§2線性空間的定義與簡單性質§3維數·基與坐標§4基變換與坐標變換§1集合·映射§5線性子空間§7子空間的直和§8線性空間的同構§6子空間的交與和小結與習題第六章線性空間11/24/2022數學與計算科學學院§2線性空間的定義§3維數·基與坐標§4基1§6.7子空間的直和一、直和的定義二、直和的判定三、多個子空間的直和11/24/2022數學與計算科學學院§6.7子空間的直和一、直和的定義二、直和的判定三、多個2引入有兩種情形：由維數公式設為線性空間V的兩個子空間，此時

即，必含非零向量.

11/24/2022數學與計算科學學院引入有兩種情形：由維數公式設為線性空間V的兩個子空間，3情形2）是子空間的和的一種特殊情況直和此時

不含非零向量，即

11/24/2022數學與計算科學學院情形2）是子空間的和的一種特殊情況直和此時不含非4一、直和的定義設為線性空間V的兩個子空間，若和是唯一的，和就稱為直和，記作注:若有則①分解式唯一的，意即中每個向量的分解式11/24/2022數學與計算科學學院一、直和的定義設為線性空間V的兩個子空間，若和是唯一的5②分解式唯一的不是在任意兩個子空間的和中都成立.例如，R3的子空間這里，在和中，向量的分解式不唯一，如所以和不是直和.11/24/2022數學與計算科學學院②分解式唯一的不是在任意兩個子空間的和中都成立.例如，R6而在和中，向量

(2,2,2)

的分解式是唯一的，事實上，對故是直和.都只有唯一分解式：11/24/2022數學與計算科學學院而在和中，向量(2,2,2)的分解式是唯一的，事實7二、直和的判定分解式唯一，即若1、(定理8)和是直和的充要條件是零向量則必有證：必要性.是直和,的分解式唯一.而0有分解式11/24/2022數學與計算科學學院二、直和的判定分解式唯一，即若1、(定理8)和是直和8充分性.故是直和.設，它有兩個分解式有其中于是由零向量分解成唯一，且即的分解式唯一.11/24/2022數學與計算科學學院充分性.故是直和.設，它有兩個分解式92、和是直和則有即是直和.“”任取證：“”若于是零向量可表成由于是直和，零向量分解式唯一，故11/24/2022數學與計算科學學院2、和是直和則有即是直和.“”任取證：10證：由維數公式3、和是直和有，是直和.（由2、得之）11/24/2022數學與計算科學學院證：由維數公式3、和是直和有，是直和.（由2、得之）11總之，設為線性空間V的子空間，則下面四個條件等價:2）零向量分解式唯一1）是直和

3）4）4、(定理10)設U是線性空間V的一個子空間，稱這樣的W為U的一個余子空間.則必存在一個子空間W，使11/24/2022數學與計算科學學院總之，設為線性空間V的子空間，則下面四個條件等價:2）12證：取U的一組基把它擴充為V的一組基則余子空間一般不是唯一的(除非U是平凡子空間).注意：如，在R3中，設則但11/24/2022數學與計算科學學院證：取U的一組基把它擴充為V的一組基則余子空間一般不是唯135、設分別是線性子空間的一組基，則是直和線性無關.證：由題設，若線性無關，則它是的一組基.從而有11/24/2022數學與計算科學學院5、設分別是線性子空間的一組基，則是直14反之,若直和，則從而的秩為r＋s.所以線性無關.是直和.11/24/2022數學與計算科學學院反之,若直和，則從而的秩為r151、定義中每個向量的分解式三、推廣多個子空間的直和都是線性空間V的子空間，若和是唯一的，則和就稱為直和，記作11/24/2022數學與計算科學學院1、定義中每個向量的分解式三、推廣多個子空間的直和16四個條件等價:2）零向量分解式唯一，即3）4）2、判定設都是線性空間V的子空間，則下面1）是直和

11/24/2022數學與計算科學學院四個條件等價:2）零向量分解式唯一，即3）4）2、判定設17例1、每一個n

維線性空間都可以表示成

n

個一維子空間的直和.證：設是

n

維線性空間V的一組基,則

而

故得證.11/24/2022數學與計算科學學院例1、每一個n維線性空間都可以表示成n個一維子空間的直18例2、已知，設2）當時，證：1）任取有是的子空間.證明：1）是的子空間.11/24/2022數學與計算科學學院例2、已知，設2）當時，證：1）任取有是19又對有從而有

故是的子空間.下證是的子空間.11/24/2022數學與計算科學學院又對有從而有故是的子空間.下證是的子空間20又2）先證任取其中再證又是的子空間，11/24/2022數學與計算科學學院又2）先證任取其中再證又是的子空間，11/2321任取從而所以11/24/2022數學與計算科學學院任取從而所以11/23/2022數學與計算科學學院22練習1設V1、V2分別是齊次線性方程組①與②的證：解齊次線性方程組①，得其一個基礎解系①②解空間：證明:11/24/2022數學與計算科學學院練習1設V1、V2分別是齊次線性方程組①與②的證23再解齊次線性方程組②.由即得②的一個基礎解系考慮向量組11/24/2022數學與計算科學學院再解齊次線性方程組②.由即得②的一個基礎解系考慮向量組24由于

線性無關，即它為Pn的一組基.又11/24/2022數學與計算科學學院由于線性無關，即它為Pn的一組基.又11/23/2022252、和是直和證:則練習：11/24/2022數學與計算科學學院2、和是直和證:則練習：11/23/2022數26則零向量還有一個分解式（*）在(*)式中，設最后一個不為0的向量是則(*)式變為這時，所以，是直和.11/24/2022數學與計算科學學院則零向量還有一個分解式（*）在(*)式中，設最后一個不為0的27§2線性空間的定義與簡單性質§3維數·基與坐標§4基變換與坐標變換§1集合·映射§5線性子空間§7子空間的直和§8線性空間的同構§6子空間的交與和小結與習題第六章線性空間11/24/2022數學與計算科學學院§2線性空間的定義§3維數·基與坐標§4基28§6.7子空間的直和一、直和的定義二、直和的判定三、多個子空間的直和11/24/2022數學與計算科學學院§6.7子空間的直和一、直和的定義二、直和的判定三、多個29引入有兩種情形：由維數公式設為線性空間V的兩個子空間，此時

即，必含非零向量.

11/24/2022數學與計算科學學院引入有兩種情形：由維數公式設為線性空間V的兩個子空間，30情形2）是子空間的和的一種特殊情況直和此時

不含非零向量，即

11/24/2022數學與計算科學學院情形2）是子空間的和的一種特殊情況直和此時不含非31一、直和的定義設為線性空間V的兩個子空間，若和是唯一的，和就稱為直和，記作注:若有則①分解式唯一的，意即中每個向量的分解式11/24/2022數學與計算科學學院一、直和的定義設為線性空間V的兩個子空間，若和是唯一的32②分解式唯一的不是在任意兩個子空間的和中都成立.例如，R3的子空間這里，在和中，向量的分解式不唯一，如所以和不是直和.11/24/2022數學與計算科學學院②分解式唯一的不是在任意兩個子空間的和中都成立.例如，R33而在和中，向量

(2,2,2)

的分解式是唯一的，事實上，對故是直和.都只有唯一分解式：11/24/2022數學與計算科學學院而在和中，向量(2,2,2)的分解式是唯一的，事實34二、直和的判定分解式唯一，即若1、(定理8)和是直和的充要條件是零向量則必有證：必要性.是直和,的分解式唯一.而0有分解式11/24/2022數學與計算科學學院二、直和的判定分解式唯一，即若1、(定理8)和是直和35充分性.故是直和.設，它有兩個分解式有其中于是由零向量分解成唯一，且即的分解式唯一.11/24/2022數學與計算科學學院充分性.故是直和.設，它有兩個分解式362、和是直和則有即是直和.“”任取證：“”若于是零向量可表成由于是直和，零向量分解式唯一，故11/24/2022數學與計算科學學院2、和是直和則有即是直和.“”任取證：37證：由維數公式3、和是直和有，是直和.（由2、得之）11/24/2022數學與計算科學學院證：由維數公式3、和是直和有，是直和.（由2、得之）38總之，設為線性空間V的子空間，則下面四個條件等價:2）零向量分解式唯一1）是直和

3）4）4、(定理10)設U是線性空間V的一個子空間，稱這樣的W為U的一個余子空間.則必存在一個子空間W，使11/24/2022數學與計算科學學院總之，設為線性空間V的子空間，則下面四個條件等價:2）39證：取U的一組基把它擴充為V的一組基則余子空間一般不是唯一的(除非U是平凡子空間).注意：如，在R3中，設則但11/24/2022數學與計算科學學院證：取U的一組基把它擴充為V的一組基則余子空間一般不是唯405、設分別是線性子空間的一組基，則是直和線性無關.證：由題設，若線性無關，則它是的一組基.從而有11/24/2022數學與計算科學學院5、設分別是線性子空間的一組基，則是直41反之,若直和，則從而的秩為r＋s.所以線性無關.是直和.11/24/2022數學與計算科學學院反之,若直和，則從而的秩為r421、定義中每個向量的分解式三、推廣多個子空間的直和都是線性空間V的子空間，若和是唯一的，則和就稱為直和，記作11/24/2022數學與計算科學學院1、定義中每個向量的分解式三、推廣多個子空間的直和43四個條件等價:2）零向量分解式唯一，即3）4）2、判定設都是線性空間V的子空間，則下面1）是直和

11/24/2022數學與計算科學學院四個條件等價:2）零向量分解式唯一，即3）4）2、判定設44例1、每一個n

維線性空間都可以表示成

n

個一維子空間的直和.證：設是

n

維線性空間V的一組基,則

而

故得證.11/24/2022數學與計算科學學院例1、每一個n維線性空間都可以表示成n個一維子空間的直45例2、已知，設2）當時，證：1）任取有是的子空間.證明：1）是的子空間.11/24/2022數學與計算科學學院例2、已知，設2）當時，證：1）任取有是46又對有從而有

故是的子空間.下證是的子空間.11/24/2022數學與計算科學學院又對有從而有故是的子空間.下證是的子空間47又2）先證任取