wordword精品文檔,可編輯,歡迎下載線性代數模擬試題一一、填空題（每小題2分，共50分）Dn

a a,Dij

aij

(1) ；2x在函數fxx1

1 1x x中的系數是 (2)2 xx2

2x x2

2,1 A對于方程x x 3x ,，其系數矩陣= (3) ；1 2 3xx x 0.1 2 34．排列nnn2321的逆序數等于 (4) ；5．n階行列式共有 項，正負號由 （6） 決定.對于行列當時，a Aki kjk1

（7） .用克拉默法則解方程組的兩個條件：系數行列式不等于0（8）.若n元線性方程組有解，且其系數矩陣的秩為，則當（9）時，方程組有無窮多解．矩陣與行列式有本質的區別，一個數字行列式經過計算可求得其值，而矩陣僅僅是（10）只有當（11）11．若A-|=12）.A 1A

2A ，|A|=（13）.2A s矩陣等價具有的三個性質為：反身性、（14）、傳遞性.矩陣的初等行變換包括（15）、ri

k、（16）三種.把矩陣用初等行變換變成為行階梯形矩陣0（17），當（18）0，當（19）有唯一解，當（20）沒解.mE)，相當于對A實施（21）變換. m ij18．x(x,x1 2

n

a1

xa1

x2

xbn維向量空間中（22）.na時，當（23）矩陣的秩與向量組的秩的關系為：（24）.要證明某一向量組是方程組AX=0的基礎解系，需要證明三個結論:（a）該組向量都是方程組的解、（b） （25） （c）二、計算題（1030分）x a a1 2a x a1 2

a a3 na a3 n計算行列式的值D a an1 1 2

x a a.3 n a a a1 2 3

a x40 2 1 A1

1 2. 1 1 1 0 1 研究下列向量組的線性相關性1

2,3

2,353

0.2 三、證明題（第1題10分，第2題10分）用數學歸納法證明1 1x x1 2x2 x2

1 1x x3 nx2 x2

D 1n xn21xn1

2xn22xn2

3xn23xn3

n xn2n xnn

xx1

xn

xx jin i j

n2設是非齊次線性方程組AXB的一個解,1

,,

nr

是對應奇次方程組AX的一個基礎解系證明:(1),,, 線性無關;1 nr(2),1

,,

nr

是方程組AXB的nr個線性無關的解.方程組AXB的任一解X都可以表示為這nr個解的線性組合,而且組合系數之和為1.參考答案一、填空題（每小題2分，共50分）(1)(1)na;(2)-2;1 2(3)2 11 1

13;1(4)

2 ;(5)n!;(6)下標排列的逆序數;(7)|A|;方程組中未知數個數與方程個數相等；rn；(10)(11)第一個矩陣的列數等于第二個矩陣的行數時；(12)A1；A AA；1 2 s對稱性；ri

r；jri

kr；j階數；(18)RAn；(19)RAR(B)n；(20)RAR(B)；第二種初等行變換 ri

k；超平面；(23)0(24)相等；(25)向量組線性無關；二、計算題（每小題10分，共30分）x a a1 2a x a1 2

a a3 na a3 n計算行列式的值D a an1 1 2

x a a.3 n a a a1 2 3

a x4解：將第2,3,,n1列都加到第一列，得：xnaiai1aixni

a a a1 2 nx a anD i1 2nn1

xna ai 1

x an xnaii1

a a x2 3提取第一列的公因子，得：

1 a a a11 x a2 an1Dn1

(x

a)1i

a 2

an.ni1 1 a a x2 3(a)(a),(a)倍1２ n1加到最后一列，得1 01 xa

0 00 0Dn1

(x

a)1i

a12

xa 02i1 1

aa2

aa3

xan(xn

ai

(xa).i0 2

i1 i1A1

1 2. 1 1 解：作分塊矩(E),施行初等行變.0 2 1 1 0 0r

r1 1 2 0 1 0

r1 1 2 0 1 01 1 2 0 1 0

2 0 2 1 1 0 0

3

1 0 2 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 r r1 1 2 0 1 0r r1 1 0 0 1 22

3 0 2 0 1 1 1

12

3 0 2 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 100110121210011012120101

2r

r1 0 0 12 32 52220

12

2 0 1 0 12 12 12 0 1

0 0 1

0 1 1 12 32 52 2 12 12

1 0 1 研究下列向量組的線性相關性1

2,3

2,353

0.2 1 0 1 0解1：令k

k

k

0,即k

2k

2k

00 1 1 2 2 3

13 25 32 0 k2 1

k 3

()整理得到 k k 1 23k5k 2k 0. 1 2 31 0 1線性方程的系數行列式2 2 0線性方程必有非零,從而3 5 2,,.1 2 31 0 1 1

0 1 解

2,2,0,矩陣A,,)2 2 0