常微分方程 §3.3 解過初值的連續性和可微性課件_第1頁
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§3.3解對初值的連續性和可微性定理11/17/2022常微分方程考察的解對初值的一些基本性質解對初值的連續性解對初值和參數的連續性解對初值的可微性內容:11/17/2022常微分方程yxG圖例分析(見右)解可看成是關于的三元函數滿足

解對初值的對稱性:前提解存在唯一例:初值問題的解不單依賴于自變量,同時也依賴于初值.初值變動,相應的初值問題的解也將隨之變動.…………

Q:當初值發生變化時,對應的解是如何變化的?

當初始值微小變動時,方程的解變化是否也是很小呢？11/17/2022常微分方程按解的存在范圍是否有限,又分成下面兩個問題:Q1:解在某有限閉區間[a,b]上有定義,討論初值的微小變化對解的影響情況,稱為解對初值的連續性.內容包括:當初值發生小的變化時,所得到的解是否仍在[a,b]上有定義以及解在整個區間[a,b]上是否也變化很小?Q2:解在某個無限閉區間上有定義,討論初值的微小變化是否仍有解在上有定義,且解在整個區間上變化也很小?這種問題稱為解的穩定性問題,將在第六章中討論.11/17/2022常微分方程初值問題11/17/2022常微分方程引理

如果函數于某域G內連續，且關于y滿足利普希茨條件（利普希茨常數為L），則對方程的任意兩個解及,在它們的公共存在區間內成立著不等式.其中為所考慮區間內的某一值。證明則11/17/2022常微分方程2定理1(解對初值的連續依賴性定理)條件:

I.

在G內連續且關于滿足局部Lips.條件;II.是(1)滿足的解,定義區間為[a,b].結論:

對

,

使得當時,方程(1)過點的解在[a,b]上也有定義,且方程11/17/2022常微分方程0思路分析：11/17/2022常微分方程011/17/2022常微分方程0第二步:證明在[a,b]上有定義.假定利用引理2及的連續性可得:11/17/2022常微分方程根據上面定理及方程的解關于自變量的連續性,顯然有:3定理2(解對初值的連續性定理)條件:

在G內連續且關于滿足局部Lips.條件;方程結論:在它的存在范圍內是連續的.,作為的函數11/17/2022常微分方程證明令11/17/2022常微分方程二解對初值的可微性11/17/2022常微分方程1解對初值和參數的連續依賴定理11/17/2022常微分方程2解對初值和參數的連續性定理3解對初值可微性定理11/17/2022常微分方程證明因此,解對初值的連續性定理成立,即11/17/2022常微分方程設11/17/2022常微分方程即是初值問題的解,根據解對初值和參數的連續性定理則11/17/2022常微分方程的解,不難求得11/17/2022常微分方程即和于是11/17/2022常微分方程即是初值問題的解,根據解對初值和參數的連續性定理11/17/2022常微分方程的解,不難求得11/17/2022常微分方程初值問題11/17/2

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