直角三角形知識點回顧直角三角形知識點回顧直角三角形知識點回顧直角三角形知識點回顧編制僅供參考審核批準生效日期地址：電話：傳真:郵編:知識點回顧知識點一：直角三角形的概念與性質1．有一個角是的三角形叫做直角三角形；2．直角三角形的兩個銳角；3．直角三角形斜邊上的中線等于的一半.例1．（2009湖北省荊門市）如圖1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°，將其折疊，使點A落在邊CB上A′處，折痕為CD，則∠A′DB=（）（圖1）A、40°B、30°C、20°D（圖1）解：∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°，∴∠B=90°－50°=40°由折疊得∠DA′C=∠A=50°，∵∠DA′C=∠B+∠A′DB∴∠A′DB=50°－40°=10°，選D.例2．若直角三角形斜邊上的高和中線分別為10cm、12cm，則它的面積是cm2.解：∵直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，∴直角三角形斜邊的長為2×12=24cm.∴直角三角形的面積是×24×10=120cm2.同步檢測一：1．（2009年湖南省郴州市）如圖2，桌面上平放著一塊三角板和一把直尺，小明將三角板的直角頂點緊靠直尺的邊緣，他發現無論是將三角板繞直角頂點旋轉，還是將三角板沿直尺平移，∠1與∠2的和總是保持不變，那么∠1與∠2的和是_______度．（圖3）（圖2）2．如圖3，Rt△ABC中，∠B=90°，BD⊥AC于D，點E為AC的中點，若BC=7，AB=24，則BE=（圖3）（圖2）知識點二：勾股定理直角三角形的平方和等于的平方．例3．（2009年四川省宜賓市）已知：如圖4，以Rt△ABC的三邊為斜邊分別向外作等腰直角三角形．若斜邊AB＝3，則圖中陰影部分的面積和為．（圖4）解：過點E作ED⊥AB于點D，可證得ED=AB（圖4）∴=AB2，同理=AC2，=BC2，從而圖中陰影部分的面積和為（AB2+AC2+BC2）=（AB2+AB2）=.例4．（2009年湖南省衡陽市）如圖5，矩形紙片ABCD中，AB=4，AD=3，折疊紙片使AD邊與對角線BD重合，折痕為DG，則AG的長為（）（圖5） A、1 B、C、 D、2（圖5）解：Rt△DAB中，BD=，設AG=x，則BG=4－x由折疊得A′D=AD=3，A′G=AG=x，∠DA′G=∠A=90°，∴A′B=BD－A′D=5－3=2，∠GA′B=90°，從而Rt△GA′B中，x2+22=（4－x）2.解得x=，選C.同步檢測二：3．如果直角三角形的兩條邊長分別是3和4，那么該直角三角形斜邊上的中線等于.（圖6）4．（2009年四川省達州市）如圖（圖6）其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的邊長分別是3、5、2、3，則最大正方形E的面積是（）A、13B、26C、47D、94★5．（2009年黑龍江省哈爾濱市）若正方形ABCD的邊長為4，E為BC邊上一點，BE＝3，M為線段AE上一點，射線BM交正方形的一邊于點F，且BF＝AE，求BM的長.知識點三：直角三角形的判定方法1．根據定義：有一個角是的三角形叫做直角三角形；2．勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長a、b、c有關系：，那么這個三角形是直角三角形，且∠C=90°.（圖7）例5．（2009年湖南省衡陽市）如圖7，A、B、（圖7）村莊，AB＝1000米，BC＝600米，AC＝新農村建設中，為了豐富群眾生活，擬建一個文化活動中心，要求這三個村莊到活動中心的距離相等，則活動中心P的位置應在（）A、AB中點 B、BC中點C、AC中點 D、∠C的平分線與AB的交點解：顯然到A、B、C三個村莊距離相等的點P應該是AB、BC、AC三邊垂直平分線的交點.又∵BC2+AC2=6002+8002=1000000；AB2=10002=1000000∴BC2+AC2=AB2，∴∠ACB=90°,由于直角三角形三邊垂直平分線的交點在斜邊的中點處，從而活動中心P的位置應在AB的中點處，選A.例6．如圖8，點P是等邊△ABC內的一點，分別連接PA、PB、PC，以BP為邊作∠PBQ=60°，且BQ=BP，連接CQ.（1）觀察并猜想AP與CQ之間的大小關系，并證明你的結論；（2）若PA∶PB∶PC=3∶4∶5，連接PQ，試判斷△PQC的形狀，并說明理由.（圖8）（1）答：AP（圖8）證：∵△ABC為等邊三角形∴AB=BC，∠ABC=60°∵∠PBQ=60°∴∠ABC=∠PBQ∴∠ABP=∠CBQ在△ABP與△CBQ中，∴△ABP≌△CBQ（SAS）∴AP=CQ（2）答：△PQC為直角三角形.理由是：設PA=3k，則PB=4k，PC=5k（k>0），CQ=AP=3k∵BQ=BP，∠PBQ=60°∴△PBQ為等邊三角形（有一個角為60°的等腰三角形是等邊三角形）∴PQ=PB=4k又CQ2=9k2，PQ2=16k2，PC2=25k2，∴CQ2+PQ2=PC2∴△PQC為直角三角形，且∠PQC=90°.同步檢測三：6、（2009年黑龍江省牡丹江市）如圖9，△ABC中，CD⊥AB于D，下列條件中：①∠1=∠A；②；③∠B+∠2=90°；④BC∶AC∶AB=3∶4∶5；⑤AC×BD=AC×CD，一定能確定△ABC為直角三角形的條件的個數是（）A、1 B、2 C、3 D、47、（2009年甘肅省定西市）如圖10，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°，D為AB邊上一點，求證：（1）△ACE≌△BCD；（2）AD2+DB2=DE2.（圖（圖10）（圖9）（圖11）隨堂檢測：1．（2009年湖南省長沙市）如圖11，等腰△ABC中，AB=AC，AD是底邊上的高，若AB=5cm，BC=6cm，則AD=cm．（圖13）2．(2009年上海市)如圖12，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，M為邊BC上的點，聯結AM．如果將△ABM沿直線AM翻折后，點B恰好落在邊AC的中點處，那么點M到AC的距離是（圖13）（圖12（圖12）S1S2（圖14）3．（2009年貴州省安順市）如圖13，圖甲是我國古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，它是由四個全等的直角三角形圍成的.在Rt△ABC中，若直角邊AC＝6，BC＝6，將四個直角三角形中邊長為6的直角邊分別向外延長一倍，得到圖乙所示的“數學風車”，則這個風車的外圍周長（圖乙中的實線）是______.4．（2009年浙江省湖州市）如圖14，已知在Rt△ABC中，∠ACB=Rt∠，AB=4，分別以AC、BC為直徑作半圓，面積分別記為S1、S2，則S1+S2的值等于.5．（2009年湖北省恩施自治州）如圖15，長方體的長為15，寬為10，高為20，點B離點C的距離為5，一只螞蟻如果要沿著長方體的表面從點A爬到點B，需要爬行的最短距離是（）A、5B、25C、10+5D、35（圖15（圖15）（圖16）6．（2009年浙江省麗江市）如圖16，已知△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，三角形的頂點在相互平行的三條直線l1，l2，l3上，且l1，l2之間的距離為2，l2，l3之間的距離為3，則AC的長是（）A、B、C、D、77．（2009年新疆維吾爾自治區）如圖17是用硬紙板做成的四個全等的直角三角形，兩直角邊長分別是，斜邊長為和一個邊長為的正方形，請你將它們拼成一個能證明勾股定理的圖形．（1）畫出拼成的這個圖形的示意圖．（圖17）（（圖17）8．（2009年湖北省恩施自治州）恩施州自然風光無限，特別是以“雄、奇、秀、幽、險”著稱于世．如圖18，著名的恩施大峽谷（A）和世界級自然保護區星斗山（B）位于筆直的滬渝高速公路X同側，AB=50km，A、B到直線X的距離分別為10km和40km，要在滬渝高速公路旁修建一服務區P，向A、B兩景區運送游客．小民設計了兩種方案，圖（1）是方案一的示意圖（AP與直線X垂直，垂足為P），P到A、B的距離之和S1=PA+PB，圖（2）是方案二的示意圖（點A關于直線X的對稱點是A′，連接BA′交直線X于點P），P到A、B的距離之和S2=PA+PB．（1）求S1、S2，并比較它們的大小；（2）請你說明S2=PA+PB的值為最小；（圖18）（3）擬建的恩施到張家界高速公路Y與滬渝高速公路垂直，建立如圖（3）所示的直角坐標系，B到直線Y的距離為30km，請你在X旁和Y旁各修建一服務區P、Q，使P、A、B、Q（圖18）9．（2009年黑龍江省牡丹江市）有一塊直角三角形的綠地，量得兩直角邊長分別為6m，8m.現在要將綠地擴充成等腰三角形，且擴充部分是以8m為直角邊的直角三角形，求擴充后等腰三角形綠地的周長.10．（2009年湖北省咸寧市）問題背景：在△ABC中，AB、BC、AC三邊的長分別為、、，求這個三角形的面積．小輝同學在解答這道題時，先建立一個正方形網格（每個小正方形的邊長為1），再在網格中畫出格點△ABC（即△ABC三個頂點都在小正方形的頂點處），如圖19中的圖①所示．這樣不需求△ABC的高，而借用網格就能計算出它的面積．（1）請你將△ABC的面積直接填寫在橫線上：__________________思維拓展：（2）我們把上述求△ABC面積的方法叫做構圖法．若△ABC三邊的長分別為a、、（a>0），請利用圖19中的圖②的正方形網格（每個小正方形的邊長為a）畫出相應的△ABC，并求出它的面積．探索創新：（3）若△ABC三邊的長分別為、、（m>0，n>0，且m≠n），試運用構圖法求出這三角形的面積．（圖（圖①）（圖②）ACB（圖19）答案：知識點回顧的答案知識點一：直角；互為余角；斜邊；知識點二：兩直角邊；斜邊；知識點三：直角；a2+b2=c2.同步測試的答案1．90°；2．BE=，BD=；3．2或；4．A；（圖1）（圖2）（第5題答案圖）5．（1）當點F在DC上時，如圖1，先證△ABE≌△BCF，可得AE=BF=5，BE=CF=3，AE⊥（圖1）（圖2）（第5題答案圖）（2）當點F在AD上時，如圖2，先證△ABE≌△BAF，可得BE=AF=3，∴AE=BF=5，連結EF，證□ABEF，∴BM=BF=.6．C（提示：能確定△ABC為直角三角形的有①②④，共3個）7．證明:（1）∵∠ACB=∠ECD=90°，∴∠ACB－∠ACD=∠ECD－∠ACD，即∠BCD=∠ACE∵BC=AC，DC=EC，∴△ACE≌△BCD.（2）∵△ACB是等腰直角三角形，∴∠B=∠BAC=45°．∵△ACE≌△BCD，∴∠CAE=∠B=45°．∴∠DAE=∠CAE+∠BAC=45°+45°=90°．∴Rt△DAE中，AD2+AE2=DE2.∵△ACE≌△BCD∴AE＝DB，∴AD2+DB2=DE2.隨堂檢測的答案：1．4cm；2．2；3．76；4．2π；5．B；6．A（第7（1）題答案圖）（第7（1）題答案圖）（2）證明：大正方形的面積表示為，大正方形的面積也可表示為，∴=，即，∴，即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.8．解：（1）圖18（1）中過B作BC⊥AP，交PA的延長線于點C，則PC＝40，又AP＝10，∴AC＝30.在Rt△ABC中，AB＝50，AC＝30，∴BC＝40，∴BP＝，∴S1＝；圖18（2）中，過B作BC⊥AA′，交A′A的延長線于點C，則A′C＝50，又BC＝40，∴BA′＝，由軸對稱知：PA＝PA′，∴S2＝BA′＝，∴S1>S2.（2）如圖