§2.5指數與指數函數取新考綱考情考向分析1?了解指數函數模型的實際背景.2?理解有理數指數幕的含義，了解實數指數幕的意義，掌握幕的運算.3?理解指數函數的概念及其單調性，掌握指數函數圖象通過的特殊點，會畫底數為2,3,10,2,1的指數函數的圖象.4?體會指數函數是一類重要的函數模型.直接考查指數函數的圖象與性質；以指數函數為載體，考查函數與方程、不等式等交匯問題，題型一般為選擇、填空題，中檔難度.概念方法微概念方法微思考1．分數指數冪⑴規定：正數的正分數指數幕的意義是an=\i'am(a>0,m,n^N十,且m為既約分數)；正數m1m的負分數指數幕的意義是an(a>0,m,n^N十，且m為既約分數)；0的正分數指數幕am等于0;0的負分數指數幕沒有意義.(2)有理指數幕的運算性質：aaaB=aa+B,(aO)p=aoP，(ab)a=aaba，其中a>0,b>0,a,^WQ.2．指數函數的圖象與性質y=axa>10<a<1圖象定義域(1)R值域(2)(0,+^)性質(3)過定點Q1)⑷當x>0時，y>l；當x<0時，0vyvl⑸當x>0時，0vyv1；當x<0時，y>1(6)在(一8,+^)上是增函數(7)在(一8,+b)上是減函數d與1之間1.如圖是指數函數(l)y=ax,(2)y=bx,(3)y=cx,(4)y=dx的圖象，則d與1之間提示c>d>1>a>b>02.結合指數函數y=ax(a>0,aMl)的圖象和性質說明ax>l(a>0,aMl)的解集跟a的取值有關．提示當a>1時，ax>1的解集為｛xlx>0｝；當Ovavl時，ax>1的解集為｛xIxvO｝.題組一思考辨析1.判斷下列結論是否正確(請在括號中打“V”或“X”)(1)討an=(卞a)n=a(nWN+).(X)mm⑵分數指數幕an可以理解為律個a相乘.(X)函數y=3?2x與y=2x+1都不是指數函數.(V)若am<an(a>0，且aM1)，則m<n.(X)函數y=2-x在R上為單調減函數.(V)題組二教材改編2.化簡\'16x8y4(xv0,y<0)=答案—2x2y3.若函數fx)=ax(a>0,且aM1)的圖象經過點Pf2,￡，則f(—1)=1J?2—=討0.解析由題意知2=a2,所以a=~2—=討0.4?已知a=4?已知a=、_13,b=14,c=1_34，則a,b,c的大小關系是答案答案c<b<a解析???x解析???x是R上的減函數,即a>b>1即a>b>1，又c=cvbva.題組三易錯自糾=1，7一7一6-/Ik

X丄3-、丿3-2

z/nk算

計

5，所以f，所以f(—1)=所以f(x)=答案21313=2.331解析原式=X1+24x24解析原式=6?若函數fx)=(a2—3)?為指數函數，則a=?答案2a2—3=1,解析由指數函數的定義可得］a>0,解得a=2.1,7.若函數y=(a2—l)x在(一a,+^)上為減函數，則實數a的取值范圍是答案(一V2,_1)U(1,邁)解析由題意知0<a2－l<l，即l<a2<2，得一\'2<a<—1或1vav\；2.8.已知函數f(x)=ax(a>0,aMl)在［1,2］上的最大值比最小值大￡則a的值為答案答案解析當0<a<1時，a—a2=~,.°.a=2或a=0（舍去）.a當a>1時，a2—a=2.3、.°.a=2或a=0（舍去）.13綜上所述，a=2或題型一指數冪的運算1.若實數a>0,則下列等式成立的是()A.(2)-2^4B.2a_32a3D.C.(一2)0=一D.答案D12解析對于A,(—2)-2=4,故A錯誤；對于B,2a-3=a3，故B錯誤；對于C,(—2)0=1,故C錯誤；對于D，2.計算：(27＋0.002答案故C錯誤；對于D，2.計算：(27＋0.002答案167解析原式=(―3丿-2+5002=a，故D正確．2一10(彳5—2)-1+n=—10(逅+2)⑴5-2)^'5+2)=9+10\=9+10\：5—10p5—20+1=—3.化簡：('4ab_1)(0.1)_1?(a3?b_3)2(a>0，b>0)=解析、23-a2-解析、23-a2-b一2原式=2X10-a2-b_2=21+3X10-i=8.4．化簡：41a38a3b4b3+23ab+a3'_22冷十a3一——a(a>0)．答案a2解析原式=—(i￥a3k丿1+a解析原式=—(i￥a3k丿1+a3?12b3+12b3k丿k丿1a312b3V7V丿a6x-a2.11a3一2b31a611a3一2b3x思維升華(1)指數冪的運算首先將根式、分數指數冪統一為分數指數冪，以便利用法則計算還應注意：必須同底數冪相乘，指數才能相加；運算的先后順序．當底數是負數時，先確定符號，再把底數化為正數．運算結果不能同時含有根號和分數指數，也不能既有分母又含有負指數題型二指數函數的圖象及應用例1(1)函數f(x)=ax-b的圖象如圖所示，其中a,b為常數，則下列結論正確的是()A．a>1，b<0B．a>1，b>0C．0<a<1，b>0D．0<a<1，b<0答案D解析由fx)=ax-b的圖象可以觀察出，函數fx)=ax-b在定義域上單調遞減，所以Ovavl,函數f(x)=ax-b的圖象是在y=ax的基礎上向左平移得到的，所以bvO.(2)已知函數fx)=l2x—11,avbvc且f(a~)>f(c)>f(b)，則下列結論中，一定成立的是()A.a<0,bvO,c<0B.avO,b三0,c>0C．2—av2cD．2a＋2cv2答案D解析作出函數fx)=l2x—11的圖象，如圖，*.*avbvc且f(a)>f(c)>f(b)，結合圖象知，0<f(a)<1，a<0，c>0，?:0v2a<l?/./(a)=12a—11=1—2a<1,.\f(c)<1,/Ovcvl./1v2cv2，/f(c)=|2c－1|=2c－1，又^f(a)>f(c),/1－2a>2c－1，/.2a+2c<2,故選D.思維升華(1)已知函數解析式判斷其圖象一般是取特殊點，判斷選項中的圖象是否過這些點，若不滿足則排除．(2)對于有關指數型函數的圖象可從指數函數的圖象通過平移、伸縮、對稱變換而得到．特別地，當底數a與1的大小關系不確定時應注意分類討論.跟蹤訓練1(1)已知實數a,b滿足等式2019a=2020b，下列五個關系式：①Ovbva:②avbvO:③Ovavb:④bvavO；⑤a=b.其中不可能成立的關系式有()A．1個B．2個C．3個D．4個答案B解析如圖,觀察易知,a,b的關系為avbv0或0vbva或a=b=0.⑵方程2x=2-x的解的個數是.答案1解析方程的解可看作函數y=2x和y=2-x的圖象交點的橫坐標，分別作出這兩個函數的圖象(如圖)．由圖象得只有一個交點，因此該方程只有一個解．題型三指數函數的性質及應用命題點1比較指數式的大小421例2(1)已知a=23,b題型三指數函數的性質及應用命題點1比較指數式的大小421例2(1)已知a=23,b=45,c=253，則(A．b<a<cB．a<b<cC．b<c<aD．c<a<b答案A解析<4]5由ai5=2\丿(4]5=220,bi5=25=212,ci5=255>220,可知bi5Vai5Vci5，所以bvavc.I丿i⑵若一ivavO,則3a,a3,a3的大小關系是.(用“〉”連接)i答案3a>a3>a3解析易知3a>0,a3<0,a3<0,又由一ivavO,得Ov—avi,所以(一a)3<(—a*，即一a3<iii—a3，所以a3>a3，因此3a>a3>a3.命題點2解簡單的指數方程或不等式]4x,x±0,例3(i)(20i8?包頭模擬)已知實數a工i,函數f(x)=\_若f(i-a)=f(a-i),則a[2ar,xvO,的值為．答案2解析當avl時，4i-a=2i，解得a=2；當a>1時，代入不成立.故a的值為￡(2)若偶函數fx)滿足fx)=2x—4(x20),貝9不等式fx—2)>0的解集為答案{x|x>4或x<0}解析Tfx)為偶函數，當x<0時，一x>0，則f(x)=f(—x)=2-x—4，C2x-4,x20,?f(x)=12—x—4,x<0,當f(當f(x—2)>0時，有x—220，2x—2—4>0x—2<0，2—x+2—4>0,解得x>4或x<0.???不等式的解集為{xlx>4或x<0}.命題點3指數函數性質的綜合應用例4(1)已知函數f(x)=2i2x-mi(m為常數)，若fx)在區間［2,+呵上單調遞增，則m的取值范圍是．答案(一I4］解析令t解析令t=l2x—mi，則t=l2x—mI在區間上單調遞增，在區間(一a,m上單調遞m減.而y=2t在R上單調遞增，所以要使函數fx)=2i2x-mi在［2,+^)上單調遞增，則有2W2,即mW4,所以m的取值范圍是(一a,4］.⑵函數f(x)=4x—2x+1的單調增區間是.答案［0，＋a)解析設t=2x(t>0)，則y=t2—2t的單調增區間為［1,+a),令2x21,得x20,又y=2x在R上單調遞增，所以函數fx)=4x—2x+1的單調增區間是［0,+a).(1\ax2—4x+3⑶若函數fx)=-有最大值3,則a=.(3丿答案1解析令h(x)=ax2—4x+3,y=(|丿恥)，由于fx)有最大值3,所以h(x)應有最小值一1,a>0,因此必有'12a—16解得a=1,4a

即當fx)有最大值3時，a的值為1.思維升華(1)利用指數函數的函數性質比較大小或解方程、不等式，最重要的是“同底”原則，比較大小還可以借助中間量；(2)求解與指數函數有關的復合函數問題，要明確復合函數的構成，涉及值域、單調區間、最值等問題時，都要借助“同增異減”這一性質分析判斷．跟蹤訓練2(1)函數fx)=x2—bx+c滿足fx+l)=Al—x),且f(0)=3,則f(bx)與f(cx)的大小關系是()A.f(bx)Wf(cx)B.f?2f?C．f(bx)>f(cx)答案AD.與x有關，不確定解析Tfx+1)=f(1—x),...fx)關于x=1對稱,易知b=2,c=3,當x=0時，bo=co=1,：f(bx)=f(cx),當x>0時，3x>2x>1,又fx)在(1,+^)上單調遞增，.f(bx)<f(cx),當x<0時，3x<2x<1,又幾工)在(一R,1)上單調遞減，.f(bx)<f(cx),綜上，f?Wf?.(2)已知f(2)已知f(x)=2x—2—x,a=，則f(a)，f(b)的大小關系是答案f(b)<f(a)解析易知fx)=2x—2-x在R上為增函數,又a=又a=9丿=b,.f(a)>f(b)．(3)若不等式1+2x+4x.a±0在xW(—g,1］時恒成立，則實數a的取值范圍是答案一4，+^丿解析從已知不等式中分離出實數a,得a三一［(4)x+C)x］函數y=(4)x+Ox在R上是減函數，?：當xw(—g,1］時，(4丿+(2x^4+!=4，從而得一［(4)x+(2)x］w—4?故實數a的取值范圍為一4，+^)CC.1<b<aD.1<a<b設a=0.60.6,b=0.6i.5,c=1.5o.6，則a,b,c的大小關系是()A．a<b<cB．a<c<bC．b<a<cD．b<c<a答案C解析因為函數y=0.6x在R上單調遞減，所以b=O.6i.5Va=O.6o.6<1.又c=1.5o.6>1,所以b<a<c.已知函數fx)=5x,若f(a+b)=3，則f(a)fb)等于()A.3B.4C.5D.25答案A解析Tfx)=5x,.\f(a+b)=5a+b=3,.'.f(a)^f(b)=5aX5b=5a+b=3.故選A.(2018?大連模擬)已知a,b￡(0,1)U(1,+^),當x>0時，1<bxs，貝％)A.0<b<a<1B.0<a<b<1

答案C解析???當x>0時，lvbx,???b>l.*.*當x*.*當x>0時，bx<ax,???當x>0時,a.：b>1,.*.a>b,?lvbva，故選C.已知fx)=3x-b(2WxW4,b為常數)的圖象經過點(2,1)，則fx)的值域為()A.[9,81]B.[3,9]C.[1,9]D.[1,+^)答案C解析由f(x)過定點(2,1)可知b=2,因為f(x)=3x-2在[2,4]上是增函數，樂扁二/⑵二1，f(X)max=f(4)=9.故選C.若函數f(x)=ai2x-4i(a>0,aM1)滿足f(1)=9則f(x)的單調遞減區間是()A.A.(—8,2]C.[—2,+8)答案BB.[2,+8)D.(-8,-2]解析由f(1)=9，得a2=9,所以a所以a=1或a=—*舍去)，即f(x)=由于y=l2x—41在(一8,2］上單調遞減，在［2,+8)上單調遞增，所以幾工)在(一8,2］上單調遞增，在［2,+8)上單調遞減?故選B.的值域是［—8,1］,貝9實數a的取值范圍是(,,,—的值域是［—8,1］,貝9實數a的取值范圍是(6.已知函數f(x)=1⑵、一x2+2x,0WxW4A.(-8,-3]B.[—3,0)C.[-3,-1]D.{—3}答案B解析當0WxW4時，fx)W[—8,1],當aWxvO時，fx)W一±，一1)，所以一2^，一1［—8,1］，即一80—￡<一1,即一3WavO.所以實數a的取值范圍是［一3,0).7.若“m>a”是“函數f(x)=(1)x+m-|的圖象不過第三象限”的必要不充分條件，則實數a能取的最大整數為.答案一1222解析f(0)=m+3,?:函數fx)的圖象不過第三象限等價于m+3^0,即m2—3,V"m>a"22是“m三一3”的必要不充分條件，.:a<—3,則實數a能取的最大整數為一1.8.不等式2-x2+2x>(2)x+4的解集為答案(－1,4)解析原不等式等價于2-x2+2x>2-x-4,又函數y=2x為增函數，.：一x2+2x>—x—4,即x2一3x一4<0,一1<x<4.9.當xW(—8,—1］時，不等式(m2—m)?4x—2x<0恒成立，則實數m的取值范圍是答案(-1,2)解析原不等式變形為血2—血<(|］,因為函數y=6)x在(一兀，一1］上是減函數，所以(2\三(1)-1=2,當xW(—8,—1］時，m2—m<l2)x恒成立等價于m2—m<2，解得一1<m<2.fx),x20,已知函數f(x)=2x—2-，函數g(x)斗/、貝y函數g(x)的最小值是.［/(—-),-<0,答案0解析當-20時，g(-)=f(-)=2-—2-為單調增函數，所以g(-)2g(0)=0；當-<0時，g(-)=f(—-)=2--—^—-=2-—2-為單調減函數，所以g(-)>g(0)=0,所以函數g(-)的最小值是0.已知9-—10-3-+9W0,求函數y=d)--1—4(D-+2的最大值和最小值.解由9-一10-3-+9W0,得(3-—1)(3-一9)W0,解得1W3-W9，即0W-W2.令(2)-=t，叮勺勺，y=4t2—4t+2=4(t—￡2+1.當t=2即-=1時，ymin=1；當t=1，即-=0時，ymax=2.已知函數f(-)=b?a-(其中a,b為常量，且a>0,aM1)的圖象經過點A(1,6),B(3,24).(1)求f(-)的表達式；

(2)若不等式￡)x+訃)x—m±o在(一a,1］上恒成立，求實數m的取值范圍.解⑴因為fx)的圖象過A(1,6),B(3,24),ba=6,所以L—…ba3—24.所以a2=4,又a>0,所以a=2,b=3.所以f(x)=3-2x.⑵由⑴知a=2,b⑵由⑴知a=2,b=3,則當x￡(-a,1]時,x—m三0恒成立,x在(一a,1］上恒成立.又因為y=d)x與y=d)x在(一a,1］上均為減函數，所以y=d)x+g)x在(一a,1］上也是減函數，所以當x=1時，y=d)x+(|)x有最小值6所以mw|,即m的取值范圍是(一a,6."3x—1,x<1,13.(2018-呼和浩特調研)設函數fx)=L*貝9滿足f(f(a))=2f(a)的a的取值范圍是、2x,x三1,()_2n「2AA.|_3，1」B.[0,1]C.|_3，+a丿D.[1,+a)答案C解析令f(a)=t,則f(t)=2t.當t<1時，3t—1=2t，令g(t)=3t—1—2t，則gz(t)=3—2tln2,當t<1時，gz(t)>0,g(t)在(—a,1)上單調遞增，即g(t)<g(1)=0,則方程3t—1=2t無解.2當t三1時，2t=2t成立，由f(a)1,得a<1,且3a—1三1,解得§Wav1；a三1,且2。三1,解得a三1.綜上可得a的取值范圍是3，+^).故選C-14.若函數f(x)=2\x+a(aWR)滿足f(1-x)=f(1+x),fx)在區間［m,n］上的最大值記為fx)max，最小值記為f(x)mn，若f(x)max-f(x)mm=3，則n-m的取值范圍是?答案(0,4］解析因為f(1—x')=f(1+x')，所以fx)的圖象關于直線x=1對稱，所以a=—1,所以f(x)=2x-1\.作出函數y=f(x)的圖象如圖所示.當m<nW1或