天體運動種種天體運動種種1開普勒三定律面積定律支配天體運動的基本規律軌道定律周期定律萬有引力定律牛頓運動定律t3t4Bt2t1A行星太陽ba機械能守恒開普勒三定律面積定律支配天體運動的基本規律2赤道平面軌道極地軌道其它軌道人造衛星可能軌道赤道平面軌道極地軌道其它軌道人造衛星可能軌道3角速度周期速度加速度與軌道半徑關系軌道半徑R中心天體半徑R0天體運動規律一覽表角速度周期速度加速度與軌道半徑關系軌道半徑R天體運動規律一覽4F引mωF向赤道上的物體在某一緯度的物體mF引F向地面上物體隨地球自轉所需向心力只是地心引力極小一部分天上衛星繞地球轉動所需向心力由全部地心引力提供！結論：自轉與公轉F引mωF向赤道上的物體在某一緯度的物體mF引F向地面上物體5雙星模型特征與規律★模型特征：故有

之二：∵角速度相同，即之三：∵兩天體做圓周運動的向心力大小相等，之四：之一：兩天體做圓周運動的向心力均為兩天體間的萬有引力，大小相等，即★模型規律：ORmmMRMvMvmω兩顆相近的天體繞它們連線上的某點（質心Ｏ）以共同的角速度做勻速圓周運動.之五：雙星系統動量守恒雙星模型特征與規律★模型特征：故有之二：∵角速度相同，6一個常用的推導—天體的密度一個常用的推導—天體的密度7地球公轉軌道平面日DXQCh

對北半球而言,在冬季過近日點,夏季過遠日點t3t4Bt2t1A行星太陽ba從高考到競賽題1

如圖所示為地球繞太陽運行示意圖，圖中橢圓表示地球公轉軌道，Ch、Q、X、D分別表示中國農歷節氣中的春分、秋分、夏至、冬至時地球所在的位置．試說明，一年之內秋冬兩季比春夏兩季要少幾天的原因．解:地球公轉軌道平面日DXQCh由面積定律:地球公轉軌道平面日DXQCh對北半球而言,在冬季過近日點,8同步軌道半徑設為R1同步衛星軌道在影區的弧所對圓心角2θ，有θ因衛星在影區、不反射陽光而看不到的時間為2θR

某顆地球同步衛星正下方的地球表面上有一觀察者，他用天文望遠鏡觀察被太陽光照射的此衛星，試問，春分那天（太陽光直射赤道）在日落12小時內有多長時間該觀察者看不見此衛星？已知地球半徑為R，地球表面處的重力加速度為g,地球自轉周期為T，不考慮大氣對光的折射．R1解:從高考到競賽題2同步軌道半徑設為R1同步衛星軌道在影區的弧所對圓心角2θ，有9極地衛星周期為每晝夜衛星經日照下的赤道的次數為每次應拍攝偵察衛星在通過地球兩極上空的圓軌道上運行，它的運行軌道距地面高度為h，要使衛星在一天的時間內將地面上赤道各處在日照條件下的全部情況全都拍攝下來，衛星在通過赤道上空時，衛星上的攝像機至少應拍攝地面上赤道圓周的弧長是多少？設地球半徑為R，地面重力加速度為g，地球自轉的周期為T.從高考到競賽題3解:極地衛星周期為每晝夜衛星經日照下的赤道的次數為每次應拍攝10⑴由衛星下方地面處于東經0180⑵移動衛星經半周期又通過赤道上空，此間地球自轉了θ角，有電視轉播用的“地球同步衛星”的軌道高度為h，轉動周期為T0；衛星定位系統用的某“移動衛星”沿通過地球的南北兩極的圓形軌道運行，離地面高度為H，地球半徑為R0．⑴該移動衛星連續兩次通過地球北極點上空的時間間隔是多少？⑵該移動衛星某時刻恰位于經度為0度的赤道上空，那么它下一次通過赤道上空時，下方地面的經度是多少？從高考到競賽題4解:⑴由衛星下方地面處于東經0180⑵移動衛星經半周期又通過赤道11要使一顆人造地球通訊衛星（同步衛星）能覆蓋赤道上東經75.0°到東經135.0°之間的區域，則衛星應定位在哪個經度范圍內的上空？地球半徑R=6.37×106m．地球表面處的重力加速度g=9.80m/s2．從高考到競賽題5解:同步軌道半徑的計算解答要使一12同步軌道半徑設為R同步,其覆蓋經度范圍的幾何關系如圖:RR同步75°135°0°180°恰能覆蓋東經75°的衛星定位:恰能覆蓋東經135°的衛星定位:讀題同步軌道半徑設為R同步,其覆蓋經度范圍的幾何關系如圖:RR同13同步軌道半徑設為R0：得衛星在同步軌道的引力勢能為動能：衛星在空間站的引力勢能為由機械能守恒：

地球質量為M，半徑為R，自轉角速度為ω，萬有引力恒量為G，如果規定物體在離地球無窮遠處勢能為0，則質量為m的物體離地心距離為r時，具有的萬有引力勢能可表示為．可供航天員居住與進行科學實驗的空間航天站離地面高度為h，若在該空間站上直接發射一顆質量為m的小衛星，使其能到達地球同步軌道并能在軌道上正常運行，則該衛星在離開空間站時必須具有多大的動能？

從高考到競賽題6解:同步軌道半徑設為R0：得衛星在同步軌道的引力勢能為動能：衛星14LMM

根據對某一雙星系統的光學測量確定，該雙星系統中每個星體的質量都是M,兩者間相距L，它們正圍繞兩者連線的中點做圓周運動．⑴試計算該雙星系統的運動周期；⑵若實驗上觀測到運動周期為，且,為了解釋兩者的不同，目前有一種流行的理論認為，在宇宙中可能存在暗物質．作為一種簡化的模型，我們假定在以這兩個星體連線為直徑的球體內均勻分布這種暗物質，而不考慮其它暗物質的影響，試根據這一模型和上述觀察結果確定該星系間這種暗物質的密度．

從高考到競賽題7解:LMM15天文學家根據觀察宣布了下列研究成果，銀河系中可能存在一個大“黑洞”，距黑洞60億千米的星體以2000km/s的速度繞其旋轉，接近“黑洞”的所有物質即使速度等于光速也被“黑洞”吸入，試計算“黑洞”的質量和最大半徑．從高考到競賽題8解:天文學16“大爆炸學說”認為：宇宙是很久以前發生的一次大爆炸使聚集于某處的物質分離開來而成的，直到現在，這大爆炸的“碎片”──宇宙中的各星系仍在以不同的相對速率相互遠離．觀察表明：離我們越遠的星系遠離我們飛去的速度越大．例如，牧夫座內一星云離我們銀河系的距離為2.74×109Ly(Ly為“光年”，而1Ly=9.46×1015m)，它正以3.93×107m/s的速率飛離銀河系．若大爆炸后形成的各星系分別是以不同的速率從大爆炸前物質的聚集處沿各個方向勻速飛離，則在下列兩種情況下求宇宙的年齡T．⑴假設大爆炸后銀河系與牧夫座的那個星云分別以速率V1和V2沿相反方向飛離大爆炸前物質的聚集處；⑵假設大爆炸后銀河系與牧夫座的那個星云分別以速率V1和V2沿夾角為θ的兩個方向飛離在大爆炸前物質的聚集處．從高考到競賽題9解:⑵兩天體分離速度成角度時，相對速度情況如圖所示v1v2v相對θ“大爆17M1M2CR60°60°地、月在相互間的萬有引力作用下，繞它們的連線上的一點C做等角速度的轉動．太空城的首選位置在月球軌道上與月球及地球等距的地方，如圖所示．這里，太空城在地、月引力共同作用下，相對于地、月均處于平衡．試證明，太空城在這里所受地、月引力的合力作用線指向Ｃ．從高考到競賽題10解:地球月球太空城C設地球質量為M1，月球質量為M2，地球與月球間距離為R，如圖設太空城所受合力作用線與地、月連線的中垂線夾角為α，太空城所在位置和C點的連線與中垂線夾角為β，則F1F2M1M2CR60°60°18

估算空間太陽能電站一晝夜間由于被地球遮擋而不能發電的最長時間．取地球本影長為地球半徑的216倍，同步軌道高度為地球半徑的5.5倍．日地衛星

影

RR0nR0從高考到競賽題11解:估19

估算從地球表面向火星發射火星控測器．設地球和火星都在同一平面上繞太陽做圓周運動，火星軌道半徑約為地球軌道半徑R0的1.5倍，簡單而又比較節省能量的發射過程可分為兩步進行：第一步，在地球表面用火箭對探測器進行加速，使之獲得足夠動能，從而脫離地球引力作用成為一個沿地球軌道運動的人造行星；第二步是在適當時刻點燃與探測器連在一起的火箭發動機，在短時間內對探測器沿原方向加速，使其速度增加到適當值，從而使得探測器沿著一個與地球軌道及火星軌道分別在長軸兩端相切的半個橢圓軌道正好射到火星上，如圖甲．當探測器脫離地球引力并沿地球公轉軌道穩定運行后，在某年3月1日零時測得探測器與火星之間的角距離為60°，如圖乙所示．已知地球半徑為：Rr=6.4×106m；地球公轉周期為：Te=365天，（時間計算僅需精確到日）⑴求出火星的公轉周期和探測器沿半個橢圓軌道運動的時間；⑵通過計算說明在何年何月何日點燃探測器上火箭發動機方能使探測器恰好落在火星表面？從高考到競賽題12解答飛船太陽地球火星地球探測器甲乙估20⑴由開三律:則探測器沿半橢圓運動時間為⑵探測器沿半橢圓運動時間內火星通過的角度為則探測器開始進入橢圓軌道的位置應與火星的角距離成43°!從3月1日探測器與火星的角距離成60°經38天到4月8日時成43°讀題解:⑴由開三律:則探測器沿半橢圓運動時間為⑵探測器沿半橢圓運動時21走進競賽板塊走進競賽板塊22v0bacde牛頓的草圖-天體的運動軌跡軌道與能量v0bacde牛頓的草圖-天體的運動軌跡軌道與能量23機械能守恒支配天體運動的守恒定律引力勢能動量守恒軌道與能量

兩個天體相互作用過程中，如果其它星系離它們很遙遠，對它們的作用可以忽略的話，這兩個天體的總動量守恒，兩個天體從相距很遠到相互作用直到遠離，它們的始末速度滿足彈性碰撞的方程組，那么在它們相互作用的前后相對速度遵守“反射定律”，如果是一維方向上的“彈性碰撞”，則相對速度等值反向．若一個飛船向外噴氣或拋射物體，則系統的動量守恒而機械能不守恒．

角動量守恒角動量

若作用在質點上的力對某定點的力矩為零，則質點對該定點的角動量保持不變，這就是質點的角動量守恒定律．物體在受有心力作用而繞著中心天體運動，或幾個天體互相繞其系統質心運動時，由于有心力必過力心，對力心的力矩為零，故系統的角動量守恒．即．示例模型與方法機械能守恒支配天體運動的守恒定律引力勢能動量守恒軌道與能量24A1A2AnA3r1rnM引力勢能m物體只在引力作用下繞中心天體運行，其機械能守恒．引力是保守力，引力場是勢場，在平方反比力場中，質點的引力勢能取決于其在有心力場中的位置．在中心引力場中，m從A1移至無窮遠處，引力做負功為：

以無窮遠處為零引力勢能位置，物體在距中心天體r遠處的引力勢能為返回A1A2AnA3r1rnM引力勢能m物體只在引力作用25O角動量pmO矢量r稱位置矢量，或稱矢徑繞定點圓運動質點的（線）動量為方向總是與矢徑r垂直定義:質點動量大小mv與矢徑大小r的乘積為質點對定點（圓心）O的角動量：L=pr

當p與r方向不垂直而成角度θ：prθA角動量大小等于動量大小與O點到動量矢量p的垂直距離的乘積;方向遵守右手定則,矢量定義式為返回O角動量pmO矢量r稱位置矢量，或稱矢徑繞定點圓運動質點的（26r2r1mO均勻球殼對殼內物質的萬有引力M兩面元質量各為r兩面元對殼內質點m的引力各為由幾何關系:整個球殼對球殼內物質的萬有引力為零!r2r1mO均勻球殼對殼內物質的萬有引力M兩面元質量各為r兩27對于一個質量均勻半徑為R的實心球，在距球心r（＜R）處質點只受半徑為r的球內質量的萬有引力，而r以外球殼（即R為外徑r為內徑的球殼）則對質點無引力的作用．

rMRm距球心r處所置質點受到引力大小

距球心r處所置質點的引力勢能均勻實心球的萬有引力返回對于一個質量均勻半徑為R的實心球，在距球心r28常用模型方法理想化方法軌道極限模型矢量法與微元法常用模型方法理想化方法軌道極限模型矢量法與微元法29

試推導地球上的第三宇宙速度v3．專題11-例1地球質量M太陽質量MS地球半徑R日地距離r物體質量m第一宇宙速度v1：(地球環繞速度)這是以日為參照物之速度，而地球對太陽的公轉速度=29.8km/s；則以地球為參照物，這個速度為第二宇宙速度v2：(地球逃逸速度)由能量守恒第三宇宙速度v3：(太陽逃逸速度)原處于太陽系中地球軌道位置的物體離開太陽系所需“逃逸速度”

由能量守恒：解:

30RRbv0vp要發射一臺探測太陽的探測器，使其與地球具有相同的繞日運動周期，以便發射一年后又將與地球相遇而發回探測資料．由地球發射這樣一臺探測器，應使其具有多大的繞日速度？專題11-例2解:取發射時的一小段時間ΔtRRbv0vp31火箭矢徑的“面積速度”為:火箭飛行期間矢徑掃過的面積:則v1

火箭從地面上以第一宇宙速度豎直向上發射，返回時落回離發射場不遠處．空氣阻力不計，試估算火箭飛行的時間，地球半徑取R0=6400km．

專題11-例3解:火箭矢徑的“面積速度”為:火箭飛行期間矢徑掃過的面積:則v132

豎直上拋運動中，以T表示到達最高點所用時間，以H表示最高點離地球表面的距離，R表示地球半徑，M表示地球質量，G為萬有引力恒量，不計空氣阻力，從考慮萬有引力是“平方反比力”出發，確定時間T的數學表達式．專題11-例4解:從考慮萬有引力出發，物體在平方反比力作用下所做的“豎直上拋運動”，其軌跡應是以地心為焦點的一個狹長的橢圓上的一部分，該橢圓的長軸可取作R+H，該橢圓是許多繞地衛星可能的開普勒軌道中的一個，如圖示:

地心v1RH設在這樣的軌道上運動的物體的運行周期為T′,

物體的“面積速度”為:續解

33物體的“面積速度”為:物體運動的周期與“貼地”衛星周期關系由開三律：物體飛行期間矢徑掃過的面積:yx由橢圓方程讀題讀圖物體的“面積速度”為:物體運動的周期與“貼地”衛星周期關系由34其中其中35設想宇宙中有一由質量分別為m1、m2……mN的星體1、2…N構成的孤立星團，各星體空間位置間距離均為a，系統總質量為M．由于萬有引力的作用，Ｎ個星體將同時由靜止開始運動．試問經過多長時間各星體將會相遇？專題11-例5解:設系統質心為O星體1與i位矢如圖r1ri星體1與i的萬有引力大小為a同理系統的角動量守恒設矢量r1大小r1=ka,質點1在這個平方反比力作用下，在以O為一個焦點，以ka/2為長半軸而短半軸逼近于零的“橢圓軌道”運動．

1i質心

36遠點在木星軌道而繞日運行的彗星稱為木星彗星，它的形成可看成是從無限遠處落向太陽的天體經木星吸引偏轉而成為太陽的彗星，求其近日點．（已知木星的公轉軌道半徑為R）

專題11-例6解:理想化模型：從無限遠處落向太陽的天體在木星軌道經與木星發生“彈性碰撞”改變運動方向進入繞日軌道，如圖．木星軌道太陽v0vVv1得木星“碰撞”前速度為由機械能守恒，從無限遠處被太陽吸引到木星軌道附近時速度v滿足與木星“完全彈性碰撞”過程速度矢量關系如圖：續解

37v0vV接近V分離V“完全彈性碰撞”接近速度與分離速度大小相等！天體進入太陽彗星軌道，設其繞日軌道近日點距太陽r，過近日點時速度為v1讀圖由機械能守恒有

由角動量守恒有

v0vV接近V分離V“完全彈性碰撞”接近速度與分離速度大小相38yx如圖所示，地球沿半徑為R0的圓軌道繞太陽運動，彗星繞太陽沿拋物線軌道運動．已知此拋物線與地球圓軌道一直徑的兩端相交，不計地球與彗星之間的引力，試求彗星在地球軌道內的運行時間．專題11-例7解:準線v0vOxyy=R0ABCC0S續解太陽、彗星、地球質量依次為M、m、m0解題方向比較兩天體矢徑掃過的面積，比較兩天體“面積速度”，可得兩天體運行時間關系！yx39彗星軌跡為拋物線，由機械能守恒，有關系式而地球繞日運行有關系式

設彗星以速率v通過其軌道頂點C歷時Δt（Δt→0）讀圖地球以速率v0通過其軌道頂點C0歷時Δt

0（Δt0→0）兩者的“面積速度”相同！彗星軌跡為拋物線，由機械能守恒，有關系式而地球繞日運行有關系40一衛星在半徑為r的圓形軌道上運動，旋轉周期為Ｔ，如果給衛星一個附加的徑向速度un或一個附加的切向速度ut，衛星都將沿一個橢圓軌道運動．⑴確定在上述二種情況中衛星的旋轉周期．⑵所附加的徑向速度un和切向速度ut必須滿足什么關系，才能使兩種情況下，衛星旋轉周期相等？專題11-例8解:⑴衛星在半徑r軌道圓運動速度為中心天體質量為M、“遠(近)地點”速度為V、矢徑為rn（t）衛星附加速度u為徑向時讀圖機械能守恒角動量守恒對同一環繞中心，兩軌道周期滿足衛星附加速度u為切向時⑵要使Tn=T，根據開普勒第三定律，必有an=at，即有小試

41原軌道原軌道vur變軌道rnV2an續解vu變軌道2atVrt衛星附加速度u為徑向時衛星附加速度u為切向時原軌道原軌道vur變軌道rnV2an續解vu變軌道2atVr42

設有兩個地球人造衛星M和N沿同一橢圓軌道運動，地球中心在這橢圓的一個焦點F上，又設M和N相距不遠，因此可將橢圓弧看作直線．已知MN的中點經近地點時MN=a，近地點到地心的距離為r，遠地點到地心的距離為R，求M、N的中點經遠地點時兩顆衛星間的距離．

小試身手題1解:設在遠地點時兩衛星距離lFNMMNrR在同一軌道上，衛星面積速度相同al設有兩個地球人造衛星M和N沿43

空間兩質點的質量分別為m1和m2，彼此以萬有引力相互作用．開始時兩質點靜止，相距r0，在引力作用下彼此接近并相碰，試求兩質點從開始運動到相碰所經歷的時間．小試身手題2解:r1r2r0m1m2質心O設系統質心為O質點1與2位矢如圖質點1與2的萬有引力大小為令矢量r1大小r1=kr0,等效于中心質量k3(m1+m2)，兩質點各在以中心為焦點、到中心距離為長軸的退化為直線的扁橢圓上向中心運動，經半周期相遇，故空間兩質點的質量分別為m1和44

一質點受一與距離3/2次反比引力作用而在一直線上運動．試證此質點自無窮遠處到達距力心a處時的速率與從a處由靜止出發，到達a/4處時的速率相同．

解:導出此力場中的勢能公式：

小試身手題3BAri-ri+1rAMrB在引力作用下質點從A點向力心移到B點

引力做元功為：

由從A移至B，引力做功為：

由機械能守恒，質點從無窮遠處到達距力心a處時a處由靜止出發，到達/4處時

得證

45

有一個質量大而體積小的星球，一個物體離這個星球的距離為r，物體從靜止出發自由落向此星球，求物體落到這個星球上經歷多少時間？（已知星球的質量為M）解:將此星球視作質點，落向此星球的物體的軌道視作退化為直線的橢圓，其半長軸為小試身手題4若周期為T，則自由下落到星球歷時設想同一環繞系統另有一物體在半徑為r的圓軌道運動，其周期圓軌道星球根據開普勒第三定律

46

根據某種假設，星球是由星際物質（宇宙塵埃）在萬有引力的作用下經壓縮而成的．試估算由密度ρ=2×10-20g/cm3的宇宙塵埃組成的巨大的云團到生成一顆星球需要多長時間？解:

取理想化模型：認為塵埃組成的巨大云團是密度均勻分布的質點，每個質點自由落向云團中心，最后密集成一顆星球，星球形成所需時間即是最外層塵埃落至中心的時間即小試身手題5

47

如行星突然在其軌道上某處停止運動（假定軌道為圓形）則將被吸引而至太陽，試求其所需時間，設太陽的高斯常數（GM）為k，行星質量為m．小試身手題6解:

設行星原在力

作用下繞日做半徑為r勻速圓周運動，則有從距日為r處突然停止而被吸引向太陽的行星，其軌道可視作退化為直線的橢圓，出發于遠日點，經半個周期(T′/2)到近日點，其半長軸為根據開普勒第三定律

48某彗星的軌道為拋物線，其近日點距離為地球軌道（假定為圓軌道）半徑的1/n，求此彗星運行時，在地球軌道內停留的時間．

小試身手題7解:解題方向比較兩天體矢徑掃過的面積，比較兩天體“面積速度”，可得兩天體運行時間關系！太陽、彗星、地球質量依次為M、m、m0讀圖地球繞日運行有關系式

彗星軌跡為拋物線，由機械能守恒，有關系式設彗星、地球各以速率v和v0通過其軌道頂點歷時各Δt（Δt→0）和Δt

0（Δt0→0）兩者的“面積速度”之比為續解

49yxv0v返回續解yxv0v返回續解50慧星從A到B時間由

地球矢徑掃過面積

讀圖慧星從A到B時間由地球矢徑掃過面積讀圖51

如圖，從地球發射火箭到火星去進行探測，發射后火箭繞太陽橢圓軌道運行．為了節省能源，火箭離開地球的速度方向與地球繞太陽公轉的速度方向一致，并且選擇適當的發射時機，使火箭橢圓軌道的遠日點為火星，軌道近日點為地球．假定地球和火星均繞太陽做圓周運動，圓軌道半徑分別為r與R，忽略其它行星對火箭的作用，求火箭應以多大的對地速度離開地球？火箭到達火星要用多長時間？

小試身手題8解:日地球軌道火星軌道

R

r設太陽、火箭質量依次為M、mv1v2由機械能守恒有

由角動量守恒有

對日速度!

火箭離地速度應為到達火星的時間是火箭運動半個周期T

52

假設地球是一個均勻球體，現在地球的東半球北緯30°的a處開一個穿過地軸的直線隧道直通西半球北緯30°的b處，如圖所示．已知地球的半徑是6370km，地面的重力加速度g=9.8m/s2，第一宇宙速度v1=7.9km/s，假設隧道光滑．現將一個物體以v=v1/3的初速度從a處拋入隧道，問物體從b處出來后能飛離地面的最大高度是多少？小試身手題9解:ab30°解題方向考慮對稱性，物體從b處飛出的速度大小為v1/3，此后在地心引力作用下沿一橢圓軌道的遠地橢圓弧運動；由守恒定律求最大高度.由機械能守恒有

hV由角動量守恒有

RR+h

53有一航天器（不帶動力裝置）自遠方以速度v0射向某一行星，計劃在行星上著陸，如圖示．如以b表示v0與行星的垂直距離（稱為瞄準距離），求b最大值為多少時，航天器可以在行星上著陸．已知航天器質量為m，行星的質量為M，半徑為R．

小試身手題10解:mORb由機械能守恒有

由角動量守恒有

rbv0

54XAO

如圖，一質量為m＝12t的太空飛船在圍繞月球的圓軌道上旋轉，其高度h＝100km．為使飛船降落到月球表面，噴氣發動機在X點做一次短時間發動．從噴口噴出的熱氣流相對飛船的速度為u＝10km/s．月球半徑R＝1700km，月球表面上自由落體的重力加速度為g月=1.7m/s2．飛船可用兩種不同方式到達月球：⑴到達月球上的A點，該點正好與X點相對；⑵在X點給一指向月球中心的動量后，與月球表面相切于B點．試計算上述兩種情況下所需的燃料量．小試身手題11解:⑴按此方式，飛船橢圓軌道X為遠月點，A為近月點，XA為長軸，月心為焦點，vX由牛頓草圖可知，飛船在X點是向運動方向噴氣減速而成設飛船做圓運動時速率為v0

vA由機械能守恒有

由角動量守恒有

飛船噴氣過程動量守恒:代入題給數據得:

XAXAB⑴⑵續解XAO55讀題XBOvBvR⑵按此方式，飛船向背離月球方向噴氣后獲得的指向月心的速度vR，飛船在X點的速度變為vX由機械能守恒有

由角動量守恒有

飛船噴氣過程沿徑向動量守恒:讀題XBOvBvR⑵按此方式，飛船向背離月球方向噴氣后獲得的56地心

質量為M的宇航站和與其對接上的質量為m的飛船一起沿圓形軌道圍繞地球運動著，其軌道半徑為地球半徑R的n倍（n＝1.25）．某一瞬間，飛船從宇航站沿運動方向射出后沿橢圓軌道運動，其最遠點到地心的距離為8nR．質量比m/M為何值時，飛船繞地球運行一周后正好與宇航站相遇？（一般認為M＞m）

小試身手題12解:在半徑為5R/4繞地圓軌道時宇航站及飛船速度飛船與宇航站分離時，飛船速度vm，宇航站速度vMvmVmvMVM飛船宇航站分離時兩者動量守恒:續解2RM地心57讀題飛船繞地球運行一周后正好與宇航站相遇,兩者周期滿足:k可取10，11

讀題飛船繞地球運行一周后正好與宇航站相遇,兩者周期滿足:k58

質量為m的人造衛星沿半徑為r0的圓軌道飛行，地球質量為M．若衛星運動中受到微弱的摩擦阻力f（大小恒定），則將緩慢地沿一螺旋形軌道接近地球．將每周的旋轉近似處理成半徑為ri的圓軌道．試求每旋轉一周，軌道半徑的改變量Δr及衛星軌道減少一半時減少的機械能．小試身手題13解:Mri在第i圈運動時，摩擦力的功

引力的功

由動能定理

衛星軌道減少一半時減少的機械能

59

如圖，宇宙飛船沿圓軌道運行，運動速度為v0．已知火星半徑為R，飛船圓軌道離火星表面的高度為H．今飛船在極短時間內，沿圓軌道徑向向外側點火噴氣，使飛船獲得指向火星的徑向速度av0，a是遠小于1的常數．因噴氣量很小，噴氣后飛船的質量可視作不變．噴氣后，飛船繞火星沿新的軌道運行．試求飛船橢圓軌道近火星點距火星表面的高度hA以及遠火星點距火星表面的高度hB，以及飛船繞橢圓軌道的運行周期．

小試身手題14解:HhBv0RABhAvRV0飛船進入橢圓軌道的初速度由機械能守恒有

VAVB由角動量守恒有

由開三律，飛船前后周期之比為

v0

60

一宇宙飛船環繞一行星做勻速圓周運動，軌道半徑為R，飛船速率為v0．飛船上發動機突然點火，使飛船速率從v0變到v0，加速度方向與速度方向相同，飛船沿新軌道運動．設φ為發動機點火時飛船速度方向與飛船在最遠離行星時速度方向之間的夾角，求角φ，并畫出飛船運動軌跡的圖示．小試身手題15解:計算加速后飛船的總機械能E

飛船將沿雙曲線軌道遠離行星

圖示由機械能守恒有

由角動量守恒有

由雙曲線解析性質得

61yxV續解yxV續解62天體運動種種天體運動種種63開普勒三定律面積定律支配天體運動的基本規律軌道定律周期定律萬有引力定律牛頓運動定律t3t4Bt2t1A行星太陽ba機械能守恒開普勒三定律面積定律支配天體運動的基本規律64赤道平面軌道極地軌道其它軌道人造衛星可能軌道赤道平面軌道極地軌道其它軌道人造衛星可能軌道65角速度周期速度加速度與軌道半徑關系軌道半徑R中心天體半徑R0天體運動規律一覽表角速度周期速度加速度與軌道半徑關系軌道半徑R天體運動規律一覽66F引mωF向赤道上的物體在某一緯度的物體mF引F向地面上物體隨地球自轉所需向心力只是地心引力極小一部分天上衛星繞地球轉動所需向心力由全部地心引力提供！結論：自轉與公轉F引mωF向赤道上的物體在某一緯度的物體mF引F向地面上物體67雙星模型特征與規律★模型特征：故有

之二：∵角速度相同，即之三：∵兩天體做圓周運動的向心力大小相等，之四：之一：兩天體做圓周運動的向心力均為兩天體間的萬有引力，大小相等，即★模型規律：ORmmMRMvMvmω兩顆相近的天體繞它們連線上的某點（質心Ｏ）以共同的角速度做勻速圓周運動.之五：雙星系統動量守恒雙星模型特征與規律★模型特征：故有之二：∵角速度相同，68一個常用的推導—天體的密度一個常用的推導—天體的密度69地球公轉軌道平面日DXQCh

對北半球而言,在冬季過近日點,夏季過遠日點t3t4Bt2t1A行星太陽ba從高考到競賽題1

如圖所示為地球繞太陽運行示意圖，圖中橢圓表示地球公轉軌道，Ch、Q、X、D分別表示中國農歷節氣中的春分、秋分、夏至、冬至時地球所在的位置．試說明，一年之內秋冬兩季比春夏兩季要少幾天的原因．解:地球公轉軌道平面日DXQCh由面積定律:地球公轉軌道平面日DXQCh對北半球而言,在冬季過近日點,70同步軌道半徑設為R1同步衛星軌道在影區的弧所對圓心角2θ，有θ因衛星在影區、不反射陽光而看不到的時間為2θR

某顆地球同步衛星正下方的地球表面上有一觀察者，他用天文望遠鏡觀察被太陽光照射的此衛星，試問，春分那天（太陽光直射赤道）在日落12小時內有多長時間該觀察者看不見此衛星？已知地球半徑為R，地球表面處的重力加速度為g,地球自轉周期為T，不考慮大氣對光的折射．R1解:從高考到競賽題2同步軌道半徑設為R1同步衛星軌道在影區的弧所對圓心角2θ，有71極地衛星周期為每晝夜衛星經日照下的赤道的次數為每次應拍攝偵察衛星在通過地球兩極上空的圓軌道上運行，它的運行軌道距地面高度為h，要使衛星在一天的時間內將地面上赤道各處在日照條件下的全部情況全都拍攝下來，衛星在通過赤道上空時，衛星上的攝像機至少應拍攝地面上赤道圓周的弧長是多少？設地球半徑為R，地面重力加速度為g，地球自轉的周期為T.從高考到競賽題3解:極地衛星周期為每晝夜衛星經日照下的赤道的次數為每次應拍攝72⑴由衛星下方地面處于東經0180⑵移動衛星經半周期又通過赤道上空，此間地球自轉了θ角，有電視轉播用的“地球同步衛星”的軌道高度為h，轉動周期為T0；衛星定位系統用的某“移動衛星”沿通過地球的南北兩極的圓形軌道運行，離地面高度為H，地球半徑為R0．⑴該移動衛星連續兩次通過地球北極點上空的時間間隔是多少？⑵該移動衛星某時刻恰位于經度為0度的赤道上空，那么它下一次通過赤道上空時，下方地面的經度是多少？從高考到競賽題4解:⑴由衛星下方地面處于東經0180⑵移動衛星經半周期又通過赤道73要使一顆人造地球通訊衛星（同步衛星）能覆蓋赤道上東經75.0°到東經135.0°之間的區域，則衛星應定位在哪個經度范圍內的上空？地球半徑R=6.37×106m．地球表面處的重力加速度g=9.80m/s2．從高考到競賽題5解:同步軌道半徑的計算解答要使一74同步軌道半徑設為R同步,其覆蓋經度范圍的幾何關系如圖:RR同步75°135°0°180°恰能覆蓋東經75°的衛星定位:恰能覆蓋東經135°的衛星定位:讀題同步軌道半徑設為R同步,其覆蓋經度范圍的幾何關系如圖:RR同75同步軌道半徑設為R0：得衛星在同步軌道的引力勢能為動能：衛星在空間站的引力勢能為由機械能守恒：

地球質量為M，半徑為R，自轉角速度為ω，萬有引力恒量為G，如果規定物體在離地球無窮遠處勢能為0，則質量為m的物體離地心距離為r時，具有的萬有引力勢能可表示為．可供航天員居住與進行科學實驗的空間航天站離地面高度為h，若在該空間站上直接發射一顆質量為m的小衛星，使其能到達地球同步軌道并能在軌道上正常運行，則該衛星在離開空間站時必須具有多大的動能？

從高考到競賽題6解:同步軌道半徑設為R0：得衛星在同步軌道的引力勢能為動能：衛星76LMM

根據對某一雙星系統的光學測量確定，該雙星系統中每個星體的質量都是M,兩者間相距L，它們正圍繞兩者連線的中點做圓周運動．⑴試計算該雙星系統的運動周期；⑵若實驗上觀測到運動周期為，且,為了解釋兩者的不同，目前有一種流行的理論認為，在宇宙中可能存在暗物質．作為一種簡化的模型，我們假定在以這兩個星體連線為直徑的球體內均勻分布這種暗物質，而不考慮其它暗物質的影響，試根據這一模型和上述觀察結果確定該星系間這種暗物質的密度．

從高考到競賽題7解:LMM77天文學家根據觀察宣布了下列研究成果，銀河系中可能存在一個大“黑洞”，距黑洞60億千米的星體以2000km/s的速度繞其旋轉，接近“黑洞”的所有物質即使速度等于光速也被“黑洞”吸入，試計算“黑洞”的質量和最大半徑．從高考到競賽題8解:天文學78“大爆炸學說”認為：宇宙是很久以前發生的一次大爆炸使聚集于某處的物質分離開來而成的，直到現在，這大爆炸的“碎片”──宇宙中的各星系仍在以不同的相對速率相互遠離．觀察表明：離我們越遠的星系遠離我們飛去的速度越大．例如，牧夫座內一星云離我們銀河系的距離為2.74×109Ly(Ly為“光年”，而1Ly=9.46×1015m)，它正以3.93×107m/s的速率飛離銀河系．若大爆炸后形成的各星系分別是以不同的速率從大爆炸前物質的聚集處沿各個方向勻速飛離，則在下列兩種情況下求宇宙的年齡T．⑴假設大爆炸后銀河系與牧夫座的那個星云分別以速率V1和V2沿相反方向飛離大爆炸前物質的聚集處；⑵假設大爆炸后銀河系與牧夫座的那個星云分別以速率V1和V2沿夾角為θ的兩個方向飛離在大爆炸前物質的聚集處．從高考到競賽題9解:⑵兩天體分離速度成角度時，相對速度情況如圖所示v1v2v相對θ“大爆79M1M2CR60°60°地、月在相互間的萬有引力作用下，繞它們的連線上的一點C做等角速度的轉動．太空城的首選位置在月球軌道上與月球及地球等距的地方，如圖所示．這里，太空城在地、月引力共同作用下，相對于地、月均處于平衡．試證明，太空城在這里所受地、月引力的合力作用線指向Ｃ．從高考到競賽題10解:地球月球太空城C設地球質量為M1，月球質量為M2，地球與月球間距離為R，如圖設太空城所受合力作用線與地、月連線的中垂線夾角為α，太空城所在位置和C點的連線與中垂線夾角為β，則F1F2M1M2CR60°60°80

估算空間太陽能電站一晝夜間由于被地球遮擋而不能發電的最長時間．取地球本影長為地球半徑的216倍，同步軌道高度為地球半徑的5.5倍．日地衛星

影

RR0nR0從高考到競賽題11解:估81

估算從地球表面向火星發射火星控測器．設地球和火星都在同一平面上繞太陽做圓周運動，火星軌道半徑約為地球軌道半徑R0的1.5倍，簡單而又比較節省能量的發射過程可分為兩步進行：第一步，在地球表面用火箭對探測器進行加速，使之獲得足夠動能，從而脫離地球引力作用成為一個沿地球軌道運動的人造行星；第二步是在適當時刻點燃與探測器連在一起的火箭發動機，在短時間內對探測器沿原方向加速，使其速度增加到適當值，從而使得探測器沿著一個與地球軌道及火星軌道分別在長軸兩端相切的半個橢圓軌道正好射到火星上，如圖甲．當探測器脫離地球引力并沿地球公轉軌道穩定運行后，在某年3月1日零時測得探測器與火星之間的角距離為60°，如圖乙所示．已知地球半徑為：Rr=6.4×106m；地球公轉周期為：Te=365天，（時間計算僅需精確到日）⑴求出火星的公轉周期和探測器沿半個橢圓軌道運動的時間；⑵通過計算說明在何年何月何日點燃探測器上火箭發動機方能使探測器恰好落在火星表面？從高考到競賽題12解答飛船太陽地球火星地球探測器甲乙估82⑴由開三律:則探測器沿半橢圓運動時間為⑵探測器沿半橢圓運動時間內火星通過的角度為則探測器開始進入橢圓軌道的位置應與火星的角距離成43°!從3月1日探測器與火星的角距離成60°經38天到4月8日時成43°讀題解:⑴由開三律:則探測器沿半橢圓運動時間為⑵探測器沿半橢圓運動時83走進競賽板塊走進競賽板塊84v0bacde牛頓的草圖-天體的運動軌跡軌道與能量v0bacde牛頓的草圖-天體的運動軌跡軌道與能量85機械能守恒支配天體運動的守恒定律引力勢能動量守恒軌道與能量

兩個天體相互作用過程中，如果其它星系離它們很遙遠，對它們的作用可以忽略的話，這兩個天體的總動量守恒，兩個天體從相距很遠到相互作用直到遠離，它們的始末速度滿足彈性碰撞的方程組，那么在它們相互作用的前后相對速度遵守“反射定律”，如果是一維方向上的“彈性碰撞”，則相對速度等值反向．若一個飛船向外噴氣或拋射物體，則系統的動量守恒而機械能不守恒．

角動量守恒角動量

若作用在質點上的力對某定點的力矩為零，則質點對該定點的角動量保持不變，這就是質點的角動量守恒定律．物體在受有心力作用而繞著中心天體運動，或幾個天體互相繞其系統質心運動時，由于有心力必過力心，對力心的力矩為零，故系統的角動量守恒．即．示例模型與方法機械能守恒支配天體運動的守恒定律引力勢能動量守恒軌道與能量86A1A2AnA3r1rnM引力勢能m物體只在引力作用下繞中心天體運行，其機械能守恒．引力是保守力，引力場是勢場，在平方反比力場中，質點的引力勢能取決于其在有心力場中的位置．在中心引力場中，m從A1移至無窮遠處，引力做負功為：

以無窮遠處為零引力勢能位置，物體在距中心天體r遠處的引力勢能為返回A1A2AnA3r1rnM引力勢能m物體只在引力作用87O角動量pmO矢量r稱位置矢量，或稱矢徑繞定點圓運動質點的（線）動量為方向總是與矢徑r垂直定義:質點動量大小mv與矢徑大小r的乘積為質點對定點（圓心）O的角動量：L=pr

當p與r方向不垂直而成角度θ：prθA角動量大小等于動量大小與O點到動量矢量p的垂直距離的乘積;方向遵守右手定則,矢量定義式為返回O角動量pmO矢量r稱位置矢量，或稱矢徑繞定點圓運動質點的（88r2r1mO均勻球殼對殼內物質的萬有引力M兩面元質量各為r兩面元對殼內質點m的引力各為由幾何關系:整個球殼對球殼內物質的萬有引力為零!r2r1mO均勻球殼對殼內物質的萬有引力M兩面元質量各為r兩89對于一個質量均勻半徑為R的實心球，在距球心r（＜R）處質點只受半徑為r的球內質量的萬有引力，而r以外球殼（即R為外徑r為內徑的球殼）則對質點無引力的作用．

rMRm距球心r處所置質點受到引力大小

距球心r處所置質點的引力勢能均勻實心球的萬有引力返回對于一個質量均勻半徑為R的實心球，在距球心r90常用模型方法理想化方法軌道極限模型矢量法與微元法常用模型方法理想化方法軌道極限模型矢量法與微元法91

試推導地球上的第三宇宙速度v3．專題11-例1地球質量M太陽質量MS地球半徑R日地距離r物體質量m第一宇宙速度v1：(地球環繞速度)這是以日為參照物之速度，而地球對太陽的公轉速度=29.8km/s；則以地球為參照物，這個速度為第二宇宙速度v2：(地球逃逸速度)由能量守恒第三宇宙速度v3：(太陽逃逸速度)原處于太陽系中地球軌道位置的物體離開太陽系所需“逃逸速度”

由能量守恒：解:

92RRbv0vp要發射一臺探測太陽的探測器，使其與地球具有相同的繞日運動周期，以便發射一年后又將與地球相遇而發回探測資料．由地球發射這樣一臺探測器，應使其具有多大的繞日速度？專題11-例2解:取發射時的一小段時間ΔtRRbv0vp93火箭矢徑的“面積速度”為:火箭飛行期間矢徑掃過的面積:則v1

火箭從地面上以第一宇宙速度豎直向上發射，返回時落回離發射場不遠處．空氣阻力不計，試估算火箭飛行的時間，地球半徑取R0=6400km．

專題11-例3解:火箭矢徑的“面積速度”為:火箭飛行期間矢徑掃過的面積:則v194

豎直上拋運動中，以T表示到達最高點所用時間，以H表示最高點離地球表面的距離，R表示地球半徑，M表示地球質量，G為萬有引力恒量，不計空氣阻力，從考慮萬有引力是“平方反比力”出發，確定時間T的數學表達式．專題11-例4解:從考慮萬有引力出發，物體在平方反比力作用下所做的“豎直上拋運動”，其軌跡應是以地心為焦點的一個狹長的橢圓上的一部分，該橢圓的長軸可取作R+H，該橢圓是許多繞地衛星可能的開普勒軌道中的一個，如圖示:

地心v1RH設在這樣的軌道上運動的物體的運行周期為T′,

物體的“面積速度”為:續解

95物體的“面積速度”為:物體運動的周期與“貼地”衛星周期關系由開三律：物體飛行期間矢徑掃過的面積:yx由橢圓方程讀題讀圖物體的“面積速度”為:物體運動的周期與“貼地”衛星周期關系由96其中其中97設想宇宙中有一由質量分別為m1、m2……mN的星體1、2…N構成的孤立星團，各星體空間位置間距離均為a，系統總質量為M．由于萬有引力的作用，Ｎ個星體將同時由靜止開始運動．試問經過多長時間各星體將會相遇？專題11-例5解:設系統質心為O星體1與i位矢如圖r1ri星體1與i的萬有引力大小為a同理系統的角動量守恒設矢量r1大小r1=ka,質點1在這個平方反比力作用下，在以O為一個焦點，以ka/2為長半軸而短半軸逼近于零的“橢圓軌道”運動．

1i質心

98遠點在木星軌道而繞日運行的彗星稱為木星彗星，它的形成可看成是從無限遠處落向太陽的天體經木星吸引偏轉而成為太陽的彗星，求其近日點．（已知木星的公轉軌道半徑為R）

專題11-例6解:理想化模型：從無限遠處落向太陽的天體在木星軌道經與木星發生“彈性碰撞”改變運動方向進入繞日軌道，如圖．木星軌道太陽v0vVv1得木星“碰撞”前速度為由機械能守恒，從無限遠處被太陽吸引到木星軌道附近時速度v滿足與木星“完全彈性碰撞”過程速度矢量關系如圖：續解

99v0vV接近V分離V“完全彈性碰撞”接近速度與分離速度大小相等！天體進入太陽彗星軌道，設其繞日軌道近日點距太陽r，過近日點時速度為v1讀圖由機械能守恒有

由角動量守恒有

v0vV接近V分離V“完全彈性碰撞”接近速度與分離速度大小相100yx如圖所示，地球沿半徑為R0的圓軌道繞太陽運動，彗星繞太陽沿拋物線軌道運動．已知此拋物線與地球圓軌道一直徑的兩端相交，不計地球與彗星之間的引力，試求彗星在地球軌道內的運行時間．專題11-例7解:準線v0vOxyy=R0ABCC0S續解太陽、彗星、地球質量依次為M、m、m0解題方向比較兩天體矢徑掃過的面積，比較兩天體“面積速度”，可得兩天體運行時間關系！yx101彗星軌跡為拋物線，由機械能守恒，有關系式而地球繞日運行有關系式

設彗星以速率v通過其軌道頂點C歷時Δt（Δt→0）讀圖地球以速率v0通過其軌道頂點C0歷時Δt

0（Δt0→0）兩者的“面積速度”相同！彗星軌跡為拋物線，由機械能守恒，有關系式而地球繞日運行有關系102一衛星在半徑為r的圓形軌道上運動，旋轉周期為Ｔ，如果給衛星一個附加的徑向速度un或一個附加的切向速度ut，衛星都將沿一個橢圓軌道運動．⑴確定在上述二種情況中衛星的旋轉周期．⑵所附加的徑向速度un和切向速度ut必須滿足什么關系，才能使兩種情況下，衛星旋轉周期相等？專題11-例8解:⑴衛星在半徑r軌道圓運動速度為中心天體質量為M、“遠(近)地點”速度為V、矢徑為rn（t）衛星附加速度u為徑向時讀圖機械能守恒角動量守恒對同一環繞中心，兩軌道周期滿足衛星附加速度u為切向時⑵要使Tn=T，根據開普勒第三定律，必有an=at，即有小試

103原軌道原軌道vur變軌道rnV2an續解vu變軌道2atVrt衛星附加速度u為徑向時衛星附加速度u為切向時原軌道原軌道vur變軌道rnV2an續解vu變軌道2atVr104

設有兩個地球人造衛星M和N沿同一橢圓軌道運動，地球中心在這橢圓的一個焦點F上，又設M和N相距不遠，因此可將橢圓弧看作直線．已知MN的中點經近地點時MN=a，近地點到地心的距離為r，遠地點到地心的距離為R，求M、N的中點經遠地點時兩顆衛星間的距離．

小試身手題1解:設在遠地點時兩衛星距離lFNMMNrR在同一軌道上，衛星面積速度相同al設有兩個地球人造衛星M和N沿105

空間兩質點的質量分別為m1和m2，彼此以萬有引力相互作用．開始時兩質點靜止，相距r0，在引力作用下彼此接近并相碰，試求兩質點從開始運動到相碰所經歷的時間．小試身手題2解:r1r2r0m1m2質心O設系統質心為O質點1與2位矢如圖質點1與2的萬有引力大小為令矢量r1大小r1=kr0,等效于中心質量k3(m1+m2)，兩質點各在以中心為焦點、到中心距離為長軸的退化為直線的扁橢圓上向中心運動，經半周期相遇，故空間兩質點的質量分別為m1和106

一質點受一與距離3/2次反比引力作用而在一直線上運動．試證此質點自無窮遠處到達距力心a處時的速率與從a處由靜止出發，到達a/4處時的速率相同．

解:導出此力場中的勢能公式：

小試身手題3BAri-ri+1rAMrB在引力作用下質點從A點向力心移到B點

引力做元功為：

由從A移至B，引力做功為：

由機械能守恒，質點從無窮遠處到達距力心a處時a處由靜止出發，到達/4處時

得證

107

有一個質量大而體積小的星球，一個物體離這個星球的距離為r，物體從靜止出發自由落向此星球，求物體落到這個星球上經歷多少時間？（已知星球的質量為M）解:將此星球視作質點，落向此星球的物體的軌道視作退化為直線的橢圓，其半長軸為小試身手題4若周期為T，則自由下落到星球歷時設想同一環繞系統另有一物體在半徑為r的圓軌道運動，其周期圓軌道星球根據開普勒第三定律

108

根據某種假設，星球是由星際物質（宇宙塵埃）在萬有引力的作用下經壓縮而成的．試估算由密度ρ=2×10-20g/cm3的宇宙塵埃組成的巨大的云團到生成一顆星球需要多長時間？解:

取理想化模型：認為塵埃組成的巨大云團是密度均勻分布的質點，每個質點自由落向云團中心，最后密集成一顆星球，星球形成所需時間即是最外層塵埃落至中心的時間即小試身手題5

109

如行星突然在其軌道上某處停止運動（假定軌道為圓形）則將被吸引而至太陽，試求其所需時間，設太陽的高斯常數（GM）為k，行星質量為m．小試身手題6解:

設行星原在力

作用下繞日做半徑為r勻速圓周運動，則有從距日為r處突然停止而被吸引向太陽的行星，其軌道可視作退化為直線的橢圓，出發于遠日點，經半個周期(T′/2)到近日點，其半長軸為根據開普勒第三定律

110某彗星的軌道為拋物線，其近日點距離為地球軌道（假定為圓軌道）半徑的1/n，求此彗星運行時，在地球軌道內停留的時間．

小試身手題7解:解題方向比較兩天體矢徑掃過的面積，比較兩天體“面積速度”，可得兩天體運行時間關系！太陽、彗星、地球質量依次為M、m、m0讀圖地球繞日運行有關系式

彗星軌跡為拋物線，由機械能守恒，有關系式設彗星、地球各以速率v和v0通過其軌道頂點歷時各Δt（Δt→0）和Δt

0（Δt0→0）兩者的“面積速度”之比為續解

111yxv0v返回續解yxv0v返回續解112慧星從A到B時間由

地球矢徑掃過面積

讀圖慧星從A到B時間由地球矢徑掃過面積讀圖113

如圖，從地球發射火箭到火星去進行探測，發射后火箭繞太陽橢圓軌道運行．為了節省能源，火箭離開地球的速度方向與地球繞太陽公轉的速度方向一致，并且選擇適當的發射時機，使火箭橢圓軌道的遠日點為火星，軌道近日點為地球．假定地球和火星均繞太陽做圓周運動，圓軌道半徑分別為r與R，忽略其它行星對火箭的作用，求火箭應以多大的對地速度離開地球？火箭到達火星要用多長時間？

小試身手題8解:日地球軌道