線性代數在數學建模中的應用舉例線性代數在數學建模中的應用舉例線性代數在數學建模中的應用舉例線性代數在數學建模中的應用舉例編制僅供參考審核批準生效日期地址：電話：傳真:郵編:線性代數在數學建模中的應用舉例1基因間“距離”的表示在ABO血型的人們中，對各種群體的基因的頻率進行了研究。如果我們把四種等位基因A1，A2，B，O區別開，有人報道了如下的相對頻率，見表。表基因的相對頻率愛斯基摩人f1i班圖人f2i英國人f3i朝鮮人f4iA1A2BO合計問題一個群體與另一群體的接近程度如何？換句話說，就是要一個表示基因的“距離”的合宜的量度。解有人提出一種利用向量代數的方法。首先，我們用單位向量來表示每一個群體。為此目的，我們取每一種頻率的平方根，記.由于對這四種群體的每一種有，所以我們得到.這意味著下列四個向量的每個都是單位向量.記

在四維空間中，這些向量的頂端都位于一個半徑為1的球面上.現在用兩個向量間的夾角來表示兩個對應的群體間的“距離”似乎是合理的.如果我們把a1和a2之間的夾角記為θ，那么由于|a1|=|a2|=1，再由內只公式，得而故得°.按同樣的方式，我們可以得到表.表基因間的“距離”愛斯基摩人班圖人英國人朝鮮人愛斯基摩人0°°°°班圖人°0°°°英國人°°0°°朝鮮人°°°0°由表可見，最小的基因“距離”是班圖人和英國人之間的“距離”，而愛斯基摩人和班圖人之間的基因“距離”最大.2Euler的四面體問題問題如何用四面體的六條棱長去表示它的體積？這個問題是由Euler（歐拉）提出的.解建立如圖所示坐標系，設A，B，C三點的坐標分別為（a1,b1,c1）,(a2,b2,c2)和（a3,b3,c3），并設四面體O-ABC的六條棱長分別為由立體幾何知道，該四面體的體積V等于以向量組成右手系時，以它們為棱的平行六面體的體積V6的EQ\F(1,6).而于是得將上式平方，得根據向量的數量積的坐標表示，有 于是（）由余弦定理，可行同理將以上各式代入（）式，得（）這就是Euler的四面體體積公式.例一塊形狀為四面體的花崗巖巨石，量得六條棱長分別為l=10m,m=15m,n=12m,p=14m,q=13m,r=11m.則代入（）式，得于是即花崗巖巨石的體積約為195m3.古埃及的金字塔形狀為四面體，因而可通過測量其六條棱長去計算金字塔的體積.3動物數量的按年齡段預測問題問題某農場飼養的某種動物所能達到的最大年齡為15歲，將其分成三個年齡組：第一組，0～5歲；第二組，6～10歲；第三組，11～15歲.動物從第二年齡組起開始繁殖后代，經過長期統計，第二組和第三組的繁殖率分別為4和3.第一年齡和第二年齡組的動物能順利進入下一個年齡組的存活率分別為EQ\F(1,2)和EQ\F(1,4).假設農場現有三個年齡段的動物各100頭，問15年后農場三個年齡段的動物各有多少頭？

問題分析與建模因年齡分組為5歲一段，故將時間周期也取為5年.15年后就經過了3個時間周期.設表示第k個時間周期的第i組年齡階段動物的數量（k=1，2，3；i=1，2，3）.因為某一時間周期第二年齡組和第三年齡組動物的數量是由上一時間周期上一年齡組存活下來動物的數量，所以有又因為某一時間周期，第一年齡組動物的數量是由于一時間周期各年齡組出生的動物的數量，所以有于是我們得到遞推關系式：用矩陣表示則其中則有結果分析15年后，農場飼養的動物總數將達到16625頭，其中0～5歲的有14375頭，占%，6～10歲的有1375頭，占%，11～15歲的有875頭，占%.15年間，動物總增長16625-3000=13625頭，總增長率為13625/3000=%.注要知道很多年以后的情況，可通過研究式中當趨于無窮大時的極限狀況得到.關于年齡分布的人口預測模型我們將人口按相同的年限（比如5年）分成若干年齡組，同時假設各年齡段的田、女人口分布相同，這樣就可以通過只考慮女性人口來簡化模型.人口發展隨時間變化，一個時間周期的幅度使之對應于基本年齡組間距（如先例的5年），令是在時間周期k時第i個年齡組的（女性）人口，i=1,2,…,n.用1表示最低年齡組，用n表示最高年齡組，這意味著不考慮更大年齡組人口的變化.假如排除死亡的情形，那么在一個周期內第i個年齡組的成員將全部轉移到i+1個年齡組.但是，實際上必須考慮到死亡率，因此這一轉移過程可由一存活系數所衰減.于是，這一轉移過程可由下述議程簡單地描述：其中是在第i個年齡組在一個周期的存活率，因子可由統計資料確定.惟一不能由上述議程確定的年齡組是其中的成員是在后面的周期內出生的，他們是后面的周期內成員的后代，因此這個年齡組的成員取決于后面的周期內各組的出生率及其人數.于是有方程（）這里是第i個年齡組的出生率，它是由每時間周期內，第i個年齡組的每一個成員的女性后代的人數來表示的，通常可由統計資料來確定.于是我們得到了單性別分組的人口模型，用矩陣表示便是或者簡寫成（）矩陣稱為Leslie矩陣.由（）式遞推可得這就是Leslie模型.4企業投入產生分析模型問題某地區有三個重要產業，一個煤礦、一個發電廠和一條地方鐵路.開采一元錢的煤，煤礦要支付元的電費及元的運輸費.生產一元錢的電力，發電廠要支付元的煤費，元的電費及元的運輸費.創收一元錢的運輸費,鐵路要支付元的煤費及元的電費.在某一周內，煤礦接到外地金額為50000元的定貨，發電廠接到外地金額為25000元的定貨，外界對地方鐵路沒有需求.問三個企業在這一周內總產值多少才能滿足自身及外界的需求？

數學模型設x1為煤礦本周內的總產值，x2為電廠本周的總產值，x3為鐵路本周內的總產值，則（）即即矩陣A稱為直接消耗矩陣，X稱為產出向量，Y稱為需求向量，則方程組（）為即，（）其中矩陣E為單位矩陣，（E-A）稱為列昂杰夫矩陣，列昂杰夫矩陣為非奇異矩陣.投入產出分析表設D=（1，1，1）C.矩陣B稱為完全消耗矩陣，它與矩陣A一起在各個部門之間的投入產生中起平衡作用.矩陣C可以稱為投入產出矩陣，它的元素表示煤礦、電廠、鐵路之間的投入產出關系.向量D稱為總投入向量，它的元素是矩陣C的對應列元素之和，分別表示煤礦、電廠、鐵路得到的總投入.由矩陣C，向量Y，X和D，可得投入產出分析表.表投入產出分析表單位：元煤礦電廠鐵路外界需求總產出煤礦電廠鐵路總投入計算求解按（）式解方程組可得產出向量X，于是可計算矩陣C和向量D，計算結果如表.表投入產出計算結果單位：元煤礦電廠鐵路外界需求總產出煤礦050000電廠25000鐵路00總投入5交通流量的計算模型問題圖給出了某城市部分單行街道的交通流量（每小時過車數）.假設：（1）全部流入網絡的流量等于全部流出網絡的流量；（2）全部流入一個節點的流量等于全部流出此節點的流量.試建立數學模型確定該交通網絡未知部分的具體流量.建模與計算由網絡流量假設，所給問題滿足如下線方程組：系數矩陣為增廣矩陣階梯形最簡形式為其對應的齊次方程組為取（x5,x8）為自由取值未知量，分別賦兩組值為（1,0），（0,1），得齊次方程組基礎解系中兩個解向量其對應的非齊次方程組為賦值給自由未知量（x5,x8）為（0,0）得非齊次方程組的特解于是方程組的通解其中k1，k2為任意常數，x的每一個分量即為交通網絡未知部分的具體流量，它有無窮多解.6小行星的軌道模型問題一天文學家要確定一顆小行星繞太陽運行的軌道，他在軌道平面內建立以太陽為原點的直角坐標系，在兩坐標軸上取天文測量單位（一天文單位為地球到太陽的平均距離：×1011m）.在5個不同的時間對小行星作了5次觀察，測得軌道上5個點的坐標數據如表.表坐標數據x1x2x3x4x5X坐標y1y2y3y4y5Y坐標由Kepler（開普勒）第一定律知，小行星軌道為一橢圓.現需要建立橢圓的方程以供研究（注：橢圓的一般方程可表示為.問題分析與建立模型天文學家確定小行星運動的軌道時，他的依據是軌道上五個點的坐標數據：（x1,y1）,（x2,y2）,（x3,y3）,（x4,y4）,（x5,y5）.由Kepler第一定律知，小行星軌道為一橢圓.而橢圓屬于二次曲線，二次曲線的一般方程為.為了確定方程中的五個待定系數，將五個點的坐標分別代入上面的方程，得這是一個包含五個未知數的線性方程組，寫成矩陣求解這一線性方程組，所得的是一個二次曲線方程.為了知道小行星軌道的一些參數,還必須將二次曲線方程化為橢圓的標準方程形式:由于太陽的位置是小行星軌道的一個焦點,這時可以根據橢圓的長半軸和短半軸計算出小行星的近日點和遠日點距離,以及橢圓周長.根據二次曲線理論,可得橢圓經過旋轉和平移兩種變換后的方程如下:所以,橢圓長半軸:;橢圓短半軸:;橢圓半焦矩:.計算求解首先由五個點的坐標數據形成線性方程組的系數矩陣使用計算機可求得從而的特征值于是,橢圓長半軸a=,短半軸b=,半焦距c=.小行星近日點距和遠日點距為最后,橢圓的周長的準確計算要用到橢圓積分,可以考慮用數值積分解決問題,其近似值為.7人口遷移的動態分析問題對城鄉人口流動作年度調查,發現有一個穩定的朝向城鎮流動的趨勢:每年農村居民的%移居城鎮,而城鎮居民的1%遷出.現在總人口的60%位于城鎮.假如城鄉總人口保持不變,并且人口流動的這種趨勢繼續下去,那么一年以后住在城鎮人口所占比例是多少兩年以后呢十年以后呢最終呢解設開始時,令鄉村人口為城鎮人口為一年以后有鄉村人口城鎮人口或寫成矩陣形式.兩年以后,有.十年以后,有事實上,它給出了一個差分方程:.我們現在來解這個差分方程.首先年之后的分布(將對角化):這就是我們所要的解,而且容易看出經過很長一個時期以后這個解會達到一個極限狀態總人口仍是,與開始時一樣,但在此極限中人口的在城鎮,而在鄉村.無論初始分布是什么樣,這總是成立的.值得注意這個穩定狀態正是的屬于特征值1的特征向量.上述例子有一些很好的性質:人口總數保持不變,而且鄉村和城鎮的人口數決不能為負.前一性質反映在下面事實中:矩陣每一列加起來為1;每個人都被計算在內,而沒有人被重復或丟失.后一性質則反映在下面事實中:矩陣沒有負元素;同樣地和也是非負的,從而和和等等也是這樣.8常染色體遺傳模型為了揭示生命的奧秘,遺傳學的研究已引起了人們的廣泛興趣.動植物在產生下一代的過程中,總是將自己的特征遺傳給下一代,從而完成一種“生命的延續”.在常染色體遺傳中,后代從每個親體的基因對中各繼承一個基因,形成自己的基因對.人類眼睛顏色即是通過常染色體控制的,其特征遺傳由兩個基因和控制.基因對是和的人,眼睛是棕色,基因對是的人,眼睛為藍色.由于和都表示了同一外部特征,或認為基因支配,也可認為基因對于基因來說是隱性的(或稱為顯性基因,為隱性基因).下面我們選取一個常染色體遺傳——植物后代問題進行討論.某植物園中植物的基因型為,,.人們計劃用型植物與每種基因型植物相結合的方案培育植物后代.經過若干年后,這種植物后代的三種基因型分布將出現什么情形?

我們假設分別代表第代植物中,基因型為,和的植物占植物總數的百分率,令為第代植物的基因分布,表示植物基因型的初始分布,顯然,我們有先考慮第代中的型，第代型與型相結合，后代全部是型；第代的型與和與相結合，后代是型的可能性為；代的型與型相結合，后代不可能是型。因此，我們有（）同理,我們有（）（）將,,式