第 十五章機械振動基本內容：

諧振動的特征諧振動的描述諧振動的合成

機械振動：

物體在一定位置附近來回往復的運動。其軌跡可以是直線，也可以是平面曲線或空間曲線。

機械振動可分為周期性振動和非周期性振動，最簡單的機械振動是周期性的直線振動——簡諧振動。任何復雜的振動都可認為是由若干個簡諧振動合成的。第 十五章機械振動基本內容：諧振動的特征1§15.1簡諧振動的特點

A位置A：小球所受合力為零的位置，稱為振動系統的平衡位置。將小球推離平衡位置并釋放，小球來回振動，如果摩擦阻力小，小球振動的次數就多。假如一點阻力也沒有，小球只受彈性回復力，振動將永久持續下去，這種理想化的振動是——簡諧振動。一、諧振動中的理想模型—彈簧振子§15.1簡諧振動的特點A位置A：小球所受合力為零的2

如果振動物體可表示為一質點，而與之相連接的所有彈簧等效為一輕彈簧，忽略所有摩擦，可用彈簧振子描述簡諧振動。mkX0以平衡位置為坐標原點，水平向右為正，則小球所受彈性力F與小球離開平衡位置的位移x有以下關系：二、諧振動的特點：1、動力學特征：如果振動物體可表示為一質點，而與之相連接的所3

從動力學觀點，若物體僅受線性回復力作用，它就作簡諧振動。動力學特征：質點所受得力大小與位移成正比，方向相反。K是彈簧的彈性系數，負號表示力和位移方向相反。回復力2、運動學特征：令從動力學觀點，若物體僅受線性回復力作用，它就作簡諧振4積分得：從運動學觀點，若物體離開平衡位置的位移隨時間變化的規律是正弦或余弦的函數，它就作簡諧振動。運動學特征：物體離開平衡位置的位移隨時間變化的規律是正弦或余弦的函數。3、能量特征：其中積分得：從運動學觀點，若物體離開平衡位置的位5能量特征：諧振動的機械能等于x為A時的彈性勢能，或速度最大時（平衡位置）的動能。振動過程中動能和勢能相互轉換，機械能守恒。一個周期內的平均動能與平均勢能：能量特征：諧振動的機械能等于x為A時的彈性勢能，或速度最大時6例6.諧振子在相位為,其動能為,求其機械能。

解：例6.諧振子在相位為,其動能為,求其機械能。71、方程中各參量的物理意義x:表示t時刻質點離開平衡位置的位移。A:質點離開平衡位置的位移最大值的絕對值——振幅。§15.2簡諧振動的描述一、諧振動的代數描述法：又1、方程中各參量的物理意義x:表示t時刻質點離開8比較知稱為圓頻率僅決定于振動系統的力學性質。t+:稱位相或相位或周相，是表示任意t時刻振動物體動狀態的參量。

:稱為初位相，是表示t=0時刻振動物體狀態的參量。2、位移、速度加速度v的位相超前x/2比較知稱為圓頻率僅決定于振動系統的力學性質。t+:9其中是加速度的幅值a與x的位相相反atvxaxv0其中是加速度的幅值a與x的位相相反atvxaxv010問題：是描述t=0時刻振動物體的狀態，當給定計時時刻振動物體的狀態（t=0時的位置及速度：x0v0)，如何求解相對應的？（1）、已知t=0振動物體的狀態x(0),v(0)求可得：A與由系統的初始條件[x(0),v(0)]決定

問題：是描述t=0時刻振動物體的狀態，當給定計時時刻振動11（2）已知t=0振動物體的狀態x(0)及A時求最終確定初位相的值（2）已知t=0振動物體的狀態x(0)及A時求最終12mkX0例1：如圖所示，將小球拉至A釋放，小球作諧振動。如果已知k,，以小球運動至A/2處，且向x負方向運動作為計時的起點，求小球的振動方程。解：問題歸結于求t=0小球向x負方向運動，因而v0=+600

mkX0例1：如圖所示，將小球拉至A釋放，小球作諧振動。如果13例2如圖所示,彈簧處于原長,當子彈射入后,求系統的振動方程。m1kX0vm2解：t=0,x(0)=0,v(0)=v例2如圖所示,彈簧處于原長,當子彈射入后,求系統的振動方14

[例3]垂直懸掛的彈簧下端系一質量為m的小球，彈簧伸長量為b。求證：放手后小球作簡諧振動，并寫出振動方程。b自然長度mg平衡位置F取平衡位置為坐標原點，靜平衡受力分析如圖kb-mg=0證明：則有：x任意位置時小球所受到的合外力為：ΣF=mg-k(b+x)=

-kx小球作諧振動[例3]垂直懸掛的彈簧下端系一質量為m的小球，彈簧15ω=kmgb=A=b,φ=π由mg-kb=0得：由題知：t=0時，x0=-b，v0=0則可得：所以運動方程為：ω=kmgb=A=b,φ=π由mg-kb=0得16二、諧振動的圖線描述法tx0t1A兩類問題：1、已知諧振動方程，描繪諧振動曲線2、已知諧振動曲線，描繪諧振動方程二、諧振動的圖線描述法tx0t1A兩類問題：1、已知諧振動方17三、簡諧振動的旋轉矢量表示法

1、旋轉矢量AMx0ωP（ωt+φ）x旋轉矢量的長度：振幅A旋轉矢量旋轉的角速度：旋轉矢量旋轉的方向為逆時針方向旋轉矢量與參考方向x的夾角：振動周相圓頻率

M點在x軸上投影P點的運動規律為振動方程：三、簡諧振動的旋轉矢量表示法1、旋轉矢量AMx0ωP（18MPxA注意：旋轉矢量在第1象限速度v<0MPxAMPxAMPxAMPxAMPxAMP注意：旋轉矢量在第2象限速度v<0xAMPxAMPxAMPxAMPxAMPxAMPxA注意：旋轉矢量在第3象限速度v>0MPxAMPxAMPAMPAMPAMPA注意：旋轉矢量在第4象限速度v>0MPAMPAMPAMPAMPAMPxA注意：旋轉矢量在第1象限速度v<0MPxAMPxA19則稱振動2

超前振動1，振動1

滯后振動2

若周相差ΔΦ=φ2-φ1＞0A1A20A2A10φAA221φ10x2、用旋轉矢量分析位相與振動的關系若周相差ΔΦ=0，則稱兩振動同步若周相差ΔΦ=π，則稱兩振動反相則稱振動2超前振動1，振動1滯后振動2若周相差20πA2xxAA21.00t{t=1時x1=0d1＜0v=dxt[例4]一諧振動的振動曲線如圖所示，求ω、φ以及振動方程。πxA3{t=

0時0x=A2＞00vφ=π3πΦ1=2解：Φ1=ωt1+φω=56ππA2xxAA21.00t{t=1時x1=0d1＜0v=d21x=Acos(56πtπ3)本題ω的另一種求法:π3xAt=0π2At=1πππ2+32=T1T=125ω=56πx=Acos(56πtπ3)本題ω的另一種求法:π22§15.3簡諧振動的合成一、同方向、同頻率兩個諧振動的合成1、利用三角函數公式合成§15.3簡諧振動的合成一、同方向、同頻率兩個23令則可得：其中：令則可得：其中：242、利用旋轉矢量合成xA1A2A結論：同方向同頻率的兩個簡諧振動合成后仍為一簡諧振動，其頻率與分振動頻率相同。2、利用旋轉矢量合成xA1A2A結論：同方向同頻率的兩個簡諧25討論：合振動的加強與減弱12AA合振動加強1合振動減弱AA2

相位相反12=AAA、+（1）若φφ=2k12(k=012...、+)π12=AAA+

相位相同π、+(k=012...、+)φ（2）若φ(2k+1)12=一般情形：二分振動既不同相位也不反相位，合振動振幅在A1+A2與|A1-A2|

之間。討論：合振動的加強與減弱12AA合振動加強1合振動減弱AA226二、同方向、不同頻率的兩個諧振動的合成一般情況下合成后的振動是一個復雜的運動。一種特殊情況——拍現象νν12拍頻=νπνπ1221xx==AAcoscos2tt2x=xx+12ννννν~22111~＜＜ννννππ1122=2Acos2(())2costt2+2二、同方向、不同頻率的兩個諧振動的合成一般情況下合成后的振動27tttxx12xνννΔ=20.25s0.75s0.50s==216181tttxx12xνννΔ=20.25s0.75s0.50s=28利用旋轉矢量分析，作出李薩如圖形（觀察演示）三、相互垂直的同頻率的兩個諧振動的合成[例5]已知求：合振動的振幅及初相位，并寫出合振動的表達式。解：利用旋轉矢量分析，作出李薩如圖形（觀察演示）三、相互垂直的同29[例6]一物體沿x軸作簡諧振動，振幅為0.12m,周期為2s，當t=0時位移為0.06m，且向x軸正方向運動，求（1）振動表達式；（2）t=0.5s時，物體的位置、速度和加速度；（3）從x=-0.06m且向x軸負方向運動到返回平衡位置所需的時間解:（1）由于物體此時向x正向運動，故（2）[例6]一物體沿x軸作簡諧振動，振幅為0.12m,周期為2s30（3）注意相位與狀態相對應。質點沿x軸負向運動，設時，x=-0.06m.故質點返回平衡位置的相位為，設該時刻為。所以（3）注意相位與狀態相對應。質點沿x軸負向運動，設31第十六章波動學基礎波動是振動的傳播過程，也是動量和能量傳播的過程。機械波：機械振動在媒質中的傳播過程。電磁波：交變電磁場在空間的傳播過程。基本內容：機械波的產生與傳播機械波的幾個特征量波動方程波的疊加原理—（特例）波的干涉。

各類波的本質不同，但都伴有能量的傳播，都能產生反射、折射、干涉和衍射等現象，且有相似的數學描述。第十六章波動學基礎波動是振動的傳播過程，也是動量和能量傳32

§16.1機械波的產生與傳播1、波源2、彈性媒質橫波：質點的振動方向和波的傳播方向垂直縱波：質點的振動方向和波的傳播方向平行二、機械波的分類一、產生機械波的條件特點：具有波峰和波谷（如繩子上的波）特點：具有疏密相間的區域（如聲波）§16.1機械波的產生與傳播1、波源2、彈性媒質33橫波的波動波的傳播方向xy振動方向特點：具有波峰和波谷橫波的波動波的傳播方向xy振特點：具有波峰和波谷34縱波的波動波的傳播方向質點振動方向疏密疏密疏特點：具有疏密相間的區域縱波的波動波的傳播方向質點振動方向疏密疏密疏特點：具有疏密相35三、波的形成和傳播（以橫波為例）1、過程分析：由于媒質內各質點間存在相互作用力，故當一個質點振動后，在媒質內部的彈性力作用下，將帶動其周圍其它的質點也相繼振動起來………如此依次帶動，振動狀態由近及遠地傳播開去形成機械波。（靜止）1234567891011121312345678910111213（振動狀態傳至4）12345678910111213（振動狀態傳至7）三、波的形成和傳播（以橫波為例）1、過程分析：由于媒質內各質36（振動狀態傳至10)（振動狀態傳至13）12345678910111213123456789101112132.結論（1）各質點僅在自己的平衡位置附近振動，并不隨波前進。（2）振動狀態以一定的速度傳播—波速。（注意波速不是質點的振動速度）（振動狀態傳至10)（振動狀態傳至13）1237（3）波的周期與質點的振動周期相同。沿波的傳播方向，各質點的相位依次落后。（4）波形在空間移動—行波。四、波的幾何描述同相面（波面）：由振動周相相同的點所組成的面。波陣面（波前)：某時刻波動所到達的點所組成的面。波線（波法線）：表示波的傳播方向的線。在各向同性介質中與波面法線相同。在各向同性媒質中波線和波陣面垂直（3）波的周期與質點的振動周期相同。（4）波形在空間移動—行38平面波波線波陣面球面波波陣面波線平面波：球面波：波陣面為一球面。波陣面為一平面。平面波波波球面波波陣波平面波：球面波：波陣面為一球面。波陣面39橫波波速φsFFG

切變彈性模量ρ密度（單位體積質量）波長

在同一條波線上,周相差為2的兩質點間的距離。周期

傳播一個波長距離所用的時間。頻率

在單位時間內通過某一觀察點的完整波數目。波速

波在單位時間內所傳播的距離。

§16.2機械波的幾個特征量頻率和周期只決定于波源，和媒質無關。橫波波速φsFFG切變彈性模量波長在同一條波線上,周相40縱波波速流體（氣體、液體）固體Y:楊氏彈性模量VΔVPPB:容變彈性模量波速是與媒質有關的一個物理量縱波波速流體（氣體、液體）固體Y:楊氏彈性模量VΔVPPB:41任意點（B點）的振動方程為：參考點O點的振動方程為：uyxxoBy表示在波線上任意一點（距原點為x處）質點在任意時刻的位移,也就是平面簡諧波的波動方程。

§16.3波動方程一、平面簡諧波的波動方程任意點（B點）的振動方程為：參考點O點的振動方程為：uyxx42質點的振動速度：平面簡諧波的波動方程為:其中減號表示波向x軸正向傳播，加號表示波向x軸負向傳播質點的振動速度：平面簡諧波的波動方程為:其中減號表示波向x軸43表示在t1時刻的波形yto3、t與x都發生變化t=t1時yxo表示x1處質點的振動方程二、波動方程的物理意義1、x=x1（常數）2、t=t1（常數）t=t1+Δt時表示在t1時刻的波形yto3、t與x都發生變化t=44yy1xutxytx表示在t1時刻x處的位移y1，在經過Δt時間后，同樣的位移發生在x′處，波向前傳播了uΔt的距離，即某一固定周相傳播了uΔt的距離。y1=令yxx=+uΔt得：yy1xutxytx表示在t1時刻x處的位移y1，在經過Δt45可以證明三維的波動方程為：其中ξ為質點的位移從上兩式可得波動方程：三、波動方程的一般形式可以證明三維的波動方程為：其中ξ為質點的位移從上兩式可得波動46例1、已知波源在原點的平面簡諧波的方程為式中A、B、C為正值恒量。試求：（1）波的振幅、波速、頻率、周期與波長；（3）任何時刻，在波傳播方向上相距為D的兩點的周相差。（2）寫出傳播方向上距離波源l處一點的振動方程；解：（1）波動方程的標準形式例1、已知波源在原點的平面簡諧波的方程為式中A、B、C為正值47波的振幅為A,波速頻率波長（2）（3）波的振幅為A,波速頻率波長（2）（3）48

[例2]以P點在平衡位置向正方向運動作為計時零點，寫出波動方程。yxPoudπω解：p=2yp=AAAcoscoscosddtttπππ)))(((ωω222y==o[]++uuy[xu]φ[例2]以P點在平衡位置向正方向運動作為計時零點，寫49[例3]波速

u=400m/s,t=0s時刻的波形如圖所示。寫出波動方程。uy(m)p4532ox(m)23==φφ0pt===Ayvππ000(o點)22＞0{=yv00t0(p點)=0＜0{得：得：[例3]波速u=400m/s,t=0s時50φφπ2λp=0dφφππππλ0p=2d==22×35()34(m)y(m)23==φφππ0pup4532ox(m)dφφπ2λp=0dφφππππλ0p=2d==22×35()51yλ==ω2ππππν2002u===24004π04cos)(200π3tS1λ=4(m)()[例4]一橫波在弦上傳播，其方程是式中x、y以米計，t與秒計。（1）求波長、周期、波速；（2）畫出t=0,0.0025s,0.005s時弦的形狀。yλ==ω2ππππν2002u===24004π04cos52解：（1）方法一：與標準方程相比較波長周期T=0.01S,波速方法二、依各量的物理意義求解解：（1）方法一：與標準方程相比較波長周期T=0.01S,53（2）方法一：根據各時刻的波形方程逐一畫出波形。方法二：只畫出t=0的波形，然后采用移動波形的方法。0.40.2yxo（2）方法一：根據各時刻的波形方程逐一畫出波形。方法二：只畫54例5、一平面簡諧波在空間以速度u傳播，已知p點的振就下面四種選定的坐標系，寫出各自的波函數。動方程為opyxuuxyopuxyoplopyxul例5、一平面簡諧波在空間以速度u傳播，已知p點的振就下面四55例6、沿x軸負向傳播的平面簡諧波在t=2s時的波形曲線如圖，設波速u=0.5m/s求原點0的振動表達式。t=0x0y0.5-112t=2s

解：由圖知t=0原點0:例6、沿x軸負向傳播的平面簡諧波在t=2s時的波形曲線如圖，56例7、一平面簡諧波沿x軸正向傳播，其振幅和圓頻率為A、波速為u，設t=0時的波形曲線如圖。（1）寫出該波的波函數；（2）求距0點為（3）求距0點為處的質點的振動表達式；處的質點在t=0時的振動速度。yx0u例7、一平面簡諧波沿x軸正向傳播，其振幅和圓頻率為A、波速為57解：（1）t=0時，0點的相位，即初相位故波函數（2）（3）解：（1）t=0時，0點的相位，即初相位故波函數（2）（358§16.4波的能量能流密度一、能量密度pdEdE=可以證明：kdmdV取體積元dV，體元內質量為ρdVdm=§16.4波的能量能流密度一、能量密度pdEdE=59dEdE=2k+dEp=dEk能量密度:平均能量密度：dEdE=2k+dEp=dEk能量密度:平均能量密度：60能流P:單位時間通過某一面積的波能。P=Swu二、能流密度平均能流P:能流在一個周期內的平均值。uuS能流P:單位時間通過某一面積的波能。P=Swu二61波的強度

I（能流度）:通過垂直于波的傳播方向的單位面積的平均能流。wρω1222uI=u=A總結：波是能量傳播的一種形式。波真正傳播的是振動、波形和能量。波形傳播是現象，振動傳播是本質，能量傳播是量度。波的強度I（能流度）:通過垂直于波的傳播方向的單62t+tΔuΔtΔutt+Δtt時刻波陣面t時刻波陣面§16.5惠更斯原理一、惠更斯原理波動所到達的媒質中各點，都可以看作為發射子波的波源，而后一時刻這些子波的包跡便是新的波陣面。t+tΔuΔtΔutt+Δtt時刻波陣面t時刻波陣面63用惠更斯原理解釋折射定律sinsinir=CBABADAB=uuΔΔ1122=u2u==nn1n12ttiuuΔΔt12trnn12CBADiruΔt12二、惠更斯原理的應用用惠更斯原理解釋折射定律sinsinir=CBABADAB=64沿相反方向傳播的兩個脈沖波的疊加兩水波的疊加

§16.6波的疊加原理一、波的疊加原理1、波的獨立傳播原理:有幾列波同時在媒質中傳播時，它們的傳播特性（波長、頻率、波速、波形）不會因其它波的存在而發生影響。2、波的疊加原理:在幾列波相遇的區域內,媒質質點同時參與這幾列波所引起振動，其位移為各波單獨存在時在該點所引起振動的合振動。沿相反方向傳播的兩個脈沖波的疊加兩水波的疊加§16.6波65二、波的干涉

相干波源：若有兩個波源，它們的振動方向相同、頻率相同、周相差恒定，稱這兩波源為相干波源。波源ωcos=+ty222φA)(Sωt=y111φAcos)(+S1r*2sr11y*22sPy.P點rr=222πλφ11(φΔΦ)λωyt2+r=2222cos)Aπ(φω+t=y211λφAcos)(1π1r二、波的干涉相干波源：若有兩個波源，它們的振66干涉加強(A最大)條件：干涉減弱(A最小)條件：Δ=πΦ2kk=0,1,2,+Δ++Φ2k=(1)k=0,1,2,ππ111Acoscossinsinφφφ=+2ππrr()))(((211tg222AAA221rrφ)+2π22φλλλλ2AAAAcosΦΔ=2++22211A)φ2221φΦΔ=πrr(1λ干涉加強(A最大)條件：干涉減弱(A最小)條件：Δ=πΦ2k672λ波程差rr1=+k干涉加強rλ2()波程差r1+2k2=+1干涉減弱=12若：φφ則有：λ++2k(1)π==πrr)(Φ21Δ2λrrΔ=π)(Φ21π2k+=2rr)φ2221φΦΔ=π(1λ問題：對于相干光波，干涉條件如何？2λ波程差rr1=+k干涉加強rλ2()波程差r1+2k2=68兩波的波動方程分別為：yy22AA+xxttTTcoscos21λλππ==))((

駐波：一對振幅相同的相干波，在同一條直線上，沿相反方向傳播時，疊加而成的波。AAxcos=振幅22πλy22A+tTcos21ππ=yy=xcos2λ三、駐波兩波的波動方程分別為：yy22AA+xxttTTcoscos69xAAcosλ=振幅：22π波腹位置：波節位置：2k+12k+1λπ=())(xx=22π4λ22kλππxx==2k2λ4相鄰兩波節（或波腹）的距離:xxk+1k=λ2xAAcosλ=振幅：22π波腹位置：波節位置：2k+12k70駐波的特點：

1.有波節、波腹；2.波節兩側質點的振動周相相反，相鄰兩波節之間的質點振動周相相同。3.波的強度為零，不發生能量由近及遠的傳播。是一種特殊的振動狀態。波節波腹駐波的特點：波節波腹71四、半波損失ρρuu2211＞若媒質1媒質1ρu11ρu22媒質2稱媒質1為波疏媒質；

媒質2為波密媒質。四、半波損失ρρuu2211＞若媒質1媒質1ρu11ρu721.繩子波在固定端反射入射波反射波疊加后的波形墻體)波密媒質(yy在反射端形成波節。在反射端入射波和反射波周相相反，即入射波到達兩種媒質分界面時發生相位突變，稱為半波損失。1.繩子波在固定端反射入射波反射波疊加后的波形墻體)73入射波反射波疊加后的波形yy自由端2.繩子波在自由端反射在反射端形成波腹在反射端入射波和反射波周相相同無半波損失。入射波反射波疊加后的波形yy自2.繩子波在自由端反射74y=Acosωt它向墻面方向傳播經反射后形成駐波。求：駐波方程、波節及波腹的位置。考慮到半波損失后P點的振動方程：ydcos=+p()uωtA[π]yycoscos==dp(())uuωωtt入射波入AAxdy墻面p入射波ox

[例8

]設波源（在原點O）的振動方程為：y=Acosωt它向墻面方向傳播經反射后形成駐波。求：駐波方75墻面dyxp(疊加點)m入射波反射波o考慮到半波損失后P點的振動方程：ducosy=+p()ωtA[π]反射波在疊加點(m點)的振動方程：cos2dutA=+()[]πωxycosdduutA=+)([]πω反x墻dyxp(疊加點)m入射波反射波o考慮到半波損失后P點的振76第 十五章機械振動基本內容：

諧振動的特征諧振動的描述諧振動的合成

機械振動：

物體在一定位置附近來回往復的運動。其軌跡可以是直線，也可以是平面曲線或空間曲線。

機械振動可分為周期性振動和非周期性振動，最簡單的機械振動是周期性的直線振動——簡諧振動。任何復雜的振動都可認為是由若干個簡諧振動合成的。第 十五章機械振動基本內容：諧振動的特征77§15.1簡諧振動的特點

A位置A：小球所受合力為零的位置，稱為振動系統的平衡位置。將小球推離平衡位置并釋放，小球來回振動，如果摩擦阻力小，小球振動的次數就多。假如一點阻力也沒有，小球只受彈性回復力，振動將永久持續下去，這種理想化的振動是——簡諧振動。一、諧振動中的理想模型—彈簧振子§15.1簡諧振動的特點A位置A：小球所受合力為零的78

如果振動物體可表示為一質點，而與之相連接的所有彈簧等效為一輕彈簧，忽略所有摩擦，可用彈簧振子描述簡諧振動。mkX0以平衡位置為坐標原點，水平向右為正，則小球所受彈性力F與小球離開平衡位置的位移x有以下關系：二、諧振動的特點：1、動力學特征：如果振動物體可表示為一質點，而與之相連接的所79

從動力學觀點，若物體僅受線性回復力作用，它就作簡諧振動。動力學特征：質點所受得力大小與位移成正比，方向相反。K是彈簧的彈性系數，負號表示力和位移方向相反。回復力2、運動學特征：令從動力學觀點，若物體僅受線性回復力作用，它就作簡諧振80積分得：從運動學觀點，若物體離開平衡位置的位移隨時間變化的規律是正弦或余弦的函數，它就作簡諧振動。運動學特征：物體離開平衡位置的位移隨時間變化的規律是正弦或余弦的函數。3、能量特征：其中積分得：從運動學觀點，若物體離開平衡位置的位81能量特征：諧振動的機械能等于x為A時的彈性勢能，或速度最大時（平衡位置）的動能。振動過程中動能和勢能相互轉換，機械能守恒。一個周期內的平均動能與平均勢能：能量特征：諧振動的機械能等于x為A時的彈性勢能，或速度最大時82例6.諧振子在相位為,其動能為,求其機械能。

解：例6.諧振子在相位為,其動能為,求其機械能。831、方程中各參量的物理意義x:表示t時刻質點離開平衡位置的位移。A:質點離開平衡位置的位移最大值的絕對值——振幅。§15.2簡諧振動的描述一、諧振動的代數描述法：又1、方程中各參量的物理意義x:表示t時刻質點離開84比較知稱為圓頻率僅決定于振動系統的力學性質。t+:稱位相或相位或周相，是表示任意t時刻振動物體動狀態的參量。

:稱為初位相，是表示t=0時刻振動物體狀態的參量。2、位移、速度加速度v的位相超前x/2比較知稱為圓頻率僅決定于振動系統的力學性質。t+:85其中是加速度的幅值a與x的位相相反atvxaxv0其中是加速度的幅值a與x的位相相反atvxaxv086問題：是描述t=0時刻振動物體的狀態，當給定計時時刻振動物體的狀態（t=0時的位置及速度：x0v0)，如何求解相對應的？（1）、已知t=0振動物體的狀態x(0),v(0)求可得：A與由系統的初始條件[x(0),v(0)]決定

問題：是描述t=0時刻振動物體的狀態，當給定計時時刻振動87（2）已知t=0振動物體的狀態x(0)及A時求最終確定初位相的值（2）已知t=0振動物體的狀態x(0)及A時求最終88mkX0例1：如圖所示，將小球拉至A釋放，小球作諧振動。如果已知k,，以小球運動至A/2處，且向x負方向運動作為計時的起點，求小球的振動方程。解：問題歸結于求t=0小球向x負方向運動，因而v0=+600

mkX0例1：如圖所示，將小球拉至A釋放，小球作諧振動。如果89例2如圖所示,彈簧處于原長,當子彈射入后,求系統的振動方程。m1kX0vm2解：t=0,x(0)=0,v(0)=v例2如圖所示,彈簧處于原長,當子彈射入后,求系統的振動方90

[例3]垂直懸掛的彈簧下端系一質量為m的小球，彈簧伸長量為b。求證：放手后小球作簡諧振動，并寫出振動方程。b自然長度mg平衡位置F取平衡位置為坐標原點，靜平衡受力分析如圖kb-mg=0證明：則有：x任意位置時小球所受到的合外力為：ΣF=mg-k(b+x)=

-kx小球作諧振動[例3]垂直懸掛的彈簧下端系一質量為m的小球，彈簧91ω=kmgb=A=b,φ=π由mg-kb=0得：由題知：t=0時，x0=-b，v0=0則可得：所以運動方程為：ω=kmgb=A=b,φ=π由mg-kb=0得92二、諧振動的圖線描述法tx0t1A兩類問題：1、已知諧振動方程，描繪諧振動曲線2、已知諧振動曲線，描繪諧振動方程二、諧振動的圖線描述法tx0t1A兩類問題：1、已知諧振動方93三、簡諧振動的旋轉矢量表示法

1、旋轉矢量AMx0ωP（ωt+φ）x旋轉矢量的長度：振幅A旋轉矢量旋轉的角速度：旋轉矢量旋轉的方向為逆時針方向旋轉矢量與參考方向x的夾角：振動周相圓頻率

M點在x軸上投影P點的運動規律為振動方程：三、簡諧振動的旋轉矢量表示法1、旋轉矢量AMx0ωP（94MPxA注意：旋轉矢量在第1象限速度v<0MPxAMPxAMPxAMPxAMPxAMP注意：旋轉矢量在第2象限速度v<0xAMPxAMPxAMPxAMPxAMPxAMPxA注意：旋轉矢量在第3象限速度v>0MPxAMPxAMPAMPAMPAMPA注意：旋轉矢量在第4象限速度v>0MPAMPAMPAMPAMPAMPxA注意：旋轉矢量在第1象限速度v<0MPxAMPxA95則稱振動2

超前振動1，振動1

滯后振動2

若周相差ΔΦ=φ2-φ1＞0A1A20A2A10φAA221φ10x2、用旋轉矢量分析位相與振動的關系若周相差ΔΦ=0，則稱兩振動同步若周相差ΔΦ=π，則稱兩振動反相則稱振動2超前振動1，振動1滯后振動2若周相差96πA2xxAA21.00t{t=1時x1=0d1＜0v=dxt[例4]一諧振動的振動曲線如圖所示，求ω、φ以及振動方程。πxA3{t=

0時0x=A2＞00vφ=π3πΦ1=2解：Φ1=ωt1+φω=56ππA2xxAA21.00t{t=1時x1=0d1＜0v=d97x=Acos(56πtπ3)本題ω的另一種求法:π3xAt=0π2At=1πππ2+32=T1T=125ω=56πx=Acos(56πtπ3)本題ω的另一種求法:π98§15.3簡諧振動的合成一、同方向、同頻率兩個諧振動的合成1、利用三角函數公式合成§15.3簡諧振動的合成一、同方向、同頻率兩個99令則可得：其中：令則可得：其中：1002、利用旋轉矢量合成xA1A2A結論：同方向同頻率的兩個簡諧振動合成后仍為一簡諧振動，其頻率與分振動頻率相同。2、利用旋轉矢量合成xA1A2A結論：同方向同頻率的兩個簡諧101討論：合振動的加強與減弱12AA合振動加強1合振動減弱AA2

相位相反12=AAA、+（1）若φφ=2k12(k=012...、+)π12=AAA+

相位相同π、+(k=012...、+)φ（2）若φ(2k+1)12=一般情形：二分振動既不同相位也不反相位，合振動振幅在A1+A2與|A1-A2|

之間。討論：合振動的加強與減弱12AA合振動加強1合振動減弱AA2102二、同方向、不同頻率的兩個諧振動的合成一般情況下合成后的振動是一個復雜的運動。一種特殊情況——拍現象νν12拍頻=νπνπ1221xx==AAcoscos2tt2x=xx+12ννννν~22111~＜＜ννννππ1122=2Acos2(())2costt2+2二、同方向、不同頻率的兩個諧振動的合成一般情況下合成后的振動103tttxx12xνννΔ=20.25s0.75s0.50s==216181tttxx12xνννΔ=20.25s0.75s0.50s=104利用旋轉矢量分析，作出李薩如圖形（觀察演示）三、相互垂直的同頻率的兩個諧振動的合成[例5]已知求：合振動的振幅及初相位，并寫出合振動的表達式。解：利用旋轉矢量分析，作出李薩如圖形（觀察演示）三、相互垂直的同105[例6]一物體沿x軸作簡諧振動，振幅為0.12m,周期為2s，當t=0時位移為0.06m，且向x軸正方向運動，求（1）振動表達式；（2）t=0.5s時，物體的位置、速度和加速度；（3）從x=-0.06m且向x軸負方向運動到返回平衡位置所需的時間解:（1）由于物體此時向x正向運動，故（2）[例6]一物體沿x軸作簡諧振動，振幅為0.12m,周期為2s106（3）注意相位與狀態相對應。質點沿x軸負向運動，設時，x=-0.06m.故質點返回平衡位置的相位為，設該時刻為。所以（3）注意相位與狀態相對應。質點沿x軸負向運動，設107第十六章波動學基礎波動是振動的傳播過程，也是動量和能量傳播的過程。機械波：機械振動在媒質中的傳播過程。電磁波：交變電磁場在空間的傳播過程。基本內容：機械波的產生與傳播機械波的幾個特征量波動方程波的疊加原理—（特例）波的干涉。

各類波的本質不同，但都伴有能量的傳播，都能產生反射、折射、干涉和衍射等現象，且有相似的數學描述。第十六章波動學基礎波動是振動的傳播過程，也是動量和能量傳108

§16.1機械波的產生與傳播1、波源2、彈性媒質橫波：質點的振動方向和波的傳播方向垂直縱波：質點的振動方向和波的傳播方向平行二、機械波的分類一、產生機械波的條件特點：具有波峰和波谷（如繩子上的波）特點：具有疏密相間的區域（如聲波）§16.1機械波的產生與傳播1、波源2、彈性媒質109橫波的波動波的傳播方向xy振動方向特點：具有波峰和波谷橫波的波動波的傳播方向xy振特點：具有波峰和波谷110縱波的波動波的傳播方向質點振動方向疏密疏密疏特點：具有疏密相間的區域縱波的波動波的傳播方向質點振動方向疏密疏密疏特點：具有疏密相111三、波的形成和傳播（以橫波為例）1、過程分析：由于媒質內各質點間存在相互作用力，故當一個質點振動后，在媒質內部的彈性力作用下，將帶動其周圍其它的質點也相繼振動起來………如此依次帶動，振動狀態由近及遠地傳播開去形成機械波。（靜止）1234567891011121312345678910111213（振動狀態傳至4）12345678910111213（振動狀態傳至7）三、波的形成和傳播（以橫波為例）1、過程分析：由于媒質內各質112（振動狀態傳至10)（振動狀態傳至13）12345678910111213123456789101112132.結論（1）各質點僅在自己的平衡位置附近振動，并不隨波前進。（2）振動狀態以一定的速度傳播—波速。（注意波速不是質點的振動速度）（振動狀態傳至10)（振動狀態傳至13）12113（3）波的周期與質點的振動周期相同。沿波的傳播方向，各質點的相位依次落后。（4）波形在空間移動—行波。四、波的幾何描述同相面（波面）：由振動周相相同的點所組成的面。波陣面（波前)：某時刻波動所到達的點所組成的面。波線（波法線）：表示波的傳播方向的線。在各向同性介質中與波面法線相同。在各向同性媒質中波線和波陣面垂直（3）波的周期與質點的振動周期相同。（4）波形在空間移動—行114平面波波線波陣面球面波波陣面波線平面波：球面波：波陣面為一球面。波陣面為一平面。平面波波波球面波波陣波平面波：球面波：波陣面為一球面。波陣面115橫波波速φsFFG

切變彈性模量ρ密度（單位體積質量）波長

在同一條波線上,周相差為2的兩質點間的距離。周期

傳播一個波長距離所用的時間。頻率

在單位時間內通過某一觀察點的完整波數目。波速

波在單位時間內所傳播的距離。

§16.2機械波的幾個特征量頻率和周期只決定于波源，和媒質無關。橫波波速φsFFG切變彈性模量波長在同一條波線上,周相116縱波波速流體（氣體、液體）固體Y:楊氏彈性模量VΔVPPB:容變彈性模量波速是與媒質有關的一個物理量縱波波速流體（氣體、液體）固體Y:楊氏彈性模量VΔVPPB:117任意點（B點）的振動方程為：參考點O點的振動方程為：uyxxoBy表示在波線上任意一點（距原點為x處）質點在任意時刻的位移,也就是平面簡諧波的波動方程。

§16.3波動方程一、平面簡諧波的波動方程任意點（B點）的振動方程為：參考點O點的振動方程為：uyxx118質點的振動速度：平面簡諧波的波動方程為:其中減號表示波向x軸正向傳播，加號表示波向x軸負向傳播質點的振動速度：平面簡諧波的波動方程為:其中減號表示波向x軸119表示在t1時刻的波形yto3、t與x都發生變化t=t1時yxo表示x1處質點的振動方程二、波動方程的物理意義1、x=x1（常數）2、t=t1（常數）t=t1+Δt時表示在t1時刻的波形yto3、t與x都發生變化t=120yy1xutxytx表示在t1時刻x處的位移y1，在經過Δt時間后，同樣的位移發生在x′處，波向前傳播了uΔt的距離，即某一固定周相傳播了uΔt的距離。y1=令yxx=+uΔt得：yy1xutxytx表示在t1時刻x處的位移y1，在經過Δt121可以證明三維的波動方程為：其中ξ為質點的位移從上兩式可得波動方程：三、波動方程的一般形式可以證明三維的波動方程為：其中ξ為質點的位移從上兩式可得波動122例1、已知波源在原點的平面簡諧波的方程為式中A、B、C為正值恒量。試求：（1）波的振幅、波速、頻率、周期與波長；（3）任何時刻，在波傳播方向上相距為D的兩點的周相差。（2）寫出傳播方向上距離波源l處一點的振動方程；解：（1）波動方程的標準形式例1、已知波源在原點的平面簡諧波的方程為式中A、B、C為正值123波的振幅為A,波速頻率波長（2）（3）波的振幅為A,波速頻率波長（2）（3）124

[例2]以P點在平衡位置向正方向運動作為計時零點，寫出波動方程。yxPoudπω解：p=2yp=AAAcoscoscosddtttπππ)))(((ωω222y==o[]++uuy[xu]φ[例2]以P點在平衡位置向正方向運動作為計時零點，寫125[例3]波速

u=400m/s,t=0s時刻的波形如圖所示。寫出波動方程。uy(m)p4532ox(m)23==φφ0pt===Ayvππ000(o點)22＞0{=yv00t0(p點)=0＜0{得：得：[例3]波速u=400m/s,t=0s時126φφπ2λp=0dφφππππλ0p=2d==22×35()34(m)y(m)23==φφππ0pup4532ox(m)dφφπ2λp=0dφφππππλ0p=2d==22×35()127yλ==ω2ππππν2002u===24004π04cos)(200π3tS1λ=4(m)()[例4]一橫波在弦上傳播，其方程是式中x、y以米計，t與秒計。（1）求波長、周期、波速；（2）畫出t=0,0.0025s,0.005s時弦的形狀。yλ==ω2ππππν2002u===24004π04cos128解：（1）方法一：與標準方程相比較波長周期T=0.01S,波速方法二、依各量的物理意義求解解：（1）方法一：與標準方程相比較波長周期T=0.01S,129（2）方法一：根據各時刻的波形方程逐一畫出波形。方法二：只畫出t=0的波形，然后采用移動波形的方法。0.40.2yxo（2）方法一：根據各時刻的波形方程逐一畫出波形。方法二：只畫130例5、一平面簡諧波在空間以速度u傳播，已知p點的振就下面四種選定的坐標系，寫出各自的波函數。動方程為opyxuuxyopuxyoplopyxul例5、一平面簡諧波在空間以速度u傳播，已知p點的振就下面四131例6、沿x軸負向傳播的平面簡諧波在t=2s時的波形曲線如圖，設波速u=0.5m/s求原點0的振動表達式。t=0x0y0.5-112t=2s

解：由圖知t=0原點0:例6、沿x軸負向傳播的平面簡諧波在t=2s時的波形曲線如圖，132例7、一平面簡諧波沿x軸正向傳播，其振幅和圓頻率為A、波速為u，設t=0時的波形曲線如圖。（1）寫出該波的波函數；（2）求距0點為（3）求距0點為處的質點的振動表達式；處的質點在t=0時的振動速度。yx0u例7、一平面簡諧波沿x軸正向傳播，其振幅和圓頻率為A、波速為133解：（1）t=0時，0點的相位，即初相位故波函數（2）（3）解：（1）t=0時，0點的相位，即初相位故波函數（2）（3134§16.4波的能量能流密度一、能量密度pdEdE=可以證明：kdmdV取體積元dV，體元內質量為ρdVdm=§16.4波的能量能流密度一、能量密度pdEdE=135dEdE=2k+dEp=dEk能量密度:平均能量密度：dEdE=2k+dEp=dEk能量密度:平均能量密度：136能流P:單位時間通過某一面積的波能。P=Swu二、能流密度平均能流P:能流在一個周期內的平均值。uuS能流P:單位時間通過某一面積的波能。P=Swu二137波的強度

I（能流度）:通過垂直于波的傳播方向的單位面積的平均能流。wρω1222uI=u=A總結：波是能量傳播的一種形式。波真正傳播的是振動、波形和能量。波形傳播是現象，振動傳播是本質，能量傳播是量度。波的強度I（能流度）:通過垂直于波的傳播方向的單138t+tΔuΔtΔutt+Δtt時刻波陣面t時刻波陣面§16.5惠更斯原理一、惠更斯原理波動所到達的媒質中各點，都可以看作為發射子波的波源，而后一時刻這些子波的包跡便是新的波陣面。t+tΔuΔtΔutt+Δtt時刻波陣面t時刻波陣面139用惠更斯原理解釋折射定律sinsinir=CBABADAB=uuΔΔ1122=u2u==nn1n12ttiuuΔΔt12trnn12CBADiruΔt12二、惠更斯原理的應用用惠更斯原理解釋折射定律sinsinir=CBABADAB=140沿相反方向傳播的兩個脈沖波的疊加兩水波的