.請.請一、平行四邊形真題與模擬題分類匯編（難題易錯題）1.如圖1,四邊形ABCD是正方形，G是CD邊上的一個動點（點G與C、D不重合），以CG為一邊在正方形ABCD外作正方形CEFG，連接BG，DE.（1）①猜想圖1中線段BG、線段DE的長度關系及所在直線的位置關系，不必證明②將圖1中的正方形CEFG繞著點C按順時針方向旋轉任意角度a得到如圖2情形你通過觀察、測量等方法判斷①中得到的結論是否仍然成立，并證明你的判斷.4DAD圉11圖2e（2）將原題中正方形改為矩形（如圖3、4）,且AB=a，BC=b，CE=ka，CG=kb（aHb,k>0）,第（1）題①中得到的結論哪些成立，哪些不成立？若成立，以圖4為例簡要說明理由.4D衛°1（3）在第（2）題圖4中，連接DG、BE，且a=3，b=2，k=〒，求BE2+DG2的值.【答案】（1）①BG丄DE,BG=DE；②BG丄DE，證明見解析；（2）BG丄DE,證明見解析；（3）16.25.【解析】分析：（1）①根據正方形的性質，顯然三角形BCG順時針旋轉90°即可得到三角形DCE,從而判斷兩條直線之間的關系；②結合正方形的性質，根據SAS仍然能夠判定ABCG^△DCE，從而證明結論；（2）根據兩條對應邊的比相等，且夾角相等可以判定上述兩個三角形相似，從而可以得到1）中的位置關系仍然成立；（3）連接BE、DG.根據勾股定理即可把BE2+DG2轉換為兩個矩形的長、寬平方和.詳解：（1）①BG丄DE,BG=DE；②T四邊形ABCD和四邊形CEFG是正方形，BC=DC,CG=CE,ZBCD=ZECG=90°,ZBCG=ZDCE,

△BCG竺△DCE,BG=DE,ZCBG=ZCDE,又:ZCBG+ZBHC=90°,.ZCDE+ZDHG=90°,???.BG丄DE.(2)TAB=a,BC=b,CE=ka,CG=kb,.BC_CG_b~DC~~C^~~a，又:ZBCG=ZDCE,.△BCG-△DCE,.ZCBG=ZCDE,又:ZCBG+ZBHC=90°,.ZCDE+ZDHG=90°,.BG丄DE.(3)連接BE、DG.根據題意,得AB=3,BC=2,CE=1.5,CG=1TBG丄DE,ZBCD=ZECG=90°DAA尸G3E8Cc.BEDAA尸G3E8Cc.BE2+DG2=BO2+OE2+DO2+OG2=BC2+CD2+CE2+CG2=9+4+2.25+1=16.25.點睛：此題綜合運用了全等三角形的判定和性質、相似三角形的判定和性質以及勾股定理.2.已知：在菱形ABCD中，E,F是BD上的兩點，且AEIICF.求證：四邊形AECF是菱形.答案】見解析解析】分析】

由菱形的性質可得ABIICD,AB=CD,ZADF=ZCDF,由“SAS'可證△AD電△CDF,可得AF=CF，由△ABE^△CDF,可得AE=CF，由平行四邊形的判定和菱形的判定可得四邊形AECF是菱形.【詳解】證明：T四邊形ABCD是菱形ABIICD,AB=CD,ZADF=ZCDF,TAB=CD,ZADF=ZCDF,DF=DF.△ADF竺△CDF(SAS)AF=CF,TABICD,AEICF.ZABE=ZCDF,ZAEF=ZCFE.ZAEB=ZCFD,ZABE=ZCDF,AB=CD.△ABE^△CDF(AAS).AE=CF,且AEIICF.四邊形AECF是平行四邊形又:AF=CF,.四邊形AECF是菱形【點睛】本題主要考查菱形的判定定理,首先要判定其為平行四邊形,這是菱形判定的基本判定.3.已知正方形ABCD中，E為對角線BD上一點，過E點作EF丄BD交BC于F,連接DF,G為DF中點，連接EG,CG.請問EG與CG存在怎樣的數量關系，并證明你的結論；將圖①中厶BEF繞B點逆時針旋轉45°,如圖②所示，取DF中點G,連接EG,CG.問(1)中的結論是否仍然成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由.將圖①中厶BEF繞B點旋轉任意角度，如圖③所示，再連接相應的線段，問(1)中的結論是否仍然成立？(請直接寫出結果,不必寫出理由)圖①圖②【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)結論仍然成立解析】分析】利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，可證出CG=EG.結論仍然成立，連接AG,過G點作MN丄AD于M,與EF的延長線交于N點；再證明厶DAG^△DCG,得出AG=CG；再證出△DMG竺△FNG,得到MG=NG；再證明AMG^△ENG,得岀AG=EG；最后證出CG=EG.結論依然成立．【詳解】CG=EG.理由如下：1T四邊形ABCD是正方形，???/DCF=90°.在RtAFCD中，VG為DF的中點，二CG=-FD,21同理.在RtADEF中，EG=-FD，?CG=EG.厶(1)中結論仍然成立，即EG=CG.證法一：連接AG,過G點作MN丄AD于M,與EF的延長線交于N點.在厶DAG與厶DCG中，VAD=CD，ZADG=ZCDG，DG=DG，?△DAG^△DCG(SAS)，AG=CG；在厶DMG與厶FNG中，VZDGM=ZFGN，FG=DG，ZMDG=ZNFG，?△DMG里△FNG(ASA)，?MG=NG.ZEAM=ZAEN=ZAMN=90°，?四邊形AENM是矩形，在矩形AENM中，AM=EN.在AMG與厶ENG中，VAM=EN,ZAMG=ZENG，MG=NG，?△AMG^△ENG(SAS)，AG=EG，?EG=CG.證法二：延長CG至M,使MG=CG，連接MF,ME，丘^在厶DCG與厶FMG中，FG=DG,ZMGF=ZCGD,MG=CG,?△DCG竺△FMG,?MF=CD,ZFMG=ZDCG,MFIICDIIAB,?EF丄MF.在RtAMFE與RtACBE中，VMF=CB,ZMFE=ZEBC=90°,EF=BE,?△MFE里△CBEZMEF=ZCEB，?ZMEC=ZMEF+ZFEC=ZCEB+ZCEF=90°，?△MEC為直角三角形.MG=CG,?EG=1MC,?EG=CG.2(1)中的結論仍然成立.理由如下：過F作CD的平行線并延長CG交于M點，連接EM、EC,過F作FN垂直于AB于N.由于G為FD中點，易證△CDG^△MFG,得到CD=FM，又因為BE=EF，易證ZEFM=ZEBC,則厶EFM里△EBC,ZFEM=ZBEC,EM=ECZFEC+ZBEC=90°,?ZFEC+ZFEM=90°,即ZMEC=90°,?△MEC是等腰直角三角形.G為CM中點，?EG=CG,EG丄CG圖②（一）圖②【二）囹③

【點睛】本題是四邊形的綜合題．(1)關鍵是利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半解答；關鍵是利用了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質、全等三角形的判定和性質解答．4.已知4.已知AD是厶ABC的中線P是線段AD上的一點(不與點A、D重合)，連接PB、PC,E、F、G、H分別是AB、AC、PB、PC的中點，AD與EF交于點M；\尸如圖1,當AB=AC時，求證：四邊形EGHF是矩形；如圖2,當點P與點M重合時，在不添加任何輔助線的條件下，寫出所有與△BPE面積相等的三角形(不包括厶BPE本身).【答案】(1)見解析；(2)△APE、△APF、△CPF、△PGH.【解析】【分析】11(1)由三角形中位線定理得出EGIIAP,EFIIBC,EF=下BC,GHIBC,GH=-BC,推出EFIIGH,EF=GH,證得四邊形EGHF是平行四邊形，證得EF丄AP,推出EF丄EG，即可得出結論；(2)由厶APE與厶BPE的底AE=BE，又等高，得出S^APE=S^BPE，由厶APE與厶APF的底EP=FP，又等高，得出SaAPe=Saapf，由△APF與氐CPF的底AF=CF，又等高，得出S“pf=Sacpf，證得△PGH底邊GH上的高等于△AEF底邊EF上高的一半，推出1詳解】1)證明.EGIIAP,沐PGH=2S"EF=詳解】1)證明.EGIIAP,?:E、F、G、H分別是AB、AC、PB、PC的中點,11EFIIBC,EF=BC,GHIBC,GH=—BC,22EFIEFIGH,?四邊形EGHF是平行四邊形,EF=GH,-AB=AC,.AD丄BC,.EF丄AP,EGIAP,?EF丄EG,

???平行四邊形EGHF是矩形;(2)TPE>△APB的中線，???平行四邊形EGHF是矩形;(2)TPE>△APB的中線，.△APE與厶BPE的底AE=BE,又等高，S=S，APE△BPEAP是厶AEF的中線，APE與厶APF的底?EP=FP,S=S，APE△APFS=S，APF△BPEPF是厶APC的中線，APF與厶CPF的底AF=CF,又等高,又等高,S=S,APF△CPFS=S，CPF△BPEEFIIGHIIBC,E、F、G、H分別是AB、AC、PB、PC的中點，△AEF底邊EF上的高等于△ABC底邊BC上高的一半，△PGH底邊GH上的高等于△PBC底邊BC上高的一半，?△PGH底邊GH上的高等于△AEF底邊EF上高的一半,TGH=EF，?'△PGH=1二sS2△AEF△APF，綜上所述，與△BPE面積相等的三角形為：△APE、△APF、△CPF、△PGH.【點睛】本題考查了矩形的判定與性質、平行四邊形的判定、三角形中位線定理、平行線的性質三角形面積的計算等知識，熟練掌握三角形中位線定理是解決問題的關鍵.5.閱讀下列材料：我們定義：若一個四邊形的一條對角線把四邊形分成兩個等腰三角形，則這條對角線叫這個四邊形的和諧線，這個四邊形叫做和諧四邊形.如正方形就是和諧四邊形.結合閱讀材A.平行四邊形B.矩形C.菱形D.等腰梯形命題：“和諧四邊形一定是軸對稱圖形"是命題(填"真"或"假”).如圖，等腰RtAABD中，ZBAD=90°.若點C為平面上一點，AC為凸四邊形ABCD的和諧線，且AB=BC,請求出ZABC的度數.【答案】(1)C；(2)ZABC的度數為60°或90°或150°.【解析】試題分析：（1）根據菱形的性質和和諧四邊形定義，直接得出結論.（2）根據和諧四邊形定義，分AD=CD,AD=AC,AC=DC討論即可.（1）根據和諧四邊形定義，平行四邊形，矩形，等腰梯形的對角線不能把四邊形分成兩個等腰三角形，菱形的一條對角線能把四邊形分成兩個等腰三角形夠.故選C.（2）T等腰RtAABD中，ZBAD=90°,二AB=AD.TAC為凸四邊形ABCD的和諧線，且AB=BC，???分三種情況討論：若AD=CD，如圖1,則凸四邊形ABCD是正方形，ZABC=90°；若AD=AC，如圖2,則AB=AC=BC，△ABC是等邊三角形，ZABC=60°；若AC=DC,如圖3,則可求ZABC=150°.考點：1.新定義；2．菱形的性質；3．正方形的判定和性質；4．等邊三角形的判定和性質；5.分類思想的應用.6.（1）如圖1,將矩形ABCD折疊，使BC落在對角線BD上，折痕為be，點C落在（畫一畫）如圖2,點E在這張矩形紙片的邊AD上，將紙片折疊，使AB落在CE所在直線上，折痕設為MN（點M,N分別在邊AD,BC上），利用直尺和圓規畫出折痕MN（不寫作法，保留作圖痕跡，并用黑色水筆把線段描清楚）；（算一算）如圖3,點F在這張矩形紙片的邊BC上，將紙片折疊，使FB落在射線FD7上，折痕為GF，點A,B分別落在點A，,B'處，若AG=3，求BD的長.

【答案】(1)21；(2)畫一畫；見解析；算一算：B'D=3【解析】【分析】(1)利用平行線的性質以及翻折不變性即可解決問題；(2)【畫一畫】，如圖2中，延長BA交CE的延長線由G,作/BGC的角平分線交AD于M,交BC于N,直線MN即為所求；720一【算一算】首先求出GD=9--二了，由矩形的性質得出ADIIBC,BC=AD=9，由平行線的性質得出/DGF=ZBFG，由翻折不變性可知，ZBFG=ZDFG，證出ZDFG=ZDGF，由等腰三20角形的判定定理證出DF=DG=m，再由勾股定理求出CF，可得BF,再利用翻折不變性，可知FBZ可知FBZ=FB,由此即可解決問題.ADIIBC,ZADB=ZDBC=42°,1由翻折的性質可知，ZDBE=ZEBC=-Zdbc=21°,厶故答案為21.(2)【畫一畫】如圖所示：【算一算】如3所示：???AG=3,???AG=3,AD=9,GD=9-7二2033T四邊形ABCD是矩形,ADIIBC,BC=AD=9,乙DGF=ZBFG,由翻折不變性可知，zBFG=ZDFG,ZDFG=ZDGF,DF=DG=20TCD=AB=4,zC=90°,在RtACDF中,由勾股定理得：CF^.DF2在RtACDF中,由勾股定理得：CF^.DF2-CD2-42二161GBF=BC-CF=9-I11111由翻折不變性可知，FB=FB'=y,2011B'D=DF-FB'=一一一二333■【點睛】四邊形綜合題,考查了矩形的性質、翻折變換的性質、勾股定理、等腰三角形的判定、平行線的性質等知識,解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題,學會利用翻折不變性解決問題．7.如圖，在正方形ABCD中，對角線AC與BD交于點0,在RtAPFE中，ZEPF=90°，點E、F分別在邊AD、AB上．（1）如圖1,若點P與點0重合：①求證：AF=DE；②若正方形的邊長為2、￡，當ZDOE=15。時，求線段EF的長；（2）如圖2,若RtAPFE的頂點P在線段OB上移動（不與點0、B重合），當BD=3BP時，證明：PE=2PF.ai團2【答案】⑴①證明見解析，②2、迂；(2)證明見解析.【解析】【分析】①根據正方形的性質和旋轉的性質即可證得：△A0思△DOE根據全等三角形的性質證明；②作OG丄AB于G,根據余弦的概念求出OF的長，根據勾股定理求值即可；首先過點P作HP丄BD交AB于點H,根據相似三角形的判定和性質求出PE與PF的數量關系．【詳解】(1)①證明：T四邊形ABCD是正方形，OA=OD，ZOAF=ZODE=45°,ZAOD=90°,ZAOE+ZDOE=90°，TZEPF=90°,.ZAOF+ZAOE=90°，.ZDOE=ZAOF，在厶AOF和厶DOE中,rAOAF=AODE<OA=OD,ZAOF=ZDOE.△AOF竺△DOE,.AF=DE；②解：過點O作OG丄AB于G,T正方形的邊長為2j3,1OG=—BC=斗3,

ZD0E=15°,△AOF竺△DOE,ZAOF=15°,ZFOG=45°-15°=30°,OF=OGcosZDOG=2OF=OGcosZDOG=2,.EF=pOF2+OE2=2邁；(2)證明：如圖2,過點P作HP丄BD交AB于點H,02則厶HPB為等腰直角三角形，ZHPD=90°,.HP=BP,TBD=3BP,.PD=2BP,.PD=2HP,又:ZHPF+ZHPE=90°,ZDPE+ZHPE=90°,.ZHPF=ZDPE,又:ZBHP=ZEDP=45°,△PHF-△PDE,.PF_PH_1~PE~~PD~2，.PE=2PF．【點睛】此題屬于四邊形的綜合題．考查了正方形的性質、全等三角形的判定與性質、相似三角形的判定與性質以及勾股定理．注意準確作出輔助線是解此題的關鍵．8△ABC為等邊三角形，AF_AB.ZBCD_ZBDC_ZAEC.(1)求證：四邊形ABDF是菱形．⑵若BD是ZABC的角平分線，連接AD，找出圖中所有的等腰三角形.【答案】（1）證明見解析；⑵圖中等腰三角形有△ABC,△BDC,△ABD,△ADF,△ADC,ADE．【解析】【分析】（1）先求證BDIIAF,證明四邊形ABDF是平行四邊形，再利用有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形即可證明；（2）先利用BD平分/ABC,得到BD垂直平分線段AC,進而證明DAC是等腰三角形，根據BD丄ACAF丄AC,找到角度之間的關系證明△DAE是等腰三角形，進而得到BC=BD=BA=AF=DF,即可解題，見詳解.【詳解】⑴如圖1中，VZBCD=ZBDC,BC=BD,△ABC是等邊三角形，.AB=BC,AB=AF,.BD=AF,ZBDC=ZAEC,.BDIAF,.四邊形ABDF是平行四邊形，AB=AF,.四邊形ABDF是菱形.⑵解：如圖2中，VBA=BC,BD平分ZABC,.BD垂直平分線段AC,.DA=DC,.△DAC是等腰三角形，AFIIBD,BD丄AC.AF±AC,ZEAC=90°,ZDAC=ZDCA,ZDAC+ZDAE=90°,ZDCA+ZAEC=90°,ZDAE=ZDEA,.DA=DE,.△DAE是等腰三角形,BC=BD=BA=AF=DF,△BCD,△ABD,△ADF都是等腰三角形,綜上所述，圖中等腰三角形有△ABC,△BDC,△ABD,△ADF,△ADC,△ADE.F【點睛】本題考查菱形的判定,等邊三角形的性質,等腰三角形的判定等知識,屬于中考常考題型,熟練掌握等腰三角形的性質是解題的關鍵.39.如圖，拋物線y=mx2+2mx+n經過A(-3,0),C(0,-3)兩點，與x軸交于另-點B.求經過A,B,C三點的拋物線的解析式；過點C作CEIIx軸交拋物線于點E,寫出點E的坐標，并求AC、BE的交點F的坐標若拋物線的頂點為D,連結DC、DE,四邊形CDEF是否為菱形？若是，請證明；若不是,請說明理由.13【答案】⑴y=2X2+x-二；(2)F點坐標為(-1,-1)；(3)四邊形CDEF是菱形.證明見解析【解析】【分析】將A、C點的坐標代入拋物線的解析式中，通過聯立方程組求得該拋物線的解析式；根據(1)題所得的拋物線的解析式，可確定拋物線的對稱軸方程以及B、C點的坐標，由CEIIx軸，可知C、E關于對稱軸對稱。根據A、C點求得直線AC的解析式，根據B、E點求出直線BE的解析式，聯立方程求得的解，即為F點的坐標；由E、C、F、D的坐標可知DF和EC互相垂直平分，則可判定四邊形CDEF為菱形.

詳解】3v拋物線y=mx2+2mx+n經過A(-3,0/