第五章等參單元與數(shù)值積分上海工程技術(shù)大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院第五章等參單元與數(shù)值積分上海工程技術(shù)大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院2022/11/82第五章等參單元與數(shù)值積分第3節(jié)八結(jié)點(diǎn)四邊形等參數(shù)單元第2節(jié)四結(jié)點(diǎn)四邊形等參數(shù)單元第1節(jié)概述

第4節(jié)四～九結(jié)點(diǎn)等參數(shù)單元第6節(jié)數(shù)值積分第5節(jié)等參單元列式第7節(jié)三維數(shù)等參元第8節(jié)小結(jié)2022/11/22第五章等參單元與數(shù)值積分第3節(jié)八結(jié)點(diǎn)2022/11/83第1節(jié)概述

用直邊單元離散曲邊的求解域勢(shì)必要用更多的單元數(shù)才能較準(zhǔn)確地描述實(shí)際邊界。本章將要介紹的等參元(IsoparametricElement)是目前應(yīng)用最廣的一類單元，可用這類單元更精確的描述不規(guī)則的邊界。這類單元的出現(xiàn)不僅系統(tǒng)的解決了構(gòu)造協(xié)調(diào)位移單元的問(wèn)題，而且自然坐標(biāo)系的描述方法也廣泛為其他類型的單元所采用。等參數(shù)單元在構(gòu)造形函數(shù)時(shí)首先定義一個(gè)規(guī)則的母體單元(參考單元/標(biāo)準(zhǔn)單元)，在母體單元上構(gòu)造形函數(shù)，再通過(guò)等參數(shù)變換將實(shí)際單元與母體單元聯(lián)系起來(lái)。變換涉及兩個(gè)方面：幾何圖形的變換(坐標(biāo)變換)和位移場(chǎng)函數(shù)的變換(母單元的位移模式)，由于兩種變換均采用了相同的函數(shù)關(guān)系(形函數(shù))和同一組結(jié)點(diǎn)參數(shù)，故稱其為等參變換。[概述]2022/11/23第1節(jié)概述用直邊2022/11/84第2節(jié)四結(jié)點(diǎn)四邊形等參數(shù)單元

[母體單元、自然坐標(biāo)和形函數(shù)

]

母體單元ê：邊長(zhǎng)為２的正方形，自然坐標(biāo)系ξ，η示于左圖。取四個(gè)角點(diǎn)為結(jié)點(diǎn)，在單元內(nèi)的排序?yàn)椋?、２、３、４。仿照矩形單元，可定義出四個(gè)形函數(shù)(1,1)ηξ(-1,-1)１342(5-1-1)顯然有如下特點(diǎn)：

(i)是ξ，η的雙線性函數(shù)

(ii)2022/11/24第2節(jié)四結(jié)點(diǎn)四邊形等參數(shù)單元[母體單元2022/11/85第2節(jié)四結(jié)點(diǎn)四邊形等參數(shù)單元

[母體單元、自然坐標(biāo)和形函數(shù)

](5-1-2)(iii)2022/11/25第2節(jié)四結(jié)點(diǎn)四邊形等參數(shù)單元[母體單元2022/11/86第2節(jié)四結(jié)點(diǎn)四邊形等參數(shù)單元

[實(shí)際單元與母體單元之間的坐標(biāo)變換

](1)坐標(biāo)變換

(5-1-3)

設(shè)xy平面上的實(shí)際單元e由母體單元經(jīng)過(guò)變換F得到，且規(guī)定結(jié)點(diǎn)(ξi，ηi)與結(jié)點(diǎn)(xi,yi)對(duì)應(yīng)(i=1~4)。這樣的變換不只一個(gè)，利用(5-1-1)定義的形函數(shù)即可寫出這種變換中的一個(gè)

(5-1-3)所定義的變換有如下特點(diǎn)：

2022/11/26第2節(jié)四結(jié)點(diǎn)四邊形等參數(shù)單元[實(shí)際單元2022/11/87第2節(jié)四結(jié)點(diǎn)四邊形等參數(shù)單元

[實(shí)際單元與母體單元之間的坐標(biāo)變換

]x,y是ξ，η的雙線性函數(shù)。沿母體單元中η＝常數(shù)的直線(坐標(biāo)線)，x,y是ξ的線性函數(shù)，對(duì)應(yīng)于單元e中的一組直線，特別，單元e的一組對(duì)邊1-2、3-4為直線。類似，ê中ξ＝常數(shù)的另一組坐標(biāo)線對(duì)應(yīng)于單元e中的另一組直線。特別，e的另一組對(duì)邊2-3、4-1也是直線，單元e為直邊四邊形。單元ê的其他直線(例如對(duì)角線1-3)，變換到單元e中將是一條曲線(左圖示)x,uy,v3241ξ=-1η=1ξ=-1/2ξ=0ξ=1/2ξ=1η=1/2η=0η=-1/2η=-1０2022/11/27第2節(jié)四結(jié)點(diǎn)四邊形等參數(shù)單元[實(shí)際單元2022/11/88第2節(jié)四結(jié)點(diǎn)四邊形等參數(shù)單元

[實(shí)際單元與母體單元之間的坐標(biāo)變換

](２)Jacobi矩陣和Jacobi行列式

矩陣

(5-1-4)稱為變換的Jacobi矩陣。detJ稱為變換的Jacobi行列式。一般情況下，[J]的元素和detJ都是ξ，η的函數(shù)。若detJ恒不為零(一般使它恒正)，則[J]-1存在，變換F存在逆變換F-1,即：使單元e內(nèi)的任一點(diǎn)(x,y)對(duì)應(yīng)于單元ê內(nèi)的一確定點(diǎn)(ξ，η)。此時(shí)稱變換F為非奇異的。detJ稱為變換特征量。2022/11/28第2節(jié)四結(jié)點(diǎn)四邊形等參數(shù)單元[實(shí)際單元2022/11/89第2節(jié)四結(jié)點(diǎn)四邊形等參數(shù)單元

[實(shí)際單元與母體單元之間的坐標(biāo)變換

]detJ還具有明顯的幾何意義，如下圖所示。設(shè)在(ξ，η)處detJ≠0在(ξ，η)附近取一邊長(zhǎng)為dξ，dη的長(zhǎng)方形。設(shè)此長(zhǎng)方形與單元e內(nèi)的一個(gè)小子區(qū)域dσ對(duì)應(yīng)，可以證明，此小子域的面積dσ在略去高階微量后有edσê(ξ,η)dηdξ(x,y)2022/11/29第2節(jié)四結(jié)點(diǎn)四邊形等參數(shù)單元[實(shí)際單元2022/11/810第2節(jié)四結(jié)點(diǎn)四邊形等參數(shù)單元

[實(shí)際單元與母體單元之間的坐標(biāo)變換

]例如左圖所示的實(shí)際單元e為邊長(zhǎng)分別為2a、2b的矩形。結(jié)點(diǎn)坐標(biāo)為：α2a2b1(c,d)4

23０xy

則由(5-1-3)，可得出坐標(biāo)變換為

2022/11/210第2節(jié)四結(jié)點(diǎn)四邊形等參數(shù)單元[實(shí)際單2022/11/811第2節(jié)四結(jié)點(diǎn)四邊形等參數(shù)單元

[實(shí)際單元與母體單元之間的坐標(biāo)變換

]同樣得到：表明：當(dāng)實(shí)際單元e為矩形時(shí)，經(jīng)坐標(biāo)變換得到的x,y是ξ，η的線性函數(shù)。Jacobi矩陣為Jacobi行列式

在單元內(nèi)是常數(shù)。

2022/11/211第2節(jié)四結(jié)點(diǎn)四邊形等參數(shù)單元[實(shí)際單2022/11/812第2節(jié)四結(jié)點(diǎn)四邊形等參數(shù)單元

[單元內(nèi)假設(shè)的位移場(chǎng)

]對(duì)于平面問(wèn)題，設(shè)沿總體坐標(biāo)系的位移為u、v，結(jié)點(diǎn)(xi,yi)的位移為ui，vi實(shí)際單元e內(nèi)的假設(shè)位移場(chǎng)(Trialfunction)取為(5-1-5)注意，這里u、v雖然是用點(diǎn)的自然坐標(biāo)ξ，η表述的，但位移u、v(以及后面的單元?jiǎng)偠染仃?卻是對(duì)總體坐標(biāo)系的。這與在單元局部坐標(biāo)系下定義位移場(chǎng)的作法有區(qū)別。

在坐標(biāo)變換(5-1-3)和假定的位移場(chǎng)(5-1-5)中使用的是同一套變換關(guān)系(形函數(shù))，同一套變換參數(shù)(與(xi,yi)對(duì)應(yīng)的結(jié)點(diǎn)位移(ui,vi))滿足這一特征的單元稱為等參數(shù)單元。這樣定義單元有不少優(yōu)點(diǎn)，但也對(duì)我們提出了一些新問(wèn)題。假定的位移場(chǎng)是ξ，η的雙線性函數(shù)，當(dāng)實(shí)際單元為矩形時(shí)，ξ，η可表示成x,y的線性函數(shù)，假定的位移場(chǎng)u、v是x，y的多項(xiàng)式。但位移場(chǎng)u、v不再是x，y的多項(xiàng)式。2022/11/212第2節(jié)四結(jié)點(diǎn)四邊形等參數(shù)單元[單元內(nèi)2022/11/813第2節(jié)四結(jié)點(diǎn)四邊形等參數(shù)單元

[收斂性分析

](1)單元內(nèi)位移場(chǎng)連續(xù)

x、y、u、v都是ξ，η的雙線性函數(shù)(連續(xù)函數(shù))。只要Jacobi行列式detJ≠0，u、v就是x，y的連續(xù)函數(shù)。即在實(shí)際單元內(nèi)u、v連續(xù)。(2)剛體位移和常應(yīng)變條件

對(duì)于二階問(wèn)題，這個(gè)條件歸結(jié)為假定的位移場(chǎng)中包括總體坐標(biāo)的完全一次多項(xiàng)式?；蛘邠Q一個(gè)提法：假定的位移場(chǎng)可以精確地表述任何一種線性變化的真實(shí)位移場(chǎng)。當(dāng)試探函數(shù)直接用總體坐標(biāo)的多項(xiàng)式描述時(shí)(像第四章所做的那樣)采用前面一種提法是方便的。現(xiàn)在試探函數(shù)是用自然坐標(biāo)表述的，則用后一種提法更合適一些。2022/11/213第2節(jié)四結(jié)點(diǎn)四邊形等參數(shù)單元[收斂性2022/11/814第2節(jié)四結(jié)點(diǎn)四邊形等參數(shù)單元

[收斂性分析

]我們定義的形函數(shù)滿足：(5-1-6)設(shè)真實(shí)位移場(chǎng)為x，y的線性函數(shù)

將x，y按(5-1-3)代入，

由

2022/11/214第2節(jié)四結(jié)點(diǎn)四邊形等參數(shù)單元[收斂性2022/11/815第2節(jié)四結(jié)點(diǎn)四邊形等參數(shù)單元

[收斂性分析

]注意到結(jié)點(diǎn)位移的真實(shí)值

則有

上述論證表明：只要所定義的形函數(shù)滿足(5-1-6)(不管形函數(shù)的具體表達(dá)式如何)，且坐標(biāo)變換和假定的位移場(chǎng)使用同一組形函數(shù)(等參數(shù)單元總是如此)，那么這樣假設(shè)的位移場(chǎng)一定能夠精確地表述任何一種線性位移場(chǎng)，即剛體位移和常應(yīng)變條件總可以得到滿足。

2022/11/215第2節(jié)四結(jié)點(diǎn)四邊形等參數(shù)單元[收斂性2022/11/816第2節(jié)四結(jié)點(diǎn)四邊形等參數(shù)單元

[收斂性分析

]對(duì)于二階問(wèn)題要求穿過(guò)單元邊界時(shí)位移連續(xù)。如下圖所示，考慮一個(gè)實(shí)際單元e，它的母體單元為ê。以1-2邊為例。沿1-2邊η＝常數(shù)，x、y、u、v都是ξ的線性函數(shù)。設(shè)e邊界上的M點(diǎn)與ê邊界上的點(diǎn)對(duì)應(yīng)，則M到結(jié)點(diǎn)１的距離S將是ξ的線性函數(shù)。反過(guò)來(lái)ξ也是S的線性函數(shù)，因而u，v也是Ｓ的線性函數(shù)，完全由這個(gè)邊界上兩個(gè)結(jié)點(diǎn)1、2的位移值u1、u2、v1、v2所決定。從另一相鄰單元e’看來(lái)，沿邊1-2,u、v也是S的線性函數(shù)。完全被結(jié)點(diǎn)１、２處的位移值所決定。從單元e和e’

看來(lái)沿共同邊界1-2上的位移處處相同，即在邊界上位移是連續(xù)的。對(duì)其他邊界可用類似的方法加以證明。y,v１２３４x,ue’eMs１３２êηξ4ξ(3)協(xié)調(diào)性2022/11/216第2節(jié)四結(jié)點(diǎn)四邊形等參數(shù)單元[收斂性2022/11/817第2節(jié)四結(jié)點(diǎn)四邊形等參數(shù)單元

[收斂性分析

]四結(jié)點(diǎn)四邊形等參元的形狀有較大靈活性，巧妙地解決了單元形狀的靈活性和收斂條件(主要是協(xié)調(diào)條件)之間的矛盾。但是一般的四邊形單元只能精確地再現(xiàn)線性變化的位移場(chǎng)，有限元空間Vh的次數(shù)k－1=1。雖然能保證有限元解的收斂性，但精度不夠滿意。當(dāng)實(shí)際單元是矩形時(shí)，ξ，η是x、y的線性函數(shù)，假定的位移場(chǎng)將是x、y的二次多項(xiàng)式，但只完全到一次多項(xiàng)式，二次項(xiàng)不完全。這不完全的二次項(xiàng)有時(shí)可能改善精度，有時(shí)則不能。例如，在分析下圖的“純彎曲”應(yīng)力場(chǎng)時(shí)，圖(a)中的單元將比圖(b)中的單元效果好，盡管還不能說(shuō)滿意。提高單元精度的一個(gè)途徑是增加結(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)，提高插值函數(shù)階次。

(b)(a)2022/11/217第2節(jié)四結(jié)點(diǎn)四邊形等參數(shù)單元[收斂性2022/11/818第2節(jié)四結(jié)點(diǎn)四邊形等參數(shù)單元

[四結(jié)點(diǎn)單元的應(yīng)用實(shí)例及相關(guān)限制條件

]某求解域如圖(a)所示，若將該區(qū)域用３個(gè)四結(jié)點(diǎn)等參元進(jìn)行離散，母體單元如圖(b)所示。1２３４1234(b)(d)xy0.01124342332.03.05.05.03.02.00.0142y1432x(a)(c)2022/11/218第2節(jié)四結(jié)點(diǎn)四邊形等參數(shù)單元[四結(jié)點(diǎn)2022/11/819第2節(jié)四結(jié)點(diǎn)四邊形等參數(shù)單元

[四結(jié)點(diǎn)單元的應(yīng)用實(shí)例及相關(guān)限制條件

]

從圖中可以看出：１、2號(hào)單元與母體單元的結(jié)點(diǎn)編號(hào)順序一致，均為逆鐘向，而３號(hào)單元的編號(hào)順序?yàn)轫樼娤?；１、３?hào)單元為凸形單元，即連接任意兩點(diǎn)結(jié)點(diǎn)的線段均在單元內(nèi)部，而單元２是非凸形單元，如連接結(jié)點(diǎn)１、３的線段不在單元內(nèi)。下面討論這些差別在母體單元與實(shí)際單元進(jìn)行映射時(shí)的影響。在母體單元中形函數(shù)如式(5-1-1),坐標(biāo)變換關(guān)系如式(5-1-3)。首先，計(jì)算出Jacobi矩陣中的各元素如右：2022/11/219第2節(jié)四結(jié)點(diǎn)四邊形等參數(shù)單元[四結(jié)點(diǎn)2022/11/820第2節(jié)四結(jié)點(diǎn)四邊形等參數(shù)單元

[四結(jié)點(diǎn)單元的應(yīng)用實(shí)例及相關(guān)限制條件

]下面計(jì)算出各單元具體的變換關(guān)系及Jacobi行列式的值單元１：各結(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)為Jacobi行列式是ξ的線性函數(shù)，對(duì)所有的ξ值(－1≤ξ≤1)Jacobi行列式的值恒為正，因此，母體單元與單元１的變換是可逆的。2022/11/220第2節(jié)四結(jié)點(diǎn)四邊形等參數(shù)單元[四結(jié)點(diǎn)2022/11/821第2節(jié)四結(jié)點(diǎn)四邊形等參數(shù)單元

[四結(jié)點(diǎn)單元的應(yīng)用實(shí)例及相關(guān)限制條件

]單元2：各結(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)為Jacobi行列式的值沿著直線ξ=η+1為零，母體單元中的陰影部分將映射到實(shí)際單元的陰影部分，這部分顯然在實(shí)際單元之外。例如，母體單元中的點(diǎn)ξ=3/4,η=-3/4落在陰影部分，該點(diǎn)映射到了實(shí)際單元的x=3.09375，y=1.90625。因此，母體單元與單元２的變換不是可逆的。所以內(nèi)角大于180o網(wǎng)格在任何單元中都是不允許的。一般來(lái)說(shuō)，有限元網(wǎng)格中內(nèi)角過(guò)大或過(guò)小都是不合適的。

2022/11/221第2節(jié)四結(jié)點(diǎn)四邊形等參數(shù)單元[四結(jié)點(diǎn)2022/11/822第2節(jié)四結(jié)點(diǎn)四邊形等參數(shù)單元

[四結(jié)點(diǎn)單元的應(yīng)用實(shí)例及相關(guān)限制條件

]單元3：各結(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)為Jacobi行列式的值小于零表示：右手坐標(biāo)系映射到左手坐標(biāo)系，這種變換關(guān)系在有限元方法中也是不允許的。

若將單元3的結(jié)點(diǎn)編號(hào)順序改為逆鐘向，即：

則等參變換成為可逆變換。

2022/11/222第2節(jié)四結(jié)點(diǎn)四邊形等參數(shù)單元[四結(jié)點(diǎn)2022/11/8233結(jié)點(diǎn)三角形等參數(shù)單元6結(jié)點(diǎn)三角形等參數(shù)單元

形函數(shù)推導(dǎo)過(guò)程？？2022/11/2233結(jié)點(diǎn)三角形等參數(shù)單元形函數(shù)推導(dǎo)過(guò)程？2022/11/824第3節(jié)八結(jié)點(diǎn)四邊形等參數(shù)單元

[母體單元形函數(shù)

]母體單元ê仍為邊長(zhǎng)為２的正方形(左圖所示)。自然坐標(biāo)系ξ，η如圖所示。在單元中配置八個(gè)結(jié)點(diǎn)，其中１~４仍位于角點(diǎn)上，５~８則位于各邊中點(diǎn)。構(gòu)造出八個(gè)形函數(shù)N1~N8。如下：8ηξ１342765(5-2-1)2022/11/224第3節(jié)八結(jié)點(diǎn)四邊形等參數(shù)單元[母體單2022/11/825第3節(jié)八結(jié)點(diǎn)四邊形等參數(shù)單元

[母體單元形函數(shù)

]母體單元ê仍為邊長(zhǎng)為２的正方形(左圖所示)。自然坐標(biāo)系ξ，η如圖所示。在單元中配置八個(gè)結(jié)點(diǎn)，其中１~４仍位于角點(diǎn)上，５~８則位于各邊中點(diǎn)。構(gòu)造出八個(gè)形函數(shù)N1~N8。如下：8ηξ１342765(5-2-1)2022/11/225第3節(jié)八結(jié)點(diǎn)四邊形等參數(shù)單元[母體單2022/11/826第3節(jié)八結(jié)點(diǎn)四邊形等參數(shù)單元

[母體單元形函數(shù)

]驗(yàn)證可知形函數(shù)具備以下性質(zhì)：(5-2-2)2022/11/226第3節(jié)八結(jié)點(diǎn)四邊形等參數(shù)單元[母體單2022/11/827第3節(jié)八結(jié)點(diǎn)四邊形等參數(shù)單元

[實(shí)際單元和坐標(biāo)變換

]如左圖所示，實(shí)際單元e的八個(gè)結(jié)點(diǎn)坐標(biāo)為(xi,yi)，則母體單元ê到實(shí)際單元e的坐標(biāo)變換取為(5-2-3)y76543218x0Jacobi矩陣為

2022/11/227第3節(jié)八結(jié)點(diǎn)四邊形等參數(shù)單元[實(shí)際單2022/11/828第3節(jié)八結(jié)點(diǎn)四邊形等參數(shù)單元

[實(shí)際單元和坐標(biāo)變換

]

當(dāng)Jacobi行列式detJ≠0時(shí)，(5-2-3)規(guī)定的變換是非奇異的。

(5-2-1)所定義的形函數(shù)對(duì)于變量ξ或變量η來(lái)說(shuō)次數(shù)都不超過(guò)２。沿母體單元ê中η＝常數(shù)的直線(坐標(biāo)線)，根據(jù)(5-2-3)，x、y將是ξ的二次函數(shù)，因而對(duì)應(yīng)于圖中所示實(shí)際單元e中的一族曲線。母體單元ê中ξ＝常數(shù)的直線將對(duì)應(yīng)于實(shí)際單元e中的另一族曲線。在一般情況下單元e將是曲邊四邊形。當(dāng)實(shí)際單元e為矩形，且結(jié)點(diǎn)５~８位于各邊中點(diǎn)時(shí)，變換(5-2-3)的右端退化為ξ、η的一次多項(xiàng)式，反過(guò)來(lái)ξ、η也可表示為x、y的線性函數(shù)。2022/11/228第3節(jié)八結(jié)點(diǎn)四邊形等參數(shù)單元[實(shí)際單2022/11/829第3節(jié)八結(jié)點(diǎn)四邊形等參數(shù)單元

[單元內(nèi)假設(shè)的位移場(chǎng)

](5-2-5)單元內(nèi)的位移場(chǎng)(即試探函數(shù))采用與坐標(biāo)變換相同的一套形函數(shù)(5-2-1)，對(duì)平面問(wèn)題則認(rèn)為單元e內(nèi)有(5-2-4)在(5-2-4)中，u、v是ξ、η的多項(xiàng)式，共有８項(xiàng)。如果注意到(5-2-1)定義的形函數(shù)中ξ、η的三次項(xiàng)只有ξ2η和ξη2(沒(méi)有ξ3和η3)，展開(kāi)后必歸為以下形式的位移場(chǎng)。完全到ξ、η的二次多項(xiàng)式，三次項(xiàng)不完全。一般情況下u、v不是x、y的多項(xiàng)式，但當(dāng)ξ、η可以表示成x、y的線性函數(shù)(單元e為矩形，且結(jié)點(diǎn)５~８位于各邊中點(diǎn))時(shí)u、v將是x、y的多項(xiàng)式，且完全到x、y的二次多項(xiàng)式。

2022/11/229第3節(jié)八結(jié)點(diǎn)四邊形等參數(shù)單元[單元內(nèi)2022/11/830第3節(jié)八結(jié)點(diǎn)四邊形等參數(shù)單元

[收斂性分析

]當(dāng)detJ≠0時(shí)可保證單元內(nèi)位移場(chǎng)連續(xù)，(5-2-2)則保證了剛體位移和常應(yīng)變要求。只剩下一個(gè)協(xié)調(diào)性問(wèn)題。0y,v76543218x，usMe(a)(b)１３２êηξ4ξ５７６８2022/11/230第3節(jié)八結(jié)點(diǎn)四邊形等參數(shù)單元[收斂性2022/11/831第3節(jié)八結(jié)點(diǎn)四邊形等參數(shù)單元

[收斂性分析

]

現(xiàn)以結(jié)點(diǎn)1-5-2所在的邊為例(圖示)。沿此邊η＝常數(shù)，根據(jù)(5-2-5)，u、v將是ξ的二次函數(shù)。設(shè)邊上一點(diǎn)Ｍ與單元ê邊上的點(diǎn)對(duì)應(yīng)，Ｍ到結(jié)點(diǎn)１的弧長(zhǎng)為S，則的坐標(biāo)ξ將是Ｓ的單值函數(shù)ξ(S)，這說(shuō)明，沿1-5-2邊，u、v是ξ(S)的二次函數(shù)，完全由這條邊上三個(gè)結(jié)點(diǎn)：1、5、2處的位移u１、u５、u２、v１、v５、v２決定。從而保證穿過(guò)這段邊界時(shí)位移u、v的連續(xù)性。這樣八結(jié)點(diǎn)等參數(shù)單元滿足了收斂性所要求的各項(xiàng)條件。2022/11/231第3節(jié)八結(jié)點(diǎn)四邊形等參數(shù)單元[收斂性2022/11/832第3節(jié)八結(jié)點(diǎn)四邊形等參數(shù)單元

[精度分析

]

由于性質(zhì)(5-2-2)，八結(jié)點(diǎn)等參數(shù)單元(以及四結(jié)點(diǎn)等參元)能夠精確地再現(xiàn)任何線性分布的位移場(chǎng)。當(dāng)實(shí)際單元e為矩形，且邊結(jié)點(diǎn)位于所在邊中點(diǎn)時(shí)，假定的位移場(chǎng)將包含x、y的完全二次多項(xiàng)式，這時(shí)有限元空間Vh的次數(shù)k－1為２。位移的誤差為Ο(h3)，應(yīng)力的誤差為Ο(h2)。八結(jié)點(diǎn)等參元的邊界可以為曲邊，因而可以更好地逼近區(qū)域Ω的曲線邊界。從逼近曲線邊界來(lái)講對(duì)提高精度有利，但單元形狀的畸變(單元ê為正方形，單元e為曲邊四邊形！)卻有可能損失插值精度。只有在單元畸變不大的情況下，才能保證位移和應(yīng)力的誤差分別為Ο(h3)和Ο(h2)。2022/11/232第3節(jié)八結(jié)點(diǎn)四邊形等參數(shù)單元[精度分2022/11/833第3節(jié)八結(jié)點(diǎn)四邊形等參數(shù)單元

[精度分析

]所謂畸變小是指：

(i)

連接直邊四個(gè)角點(diǎn)所成直邊四邊形的內(nèi)角遠(yuǎn)大于0o，遠(yuǎn)小于180o。(ii)上述直邊四邊形接近平行四邊形或矩形。即左圖中的

δ1=Ο(h2)(iii)實(shí)際單元(直邊或曲邊)的邊結(jié)點(diǎn)與上述直邊四邊形中點(diǎn)的偏離較小。即左圖中的δ2=Ο(h2)8δ1δ2＊＊＊＊＊δ2δ2δ276543212022/11/233第3節(jié)八結(jié)點(diǎn)四邊形等參數(shù)單元[精度分2022/11/834第3節(jié)八結(jié)點(diǎn)四邊形等參數(shù)單元

[精度分析

]對(duì)于工程問(wèn)題中通常采用的、不是有意加密的網(wǎng)格而言，上述條件很難同時(shí)得滿足。在這種情況下達(dá)不到位移Ο(h3)和應(yīng)力Ο(h2)的精度，但一般總比四結(jié)點(diǎn)單元精度好。左圖中，顯然(a)

形狀比(b)

形狀的單元畸變小，因而精度也比(b)

好。6(b)34217858(a)74326512022/11/234第3節(jié)八結(jié)點(diǎn)四邊形等參數(shù)單元[精度分2022/11/835第4節(jié)四～九結(jié)點(diǎn)等參數(shù)單元

[概述

]如左圖所示，通用分析程序中選用的往往不是固定的四結(jié)點(diǎn)或八結(jié)點(diǎn)單元，而結(jié)點(diǎn)數(shù)目可由用戶在一定范圍(例如四~九)內(nèi)任意選擇。這樣不僅為用戶提供了不同精度的單元，而且為用戶同時(shí)使用不同精度的單元時(shí)提供了過(guò)渡方法四結(jié)點(diǎn)單元(低精度單元)五結(jié)點(diǎn)單元(過(guò)渡單元)八結(jié)點(diǎn)單元(高精度單元)2022/11/235第4節(jié)四～九結(jié)點(diǎn)等參數(shù)單元[概述]2022/11/836第4節(jié)四～九結(jié)點(diǎn)等參數(shù)單元

[概述

]仍取邊長(zhǎng)為２的正方形為母體單元，自然坐標(biāo)系ξ、η取法同前面一樣。在母體單元ê中安排了九個(gè)位置，用戶可以根據(jù)自己的需要在這些位置上安排結(jié)點(diǎn)(圖5-14)。其中１~４位于角點(diǎn)，這四個(gè)節(jié)是必需的。５~8位于各邊中點(diǎn)，９位于形心，后面這五個(gè)位置可以自由安排結(jié)點(diǎn)。從上一節(jié)介紹的兩種等參數(shù)單元可知，在等參數(shù)單元中形函數(shù)起著關(guān)鍵的作用。下面重點(diǎn)討論不同情況下構(gòu)造形函數(shù)的方法。

１３２êηξ4８５６７92022/11/236第4節(jié)四～九結(jié)點(diǎn)等參數(shù)單元[概述]2022/11/837第4節(jié)四～九結(jié)點(diǎn)等參數(shù)單元

[四結(jié)點(diǎn)單元

]即第5-1節(jié)中的單元，形函數(shù)如(5-1-1)所示。母體單元如下圖所，一般實(shí)際單元如圖(b)。若四邊形單元的兩點(diǎn)結(jié)點(diǎn)(例如１和４)重合為一點(diǎn)，將得到圖(c)的三角形單元在重合的結(jié)點(diǎn)上detJ＝0，但是進(jìn)一步對(duì)位移場(chǎng)分析可知，這時(shí)得到的正是常應(yīng)變?nèi)窃?，只要在積分時(shí)避開(kāi)重合結(jié)點(diǎn)，就不會(huì)遇到什么困難。１３２êηξ4xyxy1,4２3２413ee(b)(c)(a)2022/11/237第4節(jié)四～九結(jié)點(diǎn)等參數(shù)單元[四結(jié)點(diǎn)單2022/11/838第4節(jié)四～九結(jié)點(diǎn)等參數(shù)單元

[五結(jié)點(diǎn)單元

]設(shè)在位置５處再增加一個(gè)結(jié)點(diǎn)，則成為五結(jié)點(diǎn)單元(左圖所示)。１３２êηξ4５(1)構(gòu)造形函數(shù)：為了保證在(0,-1)處為１，在其他三條邊上為零，可以構(gòu)造出：(5-3-1)(2)修改結(jié)點(diǎn)１、２當(dāng)前的形函數(shù):四結(jié)點(diǎn)單元形函數(shù)N1、N2在(ξ5、η5)的值為

為此必須對(duì)它們進(jìn)行修改,即:(5-3-2)2022/11/238第4節(jié)四～九結(jié)點(diǎn)等參數(shù)單元[五結(jié)點(diǎn)單2022/11/839第4節(jié)四～九結(jié)點(diǎn)等參數(shù)單元

[五結(jié)點(diǎn)單元

]而N3、N4則維持原狀,即：(5-3-3)(5-3-1)~(5-3-3)就是前面圖所示五結(jié)點(diǎn)單元的形函數(shù)。當(dāng)?shù)谖鍌€(gè)結(jié)點(diǎn)取在其它位置時(shí)可用類似的步驟得出形函數(shù)。

2022/11/239第4節(jié)四～九結(jié)點(diǎn)等參數(shù)單元[五結(jié)點(diǎn)單2022/11/840第4節(jié)四～九結(jié)點(diǎn)等參數(shù)單元

[六結(jié)點(diǎn)單元

]如左圖所示，設(shè)第六個(gè)結(jié)點(diǎn)取在位置８１３２êηξ4８５(1)構(gòu)造形函數(shù)

(5-3-4)(2)修改結(jié)點(diǎn)１、４當(dāng)前的形函數(shù)由(5-3-2)和(5-3-3)可知在(-1,0)之值為:

均將它們修改為:

(5-3-5)2022/11/240第4節(jié)四～九結(jié)點(diǎn)等參數(shù)單元[六結(jié)點(diǎn)單2022/11/841第4節(jié)四～九結(jié)點(diǎn)等參數(shù)單元

[六結(jié)點(diǎn)單元

]N2、N3不必修改

(5-3-6)注意，這時(shí)N1、N5、N4已同(5-2-1)相應(yīng)的形函數(shù)相同。再加一個(gè)邊結(jié)點(diǎn)仍然要做類似的兩個(gè)事：補(bǔ)充定義一個(gè)邊點(diǎn)形函數(shù)，修改兩個(gè)角點(diǎn)當(dāng)前的形函數(shù)。當(dāng)５~８位置均設(shè)置結(jié)點(diǎn)時(shí)，就成為八結(jié)點(diǎn)單元，形函數(shù)即(5-2-1)2022/11/241第4節(jié)四～九結(jié)點(diǎn)等參數(shù)單元[六結(jié)點(diǎn)單2022/11/842第4節(jié)四～九結(jié)點(diǎn)等參數(shù)單元

[九結(jié)點(diǎn)單元

](5-3-7)如左圖示，設(shè)第九個(gè)結(jié)點(diǎn)取在形心處

１３２êηξ4８５７６９(1)構(gòu)造形函數(shù)

N9(ξ,η):要求N9(ξ,η)在四邊上為零，在形心(0,0)處為１。取(2)修改結(jié)點(diǎn)1~8當(dāng)前的形函數(shù)，由(5-2-1)有

將N1(ξ,η)修改為(5-3-8)類似地(5-3-9)2022/11/242第4節(jié)四～九結(jié)點(diǎn)等參數(shù)單元[九結(jié)點(diǎn)單2022/11/843第4節(jié)四～九結(jié)點(diǎn)等參數(shù)單元

[九結(jié)點(diǎn)單元

]修改N5(ξ,η),即：類似地(5-3-10)(5-3-11)上述以四結(jié)點(diǎn)單元為基礎(chǔ)，隨著結(jié)點(diǎn)增加，逐步擴(kuò)充、修改形函數(shù)的方法很容易由計(jì)算機(jī)去執(zhí)行。如果有必要，將結(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)擴(kuò)充到16也是容易實(shí)現(xiàn)的。一旦形成了形函數(shù)，單元分析的工作就可以按統(tǒng)一的步驟進(jìn)行。

2022/11/243第4節(jié)四～九結(jié)點(diǎn)等參數(shù)單元[九結(jié)點(diǎn)單2022/11/844第5節(jié)等參元單元列式[概述

]本節(jié)以八結(jié)點(diǎn)單元為例，討論等參數(shù)單元的單元分析公式。

將單元內(nèi)位移場(chǎng)表示為矩陣形式

式中

坐標(biāo)變換為

2022/11/244第5節(jié)等參元單元列式[概述]本節(jié)2022/11/845第5節(jié)等參元單元列式[Jacobi矩陣[J]及其逆陣[J]-1

]若detJ≠0則[J]-1存在

(5-4-1)(5-4-2)(5-4-3)式(5-4-3)中的各元素的分子、分母一般情況下均為ξ,η的多項(xiàng)式，當(dāng)detJ為常數(shù)時(shí)(實(shí)際單元為矩形時(shí))，上式中的各元素退化為多項(xiàng)式。若實(shí)際單元近似為矩形，則detJ近似為常數(shù)時(shí)，各元素為近似的多項(xiàng)式(與插值多項(xiàng)式階數(shù)一致的多項(xiàng)式)2022/11/245第5節(jié)等參元單元列式[Jacobi矩2022/11/846第5節(jié)等參元單元列式[求導(dǎo)公式

]合并成

得到(下式必須以解析的形式給出各元素的表達(dá)，以便后續(xù)的積分能順利進(jìn)行)2022/11/246第5節(jié)等參元單元列式[求導(dǎo)公式]合2022/11/847第5節(jié)等參元單元列式[應(yīng)變幾何矩陣

]其中[B]稱為應(yīng)變矩陣/幾何矩陣，由八個(gè)子塊組成

(5-4-4)幾何矩陣是從單元?jiǎng)偠染仃囍蟹蛛x出的一個(gè)矩陣，在具體計(jì)算中有重要的用途。2022/11/247第5節(jié)等參元單元列式[應(yīng)變幾何矩陣2022/11/848第5節(jié)等參元單元列式[單元?jiǎng)偠染仃?/p>

]單元變形能

單元?jiǎng)偠染仃?/p>

(5-4-5)2022/11/248第5節(jié)等參元單元列式[單元?jiǎng)偠染仃?022/11/849第5節(jié)等參元單元列式[單元載荷的等效結(jié)點(diǎn)力

]體積力(fx,fy)

等效結(jié)點(diǎn)力

(5-4-6)2022/11/249第5節(jié)等參元單元列式[單元載荷的等效2022/11/850第6節(jié)數(shù)值積分[問(wèn)題的提出]對(duì)等參元或非等參單元進(jìn)行單元列式計(jì)算時(shí)要進(jìn)行下列三類積分

對(duì)于上述積分僅在單元的形狀十分規(guī)則的情況下才能得到解析的結(jié)果（精確值），一般情況只能用數(shù)值積分方法求近似值。雖然數(shù)值積分是“被迫“采用的，但后來(lái)發(fā)現(xiàn)：有選擇地控制積分點(diǎn)的個(gè)數(shù)和位置，可以方便地實(shí)現(xiàn)我們的某些特殊意圖。這樣一來(lái)，數(shù)值積分就成為有限元分析的一個(gè)重要組成部分，以至本來(lái)可以精確積分的三角形單元也常常采用數(shù)值積分。2022/11/250第6節(jié)數(shù)值積分[問(wèn)題的提出]對(duì)等參元2022/11/851第6節(jié)數(shù)值積分[數(shù)值積分方法]

數(shù)值積分方法很多，如：Newton-Cotes積分，Romberg積分，Gauss積分，Irons積分，Hammer積分等等。有限元中通常采用Gauss積分。其突出優(yōu)點(diǎn)在于程序?qū)崿F(xiàn)較簡(jiǎn)單，算法穩(wěn)定性好，算法精度和效率高，適合大型工程有限元分析程序編制。Gauss積分在有限元分析、數(shù)值分析/計(jì)算書籍中均有介紹，這里只是簡(jiǎn)單的回顧一下。當(dāng)積分點(diǎn)取為n階Legendre多項(xiàng)式的零點(diǎn)時(shí)，如果被積函數(shù)f(x)為次數(shù)不超過(guò)2n－1次的多項(xiàng)式，(5-5-1)將給出積分的精確值。這就是高斯求積分法，上述積分點(diǎn)又稱為高斯點(diǎn)。高斯點(diǎn)的個(gè)數(shù)又稱為積分階數(shù)，有限元分析中一般n=2~4。數(shù)值積分xi點(diǎn)的函數(shù)值權(quán)系數(shù)2022/11/251第6節(jié)數(shù)值積分[數(shù)值積分方法]2022/11/852第6節(jié)數(shù)值積分[數(shù)值積分方法]

現(xiàn)將常見(jiàn)的高斯點(diǎn)坐標(biāo)和權(quán)系數(shù)列成下表：

積分階數(shù)n高斯點(diǎn)坐標(biāo)權(quán)系數(shù)2n－1１x1=0W1=21２x1，2=±0.5773502692W1,2=13３x1，3=±0.7745966692x2=0W1,3=5/9W1=8/95４x1，4=±0.3611363116x2，3=±0.3399810436W1,4=0.3478548451W2,3=0.652145154972022/11/252第6節(jié)數(shù)值積分[數(shù)值積分方法]現(xiàn)將2022/11/853第6節(jié)數(shù)值積分[數(shù)值積分方法]

二維情況(三維情況與此類似)積分點(diǎn)的選擇有更大的靈活性。一種經(jīng)常采用的(并非唯一可能的)選擇方式是：沿x、y方向取同樣個(gè)數(shù)的積分點(diǎn)，積分的近似表達(dá)式為(5-5-2)積分階數(shù)n是對(duì)每一個(gè)自變量而言的積分階數(shù)，而積分點(diǎn)總數(shù)在二維情況下為n2，在三維情況下為n3。下圖所示為2D積分點(diǎn)的選擇。2022/11/253第6節(jié)數(shù)值積分[數(shù)值積分方法]二維2022/11/854第6節(jié)數(shù)值積分[數(shù)值積分方法]

此時(shí)，單元?jiǎng)偠裙?5-4-5)的數(shù)值積分形式將是(5-5-3)其中(ξi，ηj)為積分點(diǎn)的自然坐標(biāo)。對(duì)于每個(gè)積分點(diǎn)都必須將(5-4-1)~(5-4-5)執(zhí)行一遍！注意：[Ｂ]矩陣在積分點(diǎn)上的函數(shù)值是確定的，因?yàn)樗c形函數(shù)相關(guān)，而形函數(shù)是一個(gè)確定的函數(shù)。此外，上述公式均是矩陣運(yùn)算對(duì)八結(jié)點(diǎn)單元而言[k]共有162=256個(gè)元素，利用對(duì)稱性仍需對(duì)其中的136個(gè)元素進(jìn)行數(shù)值積分。在單元結(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)增加，積分階數(shù)也隨之提高的情況下，計(jì)算量是相當(dāng)可觀的。對(duì)三維情況尤其如此。

如何提高數(shù)值積分效率而又保證積分收斂性和效率，或者說(shuō)構(gòu)造求解精度和效率十分高的單元是我們不懈的追求。2022/11/254第6節(jié)數(shù)值積分[數(shù)值積分方法]此時(shí)2022/11/855第6節(jié)數(shù)值積分[有限元解的誤差]

當(dāng)保證有限元模型準(zhǔn)確的前提下，造成有限元解的誤差很多，一般而言：有限元解的誤差是四個(gè)方面因素綜合影響的結(jié)果。(i)插值誤差：這是在單元內(nèi)用多項(xiàng)式代替真實(shí)解(在整個(gè)求解域內(nèi)則表現(xiàn)為用有限自由度代替了無(wú)限自由度)所引起的。這個(gè)因素在協(xié)調(diào)位移單元中將導(dǎo)致“剛度偏大”。(ii)邊界形狀以及邊界條件的誤差：即使采用了曲邊單元，單元邊界仍有它本身的特點(diǎn)(例如是某個(gè)自然坐標(biāo)的二次函數(shù))，不可能作到與實(shí)際曲線邊界完全吻合。邊界形狀的誤差使得實(shí)際邊界條件不能得到精確滿足。這種誤差一般只在邊界附近影響較大(奇異點(diǎn)除外)。

(iii)數(shù)值積分誤差：這種“誤差”如果利用得好，可以與(i)引起的誤差“抵消”，但處理不當(dāng)也將影響解的精度。2022/11/255第6節(jié)數(shù)值積分[有限元解的誤差]當(dāng)2022/11/856第6節(jié)數(shù)值積分[有限元解的誤差]

(iv)截?cái)嗾`差:可以加大計(jì)算機(jī)的字長(zhǎng)(例如用雙精度量)使其減少。

??！說(shuō)明：對(duì)工程應(yīng)用中采用大型有限元分析軟件時(shí)，影響我們具體分析工作精度的核心在于兩方面，其一是模型的建立，包括：?jiǎn)卧倪x擇(本構(gòu)關(guān)系的選擇)，幾何模型(求解域)的合理簡(jiǎn)化等；其二是如何將實(shí)際結(jié)構(gòu)的邊界等效為理想的邊界條件從而進(jìn)行處理，以獲得與實(shí)驗(yàn)結(jié)果相符合的結(jié)果，真正實(shí)現(xiàn)CAD/CAE/CAM一體化。第二個(gè)方面是目前拓展有限元方法在機(jī)械工程應(yīng)用領(lǐng)域的研究難點(diǎn)和重點(diǎn)。2022/11/256第6節(jié)數(shù)值積分[有限元解的誤差](2022/11/857第6節(jié)數(shù)值積分[積分階次的選擇]

積分階數(shù)的選擇要考慮幾方面的因素。

(1)積分精度

單元?jiǎng)偠染仃嚬?5-4-5)的被積函數(shù)中起主要影響的是兩個(gè)因素：幾何矩陣[B]和Jacobi行列式detJ。暫時(shí)認(rèn)為[D]、t在單元內(nèi)為常量。當(dāng)網(wǎng)格分得很細(xì)時(shí)，每個(gè)單元將接近常應(yīng)變狀態(tài)，[B]接近于常量(與常量之差為高階小量)。detJ則反映單元的畸變程度在網(wǎng)格加密的過(guò)程中單元畸變未必會(huì)減輕。為了使數(shù)值積分得到的變形能逼近真實(shí)解的變形能，必須在單元內(nèi)得到detJ積分的精確值。對(duì)于四結(jié)點(diǎn)單元，detJ是ξ，η的雙線性函數(shù)，對(duì)于八結(jié)點(diǎn)單元detJ中出現(xiàn)ξ，η的最高次數(shù)是ξ3，η3。故從收斂到真實(shí)解這一要求出發(fā)，四結(jié)點(diǎn)單元的積分階數(shù)至少為１，八結(jié)點(diǎn)單元的積分階數(shù)至少為２。2022/11/257第6節(jié)數(shù)值積分[積分階次的選擇]積2022/11/858第6節(jié)數(shù)值積分[積分階次的選擇]

對(duì)于矩形單元detJ為常數(shù)，單元內(nèi)[B]的元素是ξ，η的多項(xiàng)式。對(duì)于四結(jié)點(diǎn)單元[B]T[D][B]的元素是ξ，η的二次多項(xiàng)式，積分階數(shù)取為２即可得到精確的數(shù)值積分、對(duì)于八結(jié)點(diǎn)單元[B]T[D][B]的元素是ξ，η的四次多項(xiàng)式，積分階數(shù)取為３即可得到精確的數(shù)值積分。在厚度t為ξ，η線性函數(shù)的情況下，不必增加積分點(diǎn)個(gè)數(shù)仍可保證數(shù)值積分的精確性。在一般情況下，單元不會(huì)很小(單元內(nèi)不接近常應(yīng)變狀態(tài))，單元也不一定為矩形(detJ一般取積分階數(shù)為２。對(duì)八結(jié)點(diǎn)單元積分階數(shù)則為２~３。對(duì)于[B]在單元內(nèi)不是常量)。為保證積分精度，對(duì)于四結(jié)點(diǎn)單元畸變嚴(yán)重的單元積分階數(shù)可以取為４，但這種單元應(yīng)盡量少用。隨著積分階數(shù)的提高，積分點(diǎn)個(gè)數(shù)增加很快，計(jì)算量也隨之迅速增加。2022/11/258第6節(jié)數(shù)值積分[積分階次的選擇]2022/11/859第6節(jié)數(shù)值積分[積分階次的選擇]

(2)選擇較低積分階數(shù)，得到的有限元解有時(shí)會(huì)更接近精確解。

這一現(xiàn)象可以解釋為：協(xié)調(diào)位移單元的剛度偏大，而采用較低的積分階數(shù)，卻可能使剛度下降，從而改善了解的質(zhì)量。(3)零變形能模式:一個(gè)精確的單元?jiǎng)偠染仃嘯k]是一個(gè)半正定陣，單元變形能為

僅對(duì)剛體位移模式才為零。在積分點(diǎn)個(gè)數(shù)過(guò)少，剛度陣為近似值的情況下，零特征值的數(shù)目可能會(huì)多于獨(dú)立剛體位移的個(gè)數(shù)。以至?xí)霈F(xiàn)這樣一種或幾種位移模式：它們不是剛體位移模式，但對(duì)應(yīng)的變形能為零，這樣的位移模式稱為零變形能模式。2022/11/259第6節(jié)數(shù)值積分[積分階次的選擇](2022/11/860第6節(jié)數(shù)值積分[積分階次的選擇]

零變形能模式要出現(xiàn)下結(jié)構(gòu)中，必須具備三個(gè)條件：

(i)對(duì)單元?jiǎng)偠染仃囘M(jìn)行數(shù)值積分時(shí)積分點(diǎn)個(gè)數(shù)較少(或者說(shuō)積分階數(shù)較低)。具體條件是:

積分點(diǎn)個(gè)數(shù)每點(diǎn)應(yīng)變分量數(shù)＜單元結(jié)點(diǎn)自由度總數(shù)－單元獨(dú)立剛體位移模式個(gè)數(shù)(ii)對(duì)于可能出現(xiàn)的零變形能位移模式，單元之間是相容的。(iii)加在區(qū)域上的強(qiáng)制邊界條件不能約束零變形位移模式。如果具備了這些條件，零變形能模式就可能以相當(dāng)大的數(shù)值(齊次方程的解乘任何倍數(shù)仍然是方程的解)迭加在正常的有限元解上，以至將后者完全淹沒(méi)。2022/11/260第6節(jié)數(shù)值積分[積分階次的選擇]零2022/11/861第6節(jié)數(shù)值積分[積分階次的選擇]

例如：對(duì)于八結(jié)點(diǎn)矩形單元，取3×3個(gè)積分點(diǎn)即可得到單元?jiǎng)偠染仃嚨木_積分(二次插值)。當(dāng)取2×2個(gè)積分點(diǎn)時(shí)，單元?jiǎng)傮w位移為3，每個(gè)積分點(diǎn)有3個(gè)應(yīng)變分量，則有43=12＜13=16－3積分點(diǎn)個(gè)數(shù)每點(diǎn)應(yīng)變分量數(shù)單元結(jié)點(diǎn)自由度總數(shù)單元獨(dú)立剛體位移模式個(gè)數(shù)零變形能模式個(gè)數(shù)為

13-12=12022/11/261第6節(jié)數(shù)值積分[積分階次的選擇]例2022/11/862第7節(jié)三維等參元[母體單元

]如左圖所示，母體單元ê是一邊長(zhǎng)為２的正立方體。自然坐標(biāo)：ξ、η、ζ。結(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)：8~27。其中1~8為角點(diǎn)。9~20為各棱中點(diǎn)，21為體心，22~27為各面面心。結(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)至少為8。êζξη2022/11/262第7節(jié)三維等參元[母體單元]如左2022/11/863第7節(jié)三維等參元[母體單元

]形函數(shù)：當(dāng)結(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)為8時(shí)

實(shí)際單元的棱為直棱，面可以是雙曲面。增加結(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)時(shí)，要補(bǔ)充新的形函數(shù)，同時(shí)對(duì)原有的形函數(shù)進(jìn)行“修改”。當(dāng)結(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)加到20時(shí)，每條棱都允許是曲棱，每個(gè)面都可以是曲面。

2022/11/263第7節(jié)三維等參元[母體單元]形函2022/11/864第7節(jié)三維等參元[數(shù)值積分

](i)對(duì)于8結(jié)點(diǎn)的等參元，2×2×2給出精確積分，1×1×1為縮減積分。但因此，8結(jié)點(diǎn)的等參元不能采用縮減積分。

(ii)對(duì)于27結(jié)點(diǎn)的等參元而言，應(yīng)變?yōu)棣?、η、ζ的二次函?shù)。精確積分的點(diǎn)數(shù)為27，即3×3×3，2×2×2為縮減積分。但(iii)對(duì)于20結(jié)點(diǎn)的三維等參元而言，精確積分的點(diǎn)數(shù)為27，即3×3×3，縮減積分為2×2×2

，但因此，27結(jié)點(diǎn)的等參元不能采用縮減積分。

因此，20結(jié)點(diǎn)的等參元不能采用縮減積分。

(iv)14積分點(diǎn)公式等其它方案可以達(dá)到精確的3×3×3積分一樣的精度，但是積分效率可以成倍提高。單元結(jié)點(diǎn)自由度總數(shù)－積分點(diǎn)個(gè)數(shù)每點(diǎn)應(yīng)變分量數(shù)>單元獨(dú)立剛體位移模式個(gè)數(shù)(=6)2022/11/264第7節(jié)三維等參元[數(shù)值積分](i2022/11/865第8節(jié)小結(jié)[小結(jié)

]

等參數(shù)單元是目前應(yīng)用最廣的一類單元，它的邊可直可曲，精度可高可低。由于采用數(shù)值積分，處理材料非線性問(wèn)題不會(huì)遇到新的困難。鑒于這些優(yōu)點(diǎn)，在一些通用分析程序中，等參元成為處理二階問(wèn)題的主要單元。尤其是裂紋等奇異元構(gòu)造中，通常采用等參單元。但等參數(shù)單元也有它的不足之處：精度和計(jì)算量之間在存著矛盾。在二維情況下，結(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)取到20單元才有較滿意的適應(yīng)能力，而這時(shí)計(jì)算量往往相當(dāng)可觀。解決這一矛盾的辦法是探索新型單元，如非協(xié)調(diào)元、理性單元、樣條單元等等就是其中的一類。2022/11/265第8節(jié)小結(jié)[小結(jié)]第五章等參單元與數(shù)值積分上海工程技術(shù)大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院第五章等參單元與數(shù)值積分上海工程技術(shù)大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院2022/11/867第五章等參單元與數(shù)值積分第3節(jié)八結(jié)點(diǎn)四邊形等參數(shù)單元第2節(jié)四結(jié)點(diǎn)四邊形等參數(shù)單元第1節(jié)概述

第4節(jié)四～九結(jié)點(diǎn)等參數(shù)單元第6節(jié)數(shù)值積分第5節(jié)等參單元列式第7節(jié)三維數(shù)等參元第8節(jié)小結(jié)2022/11/22第五章等參單元與數(shù)值積分第3節(jié)八結(jié)點(diǎn)2022/11/868第1節(jié)概述

用直邊單元離散曲邊的求解域勢(shì)必要用更多的單元數(shù)才能較準(zhǔn)確地描述實(shí)際邊界。本章將要介紹的等參元(IsoparametricElement)是目前應(yīng)用最廣的一類單元，可用這類單元更精確的描述不規(guī)則的邊界。這類單元的出現(xiàn)不僅系統(tǒng)的解決了構(gòu)造協(xié)調(diào)位移單元的問(wèn)題，而且自然坐標(biāo)系的描述方法也廣泛為其他類型的單元所采用。等參數(shù)單元在構(gòu)造形函數(shù)時(shí)首先定義一個(gè)規(guī)則的母體單元(參考單元/標(biāo)準(zhǔn)單元)，在母體單元上構(gòu)造形函數(shù)，再通過(guò)等參數(shù)變換將實(shí)際單元與母體單元聯(lián)系起來(lái)。變換涉及兩個(gè)方面：幾何圖形的變換(坐標(biāo)變換)和位移場(chǎng)函數(shù)的變換(母單元的位移模式)，由于兩種變換均采用了相同的函數(shù)關(guān)系(形函數(shù))和同一組結(jié)點(diǎn)參數(shù)，故稱其為等參變換。[概述]2022/11/23第1節(jié)概述用直邊2022/11/869第2節(jié)四結(jié)點(diǎn)四邊形等參數(shù)單元

[母體單元、自然坐標(biāo)和形函數(shù)

]

母體單元ê：邊長(zhǎng)為２的正方形，自然坐標(biāo)系ξ，η示于左圖。取四個(gè)角點(diǎn)為結(jié)點(diǎn)，在單元內(nèi)的排序?yàn)椋薄ⅲ病ⅲ?、４。仿照矩形單元，可定義出四個(gè)形函數(shù)(1,1)ηξ(-1,-1)１342(5-1-1)顯然有如下特點(diǎn)：

(i)是ξ，η的雙線性函數(shù)

(ii)2022/11/24第2節(jié)四結(jié)點(diǎn)四邊形等參數(shù)單元[母體單元2022/11/870第2節(jié)四結(jié)點(diǎn)四邊形等參數(shù)單元

[母體單元、自然坐標(biāo)和形函數(shù)

](5-1-2)(iii)2022/11/25第2節(jié)四結(jié)點(diǎn)四邊形等參數(shù)單元[母體單元2022/11/871第2節(jié)四結(jié)點(diǎn)四邊形等參數(shù)單元

[實(shí)際單元與母體單元之間的坐標(biāo)變換

](1)坐標(biāo)變換

(5-1-3)

設(shè)xy平面上的實(shí)際單元e由母體單元經(jīng)過(guò)變換F得到，且規(guī)定結(jié)點(diǎn)(ξi，ηi)與結(jié)點(diǎn)(xi,yi)對(duì)應(yīng)(i=1~4)。這樣的變換不只一個(gè)，利用(5-1-1)定義的形函數(shù)即可寫出這種變換中的一個(gè)

(5-1-3)所定義的變換有如下特點(diǎn)：

2022/11/26第2節(jié)四結(jié)點(diǎn)四邊形等參數(shù)單元[實(shí)際單元2022/11/872第2節(jié)四結(jié)點(diǎn)四邊形等參數(shù)單元

[實(shí)際單元與母體單元之間的坐標(biāo)變換

]x,y是ξ，η的雙線性函數(shù)。沿母體單元中η＝常數(shù)的直線(坐標(biāo)線)，x,y是ξ的線性函數(shù)，對(duì)應(yīng)于單元e中的一組直線，特別，單元e的一組對(duì)邊1-2、3-4為直線。類似，ê中ξ＝常數(shù)的另一組坐標(biāo)線對(duì)應(yīng)于單元e中的另一組直線。特別，e的另一組對(duì)邊2-3、4-1也是直線，單元e為直邊四邊形。單元ê的其他直線(例如對(duì)角線1-3)，變換到單元e中將是一條曲線(左圖示)x,uy,v3241ξ=-1η=1ξ=-1/2ξ=0ξ=1/2ξ=1η=1/2η=0η=-1/2η=-1０2022/11/27第2節(jié)四結(jié)點(diǎn)四邊形等參數(shù)單元[實(shí)際單元2022/11/873第2節(jié)四結(jié)點(diǎn)四邊形等參數(shù)單元

[實(shí)際單元與母體單元之間的坐標(biāo)變換

](２)Jacobi矩陣和Jacobi行列式

矩陣

(5-1-4)稱為變換的Jacobi矩陣。detJ稱為變換的Jacobi行列式。一般情況下，[J]的元素和detJ都是ξ，η的函數(shù)。若detJ恒不為零(一般使它恒正)，則[J]-1存在，變換F存在逆變換F-1,即：使單元e內(nèi)的任一點(diǎn)(x,y)對(duì)應(yīng)于單元ê內(nèi)的一確定點(diǎn)(ξ，η)。此時(shí)稱變換F為非奇異的。detJ稱為變換特征量。2022/11/28第2節(jié)四結(jié)點(diǎn)四邊形等參數(shù)單元[實(shí)際單元2022/11/874第2節(jié)四結(jié)點(diǎn)四邊形等參數(shù)單元

[實(shí)際單元與母體單元之間的坐標(biāo)變換

]detJ還具有明顯的幾何意義，如下圖所示。設(shè)在(ξ，η)處detJ≠0在(ξ，η)附近取一邊長(zhǎng)為dξ，dη的長(zhǎng)方形。設(shè)此長(zhǎng)方形與單元e內(nèi)的一個(gè)小子區(qū)域dσ對(duì)應(yīng)，可以證明，此小子域的面積dσ在略去高階微量后有edσê(ξ,η)dηdξ(x,y)2022/11/29第2節(jié)四結(jié)點(diǎn)四邊形等參數(shù)單元[實(shí)際單元2022/11/875第2節(jié)四結(jié)點(diǎn)四邊形等參數(shù)單元

[實(shí)際單元與母體單元之間的坐標(biāo)變換

]例如左圖所示的實(shí)際單元e為邊長(zhǎng)分別為2a、2b的矩形。結(jié)點(diǎn)坐標(biāo)為：α2a2b1(c,d)4

23０xy

則由(5-1-3)，可得出坐標(biāo)變換為

2022/11/210第2節(jié)四結(jié)點(diǎn)四邊形等參數(shù)單元[實(shí)際單2022/11/876第2節(jié)四結(jié)點(diǎn)四邊形等參數(shù)單元

[實(shí)際單元與母體單元之間的坐標(biāo)變換

]同樣得到：表明：當(dāng)實(shí)際單元e為矩形時(shí)，經(jīng)坐標(biāo)變換得到的x,y是ξ，η的線性函數(shù)。Jacobi矩陣為Jacobi行列式

在單元內(nèi)是常數(shù)。

2022/11/211第2節(jié)四結(jié)點(diǎn)四邊形等參數(shù)單元[實(shí)際單2022/11/877第2節(jié)四結(jié)點(diǎn)四邊形等參數(shù)單元

[單元內(nèi)假設(shè)的位移場(chǎng)

]對(duì)于平面問(wèn)題，設(shè)沿總體坐標(biāo)系的位移為u、v，結(jié)點(diǎn)(xi,yi)的位移為ui，vi實(shí)際單元e內(nèi)的假設(shè)位移場(chǎng)(Trialfunction)取為(5-1-5)注意，這里u、v雖然是用點(diǎn)的自然坐標(biāo)ξ，η表述的，但位移u、v(以及后面的單元?jiǎng)偠染仃?卻是對(duì)總體坐標(biāo)系的。這與在單元局部坐標(biāo)系下定義位移場(chǎng)的作法有區(qū)別。

在坐標(biāo)變換(5-1-3)和假定的位移場(chǎng)(5-1-5)中使用的是同一套變換關(guān)系(形函數(shù))，同一套變換參數(shù)(與(xi,yi)對(duì)應(yīng)的結(jié)點(diǎn)位移(ui,vi))滿足這一特征的單元稱為等參數(shù)單元。這樣定義單元有不少優(yōu)點(diǎn)，但也對(duì)我們提出了一些新問(wèn)題。假定的位移場(chǎng)是ξ，η的雙線性函數(shù)，當(dāng)實(shí)際單元為矩形時(shí)，ξ，η可表示成x,y的線性函數(shù)，假定的位移場(chǎng)u、v是x，y的多項(xiàng)式。但位移場(chǎng)u、v不再是x，y的多項(xiàng)式。2022/11/212第2節(jié)四結(jié)點(diǎn)四邊形等參數(shù)單元[單元內(nèi)2022/11/878第2節(jié)四結(jié)點(diǎn)四邊形等參數(shù)單元

[收斂性分析

](1)單元內(nèi)位移場(chǎng)連續(xù)

x、y、u、v都是ξ，η的雙線性函數(shù)(連續(xù)函數(shù))。只要Jacobi行列式detJ≠0，u、v就是x，y的連續(xù)函數(shù)。即在實(shí)際單元內(nèi)u、v連續(xù)。(2)剛體位移和常應(yīng)變條件

對(duì)于二階問(wèn)題，這個(gè)條件歸結(jié)為假定的位移場(chǎng)中包括總體坐標(biāo)的完全一次多項(xiàng)式。或者換一個(gè)提法：假定的位移場(chǎng)可以精確地表述任何一種線性變化的真實(shí)位移場(chǎng)。當(dāng)試探函數(shù)直接用總體坐標(biāo)的多項(xiàng)式描述時(shí)(像第四章所做的那樣)采用前面一種提法是方便的?，F(xiàn)在試探函數(shù)是用自然坐標(biāo)表述的，則用后一種提法更合適一些。2022/11/213第2節(jié)四結(jié)點(diǎn)四邊形等參數(shù)單元[收斂性2022/11/879第2節(jié)四結(jié)點(diǎn)四邊形等參數(shù)單元

[收斂性分析

]我們定義的形函數(shù)滿足：(5-1-6)設(shè)真實(shí)位移場(chǎng)為x，y的線性函數(shù)

將x，y按(5-1-3)代入，

由

2022/11/214第2節(jié)四結(jié)點(diǎn)四邊形等參數(shù)單元[收斂性2022/11/880第2節(jié)四結(jié)點(diǎn)四邊形等參數(shù)單元

[收斂性分析

]注意到結(jié)點(diǎn)位移的真實(shí)值

則有

上述論證表明：只要所定義的形函數(shù)滿足(5-1-6)(不管形函數(shù)的具體表達(dá)式如何)，且坐標(biāo)變換和假定的位移場(chǎng)使用同一組形函數(shù)(等參數(shù)單元總是如此)，那么這樣假設(shè)的位移場(chǎng)一定能夠精確地表述任何一種線性位移場(chǎng)，即剛體位移和常應(yīng)變條件總可以得到滿足。

2022/11/215第2節(jié)四結(jié)點(diǎn)四邊形等參數(shù)單元[收斂性2022/11/881第2節(jié)四結(jié)點(diǎn)四邊形等參數(shù)單元

[收斂性分析

]對(duì)于二階問(wèn)題要求穿過(guò)單元邊界時(shí)位移連續(xù)。如下圖所示，考慮一個(gè)實(shí)際單元e，它的母體單元為ê。以1-2邊為例。沿1-2邊η＝常數(shù)，x、y、u、v都是ξ的線性函數(shù)。設(shè)e邊界上的M點(diǎn)與ê邊界上的點(diǎn)對(duì)應(yīng)，則M到結(jié)點(diǎn)１的距離S將是ξ的線性函數(shù)。反過(guò)來(lái)ξ也是S的線性函數(shù)，因而u，v也是Ｓ的線性函數(shù)，完全由這個(gè)邊界上兩個(gè)結(jié)點(diǎn)1、2的位移值u1、u2、v1、v2所決定。從另一相鄰單元e’看來(lái)，沿邊1-2,u、v也是S的線性函數(shù)。完全被結(jié)點(diǎn)１、２處的位移值所決定。從單元e和e’

看來(lái)沿共同邊界1-2上的位移處處相同，即在邊界上位移是連續(xù)的。對(duì)其他邊界可用類似的方法加以證明。y,v１２３４x,ue’eMs１３２êηξ4ξ(3)協(xié)調(diào)性2022/11/216第2節(jié)四結(jié)點(diǎn)四邊形等參數(shù)單元[收斂性2022/11/882第2節(jié)四結(jié)點(diǎn)四邊形等參數(shù)單元

[收斂性分析

]四結(jié)點(diǎn)四邊形等參元的形狀有較大靈活性，巧妙地解決了單元形狀的靈活性和收斂條件(主要是協(xié)調(diào)條件)之間的矛盾。但是一般的四邊形單元只能精確地再現(xiàn)線性變化的位移場(chǎng)，有限元空間Vh的次數(shù)k－1=1。雖然能保證有限元解的收斂性，但精度不夠滿意。當(dāng)實(shí)際單元是矩形時(shí)，ξ，η是x、y的線性函數(shù)，假定的位移場(chǎng)將是x、y的二次多項(xiàng)式，但只完全到一次多項(xiàng)式，二次項(xiàng)不完全。這不完全的二次項(xiàng)有時(shí)可能改善精度，有時(shí)則不能。例如，在分析下圖的“純彎曲”應(yīng)力場(chǎng)時(shí)，圖(a)中的單元將比圖(b)中的單元效果好，盡管還不能說(shuō)滿意。提高單元精度的一個(gè)途徑是增加結(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)，提高插值函數(shù)階次。

(b)(a)2022/11/217第2節(jié)四結(jié)點(diǎn)四邊形等參數(shù)單元[收斂性2022/11/883第2節(jié)四結(jié)點(diǎn)四邊形等參數(shù)單元

[四結(jié)點(diǎn)單元的應(yīng)用實(shí)例及相關(guān)限制條件

]某求解域如圖(a)所示，若將該區(qū)域用３個(gè)四結(jié)點(diǎn)等參元進(jìn)行離散，母體單元如圖(b)所示。1２３４1234(b)(d)xy0.01124342332.03.05.05.03.02.00.0142y1432x(a)(c)2022/11/218第2節(jié)四結(jié)點(diǎn)四邊形等參數(shù)單元[四結(jié)點(diǎn)2022/11/884第2節(jié)四結(jié)點(diǎn)四邊形等參數(shù)單元

[四結(jié)點(diǎn)單元的應(yīng)用實(shí)例及相關(guān)限制條件

]

從圖中可以看出：１、2號(hào)單元與母體單元的結(jié)點(diǎn)編號(hào)順序一致，均為逆鐘向，而３號(hào)單元的編號(hào)順序?yàn)轫樼娤?；１、３?hào)單元為凸形單元，即連接任意兩點(diǎn)結(jié)點(diǎn)的線段均在單元內(nèi)部，而單元２是非凸形單元，如連接結(jié)點(diǎn)１、３的線段不在單元內(nèi)。下面討論這些差別在母體單元與實(shí)際單元進(jìn)行映射時(shí)的影響。在母體單元中形函數(shù)如式(5-1-1),坐標(biāo)變換關(guān)系如式(5-1-3)。首先，計(jì)算出Jacobi矩陣中的各元素如右：2022/11/219第2節(jié)四結(jié)點(diǎn)四邊形等參數(shù)單元[四結(jié)點(diǎn)2022/11/885第2節(jié)四結(jié)點(diǎn)四邊形等參數(shù)單元

[四結(jié)點(diǎn)單元的應(yīng)用實(shí)例及相關(guān)限制條件

]下面計(jì)算出各單元具體的變換關(guān)系及Jacobi行列式的值單元１：各結(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)為Jacobi行列式是ξ的線性函數(shù)，對(duì)所有的ξ值(－1≤ξ≤1)Jacobi行列式的值恒為正，因此，母體單元與單元１的變換是可逆的。2022/11/220第2節(jié)四結(jié)點(diǎn)四邊形等參數(shù)單元[四結(jié)點(diǎn)2022/11/886第2節(jié)四結(jié)點(diǎn)四邊形等參數(shù)單元

[四結(jié)點(diǎn)單元的應(yīng)用實(shí)例及相關(guān)限制條件

]單元2：各結(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)為Jacobi行列式的值沿著直線ξ=η+1為零，母體單元中的陰影部分將映射到實(shí)際單元的陰影部分，這部分顯然在實(shí)際單元之外。例如，母體單元中的點(diǎn)ξ=3/4,η=-3/4落在陰影部分，該點(diǎn)映射到了實(shí)際單元的x=3.09375，y=1.90625。因此，母體單元與單元２的變換不是可逆的。所以內(nèi)角大于180o網(wǎng)格在任何單元中都是不允許的。一般來(lái)說(shuō)，有限元網(wǎng)格中內(nèi)角過(guò)大或過(guò)小都是不合適的。

2022/11/221第2節(jié)四結(jié)點(diǎn)四邊形等參數(shù)單元[四結(jié)點(diǎn)2022/11/887第2節(jié)四結(jié)點(diǎn)四邊形等參數(shù)單元

[四結(jié)點(diǎn)單元的應(yīng)用實(shí)例及相關(guān)限制條件

]單元3：各結(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)為Jacobi行列式的值小于零表示：右手坐標(biāo)系映射到左手坐標(biāo)系，這種變換關(guān)系在有限元方法中也是不允許的。

若將單元3的結(jié)點(diǎn)編號(hào)順序改為逆鐘向，即：

則等參變換成為可逆變換。

2022/11/222第2節(jié)四結(jié)點(diǎn)四邊形等參數(shù)單元[四結(jié)點(diǎn)2022/11/8883結(jié)點(diǎn)三角形等參數(shù)單元6結(jié)點(diǎn)三角形等參數(shù)單元

形函數(shù)推導(dǎo)過(guò)程？？2022/11/2233結(jié)點(diǎn)三角形等參數(shù)單元形函數(shù)推導(dǎo)過(guò)程？2022/11/889第3節(jié)八結(jié)點(diǎn)四邊形等參數(shù)單元

[母體單元形函數(shù)

]母體單元ê仍為邊長(zhǎng)為２的正方形(左圖所示)。自然坐標(biāo)系ξ，η如圖所示。在單元中配置八個(gè)結(jié)點(diǎn)，其中１~４仍位于角點(diǎn)上，５~８則位于各邊中點(diǎn)。構(gòu)造出八個(gè)形函數(shù)N1~N8。如下：8ηξ１342765(5-2-1)2022/11/224第3節(jié)八結(jié)點(diǎn)四邊形等參數(shù)單元[母體單2022/11/890第3節(jié)八結(jié)點(diǎn)四邊形等參數(shù)單元

[母體單元形函數(shù)

]母體單元ê仍為邊長(zhǎng)為２的正方形(左圖所示)。自然坐標(biāo)系ξ，η如圖所示。在單元中配置八個(gè)結(jié)點(diǎn)，其中１~４仍位于角點(diǎn)上，５~８則位于各邊中點(diǎn)。構(gòu)造出八個(gè)形函數(shù)N1~N8。如下：8ηξ１342765(5-2-1)2022/11/225第3節(jié)八結(jié)點(diǎn)四邊形等參數(shù)單元[母體單2022/11/891第3節(jié)八結(jié)點(diǎn)四邊形等參數(shù)單元

[母體單元形函數(shù)

]驗(yàn)證可知形函數(shù)具備以下性質(zhì)：(5-2-2)2022/11/226第3節(jié)八結(jié)點(diǎn)四邊形等參數(shù)單元[母體單2022/11/892第3節(jié)八結(jié)點(diǎn)四邊形等參數(shù)單元

[實(shí)際單元和坐標(biāo)變換

]如左圖所示，實(shí)際單元e的八個(gè)結(jié)點(diǎn)坐標(biāo)為(xi,yi)，則母體單元ê到實(shí)際單元e的坐標(biāo)變換取為(5-2-3)y76543218x0Jacobi矩陣為

2022/11/227第3節(jié)八結(jié)點(diǎn)四邊形等參數(shù)單元[實(shí)際單2022/11/893第3節(jié)八結(jié)點(diǎn)四邊形等參數(shù)單元

[實(shí)際單元和坐標(biāo)變換

]

當(dāng)Jacobi行列式detJ≠0時(shí)，(5-2-3)規(guī)定的變換是非奇異的。

(5-2-1)所定義的形函數(shù)對(duì)于變量ξ或變量η來(lái)說(shuō)次數(shù)都不超過(guò)２。沿母體單元ê中η＝常數(shù)的直線(坐標(biāo)線)，根據(jù)(5-2-3)，x、y將是ξ的二次函數(shù)，因而對(duì)應(yīng)于圖中所示實(shí)際單元e中的一族曲線。母體單元ê中ξ＝常數(shù)的直線將對(duì)應(yīng)于實(shí)際單元e中的另一族曲線。在一般情況下單元e將是曲邊四邊形。當(dāng)實(shí)際單元e為矩形，且結(jié)點(diǎn)５~８位于各邊中點(diǎn)時(shí)，變換(5-2-3)的右端退化為ξ、η的一次多項(xiàng)式，反過(guò)來(lái)ξ、η也可表示為x、y的線性函數(shù)。2022/11/228第3節(jié)八結(jié)點(diǎn)四邊形等參數(shù)單元[實(shí)際單2022/11/894第3節(jié)八結(jié)點(diǎn)四邊形等參數(shù)單元

[單元內(nèi)假設(shè)的位移場(chǎng)

](5-2-5)單元內(nèi)的位移場(chǎng)(即試探函數(shù))采用與坐標(biāo)變換相同的一套形函數(shù)(5-2-1)，對(duì)平面問(wèn)題則認(rèn)為單元e內(nèi)有(5-2-4)在(5-2-4)中，u、v是ξ、η的多項(xiàng)式，共有８項(xiàng)。如果注意到(5-2-1)定義的形函數(shù)中ξ、η的三次項(xiàng)只有ξ2η和ξη2(沒(méi)有ξ3和η3)，展開(kāi)后必歸為以下形式的位移場(chǎng)。完全到ξ、η的二次多項(xiàng)式，三次項(xiàng)不完全。一般情況下u、v不是x、y的多項(xiàng)式，但當(dāng)ξ、η可以表示成x、y的線性函數(shù)(單元e為矩形，且結(jié)點(diǎn)５~８位于各邊中點(diǎn))時(shí)u、v將是x、y的多項(xiàng)式，且完全到x、y的二次多項(xiàng)式。

2022/11/229第3節(jié)八結(jié)點(diǎn)四邊形等參數(shù)單元[單元內(nèi)2022/11/895第3節(jié)八結(jié)點(diǎn)四邊形等參數(shù)單元

[收斂性分析

]當(dāng)detJ≠0時(shí)可保證單元內(nèi)位移場(chǎng)連續(xù)，(5-2-2)則保證了剛體位移和常應(yīng)變要求。只剩下一個(gè)協(xié)調(diào)性問(wèn)題。0y,v76543218x，usMe(a)(b)１３２êηξ4ξ５７６８2022/11/230第3節(jié)八結(jié)點(diǎn)四邊形等參數(shù)單元[收斂性2022/11/896第3節(jié)八結(jié)點(diǎn)四邊形等參數(shù)單元

[收斂性分析

]

現(xiàn)以結(jié)點(diǎn)1-5-2所在的邊為例(圖示)。沿此邊η＝常數(shù)，根據(jù)(5-2-5)，u、v將是ξ的二次函數(shù)。設(shè)邊上一點(diǎn)Ｍ與單元ê邊上的點(diǎn)對(duì)應(yīng)，Ｍ到結(jié)點(diǎn)１的弧長(zhǎng)為S，則的坐標(biāo)ξ將是Ｓ的單值函數(shù)ξ(S)，這說(shuō)明，沿1-5-2邊，u、v是ξ(S)的二次函數(shù)，完全由這條邊上三個(gè)結(jié)點(diǎn)：1、5、2處的位移u１、u５、u２、v１、v５、v２決定。從而保證穿過(guò)這段邊界時(shí)位移u、v的連續(xù)性。這樣八結(jié)點(diǎn)等參數(shù)單元滿足了收斂性所要求的各項(xiàng)條件。2022/11/231第3節(jié)八結(jié)點(diǎn)四邊形等參數(shù)單元[收斂性2022/11/897第3節(jié)八結(jié)點(diǎn)四邊形等參數(shù)單元

[精度分析

]

由于性質(zhì)(5-2-2)，八結(jié)點(diǎn)等參數(shù)單元(以及四結(jié)點(diǎn)等參元)能夠精確地再現(xiàn)任何線性分布的位移場(chǎng)。當(dāng)實(shí)際單元e為矩形，且邊結(jié)點(diǎn)位于所在邊中點(diǎn)時(shí)，假定的位移場(chǎng)將包含x、y的完全二次多項(xiàng)式，這時(shí)有限元空間Vh的次數(shù)k－1為２。位移的誤差為Ο(h3)，應(yīng)力的誤差為Ο(h2)。八結(jié)點(diǎn)等參元的邊界可以為曲邊，因而可以更好地逼近區(qū)域Ω的曲線邊界。從逼近曲線邊界來(lái)講對(duì)提高精度有利，但單元形狀的畸變(單元ê為正方形，單元e為曲邊四邊形！)卻有可能損失插值精度。只有在單元畸變不大的情況下，才能保證位移和應(yīng)力的誤差分別為Ο(h3)和Ο(h2)。2022/11/232第3節(jié)八結(jié)點(diǎn)四邊形等參數(shù)單元[精度分2022/11/898第3節(jié)八結(jié)點(diǎn)四邊形等參數(shù)單元

[精度分析

]所謂畸變小是指：

(i)

連接直邊四個(gè)角點(diǎn)所成直邊四邊形的內(nèi)角遠(yuǎn)大于0o，遠(yuǎn)小于180o。(ii)上述直邊四邊形接近平行四邊形或矩形。即左圖中的

δ1=Ο(h2)(iii)實(shí)際單元(直邊或曲邊)的邊結(jié)點(diǎn)與上述直邊四邊形中點(diǎn)的偏離較小。即左圖中的δ2=Ο(h2)8δ1δ2＊＊＊＊＊δ2δ2δ276543212022/11/233第3節(jié)八結(jié)點(diǎn)四邊形等參數(shù)單元[精度分2022/11/899第3節(jié)八結(jié)點(diǎn)四邊形等參數(shù)單元

[精度分析

]對(duì)于工程問(wèn)題中通常采用的、不是有意加密的網(wǎng)格而言，上述條件很難同時(shí)得滿足。在這種情況下達(dá)不到位移Ο(h3)和應(yīng)力Ο(h2)的精度，但一般總比四結(jié)點(diǎn)單元精度好。左圖中，顯然(a)

形狀比(b)

形狀的單元畸變小，因而精度也比(b)

好。6(b)34217858(a)74326512022/11/234第3節(jié)八結(jié)點(diǎn)四邊形等參數(shù)單元[精度分2022/1