廣東省2024年中考數學試卷一、選擇題:本大題共10小題,每小題3分,共30分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1．計算的結果是（）A．-2 B．-8 C．2 D．82．下列幾何圖形中，既是中心對稱圖形也是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．3．2024年6月6日，嫦娥六號在距離地球約384000千米外上演“太空牽手”，完成月球軌道的交會對接.數據384000用科學記數法表示為（）A． B． C． D．4．如圖，一把直尺、兩個含的三角尺拼接在一起，則的度數為（）A． B． C． D．5．下列計算正確的是（）A． B．C． D．6．長江是中華民族的母親河，長江流域孕育出藏羌文化、巴蜀文化、荊楚文化、吳越文化等區域文化.若從上述四種區域文化中隨機選一種文化開展專題學習，則選中“巴蜀文化”的概率是（）A． B． C． D．7．完全相同的4個正方形面積之和是100，則正方形的邊長是（）A．2 B．5 C．10 D．208．若點都在二次函數的圖象上，則（）A． B．C． D．9．方程的解是（）A． B． C． D．10．已知不等式的解集是，則一次函數的圖象大致是（）A． B．C． D．二、填空題:本大題共5小題，每小題3分，共15分.11．數據5，2，5，4，3的眾數是.12．關于的不等式組中，兩個不等式的解集如圖所示，則這個不等式組的解集是.13．若關于的一元二次方程有兩個相等的實數根，則.14．計算：.15．如圖，菱形ABCD的面積為24，點是AB的中點，點是BC上的動點.若的面積為4，則圖中陰影部分的面積為.三、解答題(一):本大題共3小題,每小題7分,共21分.16．計算：.17．如圖，在中，.（1）實踐與操作：用尺規作圖法作的平分線AD交BC于點；（保留作圖痕跡，不要求寫作法）（2）應用與證明：在（1）的條件下，以點為圓心，DC長為半徑作.求證：AB與相切.18．中國新能源汽車為全球應對氣候變化和綠色低碳轉型作出了巨大貢獻.為滿足新能源汽車的充電需求，某小區增設了充電站，如圖是矩形PQMN充電站的平面示意圖，矩形ABCD是其中一個停車位.經測量，，是另一個車位的寬，所有車位的長寬相同，按圖示并列劃定.根據以上信息回答下列問題：（結果精確到0.1m，參考數據)（1）求PQ的長；（2）該充電站有20個停車位，求PN的長.四、解答題（二）:本大題共3小題，每小題9分,共27分.19．端午假期，王先生計劃與家人一同前往景區游玩.為了選擇一個最合適的景區，王先生對A、B、C三個景區進行了調查與評估.他依據特色美食、自然風光、鄉村民宿及科普基地四個方面，為每個景區評分（10分制）.三個景區的得分如下表所示：景區特色美食自然風光鄉村民宿科普基地A6879B7787C8866（1）若四項所占百分比如圖所示，通過計算回答：王先生會選擇哪個景區去游玩?（2）如果王先生認為四項同等重要，通過計算回答：王先生將會選擇哪個景區去游玩?（3）如果你是王先生，請按你認為的各項“重要程度”設計四項得分的百分比，選擇最合適的景區，并說明理由.20．廣東省全力實施“百縣千鎮萬村高質量發展工程”，2023年農產品進出口總額居全國首位，其中荔枝鮮果遠銷歐美.某果商以每噸2萬元的價格收購早熟荔枝，銷往國外.若按每噸5萬元出售，平均每天可售出100噸.市場調查反映：如果每噸降價1萬元，每天銷售量相應增加50噸.該果商如何定價才能使每天的“利潤”或“銷售收入”最大?并求出其最大值.（題中“元”為人民幣）21．綜合與實踐【主題】濾紙與漏斗【素材】如1圖所示：①一張直徑為10cm的圓形濾紙；②一只漏斗口直徑與母線均為7cm的圓錐形過濾漏斗.【實踐操作】步驟1：取一張濾紙：步驟2：按如2圖所示步驟折疊好濾紙；步驟3：將其中一層撐開，圍成圓錐形；步驟4：將圍成圓錐形的濾紙放入如1圖所示漏斗中.【實踐探索】（1）濾紙是否能緊貼此漏斗內壁(忽略漏斗管口處)?用你所學的數學知識說明.（2）當濾紙緊貼漏斗內壁時，求濾紙圍成圓錐形的體積.（結果保留)五、解答題（三）:本大題共2小題,第22題13分,第23題14分,共27分.22．【知識技能】（1）如1圖，在中，DE是的中位線.連接CD，將繞點按逆時針方向旋轉，得到.當點的對應點與點重合時，求證：.（2）【數學理解】如2圖，在中是的中位線.連接CD，將繞點按逆時針方向旋轉，得到，連接，，作的中線DF.求證：.（3）【拓展探索】如3圖，在中，，點在AB上，.過點作，垂足為.在四邊形ADEC內是否存在點，使得?若存在，請給出證明；若不存在，請說明理由.23．【問題背景】如1圖，在平面直角坐標系中，點B，D是直線上第一象限內的兩個動點，以線段BD為對角線作矩形軸.反比例函數的圖象經過點.【構建聯系】（1）求證：函數的圖象必經過點.（2）如2圖，把矩形ABCD沿BD折疊，點的對應點為.當點落在軸上，且點的坐標為時，求的值.（3）【深入探究】如3圖，把矩形ABCD沿BD折疊，點的對應點為.當點E，A重合時，連接AC交BD于點.以點為圓心，AC長為半徑作.若，當與的邊有交點時，求的取值范圍.

答案1．【答案】A2．【答案】C3．【答案】B4．【答案】C5．【答案】D6．【答案】A7．【答案】B8．【答案】A9．【答案】D10．【答案】B11．【答案】512．【答案】x≥313．【答案】114．【答案】115．【答案】1016．【答案】解：

=

=2.17．【答案】（1）解：如圖所示，AD為所求.

（2）證明：如圖所示，過點D作DE⊥AB，垂足為點E，

∵AD平分∠CAD，∠ACB=∠AED=90°，

∴DE=CD=r，

∴E點在上，且DE⊥AB，

即AB與相切???????.18．【答案】（1）解：∵四邊形PQMN和四邊形ABCD均為矩形，

∴∠P=∠Q=∠BAD=∠ABC=90°，AD=BC，

又∵∠ABQ=60°，∠BAQ+∠DAP=90°，

∴∠BAQ=180°-∠Q-∠ABQ=30°，

∴∠DAP=60°，∠ADP=30°，

同理∠CBE=30°，

在Rt△BCE和Rt△DAP和Rt△BAQ中，

tan∠CBE=，

∴AD=BC=，

∴AP=，

同理sin∠ABQ=，

∴AQ=，

∴PQ=AP+AQ=+=.

∴PQ的長約為6.1m.（2）解：由（1）可知，

∠BAQ=∠CBE=30°，AB=5.4，CE=1.6，

在Rt△AQB和Rt△BCE中，

有，，

依題意，若充電站有20個停車位，

故BM=20×BE=20×3.2=64，

∴PN=QM=QB+BM=2.7+64=66.7.

∴PN的長為66.7cm.19．【答案】（1）解：A景區得分=（分）

B景區得分=（分）

C景區得分=（分）

答：B景區綜合得分較高，故王先生會選擇B景區去游玩（2）解：A景區得分=（分）

B景區得分=（分）

C景區得分=（分）

答：此時A景區得分較高，故王先生會選擇A景區去游玩（3）解：“我”認為特色美食、自然風光、鄉村民宿及科普基地四個方面分占比分別是30%，30%，20%，20%，

表示更加注重自然風光和特色美食.

A景區得分=（分）

B景區得分=（分）

C景區得分=（分）

答：按個人設計百分比應選擇A景區游玩.20．【答案】解：設每噸降價x萬元，則此時售價為(5-x)萬元，銷售量為：(100+50x)，記每天的“利潤”為W，

則W=(5-x-2)(100+50x)=-50x2+50x+300，

∵，-50＜0，

∴當且僅當x=0.5時，W最大，，

此時果商定價為5-0.5=4.5(萬元/噸)

答：定價為4.5萬元/噸時，其每天的“利潤”或“銷售收入”最大，最大值為312.5萬元.21．【答案】（1）解：漏斗形成的圓錐形展開側面圖為扇形，

其圓心角度數==180°，

濾紙折疊后圓心角度數為360°÷2=180°，

此時，濾紙所對展開圖圓心角與漏斗展開圖圓心角相等，故濾紙能緊貼此漏斗內壁.（2）解：∵濾紙折疊后所對圓心角為180°，此時形成的底面圓形周長為：

，

即圓錐底面半徑r=，

又∵濾紙母線長為5cm，

此時由勾股定理得，圓錐高h=，

∴圓錐體積.

答：濾紙圍成的圓錐形體積為.22．【答案】（1）證明：∵是由繞點按逆時針方向旋轉得到，

其中，點E的對應點E'與點A重合，

∴DE=DE'

∴∠BAC=∠AED，

又∵DE是的中位線，

∴DE∥BC，

∴∠AED=∠ACB，

∴∠BAC=∠ACB，

∴AB=BC.（2）解：如圖，連接AA'，

∵由旋轉可知，

∠ADA'=∠CDC'，AD=A'D，DC=DC'，

∴∠DAA'=∠DA'A，∠DCC'=∠DC'C，

又∵∠DAA'+∠DA'A+∠ADA'=180°，∠DCC'+∠DC'C+∠CDC'=180°，

∴∠DCC'=∠DAA'，

∴△CDC'∽△ADA'，

∴，即，

又∵DF是的中線，即F是A'B中點，DE是△ABC的中位線，

∴AD=BD，A'F=BF，

∴DF是△ABA'的中位線，

即，

∴，即.（3）解：存在，理由如下，

如圖，分別以AD和CE為直徑作圓，連接兩圓心，過點作，垂足為點F，

∵，BE=3，

∴DE=4，

在Rt△BED中，，

又∵，

∴，

又∵，

∴，

同理，解得，

∴，

在Rt△中，

，

其中，，故，即，

又∵<3，

，

∴，

∴兩圓相交，即兩圓存在交點G，

此時∠CGE=∠AGD=90°，滿足.23．【答案】（1）證明：設點B(t，at)，D(s，as)，

∵四邊形ABCD是矩形，且AD∥x軸，

∴點A(t，as)，C(s，at)，

∵反比例函數經過點A(t，as)，代入反比例函數中，

∴，

此時，若x=s，則y=，

故反比例函數經過點C.C（2）解：如圖，連接CE，延長CB和DA交y軸與點F和點G，

∵B(1，2)，代入直線，

∴2=a，即直線，

設點D(2m，4m)，

此時點C(2m，2)，A(1，4m)，

即BC=2m-1，CD=4m-2，BF=1，

∵四邊形ABCD是矩形，△DEB是△DCB折疊所得，

∴∠DEB=∠DCB=90°，CE⊥BD，

∴∠BDC+∠CBD=∠BCE+∠DCE=90°，

∴∠CDB=∠FCE，

在Rt△CFE和Rt△DCB中，

tan∠BDC=tan∠ECF，

∴，即，

∴EF=m，

同理，∠BEF+∠EBF=∠DEG+∠EDG=90°，

在Rt△BFE和Rt△DGE中，

tan∠BEF=tan∠EDG，

∴，即，

∴GE=2，

∴OG=OF+EF+GE=2+m+2=4m，

解得m=，

∴2m=，即點C(，2)，代入反比例函數，

∴k=.（3）解：如圖，過點P作PM⊥x軸，垂足為點M，交BC于點N，

∵矩形ABCD沿BD折疊，點E，A重合時，

此時AB=AC，故四邊形ABCD是正方形，

∴BD平分∠ABC，即∠BOM=45°，

∴OM=PM，

在等腰Rt△OMP中，

∵，

∴由勾股定理得OM=PM=3，即點P(3，3)

設點B(a，a)，則C(6-a，a)，D(6-a，6-a)，A(a，-a+6)，

易得直線AC的解析式為y=-x+6，此時k=a(-a+6)=，

∴當0<a<3時，k隨a增大而增大，當a>3時，y隨x