集合、常用邏輯用語集合、常用邏輯用語1一、主干知識1.集合的基本運算：(1)A∪B=_________________.(2)A∩B=________________.(3)={x|x∈U,且x?A}.2.充分條件、必要條件與充要條件：(1)若p?q，則p是q的_________，q是p的_________.(2)若p?q，則p與q互為_________.充分條件必要條件充要條件{x|x∈A，或x∈B}{x|x∈A,且x∈B}一、主干知識充分條件必要條件充要條件{x|x∈A，或x∈B}23.p∨q，p∧q，命題的真假:(1)p∨q命題中___________________時，該命題為真.(2)p∧q命題中_________________時，該命題為真.(3)命題中__________時，該命題為真.4.含有一個量詞的命題的否定：(1)全稱命題的否定.?x∈M,p(x)的否定為_______________.(2)特稱(存在性)命題的否定.?x0∈M,p(x0)的否定為______________.至少有一個命題為真當且僅當p，q都真當命題p假?x0∈M,p(x0)?x∈M,p(x)3.p∨q，p∧q，命題的真假:至少有一個命題為真當且3二、必記公式1.集合的子集個數：若集合A的元素有n個，則A的子集個數是__，真子集個數是_____，非空真子集的個數是_____.2.兩個重要結論:(1)A∩B=A?_____.(2)A∪B=A?_____.2n2n－12n－2ABBA二、必記公式2n2n－12n－2ABBA41.(2013·四川高考)設集合A={1,2,3}，集合B={-2,2}，則A∩B=()A.?B.{2}C.{-2,2}D.{－2,1,2,3}【解析】選B.根據題意，集合A={1,2,3}，集合B={2,－2}，所以A∩B={2}.1.(2013·四川高考)設集合A={1,2,3}，集合B=52.(2013·山東高考)已知集合A,B均為全集U={1,2,3,4}的子集，且B={1,2},則A∩=()A.{3}B.{4}C.{3,4}D.?【解析】選A.由U={1,2,3,4}，(A∪B)={4},知A∪B={1,2,3}，又B={1,2}，所以A中一定有元素3，沒有元素4，所以A∩={3}.2.(2013·山東高考)已知集合A,B均為全集U={1,263.(2013·湖北高考)在一次跳傘訓練中，甲、乙兩位學員各跳一次，設命題p是“甲降落在指定范圍”，q是“乙降落在指定范圍”，則命題“至少有一位學員沒有降落在指定范圍”可表示為()【解析】選A.對立事件是“都降落在指定位置”.3.(2013·湖北高考)在一次跳傘訓練中，甲、乙兩位學員各74．(2013·安徽高考)“(2x－1)x=0”是“x=0”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件【解析】選B.由(2x-1)x=0?x=0或所以應選B.4．(2013·安徽高考)“(2x－1)x=0”是“x=0”8熱點考向1集合的概念及運算【典例1】(1)(2013·內江模擬)設集合A={y|y=sinx,x∈R}，集合B={x|y=lgx}，則∩B=()A.(-∞,-1)∪(1,+∞)B.［-1,1］C.(1,+∞)D.［1,+∞)(2)(2013·安徽高考)已知A={x|x+1>0}，B={-2，-1，0，1}，則∩B=()A.{-2，-1}B.{-2}C.{-2，0，1}D.{0，1}熱點考向1集合的概念及運算9(3)已知A＝{0,1，a}，B＝{a2，b}，且A∩B＝{1}，A∪B＝{0,1,2,4}，則logab＝()A.-1B.0C.1D.2(3)已知A＝{0,1，a}，B＝{a2，b}，且A∩B＝{10【解題探究】(1)集合A，B的元素分別是什么？提示：A的元素是三角函數的值域y，B的元素是對數函數的自變量x.(2)集合A，B是用什么方法表示的集合？如何求A與B的交集？提示：集合A是用描述法表示的集合，B是用列舉法表示的集合，求與B的交集，可先求出集合中元素的范圍，然后觀察B中的元素是否在此范圍內即可.(3)由A∩B={1}針對集合B可得到什么表達式？提示：可由A∩B＝{1}，得出a2=1或b=1.【解題探究】11【解析】(1)選C.由集合A中的函數y=sinx,x∈R,得到y∈［-1,1］,所以A=［-1,1］,所以=(-∞,-1)∪(1,+∞).由集合B中的函數y=lgx,得到x＞0,所以B=(0,+∞),則∩B=(1,+∞).(2)選A.由x+1>0?x>－1，所以={x|x≤－1}，故得∩B={-2，-1}.【解析】(1)選C.由集合A中的函數y=sinx,x∈R,12(3)選B.因為A＝{0,1，a}，B＝{a2，b}，且A∩B＝{1}，所以B中必有一個元素為1.當a2=1，即a=±1時，若a=1,集合A中有兩個元素為1，這與集合元素的互異性相矛盾，所以a=1不成立；若a=-1，則A＝{0,1，-1}，B={1,b}，又因為A∪B＝{0,1,2,4}，并集中不含-1，故a=-1不成立.當b=1時，因為A∪B＝{0,1,2,4}，所以a=2，此時logab=log21=0.(3)選B.因為A＝{0,1，a}，B＝{a2，b}，且A∩13【方法總結】1.解答集合問題的思路先正確理解各個集合的含義，認清集合元素的屬性、代表的意義，再根據元素的不同屬性采用不同的方法對集合進行化簡求解.(1)若給定的集合是不等式的解集，用數軸求解；(2)若給定的集合是點集，用數形結合法求解；(3)若給定的集合是抽象集合或是用列舉法表示的集合，用Venn圖求解.【方法總結】142.幾個等價關系(1)(2)A∪B＝B?(3)(4)等.2.幾個等價關系15【變式訓練】(2013·北京模擬)設全集U={1，3，5，7}，集合M={1，a}，={5，7}，則實數a的值為()A.1B.3C.5D.7【解析】選B.因為={5，7}，所以M={1,3},所以a=3.【變式訓練】(2013·北京模擬)設全集U={1，3，5，716熱點考向2命題真假的判斷與否定

【典例2】(1)(2013·四川高考)設x∈Z，集合A是奇數集，集合B是偶數集.若命題p:?x∈A,2x∈B，則()A.﹁p:?x∈A,2x?B

B.﹁p:?x?A,2x?BC.﹁p:?x0?A,2x0∈BD.﹁p:?x0∈A,2x0?B(2)命題p：若x2＜2，則則p的否命題是______；命題“非p”是______.(3)p：a∈{a，b，c}，q：{a}{a，b，c}，則“p且q”為________(真，假)命題.熱點考向2命題真假的判斷與否定17【解題探究】(1)對全稱命題如何否定？提示：將全稱量詞改為存在量詞，且對命題的結論否定.(2)命題p的條件和結論分別是什么？“＜”的否定是什么？提示：命題p的條件是：x2＜2，結論是：“＜”的否定是“≥”.(3)p且q何時為真？何時為假？提示：當p，q兩個命題都真時，p且q為真；p，q兩個命題至少有一個為假時，p且q為假.【解題探究】18【解析】(1)選D.根據題意可知命題p:?x∈A,2x∈B的否定是?x0∈A,2x0?B，故選D.(2)因為命題的否命題是對其條件和結論的否定，所以該命題的否命題為：若x2≥2，則因為命題的否定是對結論的否定，所以該命題的否定為：若x2＜2，則答案：若x2≥2，則若x2＜2，則【解析】(1)選D.根據題意可知命題p:?x∈A,2x∈B的19(3)由元素與集合、集合與集合之間的關系可知：命題p：a∈{a，b，c}為真命題，命題q：{a}{a，b，c}為真命題，因此，p且q為真命題.答案：真(3)由元素與集合、集合與集合之間的關系可知：命題p：20【互動探究】若題(3)條件不變，則“p或q”為_____(真，假)命題；“p且q”為______(真，假)命題.【解析】由題意得：p為假，q為真，則“p或q”為真命題；“p且q”為假命題.答案：真假【互動探究】若題(3)條件不變，則“p或q”為_____21【方法總結】1.命題真假的判定方法(1)一般命題p的真假由涉及的相關知識辨別.(2)四種命題真假的判斷依據：一個命題和它的逆否命題同真假，而與它的其他兩個命題的真假無此規律.(3)形如p∨q，p∧q，p命題的真假根據真值表判定.【方法總結】22(4)全稱命題與特稱(存在性)命題真假的判定：①全稱命題：要判定一個全稱命題是真命題，必須對限定集合M中的每一個元素x驗證p(x)成立，要判定其為假命題時，只需舉出一個反例即可；②特稱(存在性)命題：要判定一個特稱(存在性)命題為真命題，只要在限定集合M中至少能找到一個元素x0，使得p(x0)成立即可；否則，這一特稱(存在性)命題就是假命題.(4)全稱命題與特稱(存在性)命題真假的判定：232.常見詞語及命題的否定詞語及命題是都是至少有一個至多有一個>?x∈A,使p(x)真否定不是不都是一個也沒有至少有兩個≤?x0∈A,使p(x0)假2.常見詞語及命題的否定詞語及是都是至少至多>?x∈A,使p24【變式備選】(2013·聊城模擬)若定義域為R的函數f(x)不是奇函數，則下列命題中一定為真命題的是()A.?x∈R,f(-x)≠-f(x)B.?x∈R,f(-x)＝f(x)C.?x0∈R,f(-x0)＝f(x0)D.?x0∈R,f(-x0)≠-f(x0)【解析】選D.因為函數f(x)不是奇函數，所以?x0∈R,f(-x0)≠-f(x0).【變式備選】(2013·聊城模擬)若定義域為R的函數f(x)25熱點考向3充要條件的判斷【典例3】(1)(2013·濟南模擬)設x∈R，則“x2-3x＞0”是“x＞4”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件(2)“?n∈N*，2an+1=an+an+2”是“數列{an}為等差數列”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件熱點考向3充要條件的判斷26(3)(2013·上海模擬)已知f(x)=x2-2x+3，g(x)=kx-1，則“|k|≤2”是“f(x)≥g(x)在R上恒成立”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件(3)(2013·上海模擬)已知f(x)=x2-2x+3，g27【解題探究】(1)判斷A是B的充要條件的求解思路：①由“x2-3x＞0”得出：___________；②由“x＞4”能否得出“x2-3x＞0”？提示：能.x＞3或x＜0【解題探究】x＞3或x＜028(2)解決本題需要關注的兩個問題：①由“?n∈N*，2an+1=an+an+2”能否得出“數列{an}為等差數列”?提示：能.②由“數列{an}為等差數列”能否得出“?n∈N*，2an+1=an+an+2”？提示：能.(2)解決本題需要關注的兩個問題：29(3)解決本題的關鍵點：①f(x)≥g(x)恒成立可轉化為哪個不等式恒成立？提示：可轉化為x2-2x+3≥kx-1在R上恒成立，再轉化為x2-(2+k)x+4≥0在R上恒成立.②一元二次不等式的恒成立問題主要根據什么解決？提示：主要根據根的判別式解決.(3)解決本題的關鍵點：30【解析】(1)選B.由x2-3x＞0得x＞3或x＜0.因為由x＞3或x＜0不能推出x＞4，而由x＞4能推出x＞3成立，即x＞3或x＜0成立,所以x2-3x＞0是x＞4的必要不充分條件.(2)選C.由?n∈N*，2an+1=an+an+2得，an+1－an=an+2－an+1，即任意相鄰的兩項之差相等，所以數列{an}為等差數列，當數列{an}是等差數列時，由等差中項定義可知2an+1=an+an+2.所以“?n∈N*，2an+1=an+an+2”是“數列{an}為等差數列”的充要條件.【解析】(1)選B.由x2-3x＞0得x＞3或x＜0.因31(3)選A.f(x)≥g(x)?x2-2x+3≥kx-1?x2-(2+k)x+4≥0，此式對任意實數x都成立?Δ=(2+k)2-16≤0?-4≤k+2≤4?-6≤k≤2，而“|k|≤2”是“-6≤k≤2”的充分不必要條件，故選A.(3)選A.f(x)≥g(x)?x2-2x+3≥kx-1?x32【方法總結】1.充分、必要條件的判斷方法先判斷p?q與q?p是否成立,然后再確定p是q的什么條件.2.判斷充分、必要條件時的關注點(1)要弄清先后順序:“A的充分不必要條件是B”是指B能推出A,且A不能推出B;而“A是B的充分不必要條件”則是指A能推出B,且B不能推出A.【方法總結】33(2)要善于舉出反例:如果從正面判斷或證明一個命題的正確或錯誤不易進行,可以嘗試通過舉出恰當的反例來說明.(3)要注意轉化:若p是q的必要不充分條件,則p是q的充分不必要條件;若p是q的充要條件,那么p是q的充要條件.(2)要善于舉出反例:如果從正面判斷或證明一個命題的正確或34【變式訓練】1.(2013·青島模擬)在△ABC中，“A＞B”是“tanA＞tanB”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【解析】選D.因為函數y=tanx在(0,π)上不是單調函數，所以“A＞B”是“tanA＞tanB”的既不充分也不必要條件，選D.【變式訓練】1.(2013·青島模擬)在△ABC中，“A＞B352.已知p：x≤1，q：x2-x＞0，則p是q成立的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【解析】選B.由x2-x＞0得，x＜0或x＞1，所以q：0≤x≤1，所以p是q成立的必要不充分條件.2.已知p：x≤1，q：x2-x＞0，則p是q成立的(36【典例】(1)已知命題p:?x∈［1，2］，x2-a≥0，命題q:?x0∈R，x02+2ax0+2-a=0，若“p且q”為真命題，則實數a的取值范圍是()A.-1≤a≤1B.a≤-2或1≤a≤2C.a≥1D.a=1或a≤-2(2)設命題p:函數f(x)=是R上的減函數；命題q:函數f(x)=x2-4x+3在［0,a］上的值域為［-1,3］，若“p且q”為假命題，“p或q”為真命題，則a的取值范圍是_________.利用命題的真假求參數的取值范圍【典例】(1)已知命題p:?x∈［1，2］，x2-a≥0，命37【解題探究】(1)“p且q”為真命題說明p，q的真假性如何？提示：“p且q”為真命題說明命題p,q都為真命題.(2)“p且q”為假命題，“p或q”為真命題說明什么？提示：“p且q”為假命題，“p或q”為真命題說明了p,q兩個命題一真一假.【解題探究】38【解析】(1)選D.因為命題p:?x∈［1，2］，x2-a≥0，所以1≤x2≤4，由a≤x2，所以a≤1.①因為命題q:?x0∈R，x02+2ax0+2-a=0，所以Δ=4a2-4(2-a)≥0，所以a≥1或a≤-2.②因為“p且q”為真命題，所以p與q都為真命題，所以由①②可得a=1或a≤-2.【解析】(1)選D.因為命題p:?x∈［1，2］，x2-a≥39(2)因為函數是R上的減函數，所以所以因為f(x)=(x-2)2-1在［0,a］上的值域為［-1,3］,則2≤a≤4.因為“p且q”為假，“p或q”為真，所以p，q為一真一假，若p真q假，得若p假q真，得綜上可知：a的取值范圍是答案：(2)因為函數是R上的減函數，40【方法總結】利用命題的真假求參數的取值范圍的三個關注點(1)對命題進行合理轉化,求出命題為真時參數的范圍.(2)根據真值表確定命題的真假,從而確定相應參數的范圍.(3)參數范圍的確定最終歸結到集合的交、并、補集運算,應注意區別.【方法總結】利用命題的真假求參數的取值范圍的三個關注點41【變式備選】(2013·黃山模擬)已知p：f(x)=，且|f(a)|＜2；q：集合A={x|x2+(a+2)x+1=0，x∈R}，且A≠?.若p∨q為真命題，p∧q為假命題，求實數a的取值范圍.【變式備選】(2013·黃山模擬)已知p：f(x)=42【解析】若|f(a)|=＜2成立，則-6＜1-a＜6，即當-5＜a＜7時p是真命題；若A≠?，則方程x2+(a+2)x+1=0有實數根，由Δ=(a+2)2-4≥0，解得a≤-4或a≥0，即當a≤-4或a≥0時q是真命題.由于p∨q為真命題，p∧q為假命題，所以p與q一真一假，故知所求a的取值范圍是a≤-5或-4＜a＜0或a≥7.【解析】若|f(a)|=＜2成立，則-6＜1-a43數形結合思想——解決集合間的關系、集合的運算問題【思想詮釋】1.主要類型：(1)集合間關系的判斷，如判斷兩個點集之間的關系、由不等式組成的集合之間的關系.(2)求集合的交集、并集、補集.(3)已知集合之間的關系，求參數值或參數的范圍，如集合A是集合B的子集、A∩B=A、A∪B=A.數形結合思想442.解題思路：常常利用數形結合思想，找出集合之間的所有部分、公共部分、剩余部分，元素之間的關系，從而得出結論或解決問題的方法.3.注意事項：(1)準確理解集合代表元素是數形結合的關鍵.(2)準確理解有關集合的概念，尋找圖中符合題意的部分.2.解題思路：常常利用數形結合思想，找出集合之間的所有部分、45【典例】設平面點集A={(x,y)|≥0}，B={(x,y)|(x-1)2+(y-1)2≤1}，則A∩B所表示的平面圖形的面積為()【典例】46【審題】分析信息，形成思路切入點：求A∩B所表示的平面圖形的面積,根據集合的代表元素得出兩個集合表示的圖形.關注點：集合A表示的是一條直線與一條雙曲線所構成的區域；B表示一個圓及其內部.【審題】分析信息，形成思路47【解題】規范步驟，水到渠成選D.A∩B所表示的平面圖形為圖中陰影部分①，由對稱性可知，S1=S2,S3=S4②.因此A∩B所表示的平面圖形的面積是圓面積的一半，即為【解題】規范步驟，水到渠成48【點題】規避誤區，易錯警示易錯點一題中①的陰影部分確定不準確導致結果不正確易錯點二未發現②處面積相等的情況,從而造成解題思路受阻,得不出結論【點題】規避誤區，易錯警示易錯點一題中①的陰影部分確定不準確49【變題】變式訓練，能力遷移1.設P={y|y=-x2+1,x∈R}，Q={y|y=2x,x∈R}，則()【解析】選C.P={y|y=-x2+1,x∈R}={y|y≤1}，Q={y|y=2x,x∈R}={y|y＞0}，所以={y|y＞1}，畫出數軸如圖.所以選C.【變題】變式訓練，能力遷移502.已知M，N為集合I的非空真子集，且M，N不相等，若N∩?，則M∪N＝()A.MB.NC.ID.?【解析】選A.由Venn圖可知NM，所以M∪N＝M.2.已知M，N為集合I的非空真子集，且M，N不相等，若N∩511.如圖，有四個半徑都為1的圓，其圓心分別為O1(0，0)，O2(2，0)，O3(0，2)，O4(2，2).記集合M＝{⊙Oi|i＝1，2，3，4}，若A，B為M的非空子集，且A中的任何一個圓與B中的任何一個圓均無公共點，則稱(A，B)為一個“有序集合對”(當A≠B時，(A，B)和(B，A)為不同的有序集合對)，那么M中“有序集合對”(A，B)的個數是()A.2B.4C.6D.81.如圖，有四個半徑都為1的圓，其52【解析】選B.注意到⊙O1與⊙O4無公共點，⊙O2與⊙O3無公共點，又當A≠B時，(A,B)和(B,A)為不同的有序集合對，則滿足題意的“有序集合對”(A，B)的個數是4.【解析】選B.注意到⊙O1與⊙O4無公共點，⊙O2與⊙O3無532.(2013·濟南模擬)設全集U=R，集合P={x|y=ln(1+x)}，Q={y|}，則圖中陰影部分表示的集合為()A.{x|-1＜x≤0，x∈R}B.{x|-1＜x＜0，x∈R}C.{x|x＜0，x∈R}D.{x|x＞-1，x∈R}【解析】選B.由1+x＞0得x＞-1，即P={x|x＞-1}；Q={y|y≥0}，因此結合題意得，題中陰影部分表示的是集合P∩={x|-1＜x＜0，x∈R}.2.(2013·濟南模擬)設全集U=R，集合543.如果不等式>(a－1)x的解集為A，且A?{x|0<x<2}，那么實數a的取值范圍是________.【解析】令y＝即(x－2)2＋y2＝22(y≥0)，這個式子表示平面上的半圓；令y＝(a－1)x，其表示平面上斜率為(a－1)且過坐標原點的直線系，>(a－1)x的解集為A的意義是半圓位于直線上方時對應的x值，又A{x|0<x<2}，如圖，數形結合可得只要直線位于y＝x及其上方均可，所以a－1≥1，即a≥2.答案：［2，＋∞)3.如果不等式>(a－1)x的解集為A，且A55集合、常用邏輯用語集合、常用邏輯用語56一、主干知識1.集合的基本運算：(1)A∪B=_________________.(2)A∩B=________________.(3)={x|x∈U,且x?A}.2.充分條件、必要條件與充要條件：(1)若p?q，則p是q的_________，q是p的_________.(2)若p?q，則p與q互為_________.充分條件必要條件充要條件{x|x∈A，或x∈B}{x|x∈A,且x∈B}一、主干知識充分條件必要條件充要條件{x|x∈A，或x∈B}573.p∨q，p∧q，命題的真假:(1)p∨q命題中___________________時，該命題為真.(2)p∧q命題中_________________時，該命題為真.(3)命題中__________時，該命題為真.4.含有一個量詞的命題的否定：(1)全稱命題的否定.?x∈M,p(x)的否定為_______________.(2)特稱(存在性)命題的否定.?x0∈M,p(x0)的否定為______________.至少有一個命題為真當且僅當p，q都真當命題p假?x0∈M,p(x0)?x∈M,p(x)3.p∨q，p∧q，命題的真假:至少有一個命題為真當且58二、必記公式1.集合的子集個數：若集合A的元素有n個，則A的子集個數是__，真子集個數是_____，非空真子集的個數是_____.2.兩個重要結論:(1)A∩B=A?_____.(2)A∪B=A?_____.2n2n－12n－2ABBA二、必記公式2n2n－12n－2ABBA591.(2013·四川高考)設集合A={1,2,3}，集合B={-2,2}，則A∩B=()A.?B.{2}C.{-2,2}D.{－2,1,2,3}【解析】選B.根據題意，集合A={1,2,3}，集合B={2,－2}，所以A∩B={2}.1.(2013·四川高考)設集合A={1,2,3}，集合B=602.(2013·山東高考)已知集合A,B均為全集U={1,2,3,4}的子集，且B={1,2},則A∩=()A.{3}B.{4}C.{3,4}D.?【解析】選A.由U={1,2,3,4}，(A∪B)={4},知A∪B={1,2,3}，又B={1,2}，所以A中一定有元素3，沒有元素4，所以A∩={3}.2.(2013·山東高考)已知集合A,B均為全集U={1,2613.(2013·湖北高考)在一次跳傘訓練中，甲、乙兩位學員各跳一次，設命題p是“甲降落在指定范圍”，q是“乙降落在指定范圍”，則命題“至少有一位學員沒有降落在指定范圍”可表示為()【解析】選A.對立事件是“都降落在指定位置”.3.(2013·湖北高考)在一次跳傘訓練中，甲、乙兩位學員各624．(2013·安徽高考)“(2x－1)x=0”是“x=0”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件【解析】選B.由(2x-1)x=0?x=0或所以應選B.4．(2013·安徽高考)“(2x－1)x=0”是“x=0”63熱點考向1集合的概念及運算【典例1】(1)(2013·內江模擬)設集合A={y|y=sinx,x∈R}，集合B={x|y=lgx}，則∩B=()A.(-∞,-1)∪(1,+∞)B.［-1,1］C.(1,+∞)D.［1,+∞)(2)(2013·安徽高考)已知A={x|x+1>0}，B={-2，-1，0，1}，則∩B=()A.{-2，-1}B.{-2}C.{-2，0，1}D.{0，1}熱點考向1集合的概念及運算64(3)已知A＝{0,1，a}，B＝{a2，b}，且A∩B＝{1}，A∪B＝{0,1,2,4}，則logab＝()A.-1B.0C.1D.2(3)已知A＝{0,1，a}，B＝{a2，b}，且A∩B＝{65【解題探究】(1)集合A，B的元素分別是什么？提示：A的元素是三角函數的值域y，B的元素是對數函數的自變量x.(2)集合A，B是用什么方法表示的集合？如何求A與B的交集？提示：集合A是用描述法表示的集合，B是用列舉法表示的集合，求與B的交集，可先求出集合中元素的范圍，然后觀察B中的元素是否在此范圍內即可.(3)由A∩B={1}針對集合B可得到什么表達式？提示：可由A∩B＝{1}，得出a2=1或b=1.【解題探究】66【解析】(1)選C.由集合A中的函數y=sinx,x∈R,得到y∈［-1,1］,所以A=［-1,1］,所以=(-∞,-1)∪(1,+∞).由集合B中的函數y=lgx,得到x＞0,所以B=(0,+∞),則∩B=(1,+∞).(2)選A.由x+1>0?x>－1，所以={x|x≤－1}，故得∩B={-2，-1}.【解析】(1)選C.由集合A中的函數y=sinx,x∈R,67(3)選B.因為A＝{0,1，a}，B＝{a2，b}，且A∩B＝{1}，所以B中必有一個元素為1.當a2=1，即a=±1時，若a=1,集合A中有兩個元素為1，這與集合元素的互異性相矛盾，所以a=1不成立；若a=-1，則A＝{0,1，-1}，B={1,b}，又因為A∪B＝{0,1,2,4}，并集中不含-1，故a=-1不成立.當b=1時，因為A∪B＝{0,1,2,4}，所以a=2，此時logab=log21=0.(3)選B.因為A＝{0,1，a}，B＝{a2，b}，且A∩68【方法總結】1.解答集合問題的思路先正確理解各個集合的含義，認清集合元素的屬性、代表的意義，再根據元素的不同屬性采用不同的方法對集合進行化簡求解.(1)若給定的集合是不等式的解集，用數軸求解；(2)若給定的集合是點集，用數形結合法求解；(3)若給定的集合是抽象集合或是用列舉法表示的集合，用Venn圖求解.【方法總結】692.幾個等價關系(1)(2)A∪B＝B?(3)(4)等.2.幾個等價關系70【變式訓練】(2013·北京模擬)設全集U={1，3，5，7}，集合M={1，a}，={5，7}，則實數a的值為()A.1B.3C.5D.7【解析】選B.因為={5，7}，所以M={1,3},所以a=3.【變式訓練】(2013·北京模擬)設全集U={1，3，5，771熱點考向2命題真假的判斷與否定

【典例2】(1)(2013·四川高考)設x∈Z，集合A是奇數集，集合B是偶數集.若命題p:?x∈A,2x∈B，則()A.﹁p:?x∈A,2x?B

B.﹁p:?x?A,2x?BC.﹁p:?x0?A,2x0∈BD.﹁p:?x0∈A,2x0?B(2)命題p：若x2＜2，則則p的否命題是______；命題“非p”是______.(3)p：a∈{a，b，c}，q：{a}{a，b，c}，則“p且q”為________(真，假)命題.熱點考向2命題真假的判斷與否定72【解題探究】(1)對全稱命題如何否定？提示：將全稱量詞改為存在量詞，且對命題的結論否定.(2)命題p的條件和結論分別是什么？“＜”的否定是什么？提示：命題p的條件是：x2＜2，結論是：“＜”的否定是“≥”.(3)p且q何時為真？何時為假？提示：當p，q兩個命題都真時，p且q為真；p，q兩個命題至少有一個為假時，p且q為假.【解題探究】73【解析】(1)選D.根據題意可知命題p:?x∈A,2x∈B的否定是?x0∈A,2x0?B，故選D.(2)因為命題的否命題是對其條件和結論的否定，所以該命題的否命題為：若x2≥2，則因為命題的否定是對結論的否定，所以該命題的否定為：若x2＜2，則答案：若x2≥2，則若x2＜2，則【解析】(1)選D.根據題意可知命題p:?x∈A,2x∈B的74(3)由元素與集合、集合與集合之間的關系可知：命題p：a∈{a，b，c}為真命題，命題q：{a}{a，b，c}為真命題，因此，p且q為真命題.答案：真(3)由元素與集合、集合與集合之間的關系可知：命題p：75【互動探究】若題(3)條件不變，則“p或q”為_____(真，假)命題；“p且q”為______(真，假)命題.【解析】由題意得：p為假，q為真，則“p或q”為真命題；“p且q”為假命題.答案：真假【互動探究】若題(3)條件不變，則“p或q”為_____76【方法總結】1.命題真假的判定方法(1)一般命題p的真假由涉及的相關知識辨別.(2)四種命題真假的判斷依據：一個命題和它的逆否命題同真假，而與它的其他兩個命題的真假無此規律.(3)形如p∨q，p∧q，p命題的真假根據真值表判定.【方法總結】77(4)全稱命題與特稱(存在性)命題真假的判定：①全稱命題：要判定一個全稱命題是真命題，必須對限定集合M中的每一個元素x驗證p(x)成立，要判定其為假命題時，只需舉出一個反例即可；②特稱(存在性)命題：要判定一個特稱(存在性)命題為真命題，只要在限定集合M中至少能找到一個元素x0，使得p(x0)成立即可；否則，這一特稱(存在性)命題就是假命題.(4)全稱命題與特稱(存在性)命題真假的判定：782.常見詞語及命題的否定詞語及命題是都是至少有一個至多有一個>?x∈A,使p(x)真否定不是不都是一個也沒有至少有兩個≤?x0∈A,使p(x0)假2.常見詞語及命題的否定詞語及是都是至少至多>?x∈A,使p79【變式備選】(2013·聊城模擬)若定義域為R的函數f(x)不是奇函數，則下列命題中一定為真命題的是()A.?x∈R,f(-x)≠-f(x)B.?x∈R,f(-x)＝f(x)C.?x0∈R,f(-x0)＝f(x0)D.?x0∈R,f(-x0)≠-f(x0)【解析】選D.因為函數f(x)不是奇函數，所以?x0∈R,f(-x0)≠-f(x0).【變式備選】(2013·聊城模擬)若定義域為R的函數f(x)80熱點考向3充要條件的判斷【典例3】(1)(2013·濟南模擬)設x∈R，則“x2-3x＞0”是“x＞4”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件(2)“?n∈N*，2an+1=an+an+2”是“數列{an}為等差數列”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件熱點考向3充要條件的判斷81(3)(2013·上海模擬)已知f(x)=x2-2x+3，g(x)=kx-1，則“|k|≤2”是“f(x)≥g(x)在R上恒成立”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件(3)(2013·上海模擬)已知f(x)=x2-2x+3，g82【解題探究】(1)判斷A是B的充要條件的求解思路：①由“x2-3x＞0”得出：___________；②由“x＞4”能否得出“x2-3x＞0”？提示：能.x＞3或x＜0【解題探究】x＞3或x＜083(2)解決本題需要關注的兩個問題：①由“?n∈N*，2an+1=an+an+2”能否得出“數列{an}為等差數列”?提示：能.②由“數列{an}為等差數列”能否得出“?n∈N*，2an+1=an+an+2”？提示：能.(2)解決本題需要關注的兩個問題：84(3)解決本題的關鍵點：①f(x)≥g(x)恒成立可轉化為哪個不等式恒成立？提示：可轉化為x2-2x+3≥kx-1在R上恒成立，再轉化為x2-(2+k)x+4≥0在R上恒成立.②一元二次不等式的恒成立問題主要根據什么解決？提示：主要根據根的判別式解決.(3)解決本題的關鍵點：85【解析】(1)選B.由x2-3x＞0得x＞3或x＜0.因為由x＞3或x＜0不能推出x＞4，而由x＞4能推出x＞3成立，即x＞3或x＜0成立,所以x2-3x＞0是x＞4的必要不充分條件.(2)選C.由?n∈N*，2an+1=an+an+2得，an+1－an=an+2－an+1，即任意相鄰的兩項之差相等，所以數列{an}為等差數列，當數列{an}是等差數列時，由等差中項定義可知2an+1=an+an+2.所以“?n∈N*，2an+1=an+an+2”是“數列{an}為等差數列”的充要條件.【解析】(1)選B.由x2-3x＞0得x＞3或x＜0.因86(3)選A.f(x)≥g(x)?x2-2x+3≥kx-1?x2-(2+k)x+4≥0，此式對任意實數x都成立?Δ=(2+k)2-16≤0?-4≤k+2≤4?-6≤k≤2，而“|k|≤2”是“-6≤k≤2”的充分不必要條件，故選A.(3)選A.f(x)≥g(x)?x2-2x+3≥kx-1?x87【方法總結】1.充分、必要條件的判斷方法先判斷p?q與q?p是否成立,然后再確定p是q的什么條件.2.判斷充分、必要條件時的關注點(1)要弄清先后順序:“A的充分不必要條件是B”是指B能推出A,且A不能推出B;而“A是B的充分不必要條件”則是指A能推出B,且B不能推出A.【方法總結】88(2)要善于舉出反例:如果從正面判斷或證明一個命題的正確或錯誤不易進行,可以嘗試通過舉出恰當的反例來說明.(3)要注意轉化:若p是q的必要不充分條件,則p是q的充分不必要條件;若p是q的充要條件,那么p是q的充要條件.(2)要善于舉出反例:如果從正面判斷或證明一個命題的正確或89【變式訓練】1.(2013·青島模擬)在△ABC中，“A＞B”是“tanA＞tanB”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【解析】選D.因為函數y=tanx在(0,π)上不是單調函數，所以“A＞B”是“tanA＞tanB”的既不充分也不必要條件，選D.【變式訓練】1.(2013·青島模擬)在△ABC中，“A＞B902.已知p：x≤1，q：x2-x＞0，則p是q成立的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【解析】選B.由x2-x＞0得，x＜0或x＞1，所以q：0≤x≤1，所以p是q成立的必要不充分條件.2.已知p：x≤1，q：x2-x＞0，則p是q成立的(91【典例】(1)已知命題p:?x∈［1，2］，x2-a≥0，命題q:?x0∈R，x02+2ax0+2-a=0，若“p且q”為真命題，則實數a的取值范圍是()A.-1≤a≤1B.a≤-2或1≤a≤2C.a≥1D.a=1或a≤-2(2)設命題p:函數f(x)=是R上的減函數；命題q:函數f(x)=x2-4x+3在［0,a］上的值域為［-1,3］，若“p且q”為假命題，“p或q”為真命題，則a的取值范圍是_________.利用命題的真假求參數的取值范圍【典例】(1)已知命題p:?x∈［1，2］，x2-a≥0，命92【解題探究】(1)“p且q”為真命題說明p，q的真假性如何？提示：“p且q”為真命題說明命題p,q都為真命題.(2)“p且q”為假命題，“p或q”為真命題說明什么？提示：“p且q”為假命題，“p或q”為真命題說明了p,q兩個命題一真一假.【解題探究】93【解析】(1)選D.因為命題p:?x∈［1，2］，x2-a≥0，所以1≤x2≤4，由a≤x2，所以a≤1.①因為命題q:?x0∈R，x02+2ax0+2-a=0，所以Δ=4a2-4(2-a)≥0，所以a≥1或a≤-2.②因為“p且q”為真命題，所以p與q都為真命題，所以由①②可得a=1或a≤-2.【解析】(1)選D.因為命題p:?x∈［1，2］，x2-a≥94(2)因為函數是R上的減函數，所以所以因為f(x)=(x-2)2-1在［0,a］上的值域為［-1,3］,則2≤a≤4.因為“p且q”為假，“p或q”為真，所以p，q為一真一假，若p真q假，得若p假q真，得綜上可知：a的取值范圍是答案：(2)因為函數是R上的減函數，95【方法總結】利用命題的真假求參數的取值范圍的三個關注點(1)對命題進行合理轉化,求出命題為真時參數的范圍.(2)根據真值表確定命題的真假,從而確定相應參數的范圍.(3)參數范圍的確定最終歸結到集合的交、并、補集運算,應注意區別.【方法總結】利用命題的真假求參數的取值范圍的三個關注點96【變式備選】(2013·黃山模擬)已知p：f(x)=，且|f(a)|＜2；q：集合A={x|x2+(a+2)x+1=0，x∈R}，且A≠?.若p∨q為真命題，p∧q為假命題，求實數a的取值范圍.【變式備選】(2013·黃山模擬)已知p：f(x)=97【解析】若|f(a)|=＜2成立，則-6＜1-a＜6，即當-5＜a＜7時p是真命題；若A≠?，則方程x2+(a+2)x+1=0有實數根，由Δ=(a+2)2-4≥0，解得a≤-4或a≥0，即當a≤-4或a≥0時q是真命題.由于p∨q為真命題，p∧q為假命題，所以p與q一真一假，故知所求a的取值范圍是a≤-5