2022-2023學年高二數學理上學期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.函數y=xcosx－sinx的導數為A、xsinx

B、－xsinx

C、xcosx

D、－xcosx參考答案：B略2.設（其中為自然對數的底數），則的值為(

)A．

B．

C．

D．參考答案：C略3.（本小題滿分10分）已知函數，函數是區間上的減函數.

（1）求的最大值；

（2）若恒成立，求的取值范圍；

(3）討論關于的方程的根的個數．參考答案：（1），上單調遞減，在[-1，1]上恒成立，，故的最大值為（2）由題意（其中），恒成立，令，若，則有恒成立，

若，則，恒成立，綜上，

（3）由 令當

上為增函數；Ks5u當時，

為減函數；當而 方程無解；當時，方程有一個根；Ks5u當時，方程有兩個根.4.已知橢圓C1：+=1（a＞b＞0）與圓C2：x2+y2=b2，若在橢圓C1上不存在點P，使得由點P所作的圓C2的兩條切線互相垂直，則橢圓C1的離心率的取值范圍是（）A．（0，） B．（0，） C．[，1） D．[，1）參考答案：A【考點】橢圓的簡單性質．【分析】作出簡圖，則＞，則e=．【解答】解：由題意，如圖若在橢圓C1上不存在點P，使得由點P所作的圓C2的兩條切線互相垂直，由∠APO＞45°，即sin∠APO＞sin45°，即＞，則e=，故選A．5.已知=（2，﹣3，1），=（4，﹣6，x），若⊥，則x等于（）A．10 B．﹣10 C．2 D．﹣26參考答案：D【考點】向量的數量積判斷向量的共線與垂直．【分析】由?=0，得到8+18+x=0，解出即可．【解答】解：∵⊥，則?=0，即8+18+x=0，解得：x=﹣26，故選：D．6.已知橢圓的方程為，則該橢圓的焦點坐標為（

）A、（0，1）

B、（0，）

C、（1，0）

D、（，0）參考答案：A略7.曲線在點（1，1）處的切線與軸及直線=1所圍成的三角形的面積為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D略8.已知z1=1﹣3i，z2=3+i，其中i是虛數單位，則的虛部為（）A．﹣1 B． C．﹣i D．參考答案：B【考點】復數代數形式的乘除運算．【分析】利用復數的運算法則、虛部的定義即可得出．【解答】解：===的虛部為．故選：B．【點評】本題考查了復數的運算法則、虛部的定義義，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題．9.a是一個平面，是一條直線，則a內至少有一條直線與 A．垂直

B．相交

C．異面 D．平行參考答案：A10.等比數列的前項和為，且4，2，成等差數列，若=1，則=(

)A.

7

B.

8

C.

15

D.

16參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.直線x+2y=0被曲線x2+y2－6x－2y－15=0所截得的弦長等于____________.參考答案：12.在長方體ABCD-A1B1C1D1中，，E是AB的中點，則異面直線DE與D1C所成角的余弦值為_____．參考答案：【分析】過E作EF，則即為異面直線與所成角或其補角，在三角形DEF中，計算可得cos.【詳解】取的中點F，連接EF，則EF，∴即為異面直線與所成角或其補角，不妨設，則在△DEF中，DE=,,∴在等腰三角形DEF中，可得cos,故答案為：.【點睛】本題考查異面直線所成角的余弦值的求法，考查異面直角所成角的定義，考查運算求解能力，是基礎題．13.若兩點的坐標是，則的取值范圍是_________.參考答案：[1，5]略14.在平面直角坐標系xOy中，角與角均以的Ox為始邊，它們的終邊關于y軸對稱。若，則等于________.參考答案：【分析】由角與角的終邊關于軸對稱，得，再代入的2倍角展開式，進行求值。【詳解】因為角與角的終邊關于軸對稱，所以，因為。【點睛】根據角與角的終邊的對稱，利用三角函數線可快速得到兩個角的三角函數值之間的關系。15.已知，則函數f（x）的解析式為．參考答案：f（x）=x2﹣1，（x≥1）【考點】36：函數解析式的求解及常用方法．【分析】換元法：令+1=t，可得=t﹣1，代入已知化簡可得f（t），進而可得f（x）【解答】解：令+1=t，t≥1，可得=t﹣1，代入已知解析式可得f（t）=（t﹣1）2+2（t﹣1），化簡可得f（t）=t2﹣1，t≥1故可得所求函數的解析式為：f（x）=x2﹣1，（x≥1）故答案為：f（x）=x2﹣1，（x≥1）16.．在平面四邊形中，若，則的值為

．參考答案：5略17.曲線和所圍成的封閉圖形的面積是_______.參考答案：【分析】本題首先可以繪出曲線和的圖像，并找出兩曲線圖像圍成的區域，然后通過微積分以及定積分的基本定理即可解出答案。【詳解】如圖所示，曲線和所圍成的封閉圖形的面積為：，故答案為。【點睛】本題考查幾何中面積的求法，考查利用微積分以及定積分的相關性質求解面積，考查數形結合思想，考查推理能力，考查化歸與轉化思想，是中檔題。三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知數列的各項均為正數，前項和為，且

（1）求數列的通項公式；（2）設，求．參考答案：解：（1）∵，∴

①

②由①－②得：，，∵∴，又∵，∴∴當時，，符合題意．（2）∵

∴則略19.已知f（x）=（a2﹣a﹣1）xa（a是常數）為冪函數，且在第一象限單調遞增．（1）求f（x）的表達式；（2）討論函數g（x）=在（﹣，+∞）上的單調性，并證之．參考答案：【考點】3E：函數單調性的判斷與證明；4U：冪函數的概念、解析式、定義域、值域．【分析】（1）由f（x）為冪函數，且在第一象限單調遞增，列出方程組，能求出f（x）的表達式．（2）推導出g（x）=x++3，利用定義法和分類討論思想能求出結果．【解答】解：（1）∵f（x）=（a2﹣a﹣1）xa（a是常數）為冪函數，且在第一象限單調遞增．∴由題意得：，解得a=2，∴f（x）=x2．（2）g（x）===x++3，任取x1，x2∈（﹣），且x1＜x2，則g（x1）﹣g（x2）=（）﹣（+3）=（x1﹣x2）+（）=，①當﹣＜0時，x1x2﹣2＜0，x1﹣x2＜0，x1x2＞0，∴g（x1）﹣g（x2）＞0，即g（x1）＞g（x2），∴g（x）在（﹣，0）上單調遞減．②當0＜時，x1x2﹣2＜0，x1﹣x2＜0，x1x2＞0，∴g（x1）﹣g（x2）＞0，即g（x1）＞g（x2），∴g（x）在（0，）上單調遞減．③當時，x1x2﹣2＜0，x1﹣x2＜0，x1x2＜0，∴g（x1）﹣g（x2）＜0，即g（x1）＜g（x2），∴g（x）在[，+∞）上單調遞增．20.(本小題滿分12分)若不等式對一切正整數都成立，求正整數的最大值，并證明結論．參考答案：略21.如圖，四棱錐，底面是邊長為的菱形，，且平面．（Ⅰ）證明：平面平面；（Ⅱ）若平面與平面的夾角為，試求線段的長．參考答案：（Ⅰ）證明：平面，

四邊形是菱形，又，

所以平面，又平面，所以平面平面．

（6分）（Ⅱ）取的中點，由題易證，分別以為軸，建立空間直角坐標系(如圖)，設．所以．

…………（7分）設平面的法向量為,根據，得，令，則．

…………（