46函數(shù)的奇偶性課時數(shù)量2課時(120分鐘)/,適用的學生水平?優(yōu)秀 ？中等 ？基礎(chǔ)較差教學目標(考試要求)理解函數(shù)的奇偶性定義，會根據(jù)定義判定函數(shù)的奇偶性.掌握奇(偶)函數(shù)的圖象對稱性.能討論奇(偶)函數(shù)的單調(diào)性，解決函數(shù)單調(diào)性與奇偶性綜合問題.滲透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想，培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的能力.教學重點、難點重點：函數(shù)的奇偶性定義，根據(jù)定義判定函數(shù)的奇偶性.難點：奇(偶)函數(shù)的單調(diào)性分析，抽象函數(shù)的性質(zhì).建議教學方法數(shù)形結(jié)合，講練結(jié)合教學內(nèi)容一、知識梳理函數(shù)奇偶性設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為D,如果又?于D內(nèi)任意一個x,都有xD,且f(x)=-f(x),那么這個函數(shù)叫做奇函數(shù).設(shè)函數(shù)y=g(x)的定義域為D,如果對于D內(nèi)任意一個x,都有xD,且g(x)=g(x),那么這個函數(shù)叫做偶函數(shù).奇函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于原點成中心對稱圖形.偶函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于y軸成軸對稱圖形.二、方法歸納.函數(shù)的定義域D是關(guān)于原點的對稱點集(即對xeD就有—xeD),是其具有奇偶性的必要條件.

.在公共定義域內(nèi)：兩個偶函數(shù)的和、差、積、商均為偶函數(shù)；兩個奇函數(shù)的和、差是奇函數(shù)，積、 商是偶函數(shù)； 偶函數(shù)與奇函數(shù)的積、商是奇函數(shù).D的對稱性和變換中的.判斷函數(shù)的奇偶性應(yīng)把握：D的對稱性和變換中的等價性.②若為抽象函數(shù)，在依托定義的基礎(chǔ)上，用好賦值法，注意賦值的科學性和合理性..定義在關(guān)于原點的對稱點集函數(shù)與一個奇函數(shù)的和.即f(x)=F(x)+G(x),其中f(x一口■區(qū)為奇函數(shù).2.奇(偶)函數(shù)性質(zhì)的推廣：若函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線D上的任意函數(shù)f(x)，總可以表示成一個偶F(x)=f(x一七x)為偶函數(shù)， G(x)=2xa對稱，則f(x)f(x2a)；若函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(a,0)對稱，則f(x)f(x2a);三、典型例題精講1x2x1［例1］函數(shù)f(x)= 的圖象( )d2-1xx1A.關(guān)于x軸對稱C.A.關(guān)于x軸對稱C.關(guān)于原點對稱D.關(guān)于直線x=1對稱解析：由f(x)f(x)1x2x1..1x解析：由f(x)f(x)1x2x1..1x2x111x2x1_(_1_x2 x)1(1x2x)=-f(x)f(x)是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱.答案：C【技巧提示】 用定義判定函數(shù)的奇偶性需要對函數(shù)解析式進行恒等變形,不要輕易斷定是非奇非偶函數(shù).

又例:判定函數(shù)f(x)2x又例:判定函數(shù)f(x)2x2x2x3,x2x3,x0的奇偶性.0f(x)(x)2解析：當x0時，x0f(x)(x)22(x)3=x22x3=f(x)；當x0時，x02 _ _ 2 _ _ _f(x)(x)2( x)3=x2 2x 3=f(x)f(x)提示分段函數(shù)的奇偶性判斷須注意各段中解析式的作用范圍.f(x)提示分段函數(shù)的奇偶性判斷須注意各段中解析式的作用范圍.［例2］已知f(x)是偶函數(shù)而且在(0,+8)上是減函數(shù)，判斷f(x)在(—8,0)上的增減性并加以證明.解析：函數(shù)f(x)在(-OO,0)上是增函數(shù).設(shè)Xi<x2<0,因為f(x)是偶函數(shù)，所以f(x1)=f(x1),f(x2)=f(x2),由假設(shè)可知—xi>-x2>0,又已知f(x)在(0,+00)上是減函數(shù)，于是有f(x1)Vf(x2),即f(x1)<f(x2),由此可知，函數(shù)f(x)在(一00,0)上是增函數(shù).【技巧提示】 具有奇偶性的函數(shù)，其定義域 D關(guān)于原點的對稱性，使得函數(shù)在互為對稱的區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性具有對應(yīng)性. “偶函數(shù)半增半減，奇函數(shù)一增全增” .［例3］定義在區(qū)間(一8,+OO)上的奇函數(shù)f(x)為增函數(shù)，偶函數(shù)g(x)在區(qū)間［0,+8)上的圖象與f(x)的圖象重合，設(shè)a>b>0,給出下列不等式：f(b)-f(-a)>g(a)-g(-b);f(b)-f(-a)vg(a)—g(—b);f(a)—f(—b)>g(b)—g(—a);f(a)-f(-b)vg(b)—g(—a).其中成立的是( )A.(1)與(4) B.(2)與(3) C.(1)與(3)D.(2)與(4)解析：根據(jù)函數(shù)f(x)、g(x)的奇偶性將四個不等式化簡，得：

提示抽象函數(shù)常常集函數(shù)性質(zhì)、圖象、定義域與值域等問題于一身，既能考查函數(shù)的概念與性質(zhì)，又能考查學生的思維能力，并且概念抽象、構(gòu)思新穎、隱蔽性強、靈活性大、綜合程度高，它在高中數(shù)學教材中雖很少涉及到，但在各類高考模擬試題中常常見到，也是近年來高考試題中的新寵.(1)f(b)+f(a)>g(a)—g(b)； (2)f(b)+f(a)vg(a)—g(b提示抽象函數(shù)常常集函數(shù)性質(zhì)、圖象、定義域與值域等問題于一身，既能考查函數(shù)的概念與性質(zhì)，又能考查學生的思維能力，并且概念抽象、構(gòu)思新穎、隱蔽性強、靈活性大、綜合程度高，它在高中數(shù)學教材中雖很少涉及到，但在各類高考模擬試題中常常見到，也是近年來高考試題中的新寵.f(a)+f(b)>g(b)—g(a)； (4)f(a)+f(b)<g(b)-g(a).再由題義，有 f(a)=g(a)>f(b)=g(b)>f(0)g(0)0.顯然(1)、(3)正確，故選C.【技巧提示】 具有奇偶性的函數(shù)可以根據(jù)某個區(qū)間的單調(diào)性判定其對稱的區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性，因而往往與不等式聯(lián)系緊密.又例：偶函數(shù)f(x)在定義域為R,且在(—8,0］上單調(diào)遞減，求滿足f(x3)>f(x1)的x的集合.解析：偶函數(shù)f(x)在(—8,0］上單調(diào)遞減，在［0,+OO)上單調(diào)遞增.根據(jù)圖象的對稱性，f(x3)>f(x1)等價于|x3|>|x1|.解之，x1,滿足條件的x的集合為(一1,+8).［例4］設(shè)f(x)是(-8,+OO)上的奇函數(shù)，f(x2)=—f(x),當0WxW1時，f(x)=x,x則f(7.5)等于( )A.0.5 B. —0.5C. 1.5 D. —1.5解析：f(7.5)=f(5.52)=-f(5.5)=-f(3.52)=f(3.5)=f(1.52)=-f(1.5)=-f(0.52)=f(0.5)=-f(0.5)=-0.5.答案：B【技巧提示】 這里反復(fù)利用了f(x)=—f(x)和f(x2)=—f(x),后面的學習我們會知道這樣的函數(shù)具有周期性.又例：如果函數(shù)f(x)在R上為奇函數(shù)，且在(—1,0)上是增函數(shù)，試比較TOC\o"1-5"\h\z「1 ,2f(?fq),f⑴的大小關(guān)系.解析：???f(x)為R上的奇函數(shù)，.1、 .1.2 .2\o"CurrentDocument"■-f(1)=-f(1),f(2)=-f(2),f(1)=-f(1),又f(x)在(一3 3 3 3

1,0)上是增函數(shù)且—->-->-1.TOC\o"1-5"\h\z3 3.1、 . 2 1 2?'f( -)> f( ~)>f(1),??f(-)<f(-)<f(1).3 3 3 3答案:f(l)Vf(-)Vf(1).3 3［例5］函數(shù)f(x)的定義域為D=xRx0,且滿足對于任意X1,X2D,有f(xX2) f(X1)f(X2)(1)求f(1)的值； (2)判斷函數(shù)f(X)的奇偶性，并證明；解：(1)令x1 x21,得f1 0；(2)令X1 X2 1,得f1 0,令X1 1,X2x,得fXf1fX--fXfX,即f(x)為偶函數(shù).【技巧提示】 賦值法是解決抽象函數(shù)問題的切入點. 常賦值有0,1,-1,25?10<x試證［例6］已知函數(shù)f(X)在(一1,1)上有定義，f(一)=—1,0<x試證2<1時f(x)<0,且對任意x、yC(―1,1)都有f(x)+f(y)=f(--y),1xy明：(1)f(x)為奇函數(shù)；(2)f(X)在(―1,1)上單調(diào)遞減.證明：(1)由f(X)+f(y)=f(2^^),令X=y=0,得f(0)=0,1xyXX令y=—X,得f(x)+f(x)=f(——2)=f(0)=0,f(x)1x2f(X),??.f(x)為奇函數(shù).(2)先證f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減.X2X1令0vX1vX2V1,則f(X2)—f(X1)=f(X2)+f(—X1)=f( )1X1X2

X2Xi?0VXiVX2<1,?.X2—X1>0,1—X1X2>0,- >0,1X1X2又(X2—Xi)—(1—X2X1)=(X2—1)(X1+1)V0X2—XK1—X2X1,X2X1 X2X1??.0<———-<1,由題意知f(———-)<0,1X1X2 1X1X2即f(X2)Vf(X1).f(X)在(0,1)上為減函數(shù)，又f(X)為奇函數(shù)且f(0)=0.f(x)在(―1,1)上為減函數(shù).【技巧提示】 這種抽象函數(shù)問題，往往需要賦值后求特殊的函數(shù)值，如f(0),f(1),f(2)等等，一般f(0)的求解最為常見.賦值技巧常為令xy0或Xy等。本例中第一問求解特殊函數(shù)值的過程中就采用了這兩個技巧； 對于XcX(2),判定 的氾圍是解題的焦點.X1X2四、課后訓練—— 1一1四、課后訓練—— 1一1.函數(shù)①f(X)X— ②f(X)X④f(x) X21,X 10,10⑥f(x)(1x)33(1X2)2上述函數(shù)中為奇函數(shù)的是( )A.①⑥⑦ B.①⑥2.(2011年安徽理科卷)設(shè)X1 ③f(X)X4x21⑤f(x)0C.③⑥ D.①②fX是定義在R上的奇函數(shù)，當X0時,TOC\o"1-5"\h\z一，fx2xX,貝Uf1 ()A-3 B-1 C1 D3.如果奇函數(shù)f(X)在區(qū)間［3,7］上是增函數(shù)且最小值是5,那么f(x)在區(qū)間［―7,—31上( )A.是增函數(shù)且最小值為—5A.是增函數(shù)且最小值為—5B.是增函數(shù)且最大值是—5C.是減函數(shù)且最小值為—5 D.是減函數(shù)且最大值是—5TOC\o"1-5"\h\z.已知函數(shù)f(x)=x5+ax3+bx—8,且f(2)=0,貝Uf(2)等于( )A.—16 B.-18 C.—10 D.10.若f(x)在［—5,5］上是奇函數(shù)，且f(3)vf(1),則( )A.f(1)<f(1) B.f(0)C.A.f(1)<f(1) B.f(0)C.f(1)vf(3)D.f(:6.已知函數(shù)fxxaxaa0x2x x0hx2 ，貝Uxx x0A.奇函數(shù)，偶函數(shù)，奇函數(shù)C.奇函數(shù)，奇函數(shù)，奇函數(shù)(2011年廣東理科卷)設(shè)函數(shù)fx則下列結(jié)論恒成立的是A.fx gx是偶函數(shù)c.fx gx是偶函數(shù)f(1)>f(5)x,gx,hx的奇偶性依次為( )B.非奇非偶函數(shù)，奇函數(shù)，偶函數(shù)D.奇函數(shù)，非奇非偶函數(shù)，奇函數(shù)和gx分別是R上的偶函數(shù)和奇函數(shù),B.fxgx是奇函數(shù)D.fxgx是奇函數(shù)8.(20098.(2009年陜西文科卷)定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足：對任意的x1,x2［0, )(x1x2),有f(x2)f(x1)0.則()x2x1f(3)f(2)f⑴C.f(2) f(1)f(3)f(1)f(2) f(3)D.f(3) f(1)f(2)9.(2009年四川文科卷)已知函數(shù)f(x)是定義在實數(shù)集R上的不恒為零的偶函數(shù)，且對任意實數(shù)x都有xf(x1)(1x)f(x),則f(一)的值是(A.01B..2C.15D.