清風"數學建模算法講解"

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中 的資料等。《數學建模學習交流》，發送“

”兩個字，可獲得常見的建2關注模方法；發送“數據”兩個字，可獲得建模數據的獲取方法；發送“畫圖”兩個字，可獲得數學建模中常見的畫圖方法。另外，也

的歷史文章，里面發布的都是對大家有幫助的技巧。3優質精選的數學建模資料，可關注

《數學建模學習交流》，在后臺發送“買”這個字進行

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僅需58元圖的基本概念圖論中的圖（Graph）是由若干給定的點及連接兩點的線所構成的圖形，這種圖形通常某些事物之間的某種特定關系，用點代表事物，用連接兩點的線表示相應兩個事物間具有這種關系。一個圖可以用數學語言描述為G(V(G),E(G))。V(vertex)指的是圖的頂點集，E(edge)指的是圖的邊集。根據邊是否有方向，可將圖分為有向圖和無向圖。另外，有些圖的邊上還可能 值，這樣的圖稱為圖。3

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作圖%函數graph(s,t)：可在s

和t

中的對應節點之間創建邊，并生成一個圖G1

=

graph(s1,t1);plot(G1)%函數graph(s,t,w)：可在s

和t

中的對應節點之間以w的權重創建邊，并生成一個圖G2

=

graph(s2,

t2);plot(G2,'linewidth',2)%設置線的寬度%

下面 令是在畫圖后不顯示坐標set(

gca,

'XTick',

[],

'YTick',

[]

);上面都是無向圖要做出有向圖，只需要將graph改為digraph就行了。大家使用新版本。注：（1） 做出來的圖不是很漂亮，要是節點比較少，還是作圖。（2）該函數在2015b之后的版本才支持，如果運行出錯請低版本

報錯提示:5

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僅需58元無向圖的權重鄰接矩陣帶權重的四個節點的無向圖123410Inf332Inf0Inf533Inf0243520無向圖對應的權重鄰接矩陣結論：1無向圖對應的權重鄰接矩陣D是一個對稱矩陣；23其主對角線上元素為0.????表示第i個節點到第j個節點的權重。6

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僅需58元有向圖的權重鄰接矩陣帶權重的四個節點的有向圖123410Inf832Inf0Inf538Inf024InfInfInf0有向圖對應的權重鄰接矩陣結論：1有向圖對應的權重鄰接矩陣D是一般不再是對稱矩陣；23其主對角線上元素為0.????表示第i個節點到第j個節點的權重。7

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3910圖中有0‐8共九個地點，地點之間若用直線連接則表明兩地可直接到達，直線旁的數值表示兩地的距離。問題:

起點為0，終點為4，怎么走路程最短。（假設出行方式相同，例如都為步行）8

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3910節點012345678Visited000000000DistanceInfInfInfInfInfInfInfInfInfParent-1-1-1-1-1-1-1-1-111/

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3910節點012345678Visited111000011Distance0410InfInfInf1378Parent008-1-1-171720/

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3910節點012345678Visited111000011Distance041017Inf141378Paren

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3910節點012345678Visited111111111Distance04101724141378Parent0082527174

529/

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5

230/

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732/

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5

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8

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133/

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5

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1

034/

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僅需58元算法的一個缺點1是起點；2是終點節點123Visited100Distance0InfInfParent1-1-1節點123Visited100Distance023Parent111節點123Visited110Distance023Parent111節點123Visited000DistanceInfInfInfParent-1-1-1(1)(2)(3)(4)節點123Visited111Distance020Parent112節點123Visited110Distance020Parent112(5)(6)可以用于有向圖但不能處理負權重35/

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僅需58元如何修復該缺點？Bellman‐Ford（

‐福特）算法剛剛改變 狀態的節點為0號節點（A）要更新與0號節點相鄰的節點信息（B），注意，這里的B節點是未

的哦更新的規則如下：如果（A與B的距離+A列表中的距離）小于（B列表中的距離），那么 就將B列表中的距離更新為較小的距離，并將B的父親節點更新為A事實上，

‐福特算法不再將節點區分為是否已的狀態，因為

‐福特模型是利用循環來進行更新權重的，且每循環一次， 福特算法都會更新所有的節點的信息。‐福特算法不支持含有負權回路的圖。（ 中提到的Floyd(

)算法也不可以）1是起點；2是終點有 的同學可以參考下面兩份資料弄懂其實現原理：https:

/

/av4321712136/

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僅需58元負權回路？在一個圖里每條邊都有一個權值（有正有負)如果存在一個環（從某個點出發又回到自己的路徑），而且這個環上所值之和是負數，那這就是一個負權環，也叫負權回路。存在負權回路的圖是不能求兩點間最短路的，因為只要在負權回

不斷兜圈子，所得的最短路長度可以任意小。含有負權重的無向圖都是負權回路。例如左圖，可以在2‐3之間無限循環。注意：‐福特算法實際上處理的是具有負權重的有向圖。（且該有向圖也不能含有負權回路）慶幸的是，含有負權重的圖特別少見，且一旦出現負權重，也往往是在有向圖中。因此大家不用擔心算法求解不出來的問題。37/

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僅需58元計算最短路徑[P,d]

=

shortestpath(G,start,end

[,'Method',algorithm]

)功能：返回圖G中start節點到end節點的最短路徑輸入參數：（1）G‐輸入圖（graph

對象|

digraph

對象）start

起始的節點end

目標的節點（4）[,‘Method’,algorithm]是可選的參數，表示計算最短路徑的算法。一般我們不用手動設置，默認使用的是“auto”,具體可設置的參數見下一頁課件。輸出參數：（1）P–最短路徑經過的節點（2）d–最短距離注意：該函數

2015b之后才有哦38/

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僅需58元可選的算法選項說明'auto'（默認值）'auto'選項會自動選擇算法：'unweighted'用于沒有邊權重的graph

和digraph

輸入。'positive'用于具有邊權重的所有graph

輸入，并要求權重為非負數。此選項還用于具有非負邊權重的digraph

輸入。'mixed'用于其邊權重包含某些負值的digraph

輸入。圖不能包含負循環。'unweighted'廣度優先計算，將所有邊權重都視為1。'positive'Dijkstra

算法，要求所有邊權重均為非負數。'mixed'（僅適用于digraph）適用于有向圖的Bellman‐Ford

算法，要求圖沒有負循環。盡管對于相同的問題，'mixed'的速度慢于'positive'，但