平衡位置，由簡諧運動的受力特點可知，乘客所受地球的萬有引力大小與到地心的距離成正比，故D正確。故選D。3．（2021·江蘇南京市·高二月考）如圖所示，彈簧上端固定一質量為m的小球，小球在豎直方向做振幅為A的簡諧運動，當小球振動到最高點時彈簧正好為原長，則小球在振動過程中（）A．小球的最大動能應等于mgAB．彈簧的彈性勢能和小球動能的總和保持不變C．彈簧的最大彈性勢能等于2mgAD．小球在最低點時的彈力大于2mg【答案】C【解析】AD．小球靜止不動的位置是平衡位置，上下振動過程中，振幅為在平衡位置時，動能最大，重力勢能減少mgA，轉化為動能和彈性勢能，在最低點彈力等于2mg，AD錯誤；BC．在小球上下振動過程中，小球動能、彈性勢能、重力勢能三者總和保持不變，彈簧的最大彈性勢能由重力勢能轉化而來為2mgA，C正確，B錯誤；故選C。4．（2021·山東省滕州市第二中學高二月考）如圖所示，兩根完全相同的彈簧和一根張緊的細線將甲、乙兩物塊靜止在光滑水平面上，已知甲的質量大于乙的質量。當細線突然斷開后，兩物塊都做簡諧運動，在運動過程中，下列判斷不正確的是（）A．甲的振幅等于乙的振幅B．甲的周期小于乙的周期C．甲的最大加速度小于乙的最大加速度D．甲的最大速度小于乙的最大速度【答案】B【解析】A．線未剪斷前，兩根彈簧的伸長量相同，即離開平衡位置的最大距離相同，振幅相等，A正確，不符合題意；BD．甲、乙的最大彈性勢能相同，由于振動過程機械能守恒，物塊運動至平衡位置的動能也相同，甲的質量大于乙的質量，甲的最大速度小于乙的最大速度，故甲總體運動較慢，周期較大，B錯誤，符合題意，D正確，不符合題意；C．位移最大時加速度最大，由牛頓第二定律可得可知，甲的最大加速度較小，C正確，不符合題意。故選B。5．（2021·江蘇高三專題練習）質量為kg的小球靜止在O點，現用手豎直向上托起小球至A點，使彈簧處于原長狀態，如圖甲所示。時放手，小球在豎直方向上A、B之間運動，其位移x隨時間t的變化如圖乙所示，g取，下列說法正確的是（）A．小球在時速度向上B．小球在時加速度向下C．小球從A到B過程中，彈簧的彈性勢能一直增大D．該彈簧的勁度系數為100N/cm【答案】C【解析】A．小球在0～1s時間內向下運動，所以時速度向下，A錯誤；B.小球在1s～1.5s時間內從靜止開始向上加速運動，1.5s末運動到平衡位置時速度最大，加速度向上，所以時加速度向上，B錯誤；C.小球從A到B過程中，彈簧的形變量增大，彈簧的彈性勢能一直增大，C正確；D.因為質量為kg的小球靜止在O點，根據平衡條件得解得，D錯誤。故選C。6．（2021·江蘇常州市·高三期末）如圖所示，真空中有兩個固定的等量帶正電的點電荷，O點是二者連線的中點，以O點為圓心的圓與連線和過O點垂線分別交于a、c和b、d。則（）A．a點電場強度與c點電場強度相同B．帶負電的試探電荷在a點的電勢能大于在b點的電勢能C．帶正電的試探電荷在a點由靜止釋放后做簡諧運動D．帶負電的試探電荷在b點獲得垂直紙面的瞬時速度后可能會多次經過d點【答案】D【解析】A．根據等量異種電荷周圍的電場分布情況和對稱性，可知a、c兩點的電場強度大小相等，方向相反，a點的場強向右，c點的場強向左，故A錯誤；B．在兩電荷的連線上，a點到O點電勢降低，O點到b點電勢降低，所以a點電勢大于b點電勢，則負電荷在a點電勢能小于b點電勢能，故B錯誤；C．如果做簡諧運動，則試探電荷受到的回復力由庫侖力提供，但庫侖力與試探電荷相對O點的位移為非正比例關系，故不是簡諧運動，故C錯誤；D．帶負電的試探電荷在b點獲得垂直的瞬時速度后可能會做勻速圓周運動，可以多次經過d點，故D正確；故選D。7．（2021·福建省武平縣第一中學高三）如圖所示，一輕質彈簧上端固定，下端懸掛一物塊，取物塊靜止時所處位置為坐標原點O，向下為正方向，建立Ox坐標軸。現將物塊豎直向下拉到A位置后由靜止釋放，不計空氣阻力。已知物塊的質量為m，彈簧的勁度系數為k，A位置的坐標為x1，重力加速度為g。下列說法正確的是（）A．該簡諧振動的振幅為2x1B．在任意周期內物塊通過的路程一定等于x1C．物塊在A位置時的回復力大小為D．物塊到O位置時的動能為【答案】C【解析】A．該簡諧振動的振幅為x1，A錯誤；B．物體運動過程中，其快慢是不同的，靠近平衡位置運動比較快，遠離平衡位置運動比較慢，所以在不包含平衡位置的周期內物塊通過的路程小于x1。B錯誤；C．物塊在O位置時受力平衡，有為彈簧伸長量。在A位置時的回復力大小為C正確；D．物塊從A位置回到O位置時，根據能量守恒得解得D錯誤。故選C。8．（2021·上海金山區·高三一模）某彈簧振子簡諧運動圖像如圖所示，t1~t2時間內振子（）A．速度增大B．加速度增大C．回復力增大D．機械能增大【答案】A【解析】由圖可知，在t1~t2時間內振子從正向最大位移向平衡位置運動，故速度增大，加速度和回復力減小，機械能不變。故選A。9．（2020·浙江高三開學考試）如圖所示，兩根完全相同的輕彈簧和一根張緊的細線，將甲、乙兩物塊束縛在光滑的水平面上。已知甲的質量小于乙的質量，彈簧在彈性限度范圍內。剪斷細線后，在兩物塊運動的過程中（）A．甲的振幅大于乙的振幅B．甲的最大速度大于乙的最大速度C．甲的最大動能小于乙的最大動能D．甲的最大加速度等于乙的最大加速度【答案】B【解析】A．剪斷細線前，兩彈簧的伸長量相同，離開平衡位置的最大距離相同，振幅一定相同，A錯誤；BC．由，兩彈簧的伸長量相同，彈性勢能相同，則兩物塊的最大動能相同，甲的質量小于乙的質量，則甲的最大速度大于乙的最大速度，B正確，C錯誤；D．由，剪斷細線的瞬間加速度最大，kx相同，甲的質量小，則甲的最大加速度大，D錯誤。故選B。10．（2020·山東濱州市·高二期中）關于物體的簡諧運動，下列說法正確的是（）A．位移減小時，加速度和速度都一定減小B．位移方向可能與速度方向相反C．回復力方向總是與加速度方向相反D．回復力逐漸增大，速度一定增大【答案】B【解析】A．位移減小時，恢復力減小，加速度減小，但速度增大，故A錯誤；B．物體從最大位移處向平衡位置運動的過程中，位移方向和速度方向相反，故B正確；C．根據牛頓第二定律，回復力方向總是與加速度方向相同，故C錯誤；D．回復力逐漸增大，說明物體在向最大位移處運動，則速度逐漸減小，故D錯誤。故選B。二、多選題11．（2021·湖北高三月考）如圖所示，長直桿固定放置與水平面夾角θ=30°，桿上O點以上部分粗糙，O點以下部分（含O點）光滑。輕彈簧穿過長桿，下端與擋板相連，彈簧原長時上端恰好在O點，質量為m的帶孔小球穿過長桿，與彈簧上端連接。小球與桿粗糙部分的動摩擦因數μ=，最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，現將小球拉到圖示a位置由靜止釋放，一段時間后觀察到小球振動時彈簧上端的最低位置始終在b點，O點與a、b間距均為l。則下列說法正確的是（）A．小球在a點彈簧彈性勢能最大B．小球在a點加速度大小是在b點加速度大小的2倍C．整個運動過程小球克服原擦力做功mglD．若增加小球質量，仍從a位置靜止釋放，則小球最終運動的最低點仍在b點【答案】BC【解析】A．由于O點與a、b間距均為l，所以小球在a、b兩點的彈性勢能相等，則A錯誤；C．小球從a運動到b過程，由動能定理可得解得所以C正確；B．小球在a點有小球在b點有由于小球最后是在O與b兩點間做簡諧振動，則在b點與O點的加速度大小相等，小球在O點有，聯立解得，所以小球在a點加速度大小是在b點加速度大小的2倍，則B正確；D．若增加小球質量，仍從a位置靜止釋放，則小球最終運動的最低點，由于小球最后是在O與最低點c兩點間做簡諧振動，則在c點與O點的加速度大小相等，小球在c點有解得所以增大小球的質量，彈簧在最低點的形變量也會增大，則最低點位置發生了改變，所以D錯誤；故選BC。12．（2021·山東德州市·高二期末）現有一固定斜面，其下端有一個垂直于斜面的固定擋板。輕質彈簧的一端與擋板相連，另一端連接一光滑小球。現將小球由平衡位置O沿斜面向上拉動10cm至A點，使其在之間做簡諧運動，B、C為斜面上的點，且。已知彈簧始終在其彈性限度內，則（）A．小球經過B、C兩點時，小球的速度大小相等B．小球經過B、C兩點時，彈簧的彈性勢能相等C．小球經B點向上運動四分之一個周期，其運動的路程大于10cmD．若將小球由平衡位置O沿斜面向上拉動5cm后由靜止釋放，則小球運動的周期將變短【答案】AC【解析】A．由簡諧振動的對稱性可知，小球經過B、C兩點時，小球的速度大小相等，選項A正確；B．小球經過B、C兩點時，彈簧的形變量不等，則彈簧的彈性勢能不相等，選項B錯誤；C．小球做簡諧振動時，若從平衡位置開始運動經過四分之一周期的路程等于A=10cm；因經過平衡位置附近的速度較大，則經B點向上運動四分之一個周期，其運動的路程大于10cm，選項C正確；D．簡諧振動的周期與振幅無關，則若將小球由平衡位置O沿斜面向上拉動5cm后由靜止釋放，則小球運動的周期不變，選項D錯誤。故選AC。13．（2021·浙江高一月考）如圖所示，一根輕質彈簧上端固定在天花板上，下端掛一重物（可視為質點），重物靜止時處于B位置。現用手托重物使之緩慢上升至A位置，此時彈簧長度恢復至原長。之后放手，使重物從靜止開始下落，沿豎直方向在A位置和C位置（圖中未畫出）之間做往復運動。重物運動過程中彈簧始終處于彈性限度內。關于上述過程（不計空氣阻力），下列說法中正確的是（）A．重物在C位置時，其加速度的數值等于當地重力加速度的值B．在重物從A位置下落到C位置的過程中，重力的沖量數值上大于彈簧彈力的沖量值C．在手托重物從B位置緩慢上升到A位置的過程中，手對重物所做的功等于重物往復運動過程中所具有的最大動能值D．在重物從A位置到B位置和從B位置到C位置的兩個過程中，彈簧彈力對重物所做的功之比為1∶1【答案】AC【解析】A．在A點，重物的回復力為mg，方向向下。根據簡諧運動的對稱性可知在最低點C時，重物回復力大小等于mg，方向向上，產生的加速度大小為g，方向向上，故A正確；B．在A位置時重物的速度為零，在C位置時重物的速度也為零，在重物從A位置下落到C位置的過程中，由動量定理知合外力的沖量為零。重物受重力和彈簧對重物的彈力，則此過程中重力的沖量與彈簧彈力的沖量剛好抵消，即此過程中重力的沖量大小等于彈簧彈力的沖量大小，兩者方向相反。故B錯誤；C．在手托重物從B位置緩慢上升到A位置的過程中，重物受重力、彈簧彈力、手對重物的功，三力做功之和為零當重物從A到B的過程中，聯立解得手托重物從B位置緩慢上升到A位置的過程中，手對重物所做的功等于重物往復運動過程中所具有的最大動能值。故C正確；D．在重物從A位置到B位置過程中，由動能定理可得解得在重物從B位置到C位置過程中，由動能定理可得解得故在重物從A位置到B位置和從B位置到C位置的兩個過程中，彈簧彈力對重物所做功之比不是1：1，故D錯誤；故選：AC。14．（2021·濟南市·山東省實驗中學高三月考）如圖所示，輕質彈簧下掛重為300N的物體A時伸長了3cm，再掛上重為200N的物體B時又伸長了2cm，現將A、B間的細線燒斷，使A在豎直平面內振動，則（彈簧始終在彈性限度內）（）A．最大回復力為500N，振幅為5cmB．最大回復力為200N，振幅為2cmC．只減小A的質量，振動的振幅不變，周期變小D．只減小B的質量，振動的振幅變小，周期不變【答案】BD【解析】AB．由題意知，輕質彈簧下只掛物體A，使彈簧伸長3cm時，A的位置為A振動時的平衡位置；再掛上重為200N的物體B時，彈簧又伸長了2cm，此時連接A、B的細線拉力大小為200N，把細線燒斷瞬間，A的速度為零，具有向上的最大加速度，此時受到的回復力最大，為200N，距平衡位置的位移最大，為2cm，故A錯誤，B正確；C．只減小A的質量，B的質量不變，繩上拉力等于B的重力，則A受到的最大回復力不變，由于A質量減小，則A振動的平衡位置上移，振動的幅度變大，而周期與振幅無關，所以周期不變，故C錯誤；D．只減小B的質量，繩上拉力等于B的重力，A受到的最大回復力減小，則A振動距離平衡位置的距離減小，振動的幅度變小，而周期與振幅無關，所以周期不變，故D正確。故選BD。15．（2021·湖北高三月考）以下運動均不考慮空氣阻力或介質阻力的作用。物體的運動是簡諧運動的是（）（填正確答案標號。選對1個得2分，選對2個得4分，選對3個得5分。每錯選1個扣3分。最低得分為0分）A．圖a中豎直輕彈簧下端固定在地面，另一端固定一小球，將小球向下拉離平衡位置一小段距離后靜止釋放。小球在豎直方向上的運動B．圖b中豎直平面內固定一個半徑很大的圓弧軌道，將一小球從圓弧軌道最低點附近某位置靜止釋放，小球在圓弧軌道最低點附近兩側的往返運動C．圖c中同一豎直平面內對稱地固定兩個傾角相等的斜面。兩斜面在最低點平滑連接，將一小球從左側斜面上某位置靜止釋放，小球在兩斜面上的往返運動D．圖d中一支液體密度計處于靜止，將密度計豎直向下壓人液體一小段距離后靜止釋放。密度計在豎直方向上的運動E.圖e中一個足球處于靜止，將足球豎直向下壓入水中一小段距離后靜止釋放。足球在豎直方向上的運動【答案】ABD【解析】A．簡諧運動的動力學特征是即物體離開平衡位置后受到一個指向平衡位置的回復力F的作用，且F的大小與物體離開平衡位置的位移大小x成正比。圖a中小球拉離平衡位置一小段距離x靜止釋放后，小球受到的合力提供回復力，小球做簡諧運動，A正確．B．圖b中小球拉離平衡位置一小段距離x靜止釋放后，小球受到的合力提供回復力，小球做簡諧運動，B正確。C．圖c中小球在斜面上運動受到的合力大小恒定，小球的運動不是簡諧運動，C錯誤。D．圖d中將密度計向下壓離平衡位置一小段距離x靜止釋放后，密度計受到合力提供回復力，密度計做簡諧運動，D正確。E．圖e中足球在運動過程中回復力大小與位移大小不是正比關系，足球不做簡諧運動，E錯誤。故選ABD。16．（2021·山東臨沂市·高三一模）如圖所示，水平面上固定一傾角為的斜面，質量為M的物塊B靜止于斜面上，B用不可伸長的細繩通過光滑定滑輪與沿豎直方向的彈簧連接，彈簧下端與質量為m的物塊A連接，初始時，用手托住物塊A，細繩恰好伸直且彈簧處于原長狀態。某時刻撤去手，物塊A開始運動，物塊B在撤去手前后始終保持靜止狀態，已知，重力加速度為g，則（）A．B與斜面間的最大靜摩擦力至少為B．B與斜面間的最大靜摩擦力至少為C．A從釋放到第一次運動至最低點的過程中，合外力對A先做正功后做負功D．A從釋放到第一次速度最大的過程中，彈簧彈性勢能的增加量等于A機械能的減小量【答案】BCD【解析】AB．根據題意可知，在釋放A之前，B所受靜摩擦力為釋放A之后，物塊A從釋放位置到最低點間做簡諧運動，故在最低點時，加速度為向上的g，彈簧的彈力為在A之后的運動過程中，B恰好不上滑，當A運動到最低點時，對B分析有聯立解得綜上可知B與斜面間的最大靜摩擦力為，A錯誤B正確；C．A下落過程中，當彈力與重力相等時，速度最大，然后開始減速，到達最低點時速度為零，故A的動能先增大后減小，根據動能定理可知合外力對A先做正功后做負功，C正確；D．A從釋放到第一次速度最大的過程中，根據系統機械能守恒有彈性勢能的增加量等于A機械能的減小量，D正確。故選BCD。三、填空題17．（2020·山東高二月考）如圖所示，在一個真空環境中，彈簧上端固定，下端懸掛鋼球，把鋼球從平衡位置向下拉一段距離A，放手讓其運動，用頻閃照相機拍出照片如圖一示，再重新向下拉鋼球至處，頻閃照片如圖二示，已知頻閃照片的閃光周期為0.1s。由此分析出，第一次振動的周期為___________，第二次振動的周期為___________，即彈簧振子的周期與振幅___________（填“有關”或“無關”）。【答案】0.8s0.8s無關【解析】[1]由圖一可知，第一次振動的周期為T1=8×0.1s=0.8s[2]由圖二可知，第二次振動的周期為T2=8×0.1s=0.8s[3]即彈簧振子的周期與振幅無關。18．（2020·上海交大附中高二月考）如圖所示，質量為m的木塊放在輕彈簧上，與彈簧一起在豎直方向上做簡諧運動。當振幅為A時，物體對彈簧的最大壓力是物體重力的1.5倍，則物體對彈簧的最小彈力為___________；要使物體在振動中不離開彈簧，振幅的最大值為_________。【答案】2A【解析】[1]當振幅為A時，物體對彈簧的最大壓力是物體重力的1.5倍，此時在最低處，受彈力、重力，由牛頓第二定律可得方向向上，根據簡諧振動的特點，在最高點的加速度也為0.5g，方向向下，所以解得F1=0.5mg，且為支持力。由胡克定律可得[2]要使物體不能離開彈簧，則在最高點彈力為零，加速度為g，方向向下，根據對稱性，在最低處的加速度也為g，方向向上，由牛頓第二定律可得解得由胡克定律可得聯立可得四、實驗題19．（2019·上海高一單元測試）如圖所示的三個圖線分別是用不同的傳感器測出的不同物體的振動圖線．從三個圖線可知，這三個物體振動的共同特點是具有_______性，三個物體中，最簡單的振動是________的振動．圖中心臟跳動的圖線是某人的心電圖，方格紙每個小方格的寬度是0.5cm，心電圖記錄儀拖動方格紙的速度是1.8cm/s.則此人的心率是________次/分．【答案】周期性彈簧振子67.5【解析】機械波是由物體的機械振動產生的，由于物體的振動頻率不同，產生的波形也不相同，有規律振動產生的波具有周期性，無規律振動產生的波不具有周期性．由圖可知，心臟振動的波形和音叉振動的波形都具有周期性，它們都具有周期性（或它們都是有規律的），三個物體中，最簡單的振動是彈簧振子的振動，圖中心臟跳動的圖線是某人的心電圖，方格紙每個小方格的寬度是0.5cm，心電圖記錄儀拖動方格紙的速度是1.8cm/s．則此人的心臟振動的周期是：，心率是（62.0～72.0）次/分．20．（2019·全國高二課時練習）某同學設計了一個測量物體質量的裝置，如圖所示，其中是光滑水平面，是質量為的帶夾子的已知質量金屬塊，是待測質量的物體。已知該裝置的彈簧振子做簡諧運動的周期為，其中是振子的質量，k是與彈簧的勁度系數有關的常數。當只有物體振動時，測得其振動周期為，將待測物體固定在上后，測得振動周期為，則待測物體的質量為______；如果這種裝置與天平都在太空站中使用，則______。A．這種裝置不能用來測質量，天平仍可以用來測質量B．這種裝置仍可以用來測質量，天平不能用來測質量C．這種裝置和天平都可以用來測質量D．這種裝置和天平都不能用來測質量【答案】B【解析】【解析】[1]根據彈簧振子做簡諧運動的周期公式得：由題得，解得待測物體Q的質量為[2]如果這種裝置與天平都在太空站中使用，由于裝置處于完全失重狀態，物體對支持面沒有壓力，所以天平不能用來測質量．彈簧振子的周期不變，這種裝置仍可以用來測質量，故B符合題意．五、解答題21．（2021·北京東城區·高三一模）如圖1所示，彈簧a和彈簧b為兩根相同的彈簧，與可視為質點的小球相連，另外兩端固定，小球處于靜止狀態時兩彈簧均處于伸長狀態且伸長量為x0，彈簧的勁度系數為k，質量不計，小球的質量為m，整個裝置處于光滑的水平面上。現將小球向右緩慢推動一段距離x（x<x0）。（1）求此刻彈簧a彈力的大小和彈簧b彈力的大小。（2）a.用圖2中的橫軸x表示小球相對于初始位置的位移，縱軸F表示彈簧的彈力（均以水平向右為正方向）。請在圖2中畫出彈簧a的彈力Fa隨x變化的Fa-x圖像，以及彈簧b的彈力Fb隨x變化的Fb-x圖像。b.取小球處于初始位置時系統的彈性勢能為零，請利用圖2中的圖像求出小球被向右推動了距離x時系統的彈性勢能EP。（3）如圖3所示，將小球在水平面內沿與兩彈簧軸線相垂直的方向移動一小段距離y，請通過計算論證，釋放后小球是否做簡諧運動以及其運動可視為簡諧運動的條件。（請對論證過程中用到的物理量加以說明；論證過程中有可能用到的數學知識有：當很小時，）【答案】（1），；（2）a.見解析，b.；（3）小球的運動不是簡諧運動。若很