PAGE8-用心愛心專心利用幾何畫板探索軌跡的教學研究性學習一得研究性學習是指學生在教師的指導下，從學生生活和社會經驗中，選擇和確定研究專題，仿照科學研究的方法和過程，主動地獲取知識，并應用知識來解決問題的學習活動。研究性學習圍繞一個主題或問題，以小組學習為主要形式，學生自主進行的探索性、實踐性、開放性課程。研究性學習是以問題的解決為主要形式的學習活動，問題是它的重要載體，整個學習活動以問題的自然形成序列。研究性學習更強調實踐，注重體驗，關注結果。其特點是內容強調開放性、學習強調主體性、注重學生之間合作學習、講求體驗式、活動化。下面通過對一個數學問題的探索，談談我的一點體會。教師：求曲線的方程、通過方程研究曲線的性質是解析幾何的兩大主要問題。今天與同學們討論一個問題：怎樣探索點的軌跡。問題是數學的心臟，思維從問題開始。我們先看一個具體的例子：如圖1，過橢圓()的左焦點F1作弦AB。現在來研究焦點弦AB有關的問題。軌跡1過原點O作弦AB的垂線，垂足為M，求點M的軌跡方程。圖1圖2幾何畫板演示：拖動主動點A在橢圓上轉動或制作點A在橢圓上運動的動畫按鈕，跟蹤點M，得到點M的軌跡是一個小圓。如圖2“怎樣求出這個小圓的方程？〞學生：按一般思路，假設弦AB所在直線的斜率為k，那么AB的垂線的斜率為，列出這兩條直線的方程，聯立這兩個方程解出交點(即垂足)M的坐標，最后消去參數k就得到點M的軌跡方程。哇！好復雜。學生們埋頭進行著復雜的運算。其中一個學生望著投影大屏幕，既不動手，也不說話。教師：“你為什么不動手做？〞學生：“我在想……這個軌跡是一個圓，而且是以OF1為直徑的圓，是不是有什么簡單的方法做出來。噢，我知道了。一般的解題思路很容易想出來，但運算也很復雜。我有一個很好也很簡單的方法：因為OM⊥AB，所以|OM|2+|F1M|2=|OF1|2，假設設點M的坐標為(x，y)，點F1的坐標為(c，0)，那么x2+y2+(x－c)2+y2=c2，即。這就是所求的軌跡方程。〞“啊！這么簡單？〞同學們都驚訝起來。馬上又有一個學生說：“大家都被橢圓這個外表給迷惑住了。其實這個問題只與原點和點F1的坐標有關，而與橢圓的弦無任何聯系。就是‘給定兩點O與F1，過這兩點作兩條互相垂直的直線，求交點的軌跡方程。’這當然很容易解得。〞教師：“很好。剛剛同學們討論得很不錯。在探求點的軌跡時，一定要注意設法找出動點所滿足的幾何條件，尋找動點與不動點之間的幾何關系。平面幾何的有關結論對求點的軌跡很有用處。下面我們將問題改變一下：軌跡2如圖3，求弦AB中點P的軌跡方程。〞“猜猜看，點P的軌跡是什么？〞不少學生已經利用幾何畫板演示了出來：幾何畫板演示：拖動主動點A，得到點P的軌跡是一個小橢圓，并且這個小橢圓的長軸是線段OF1即半焦距。如圖4。“真是橢圓。〞學生的興趣被調動起來。“怎樣求這個小橢圓的方程？〞教師在下面觀察學生的解法，卻發現不少學生圖3對這類問題無從下手。教師：“根據求軌跡方程的一般步驟，求哪一點的軌跡方程，就應該假設該點的坐標為(x，y)，因此先設P點坐標為(x，y)。要建立點P的坐標(x，y)滿足的方程，觀察圖形，這里有四個點A(x1，y1)、B(x2，y2)、P、F1，其中點F1是定點，A、B、P都是動點，但點A是主動點，引起點P運動的原因是由于點A在橢圓上運動。因此要找到點P與A、B、F這三個點的坐標之間的關系。這是解決問題的關鍵。〞“點P與A、B兩點的坐標的關系怎樣？〞學生：“根據中點坐標公式得到，。〞“如何將A、B、P、F1這四點的坐標聯系起來？〞“利用直線的斜率。〞“直線AB的斜率怎樣表示？〞“有，還有。〞“如何得到？〞“……〞“A、B兩點在哪？滿足什么方程？〞圖4“在橢圓上。滿足，。〞“知道怎樣求了嗎？〞學生很快得到以下解法(經過整理)：設A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x，y)，，那么，，因為點A、B都在橢圓上，那么，，兩式相減得，于是有，化簡得，此即為所求的軌跡方程。教師：“以上解法是很典型的。這里設點A、B的坐標，但并不需要求出，只是利用A、B的坐標進行過渡。這是解析幾何中常用的一種求軌跡方法——設而不求。尋找動點之間的關系是求軌跡問題的關鍵。還有其它解法沒有？〞一學生：“因為直線AB經過點F1，可以設直線AB的方程為y=k(x+c)，與橢圓方程聯立解方程組得出A、B兩點的坐標……〞另一學生：“不必解出A、B的坐標，將直線AB的方程為y=k(x+c)代入橢圓方程得到的一元二次方程的兩根就是點A、B的橫坐標x1，x2，正好可以利用韋達定理得到，，將點A、B的橫坐標都表示為直線AB的斜率k的函數，消去參數k就行了。〞教師：“很好。請同學們將解法寫出來。〞以下是學生的另一種解法(經整理)：解法二：假設直線AB的斜率為k，那么直線AB的方程為y=k(x+c)，代入橢圓方程得設A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x，y)，那么，①=，②由①②得，代入y=k(x+c)得，整理得，即為所求的方程。學生：“我改變原橢圓的長軸或短軸的長，所求軌跡的形狀也隨著改變了，但這兩個橢圓的形狀仍然十分‘相似’，也不知有沒有必然的聯系？〞學生：“與的比例正好等于，哇！我發現這兩個橢圓的離心率是一樣的！因此它們的形狀相同。〞教師：“很好。看來大家已經掌握了求軌跡的關鍵——尋找被動點與主動點之間的關系。剛剛所探索的都是弦AB上特殊點的軌跡。同學們能否利用幾何畫板探索其它點的軌跡？請大家根據這個橢圓及弦AB，自行發現問題，提出問題和解決問題。〞學生們立即投入到探索中。一位學生：軌跡3“在弦AB上任意取一點Q，跟蹤點Q，動畫……哇！怎么點Q的軌跡是這樣的？〞不少學生也發現了同樣的問題。教師將這位學生計算機上的畫面切換到大屏幕，幾何畫板演示：在弦AB上任取一點Q，跟蹤點Q，拖動主動點A，取到如下幾何圖形(如圖5～7所示)：圖5圖6圖7“呀！這是什么圖形？〞“怎么會有這樣的圖形？〞“自學習解析幾何以來還從沒見過這樣的圖形。〞“該給這個軌跡起個什么名字呢？〞學生們發出驚嘆。拖動點Q，發現點Q的軌跡也發生變化。當點Q接近中點P時，點Q的軌跡圖形接近于中點P的軌跡——小橢圓(如圖6)，而當點Q接近于點A或B時，軌跡圖形就接近于大橢圓(如圖7)。軌跡4“老師，我發現，如果將弦AB的兩端A、B分別與橢圓長軸兩個端點A1、A2連起來，那么這兩條直線A2A與A1B的交點C好象在橢圓的準線上。〞另一個學生叫起來。“老師，點Q的軌跡不是我們所熟悉的圓、橢圓、雙曲線或拋物線，其軌跡方程一定很復雜。點C的軌跡這么簡單，那么應該可以求出其方程吧。〞教師：“試試看吧。〞采取常規方法“交軌法〞求解：設直線AA2、BA1的方程分別為y=k1(x－a)，y=k2(x+a)，將AA2的方程代入橢圓方程整理得,此方程的兩根是A、A2的橫坐標x1與a，故可求得A(x1，y1)點坐標為,圖8同理可求得B(x2，y2)點坐標為。由A、F1、B三點共線可得，即，將A、B兩點坐標代入并整理得a2(a+c)k12k2+a2(c-a)k1k22+b2(a+c)k1+b2(c-a)k2=0，將，代入上式得，分解因式得，因為直線AA2、BA1的交點在橢圓外，所以，故，即。即為直線AA2、BA1的交點的軌跡方程，而這就是橢圓的準線方程。“同樣的道理，直線A2B與A1A的交點D也在準線上。〞“老師，不管C、D兩點在左準線上怎樣運動，∠CF1D是一個定值。如圖9所示。〞又一個學生發現了一個結論。同學們利用上個問題的解決方法，很快證明了出來。教師：“很快樂看到你們能探索出這么多圖9結論出來。利用幾何畫板，你們還能探索出什么結論嗎？如果是圓、橢圓等常見軌跡，請同學們課后盡量給出證明。〞軌跡5“老師，如圖10作ΔOAB的重心G，其軌跡也是一個橢圓。〞一位學生說。(以下是學生課后提供的解答過程：設A(x1，y1)，B(x2，y2)，G(x，y)，AB中點為M(x0，y0)，那么，，，，，，由，，得，此即為直線AB的斜率k，圖10又，∴，整理得.故ΔOAB重心G的軌跡方程為：。)下面是學生們得到的幾條奇形怪狀的曲線：軌跡6“ΔOAB的內心的軌跡是一條‘雞蛋形’曲線(如圖11所示)。〞軌跡7“ΔOAB的垂心的軌跡是一條‘’形狀的曲線(如圖12所示)。〞圖11圖12軌跡8“ΔOAB的外心的軌跡是一條‘反’形狀的曲線(如圖13所示)。〞軌跡9“ΔOAB中，過點A作OB的垂線，垂足的軌跡是‘兩葉花卉形’(如圖14所示)。〞圖13圖14軌跡10“老師，如圖15作ΔABF2的重心G，其軌跡也是一個橢圓。〞(以下是學生課后的解答：設A(x1，y1)，B(x2，y2)，G(x，y)，那么由F2(c，0)與G(x，y)可得AB中點M的坐標為，因為，所以，整理得，即。此即為ΔABF2的重心G的軌跡方程。)圖15又是幾條奇妙的曲線：軌跡11“ΔABF2的內心的軌跡是與橢圓相似的一條曲線(如圖16所示)。〞軌跡12“ΔABF2的垂心的軌跡是一條形狀的曲線(如圖17所示)。〞軌跡13“ΔABF2的外心的軌跡是一條‘反’形狀的曲線(如圖18所示)。〞軌跡14“ΔABF2中，過點A作BF2的垂線，垂足的軌跡是兩葉花卉形(如圖19所示)。〞圖16圖17圖18圖19軌跡15—18“延長AF2交橢圓于另一點C，聯BF2，ΔABC的重心、內心、垂心、外心的軌跡都是一不知名的曲線(如圖20～23所示)。〞圖20圖21圖22圖23“老師，橢圓與雙曲線、拋物線都是圓錐曲線，它們有很多相似的性質。以上問題在雙曲線與拋物線中是不是也具有相似的結論？〞“問得好。同學們探討一下這位同學提出的問題。〞以下是學生經過探索得出下面的結論(限于篇幅，本文略去解題過程)：軌跡19如圖24，過雙曲線的右焦點F2作弦AB，那么弦AB的中點M的軌圖24跡是以OF2為實軸即實半軸長為的雙曲線，其方程為，其解答過程與橢圓相似，這里略去。并且此雙曲線與原雙曲線的離心率相同。假設在弦AB上任取一點P，那么點P的軌跡圖形如圖25～26，并且當點P圖25接近中點M時，P點軌跡接近中點M的軌跡——雙曲線；當點P接近點A或B時，P點軌跡接近原雙曲線。軌跡20如圖27，ΔOAB的重心G的軌跡是一雙曲線，其方程為。軌跡21如圖28，ΔABF1的重心的軌跡是一雙曲線，其方程為圖26圖27圖28軌跡21如圖28，ΔABF1的重心的軌跡是一雙曲線，其方程為。軌跡22如圖29，過拋物線的焦點F作弦AB，那么弦AB的中點M的軌跡是以F為頂點的拋物線，其方程為.圖29圖30圖31如圖30～31，假設在弦AB上任取一點P，那么點P的軌跡并且當點P接近中點M時，P點軌跡接近中點M的軌跡——拋物線，當點P接近點A或B時，P點軌跡接近原拋物線軌跡23如圖32，ΔOAB的重心G的軌跡是一條拋物線，其方程為。軌跡24如圖33，K是拋物線的準線與x軸的交點，ΔKAB的重心的軌跡是一條拋物圖32圖33圖34線，其方程為。如圖34，通過探索還可得到拋物線有關的一些性質：如①以AB為直徑的圓與準線相切；②連接OA、OB兩條直線，分別交拋物線的準線于M、N兩點，那么∠MFN=,并且AM、BN都垂直于準線。教師：“今天的問題同學們研究得很好。幾何畫板可以稱這數學實驗室。通過這個實驗室，同學們可以學會怎樣去探索、發現問題和解決問題。象上面的軌跡問題，找到了主動點與被動點之間的關系，問題就不難解。下面的這個問題，同學們課后去加以研究，下周將你們研究的結果展示出來：問題如圖35所示，過橢圓的左頂點A1作兩條互相垂直的弦A1A、A1B。對于弦AB提出一些問題并加以解決。例如：弦AB是否經過一個定點；弦AB上中點的軌跡問題；過A1或O點作弦AB的垂線，垂足的軌跡問題；ΔA1AB的重心、外心、內心、垂心等的軌跡問題；ΔA2AB的重心、外心、內心、垂心等的軌跡問題……更一般的問題：如果在橢圓上取其它點M，過點M作兩條互相垂直的弦MA、MB。對弦AB提出一些問題并加以解決。同樣，對雙曲線、拋物線也提出類似的問題。有關結果在