拋物線焦點弦性質拋物線焦點弦性質1一、復習⒈焦點弦的定義⒉焦半徑公式⒊通徑若P在焦點為F的拋物線上，OxyFMOxyH1FH21、當焦點在x軸上時，2、當焦點在y軸上時，1、當焦點在x軸上時，2、當焦點在y軸上時，4.焦點弦長一、復習⒈焦點弦的定義⒉焦半徑公式⒊通徑若P2拋物線的焦點弦性質2=2px(p>0)的焦點的一條直線和拋物線相交,兩交點為A(x1,y1)、B(x2,y2),則(1)|AB|=x1+x2+p(2)通徑長為2p(3)x1x2=p2/4;y1y2=-p2;(4)若直線AB的傾斜角為θ,則|AB|=2p/sin2θ(5)以AB為直徑的圓與準線相切.(6)焦點F對A、B在準線上射影的張角為90o。xOyABFθ拋物線的焦點弦性質2=2px(p>0)的焦點的一條直線和xO3xOyABF過拋物線y2=2px(p>0)的焦點的一條直線和拋物線相交,兩交點為A(x1,y1)、B(x2,y2),則(1)|AB|=x1+x2+p(2)通徑長為2pxOyABF過拋物線y2=2px(p>0)的焦點的一條直線和4AXyOFBlA1M1B1M過拋物線y2=2px(p>0)的焦點的一條直線和拋物線相交,兩交點為A(x1,y1)、B(x2,y2),則(5)以AB為直徑的圓與準線相切.故以AB為直徑的圓與準線相切.AXyOFBlA1M1B1M過拋物線y2=2px(p>0)的5XyFAOBA1B1過拋物線y2=2px(p>0)的焦點的一條直線和拋物線相交,兩交點為A(x1,y1)、B(x2,y2),則(6)焦點F對A、B在準線上射影的張角為90o。123456XyFAOBA1B1過拋物線y2=2px(p>0)的焦點的一6OxyAFB證明過拋物線y2=2px(p>0)的焦點的一條直線和拋物線相交,兩交點為A(x1,y1)、B(x2,y2),則(3)x1x2=p2/4;y1y2=-p2;OxyAFB證明過拋物線y2=2px(p>0)的焦點的一條直7這一結論非常奇妙,變中有不變,動中有不動.這一結論非常奇妙,變中有不變,動中有不動.8OxyAFB分析結論OxyAFB分析結論9xOyABFxOyABF10F法3：利用性質焦點F對A、B在準線上射影的張角為90°。過拋物線y2=2px(p>0)的焦點的一條直線和拋物線相交,兩交點為A(x1,y1)、B(x2,y2),則(3)x1x2=p2/4;y1y2=-p2;F法3：利用性質焦點F對A、B在準線上射影的張角為90°。11代入拋物線得y2－２ｐmｙ－２ｐs＝０，練習(1).若直線過定點M(s,0)(s>0)與拋物線y2=2px(p>0)交于A(x1,y1)、B(x2,y2),求證:x1x2=s2;y1y2=-2ps.證明：設AB的方程為ｘ=mｙ＋s（m∈Ｒ）(2).若直線與拋物線y2=2px(p>0)交于A(x1,y1)、B(x2,y2),且有x1x2=s2;y1y2=-2ps.求證：直線過定點(s,0)(s>0)證明：lyy2=2pxAMxB代入拋物線得y2－２ｐmｙ－２ｐs＝０，練習(1).若直線12OxyAFB分析過拋物線y2=2px(p>0)的焦點的一條直線和拋物線相交,兩交點為A(x1,y1)、B(x2,y2),(4)若直線AB的傾斜角為θ,則OxyAFB分析過拋物線y2=2px(p>0)的焦點的一條直13xOyABF過拋物線y2=2px(p>0)的焦點的一條直線和拋物線相交,兩交點為A(x1,y1)、B(x2,y2),則xOyABF過拋物線y2=2px(p>0)的焦點的一條直線和14拋物線的焦點弦性質2=2px(p>0)的焦點的一條直線和拋物線相交,兩交點為A(x1,y1)、B(x2,y2),則(1)|AB|=x1+x2+p(2)通徑長為2p(3)x1x2=p2/4;y1y2=-p2;(4)若直線AB的傾斜角為θ,則|AB|=2p/sin2θ(5)以AB為直徑的圓與準線相切.(6)焦點F對A、B在準線上射影的張角為90o。xOyABFθ拋物線的焦點弦性質2=2px(p>0)的焦點的一條直線和xO15⒈過拋物線的焦點作直線交拋物線于兩點．若，則|AB|=___________⒉過拋物線的焦點作傾斜角為的弦，則此弦長為________；一條焦點弦長為16，則弦所在的直線傾斜角為_________．⒊過拋物線的對稱軸上有一點M(p,0)，作一條直線與拋物線交于A、B兩點，若A點縱坐標為，則B點縱坐標為________例題8244p⒈過拋物線的焦點作直線交拋物線162=2px(p>0)的焦點F的一條直線和拋物線相交于A(x1,y1)、B(x2,y2),(1)AO交準線于C,則直線CB平行于拋線的對稱軸.xyFABCO2=2px(p>0)的焦點F的一條直線和拋物線相交于A(x1172=2px(p>0)的焦點F的一條直線和拋物線相交于A(x1,y1)、B(x2,y2),(2)過B作BC⊥準線l,垂足為C,則AC過原點O共線.(2001年高考題)xyFABCO2=2px(p>0)的焦點F的一條直線和拋物線相交于A(x118例3.A、B是拋物線y2=2軌跡方程.二、拋物線中的直角三角形問題例3.A、B是拋物線y2=2軌跡方程.二、拋物線中的19例3.A、B是拋物線y2=2px(p>0)上的兩點，且OA⊥OB，(1)求A、B兩點的橫坐標之積和縱坐標之積；[解答](1)設A(x1,y1)，B(x2,y2)，中點P(x0,y0)，∵OA⊥OB∴kOAkOB=-1，∴x1x2+y1y2=0∵y12=2px1，y22=2px2∵y1≠0,y2≠0,∴y1y2=4p2∴x1x2=4p2.例3.A、B是拋物線y2=2px(p>0)上的兩點，20例3.A、B是拋物線y2=2px(p>0)上的兩點，且OA⊥OB，(2)求證：直線AB過定點；[解答](2)∵y12=2px1，y22=2px2∴(y1y2)(y1+y2)=2p(x1x2)∴AB過定點T(2p,0).例3.A、B是拋物線y2=2px(p>0)上的兩點，21同理，以代k得B(2pk2,-2pk).例3.A、B是拋物線y2=2px(p>0)上的兩點，且OA⊥OB，(3)求弦AB中點P的軌跡方程；即y02=軌跡方程y2=px-2p2(3)設OA∶y=kx，代入y2=2px得:k0，同理，以代k得B(2pk2,-2pk).例22(4)當且僅當|y1|=|y2|=2p時，等號成立.例3.A、B是拋物線y2=2px(p>0)上的兩點，且OA⊥OB，(4)求△AOB面積的最小值；(4)當且僅當|y1|=|y2|=2p時，等號成立.例3.23(5)法一：設M(x3,y3),則例3.A、B是拋物線y2=2軌跡方程.由(1)知，y1y2=-4p2，整理得：x32+y32-2軌跡方程為x2+y2-2px=0(去掉(0,0)).(5)法一：設M(x3,y3),則例3.A、B是拋物24∴M在以OT為直徑的圓上∴點M軌跡方程為(x-p)2+y2=p2,去掉(0,0).評注：此類問題要充分利用(2)的結論.∴∠OMT=90,又OT為定線段法二：∵AB過定點T(2p,0).7.A、B是拋物線y2=2軌跡方程.∴M在以OT為直徑的圓上∴∠OMT=9025小結作業本節課，我們主要從代數（方程）的角度研究拋物線的焦點弦的一些性質。而對于從幾何觀點去研究它的性質，希望同學們課后完成。探究拋物線焦點弦的其它性質小結作業本節課，我們主要從代數（方程）的角度研究拋物線探究拋26拋物線焦點弦性質拋物線焦點弦性質27一、復習⒈焦點弦的定義⒉焦半徑公式⒊通徑若P在焦點為F的拋物線上，OxyFMOxyH1FH21、當焦點在x軸上時，2、當焦點在y軸上時，1、當焦點在x軸上時，2、當焦點在y軸上時，4.焦點弦長一、復習⒈焦點弦的定義⒉焦半徑公式⒊通徑若P28拋物線的焦點弦性質2=2px(p>0)的焦點的一條直線和拋物線相交,兩交點為A(x1,y1)、B(x2,y2),則(1)|AB|=x1+x2+p(2)通徑長為2p(3)x1x2=p2/4;y1y2=-p2;(4)若直線AB的傾斜角為θ,則|AB|=2p/sin2θ(5)以AB為直徑的圓與準線相切.(6)焦點F對A、B在準線上射影的張角為90o。xOyABFθ拋物線的焦點弦性質2=2px(p>0)的焦點的一條直線和xO29xOyABF過拋物線y2=2px(p>0)的焦點的一條直線和拋物線相交,兩交點為A(x1,y1)、B(x2,y2),則(1)|AB|=x1+x2+p(2)通徑長為2pxOyABF過拋物線y2=2px(p>0)的焦點的一條直線和30AXyOFBlA1M1B1M過拋物線y2=2px(p>0)的焦點的一條直線和拋物線相交,兩交點為A(x1,y1)、B(x2,y2),則(5)以AB為直徑的圓與準線相切.故以AB為直徑的圓與準線相切.AXyOFBlA1M1B1M過拋物線y2=2px(p>0)的31XyFAOBA1B1過拋物線y2=2px(p>0)的焦點的一條直線和拋物線相交,兩交點為A(x1,y1)、B(x2,y2),則(6)焦點F對A、B在準線上射影的張角為90o。123456XyFAOBA1B1過拋物線y2=2px(p>0)的焦點的一32OxyAFB證明過拋物線y2=2px(p>0)的焦點的一條直線和拋物線相交,兩交點為A(x1,y1)、B(x2,y2),則(3)x1x2=p2/4;y1y2=-p2;OxyAFB證明過拋物線y2=2px(p>0)的焦點的一條直33這一結論非常奇妙,變中有不變,動中有不動.這一結論非常奇妙,變中有不變,動中有不動.34OxyAFB分析結論OxyAFB分析結論35xOyABFxOyABF36F法3：利用性質焦點F對A、B在準線上射影的張角為90°。過拋物線y2=2px(p>0)的焦點的一條直線和拋物線相交,兩交點為A(x1,y1)、B(x2,y2),則(3)x1x2=p2/4;y1y2=-p2;F法3：利用性質焦點F對A、B在準線上射影的張角為90°。37代入拋物線得y2－２ｐmｙ－２ｐs＝０，練習(1).若直線過定點M(s,0)(s>0)與拋物線y2=2px(p>0)交于A(x1,y1)、B(x2,y2),求證:x1x2=s2;y1y2=-2ps.證明：設AB的方程為ｘ=mｙ＋s（m∈Ｒ）(2).若直線與拋物線y2=2px(p>0)交于A(x1,y1)、B(x2,y2),且有x1x2=s2;y1y2=-2ps.求證：直線過定點(s,0)(s>0)證明：lyy2=2pxAMxB代入拋物線得y2－２ｐmｙ－２ｐs＝０，練習(1).若直線38OxyAFB分析過拋物線y2=2px(p>0)的焦點的一條直線和拋物線相交,兩交點為A(x1,y1)、B(x2,y2),(4)若直線AB的傾斜角為θ,則OxyAFB分析過拋物線y2=2px(p>0)的焦點的一條直39xOyABF過拋物線y2=2px(p>0)的焦點的一條直線和拋物線相交,兩交點為A(x1,y1)、B(x2,y2),則xOyABF過拋物線y2=2px(p>0)的焦點的一條直線和40拋物線的焦點弦性質2=2px(p>0)的焦點的一條直線和拋物線相交,兩交點為A(x1,y1)、B(x2,y2),則(1)|AB|=x1+x2+p(2)通徑長為2p(3)x1x2=p2/4;y1y2=-p2;(4)若直線AB的傾斜角為θ,則|AB|=2p/sin2θ(5)以AB為直徑的圓與準線相切.(6)焦點F對A、B在準線上射影的張角為90o。xOyABFθ拋物線的焦點弦性質2=2px(p>0)的焦點的一條直線和xO41⒈過拋物線的焦點作直線交拋物線于兩點．若，則|AB|=___________⒉過拋物線的焦點作傾斜角為的弦，則此弦長為________；一條焦點弦長為16，則弦所在的直線傾斜角為_________．⒊過拋物線的對稱軸上有一點M(p,0)，作一條直線與拋物線交于A、B兩點，若A點縱坐標為，則B點縱坐標為________例題8244p⒈過拋物線的焦點作直線交拋物線422=2px(p>0)的焦點F的一條直線和拋物線相交于A(x1,y1)、B(x2,y2),(1)AO交準線于C,則直線CB平行于拋線的對稱軸.xyFABCO2=2px(p>0)的焦點F的一條直線和拋物線相交于A(x1432=2px(p>0)的焦點F的一條直線和拋物線相交于A(x1,y1)、B(x2,y2),(2)過B作BC⊥準線l,垂足為C,則AC過原點O共線.(2001年高考題)xyFABCO2=2px(p>0)的焦點F的一條直線和拋物線相交于A(x144例3.A、B是拋物線y2=2軌跡方程.二、拋物線中的直角三角形問題例3.A、B是拋物線y2=2軌跡方程.二、拋物線中的45例3.A、B是拋物線y2=2px(p>0)上的兩點，且OA⊥OB，(1)求A、B兩點的橫坐標之積和縱坐標之積；[解答](1)設A(x1,y1)，B(x2,y2)，中點P(x0,y0)，∵OA⊥OB∴kOAkOB=-1，∴x1x2+y1y2=0∵y12=2px1，y22=2px2∵y1≠0,y2≠0,∴y1y2=4p2∴x1x2=4p2.例3.A、B是拋物線y2=2px(p>0)上的兩點，46例3.A、B是拋物線y2=2px(p>0)上的兩點，且OA⊥OB，(2)求證：直線AB過定點；[解答](2)∵y12=2px1，y22=2px2∴(y1y2)(y1+y2)=2p(x1x2)∴AB過定點T(2p,0).例3.A、B是拋物線y2=2px(p>0)上的兩點，47同理，以代k得B(2pk2,-2pk