i2VV(2V\二°'得：r二忖；此時圓柱高h=-［韻所以當圓柱底面半徑r所以當圓柱底面半徑r—*—，高為h—3245V時造價最低.124、解：f'(力—-帀+亍f''(x)—?，f'''(x)—-124、解：f'(力—-帀+亍f''(x)—?，f'''(x)—-2X3,(4+x)3(4+x)3n!f(n)(x)—(-1)nB+T'f(°)=4，廣(°)一掃2n!廣(°)-石，…，f(n)(x)—(-1)n4n+1f(x)-1-丄x+丄x2+…+(-1)n旦+…,442434n+1收斂區間(-4,4)25、解：對應特征方程九2-2九一3—°，九—一1、九—3，所以y—Ce-x+Ce3x，因為九—°1212不是特征方程的根,設特解方程為y*—bx+b，代入原方程，解得：y—Ce-x+Ce3x-x+1.°11232004年江蘇省普通高校“專轉本”統一考試高等數學參考答案1、A2、B3、C4、B5、A6、D7、e-18、11、°x一1_y_z+2~4~_2_-3f1dyf'yf(x,y)dx+f2dyf2-yf(x,y)dx°1°9、n!110、一arcsm4x+C4(-1,3)12、x13、間斷點為x—k-，keZ，當x—°時，limf(x)—lim——1，為可去間斷點；當x—k-,xT°xT°Sinxxk豐°，keZ時，lim，為第二類間斷點.xt°sinx1TOC\o"1-5"\h\zf(tant一sinttanx一sinxtanx(1-sinx)x2"112x314、原式—lim-e—lim—lim—lim—12x3xt°3x4xt°12x3xt°12x3xt°12x32415、x—°代入原方程得y(°)—1，對原方程求導得y'-ey-xeyy'—°，對上式求導并將x—°、y—1代入，解得：y''—2e2

16、、ex因為f(x)的一個原函數為—，所以f(x)=—x=(x-1)ex—，x2Ix丿Jxf'16、、ex因為f(x)的一個原函數為—，所以f(x)=—x=(x-1)ex—，x2Ix丿Jxf'(2x)dx=2Jxf'(2x)d(2x)=2Jxdf(2x)=2xf(2x)一2Jf(2x)dx248x28x4x17、J+821dxt=、x-1J+8蘭dt=2J+8—117、J+8218、QzOxxvx—11t(t2+1)118、QzOx19、Q2zQxQy20、二(y-l)cosy-Jlcosydy=l-sinl01?―119、Q2zQxQy20、二(y-l)cosy-Jlcosydy=l-sinl01?―1=1￡(-1)n41x-244(x-2)n4n,(-2<x<6)21、證明：令t=兀一x,卜xf(sinx)dx=0-J0(兀一t)f(sin(兀一t)dt=卜(兀一t)f(sint)dt兀0=兀卜f(sinx)dx一卜xf(sinx)dx0022、故J“0JKxf(sinx)dxsinxxdx01+cos2x兀f(sinx)dx,0=1JK聾dx01+cos2x等式兩邊求導的xf(x)二證畢.=-》arctan(cosx)|:^202x+f'(x)即f'(x)一xf(x)=-2x且f(0)=-1,p二一x.x2q=—2x，Jpdx=—-，2JJ腔eJpdx=e-2e—pdx=e2Jqe‘pdxdx=J-2xq_2dx=2e~X2-x2-2=f1'1-(-1)+f12-x+f2+yf'1-(-1)+f22-」JJsinydxdy=J1dyJyydx=J1(1-y)sinydyy0y2y0D

X2x2x2所以f(x)二(2e-2+C)e-2=2+Ce2，由f(0)=一1,XL解得C=一3,f(x)=2—3e223、設污水廠建在河岸離甲城x公里處，則M(x)=500x+700,402+(50一x)2，0<x<50，M'=500+700x1x2(x一50)=02(402+(50-x)2解得x=50-500(公里)，唯一駐點，即為所求.2005年江蘇省普通高校“專轉本”統一考試高等數學參考答案1、A2、C3、D4、A5、A6、C7、28、e一1兀9、10、5J1dyJy一_f(x,y)dx0-'1—y213、因為F(x)在x=0處連續,11、12、(一1,1)所以limF(x)=F(0)，xt0limF(x)=limf(x)+2sinx=limf(x)一f(0)+2=f'(0)+2=6+2=8,xt0xt0xxt0F(0)=a，故a=8.14、dydy=dt=cost一cost+1sintdxdx一sintd2y(y')'一1=J=dtdx2x't=csct.一sint15、原式=Jtan2xtanxsecxdx=J(sec2x-1)dsecx=Jsec2xdsecx-secx=^sec3316、原式=xarctanx1—J1j亠1J1d(116、原式=xarctanx001+x24201+x2=冷一2ln(1+x2)0=一一ln2217、春=17、春=cosx?f',dx=cosx(f''-2y)=2ycosxf”dxdy1212

18、l=&2,1},B=(4,—3,o},AB=&—4,2)k=《,—9,—22}2平面點法式方程為：8(x—3)—9(y—1)—22(z+2)=0，即8x—9y—22z=59.19、f(x)=二丄+丄)=19、x2ypTn=0(—1)x2ypTn=0(—1)n2n+1+1xn,1x21+?-1+x31—x1十—21ex20、y'+—?y=20、xxy=ey=e；dx=+-xx因為y(1)=e,e=e+C，所以C=0，故特解為y=.x21、證明：令/(x)=x3—3x+1，xwt-口］,且f(—1)=3>0,f⑴=—1<0,f(—1)?f⑴<0,由連續函數零點定理知，f(x)在(—1,1)上至少有一實根.22、設所求函數為y=f(x)，則有f⑵=4,廣(2)=—3,f”(2)=0.由y''=6x+a,y”(2)=0得a=—12，即y”=6x—12.因為y”=6x一12，故y'=3x2—12x+C，由y'(2)=—3，解得C=9.11故y=x3一6x2+9x+C，由y⑵=4，解得C=2.22所求函數為：y=x3—6x2+9x+2.23、(1)2)Vx11=061,、—n1_…=nf2(12—2x)dx=n(x—x2)2=—024、解：積分區域D為：1<y<u,y<x<u(1)F(u)=jjf(x)db=judxJxf(x)dy=ju(x—1)f(x)dx；111(2)F'(u)二(u-1)f(u),F'(2)二(2-1)f(2)二f(2)二1.2006年江蘇省普通高校“專轉本”統一考試高等數學參考答案1、C2、B3、C1、C2、B3、C4、5、C6、A7、8、f(x0)9、—110、111、exy(ysinx+cosx)12、TOC\o"1-5"\h\z一413、3x313、原式=lim=-xt11一丄3x2214、d1-丄-14、d1-丄-dy=y'=1+12卜dxx'2tt1+t2t2'(空)'d2y=dxdx2x't1+124t1515、原式=J\1+Inxd(1+Inx)=3(1+Inx)216、原式=J2x2dsinx=x2sinx02一2j2xsinxdx=004n2仏—+2J2xdcosx0n2c=+2xcosx4九兀2—2J2cosxdx=—2417、方程變形為y'y令p=則y'二p+xp'，代入得：xp'二—p2,x分離變量得：—J掙=J撲，故I=1麗+C，y=ln|x|+Cp218、令g(x)=ln(1+x),g(0)=0,g'(x)=S(—1)nxndx=Sxn+2,n+1n=0n=0故f(x)=￡"D：xn+2,—1<x<1.n+1n=019、n{,-1,1}、n&-3,1},l=nxn1212j

—1

—3=2i+3j+k直線方程為1=Z+220、Qzd2z石=x2f'，而=2忙+x2(f21-2x+f22-y)=2妙2+2x3f21+x2yf22-21、令f(x)=3x—x3,xeI—2,2〕，f'(x)=3—3x2=0,x=±1,f(—1)=—2,f(1)=2,f(2)=-2,f(-2)=2；所以幾子-2,f=2，故一2"(x)<2，即3x-x3<2-max22、y'=2x+y,y(0)=0通解為y=(—2x—2)+Cex，由y(0)=0得C=2，故y=—2x—2+2ex.26423、(1)S=J2(8—x2—x2)dx=—23(2)V=兀丿4(\汀)2dy+兀J8Q8—y)2dy=16兀0424、JJf(x)dxdy=JtdxJtf(x)dy=tJtf(x)dx000Dtg(t)=<Jtf(x)t豐0at=0(1)limg(t)=limJtf(x)dx=0，由g(t)的連續性可知a=g(0)=limg(t)=0tT0tT00tT0(2)當t豐0時，g(t)=f(t),當t=0時，g'(0)=limg(h)—g(0)=lim〔=limf(h)=f(0)h—0hh—0hh—0綜上，g'(t)=f(t).2007年江蘇省普通高校“專轉本”統一考試高等數學參考答案1、B2、C3、C4、A5、D61、B2、C3、C4、A5、D6、D7、ln28、110、v311、丄dx-y12、y''一5y'+6y=013、解：ex-x-1ex-x-1ex-1ex1lim=lim=lim=lim—=—.SOxtanxxT0x2XT02xXT022x214、解：又當x=0時，y=0，故g=1、d2ydxx=0=-2dx2x=0dyex-y方程ex-ey=xy，兩邊對x求導數得e-ey-y=y+xy，故丁=y=dxey+x15、解:Jx2e-xdx=-Jx2d(e-x)=-x2e-x+xe-xdx=-x2e-x一xd(e-x15、=一x2e-x一2xe-x一2e-x+C.16、16、解：令x=sint，則上上12一x2血cos2t兀17、解:杰=2f1'7,麗=2(f11-34+f12-x)+f2+y(f21-3+f22-x)18、=6f''+(2x+3y)f''+xyf''+f'1112222解：原方程可化為y'--y=2007x，相應的齊次方程y'--y=0的通解為y=Cx.可xx設原方程的通解為y=C(x)x.將其代入方程得C'(x)x+C(x)-C(x)二2007x,所以C'(x)=2007，從而C(x)=2007x+C，故原方程的通解為y=(2007x+C)x.又y(1)=2008，所以C=1，于是所求特解為y=(2007x+1)x.(本題有多種解法，大家不妨嘗試一下)19、解：由題意，所求平面的法向量可取為1n=(1,1,1)X(2,-1,1)=12jk11=(2,1,-3).-11故所求平面方程為2(x一1)+(y一2)一3(x一3)=0，即2x+y一3z+5=0.20、解：JJ、x2+y2dxdy=JJp2dpd0=J：d0J2cosep2dp=8J2cos30d0=16.00309DD8兀21、解：(1)V=J'兀(1一x2)2dx=—；015(2)由題意得Ja(1-y)2dy=J1(1-y)2dy.由此得(1-a)2-1=-(1-a)t.解得0aa=1-(丄)；22、解：f'(x)二3ax2+2bx+c,f”(x)二6ax+2b.由題意得廣(-1)二0、f''(1)二0、f(1)=2，解得a=—1、b=3、c=923、證明：積分域D:a<y<b，積分域又可表示成Dy<x<bJbdyJbf(x)e2x+ydx=JJf(x)e2x+y=JbdxJxf(x)e2x+ydy=Jbf(x)e2xdxfxe2ydyayaaaaD=Jbf(x)e2x(ex-ea)dx=Jb(e3x-e2x+a)f(x)dx.aa24、證明：令F(x)=Inx-，顯然，F(x)在(0,+s)上連續.由于F'(x)=>0,x+1x(x+1)2故F(x)在(0,+s)上單調遞增,x-1于是，當0<x<1時，F(x)<F(1)=0，即Inx<，又x2一1<0，故(x2-1)lnx>(x-1)2；x+1x-1當x>1時，F(x)>F⑴=0,即Inx>，又x2一1>0，故(x2-1)lnx>(x-1)2x+1綜上所述，當x>0時，總有(x2-1)lnx>(x-1)2.2008年江蘇省普通高校“專轉本”統一考試高等數學參考答案1、B2、A3、D4、C5、A6、B7、08、39、(2，17)110、-cosx+x+c11、兀212、[-2,2]x一222爲x13、lim()3x=lim(1一一)3x=lim(1一一)2'6，令y=-—,xSxxsxx—mx2那么XSlim(x_2)3x=lim(l+—)-y-6xT8y14、y'(t)=sint,x'(t)=1-cost,y‘(t)=cost,x‘(t)=sint.dy_yJ(t)_sintd2y_y,,(t)x，(t)-y，(t)x“(t)_-1——,—一十十_dxx,(t)1-costdx2x'(t)3(1-cost)215、4dx_Jgdx-Jdx_J(x2x+1x+1x+1—x+1)dx—ln|x+1|+C3-務+x-ln|x+1|+C.16、J1ex2dx_J1ex2d(x2)2_2J1ex2-x2dx2—2J1ex2de2—2(x2ex20000=2e-2J1ex2dx2—2e-2ex；01_2e-2e+2_2.017、由題意得：AB—(—2,3,0),AC—(-2,0,5)，那么法向量為—ABxAC——20—2-2_(15,10,6).[111-J1ex2dx2)0018、°Zyd2z.1y18、丟_廣1-石f2.麗_f,11+2f2,—石(f‘+：f2；)=f”+1f-一丄f'—丄f”一—f''11x12x22x221x32219、JJx2dxdy—J1dxJxx2dy+J2dxJxx219、001020、—J1x3dx+J2xdx——4137—+——424積分因子為卩(x)—eJ卞_elnlx\~2化簡原方程xy-—2y+x2為字--—x.dxx2y1dy2yx2dxxx2dxx3化簡得：d(X-2y)=1dxx等式兩邊積分得到通解J忖_J1dx.x故通解為y=x2ln|x|+x2C21、令F(x,y)=—-y，那么x和yx-1的偏導分別為F(x,y)_，F(x,y)_-1.x00x2y000所以過曲線上任一點(xo,yo)的切線方程為:1當x=o時，y軸上的截距為y二一+yo.0當y=。時，x軸上的截距為x二x0兒+xo?1令F(x,y)_+y+x2y+x，那么即是求F(x,y)的最小值.00x00000011而F(x,y)二+x++xooxoxo

oo1二2(+x)>4，故當xxo0二y0二1時，取到最小值4.22、(1)V_kJ1(4x4-x4)dx_匹05(2)由題意得到等式：Ja(2x2-x2)dx=J1(2x2-x2)dx0化簡得：Jax2dx=J1x2dx.oa11解出a，得到：a3=■—，故a=-2丄2323、令g(x)_f(x+a)-f(x)，那么g(a)_f(2a)-f(a)，g(0)_f(a)-f(0).由于g(a)g(0)<0，并且g(x)在b,a］上連續.故存在gw(0,a)，使得g(g)_0，即f(g)_f(g+a).24、將ex用泰勒公式展開得到：ex_1+丄x+1x2+…代入不等式左邊：(1一x)ex=(1一x)(l+x+x2+?…)=1一x2一x3一…W1代入不等式左邊：1!2!232009年江蘇省普通高校“專轉本”統一考試高等數學參考答案1、A2、B3、C4、B5、D6、C7、ln28、4xe2x兀9、10、z22xz+y11、212、ln|x|+1x2—21n|y|—y+C13、limxtOx33x2x—sinx—limxt01—cosx14、dx—dt,dy—(2t+2)dt，1+tdx(2t+2)dt1—2(t+1)2,—dt1+115、16、d2y_dd：dx2dxdx_4(t+1)dt1—4(t+1)2.丄dt1+1"1，fsin.2x+1dx_fsint-tdt_-ftdcost——tcost+fcostdt——tcost+sint+C——v2x+1cos2x+1+sin2x+1+C兀令x_J2sin0，當x—0,0—0；當x—1,0_—4x2dx_J42｛口$0J2cos0d0_J4(1—cos20)d0—(0——sin20)4_匚o2cos002"17、已知直線的方向向量為s0—(3,2,1)，平面的法向量為n0—(1,1,1).由題意，所求平面的法=(1,-2,1).又顯然點(0,1,2)在所求平面上，故所求平面方程為1(x—1)+(-2)(y—1)+1(z—2)=0，即x—2y+z=0.18、1「止—嚴ep2dp_—J2(8CSC20-2邁sin0)d018、1「止—嚴ep2dp_—J2(8CSC20-2邁sin0)d023工4DD4兀2=2兀4兀2=2兀419、?=f'-cosx+f'-y；

Ox12O2z=f'+xcosx-f”+xyf”OxOy2122220、積分因子為R(x)=eJ卞1=elnlxI"2=-x2=3(-8cot0+2x.2cos0)dy2y化簡原方程xy，=2y+x2為———=x.dxxTOC\o"1-5"\h\z1dyx2xx2x2dxx3xd(x-2y)1化簡得：V=匚等式兩邊積分得到通解J咚y)=J1dx.dxx故通解為y=x2ln|x|+x2C21、(1)函數f(x)的定義域為R,f'(x)二3x2-3，令f'(x)二0得x=±1，函數f(x)的單調增區間為(一口一1],[1,+8),單調減區間為[-1,1],極大值為f(-1)=3,極小值為f(1)=-1.(2)f”(x)二6x，令f”(x)二0,得x二0，曲線y=f(x)在(-8,0］上是凸的，在［0,+8)上是凹的，點(0,1)為拐點.(3)由于f(-1)=3，f(1)=-1，f⑶=19，故函數f(x)在閉區間[-2,3]上的最大值為f⑶=19，最小值為f(1)=f(-2)=-1.22、(1)22、(1)V=Ka2-2a2-J2a2kx2dy=^a4V=J2兀(2x2)2dy=￥兀(32-a5)102a5=J22x2dx=(8-a3).由A=A得a=34312a2(2)A=Ja2x2dx=a3.A

103223、證(1)因為limf(x)=lime-x=1xt0一xt0一limf(x)=lim(x+1)=1，且f(0)=1，所以函數xt0+xt0+f(x)在x二0處連續。⑵因為limf(x)一f(0)=lim匸1=—1，limf(x)一f(0)=limx+1一1=—1，所以xt0-x一0xt0-xxt0+x一0xt0+xf'(0)=-1,f'+(0)=1.由于f'(0)豐f'+(0)，所以函數f(x)在x=0處不可導.4-2x24、證令f(x)=4xInx一x2一2x+3，貝yf'(x)=4Inx一2x+2，f"(x)=-2=xx由于當1<x<2時，f''(x)>0,故函數f'(x)在［1,2)上單調增加，從而當1<x<2時廣(x)>廣⑴二0,于是函數f(x)在［1,2)上單調增加，從而當1<x<2時，f(x)>f(1)=0,即當1<x<2時，4xInx>x2+2x-32010年江蘇省普通高校“專轉本”統一考試高等數學參考答案1、A2、C3、B4、D5、D7、兀e21、A2、C3、B4、D5、D7、兀e28、29>-210、-413x-tanx、原式=limx-tanx-lim—0x2tanxxt0x36、C14、11、dx+2dy12、(-1,1]1—sec2x—tan2x1=lim=lim=——.53x2—03x239ex+ydx1+ex+ydx2(1+ex+y)3dy+ex+y(1+dy)=2,空=2-ex+y；d2ydxdxdx15、111原式=—x2arctanx-x+arctanx+C.22216、12-1變量替換：令^2x+1=t，x=—，dx=tdt,t2-1+3原式=〔‘V■tdt=[G+1)dt=(613+2t)3=281=T17、n=(1,2,3)，n=(2,0,—1)，n=nxn=1212x—1y—1z—1所求直線方程為一—=—=——2/—4=(-2,7,-4)，力Z力2z18、示=y2(f；y+f2ex)；麗=3y2f1'+2心2+xy3f1'1+xy2exf1219、JJxdxdy=J0dyJ1—y2xdx=19、2°、特征方程的兩個根為r1=1，；2°、特征方程的兩個根為r1=1，；=-2,特征方程為r2+r-2=0，從而p=1,q=一2；?=1是特征方程的單根，p(x)=1，可設Q(x)=Ax,即設特解為Y=Axex,Y'=Aex+Axex,Y”=2Aex+Axex,p=