Cramer法則n階行列式的定義、性質及計算方法克拉默（Cramer）法則第二章行列式Cramer法則n階行列式的定義、性質及計算方法第二章11.

二階行列式對于給定的二元線性方程組其系數矩陣是一個二階方陣.1.二階行列式對于給定的二元線性方程組其系數矩陣是一個二階2用消元法求解線性方程組（1），得該式中的系數稱為由二階方陣所確定的二階行列式，記為用消元法求解線性方程組（1），得該式中3矩陣的行列式還記作或，即一般地，二階行列式可按下圖所示的對角線法則確定其值：矩陣的行列式還記作或4方陣與矩陣的區別：二階方陣是個數按確定的方式排成的一個數表，而二階行列式是這些數（也就是二階矩陣）按一定的運算法則所確定的一個數．方陣與矩陣的區別：二階方陣是個數按確定的方式排成的一5例1

求解二元線性方程組解

因為所以例1求解二元線性方程組解因為所以6定義

對于一個給定的3階方陣2.三階行列式將之與數相對應，那么這個數就稱為由矩陣所確定的三階行列式定義對于一個給定的3階方陣7記作記作8例2

計算三階行列式解

例2計算三階行列式解9利用消元法求解，則可得方程組的解為對于三元線性方程組，如果它的系數行列式利用消元法求解，則可得方程組的解為對于三元線性方程組，10為書寫方便，將之記成其中是用常數項替換中的第列所得的三階行列式，即為書寫方便，將之記成其中11例3

解三元線性方程組解例3解三元線性方程組解12線性代數(第一章行列式)課件133.階行列式（1）設是一階方陣，則它所 確定的一階行列式定義成 數．采用遞歸的方法給出其定義：（2）二階矩陣，它所定 義的二階行列式3.階行列式（1）設是一階方陣14（3）對于三階矩陣所確 定的三階行列式（3）對于三階矩陣15即即16（4）假設由階方陣所確定的階行列式已有定義，那么，階方陣所確定的階行列式用歸納法定義為（4）假設由階方陣所確定的17線性代數(第一章行列式)課件18那么，上述行列式的定義可記為將階矩陣的元素所在的第行第列處的元素劃去后，中剩下的個元素按原來的排列順序組成階矩陣所確定的行列式記作，稱之為的余子式，為的代數余子式那么，上述行列式的定義可記為將階矩陣的元素所在的19數也稱為行列式的第行第列處的元素，而元素，，，所在的對角線稱為行列式的主對角線；另一條對角線稱為行列式的次對角線．數也稱為行列式的第行第列處的元20行列式的性質性質1

行列式與它的轉置行列式相等，即該性質表明，行列式中的行與列具有同等的地位，行列式的性質凡對行成立的對列也成立，反之亦然．性質2

互換行列式的兩行(列),行列式變號．推論若行列式兩行(列)完全相同，則此行列式為零．行列式的性質性質1行列式與它的轉置行列式相等，即該性21推論

方陣的某一行（列）的元素與另一行（列）的對應的代數余子式乘積之和等于零，即

性質3

行列式按行（列）展開法則

行列式等于對應于它的方陣的任一行(列)的各元素與其代數余子式的乘積之和，即

推論方陣的某一行（列）的元素與另一性質3行列22性質4

行列式的把一行（列）中所有元素都乘以同一常數，等于用數乘此行列式．推論1

行列式某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式符號的外面．推論2

行列式的某一行（列）的元素全為零，則此行列式為零；若行列式某兩行(列)成比例，則此行列式等于零．性質4行列式的把一行（列）中所有元素都乘以同一常數，等23性質5

若行列式的某一行（列）的元素都是兩數之和，例如，第行的元素都是兩數之和：性質5若行列式的某一行（列）的元素都是兩數之和，例如，24則等于下面兩個行列式之和：性質6

把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一常數后加到另一行（列）對應的元素上去，行列式不變．則等于下面兩個行列式之和：性質6把行列式的某一255.行列式的計算計算行列式的一種基本方法是利用性質2，性質4，性質6將其化成三角行列式后而計算．例1

計算5.行列式的計算計算行列式的一種基本方法是利用性質2，性質26解解27線性代數(第一章行列式)課件28例2這里記號“

”表示全體同類因子的乘積．證明范德蒙（Vandermode）行列式例2這里記號“”表示全體同類因子的乘積．證明范德蒙（Va29現假設式對階范德蒙行列式成立，為此，從第行開始，后行減去前行的倍，有證用數學歸納法．因為所以，當時等式成立．要證明等式對階行列式也成立．現假設式對階范德蒙行列式成立，為此，從第30提出，就有按第一列展開，并把每列的公因子提出，就有按第一列展開，并把每列的公因子31，故上式右端的行列式是一個階范德蒙行列式其中按歸納法假設，它等于所有因子的乘積，故上式右端的行列式是一個階范德蒙行列式其中32例3

計算階行列式解

行列式中每行元素之和均為，從第第2列起，把每列均加到第1列上，提出公因子，然后各行減去第1行：例3計算階行列式解行列式中每行元素之和均為33線性代數(第一章行列式)課件34線性代數(第一章行列式)課件35

在上述諸例將行列式化為上三角行列式的過程中，雖然我們用到了性質2，4，6中的各種運算，但是起關鍵作用的是運算，其他幾種運算只是使計算過程變得簡單一點而已．稍作分析，便不難發現任何階行列式總能利用運算化為上三角形行列式，或化為下三角形行列式．類似，利用運算也可把行列式化為上三角形行列式或下三角形行列式．在上述諸例將行列式化為上三角行列式的過程中，雖然36例4

設證明例4設證明37證對作運算，把化為下三角行列式，設為對作運算，把化為下三角行列式，設為證對作運算，38于是，對的前行作運算，再對的后列作運算，把化成下三角行列式即于是，對的前行作運算39例題例題40線性代數(第一章行列式)課件41線性代數(第一章行列式)課件426.克拉默（Cramer）法則對方程個數與未知量的個數相等的如下的線性方程組6.克拉默（Cramer）法則對方程個數與未知量的個數相等的43定理1（克拉默法則）的行列式,那么線性方程組（1）有解，并且解是唯一的，解可以通過系數表示為

如果線性方程組（1）的系數矩陣定理1（克拉默法則）的行列式44注意：將行列式按第列展開，顯然其中是把矩陣中的第列換成方程組的常數項所成的矩陣行列式，即

注意：將行列式按第列展開，顯然其中45對于齊次線性方程組顯然一定是解，稱為零解.將克拉默法則用于齊次線性方程組（5），可得定理1′

如果線性方程組（1）無解或至少有兩個不同的解，則它的系數行列式必為零。對于齊次線性方程組顯然46定理2

如果齊次線性方程組（5）的系數矩陣的行列式那么它只有零解；也就是說，如果方程組（5）有非零解，那么必有定理2如果齊次線性方程組（5）的系數矩陣的行列式那么47例1:求一個二次多項式f(x)=ax2+bx+c,使得f(1)=0,f(2)=3,f(–3)=28.解:由題意得f(1)=a+b+c=0,f(2)=4a+2b+c=3,f(–3)=9a–3b+c=28.這是一個關于三個未知數a,b,c的線性方程組.例1:求一個二次多項式f(x)=ax2+bx+c,使得解48由克拉默法則,得于是,所求的多項式為:f(x)=2x2–3x+1,由克拉默法則,得于是,所求的多項式為:f(x)=49解：由定理2，如果方程組有非零解，那么它的系數矩陣的行列式例2

問為何值時，齊次線性方程組有非零解？解：由定理2，如果方程組有非零解，那么它的系數矩陣的行列式例50由此得由此得51定理任意一個矩陣，總可以經過初等變換（行變換和列變換）把它化為標準形定理任意一個矩陣，總52Cramer法則n階行列式的定義、性質及計算方法克拉默（Cramer）法則第二章行列式Cramer法則n階行列式的定義、性質及計算方法第二章531.

二階行列式對于給定的二元線性方程組其系數矩陣是一個二階方陣.1.二階行列式對于給定的二元線性方程組其系數矩陣是一個二階54用消元法求解線性方程組（1），得該式中的系數稱為由二階方陣所確定的二階行列式，記為用消元法求解線性方程組（1），得該式中55矩陣的行列式還記作或，即一般地，二階行列式可按下圖所示的對角線法則確定其值：矩陣的行列式還記作或56方陣與矩陣的區別：二階方陣是個數按確定的方式排成的一個數表，而二階行列式是這些數（也就是二階矩陣）按一定的運算法則所確定的一個數．方陣與矩陣的區別：二階方陣是個數按確定的方式排成的一57例1

求解二元線性方程組解

因為所以例1求解二元線性方程組解因為所以58定義

對于一個給定的3階方陣2.三階行列式將之與數相對應，那么這個數就稱為由矩陣所確定的三階行列式定義對于一個給定的3階方陣59記作記作60例2

計算三階行列式解

例2計算三階行列式解61利用消元法求解，則可得方程組的解為對于三元線性方程組，如果它的系數行列式利用消元法求解，則可得方程組的解為對于三元線性方程組，62為書寫方便，將之記成其中是用常數項替換中的第列所得的三階行列式，即為書寫方便，將之記成其中63例3

解三元線性方程組解例3解三元線性方程組解64線性代數(第一章行列式)課件653.階行列式（1）設是一階方陣，則它所 確定的一階行列式定義成 數．采用遞歸的方法給出其定義：（2）二階矩陣，它所定 義的二階行列式3.階行列式（1）設是一階方陣66（3）對于三階矩陣所確 定的三階行列式（3）對于三階矩陣67即即68（4）假設由階方陣所確定的階行列式已有定義，那么，階方陣所確定的階行列式用歸納法定義為（4）假設由階方陣所確定的69線性代數(第一章行列式)課件70那么，上述行列式的定義可記為將階矩陣的元素所在的第行第列處的元素劃去后，中剩下的個元素按原來的排列順序組成階矩陣所確定的行列式記作，稱之為的余子式，為的代數余子式那么，上述行列式的定義可記為將階矩陣的元素所在的71數也稱為行列式的第行第列處的元素，而元素，，，所在的對角線稱為行列式的主對角線；另一條對角線稱為行列式的次對角線．數也稱為行列式的第行第列處的元72行列式的性質性質1

行列式與它的轉置行列式相等，即該性質表明，行列式中的行與列具有同等的地位，行列式的性質凡對行成立的對列也成立，反之亦然．性質2

互換行列式的兩行(列),行列式變號．推論若行列式兩行(列)完全相同，則此行列式為零．行列式的性質性質1行列式與它的轉置行列式相等，即該性73推論

方陣的某一行（列）的元素與另一行（列）的對應的代數余子式乘積之和等于零，即

性質3

行列式按行（列）展開法則

行列式等于對應于它的方陣的任一行(列)的各元素與其代數余子式的乘積之和，即

推論方陣的某一行（列）的元素與另一性質3行列74性質4

行列式的把一行（列）中所有元素都乘以同一常數，等于用數乘此行列式．推論1

行列式某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式符號的外面．推論2

行列式的某一行（列）的元素全為零，則此行列式為零；若行列式某兩行(列)成比例，則此行列式等于零．性質4行列式的把一行（列）中所有元素都乘以同一常數，等75性質5

若行列式的某一行（列）的元素都是兩數之和，例如，第行的元素都是兩數之和：性質5若行列式的某一行（列）的元素都是兩數之和，例如，76則等于下面兩個行列式之和：性質6

把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一常數后加到另一行（列）對應的元素上去，行列式不變．則等于下面兩個行列式之和：性質6把行列式的某一775.行列式的計算計算行列式的一種基本方法是利用性質2，性質4，性質6將其化成三角行列式后而計算．例1

計算5.行列式的計算計算行列式的一種基本方法是利用性質2，性質78解解79線性代數(第一章行列式)課件80例2這里記號“

”表示全體同類因子的乘積．證明范德蒙（Vandermode）行列式例2這里記號“”表示全體同類因子的乘積．證明范德蒙（Va81現假設式對階范德蒙行列式成立，為此，從第行開始，后行減去前行的倍，有證用數學歸納法．因為所以，當時等式成立．要證明等式對階行列式也成立．現假設式對階范德蒙行列式成立，為此，從第82提出，就有按第一列展開，并把每列的公因子提出，就有按第一列展開，并把每列的公因子83，故上式右端的行列式是一個階范德蒙行列式其中按歸納法假設，它等于所有因子的乘積，故上式右端的行列式是一個階范德蒙行列式其中84例3

計算階行列式解

行列式中每行元素之和均為，從第第2列起，把每列均加到第1列上，提出公因子，然后各行減去第1行：例3計算階行列式解行列式中每行元素之和均為85線性代數(第一章行列式)課件86線性代數(第一章行列式)課件87

在上述諸例將行列式化為上三角行列式的過程中，雖然我們用到了性質2，4，6中的各種運算，但是起關鍵作用的是運算，其他幾種運算只是使計算過程變得簡單一點而已．稍作分析，便不難發現任何階行列式總能利用運算化為上三角形行列式，或化為下三角形行列式．類似，利用運算也可把行列式化為上三角形行列式或下三角形行列式．在上述諸例將行列式化為上三角行列式的過程中，雖然88例4

設證明例4設證明89證對作運算，把化為下三角行列式，設為對作運算，把化為下三角行列式，設為證對作運算，90于是，對的前行作運算，再對的后列作運算，把化成下三角行列式即于是，對的前行作運算91例題例題92線性代數(第一章行列式)課件93線性代數(第一章行列式)課件946.克拉默（Cramer）法則對方程個數與未知量的個數相等的如下的線性方程組6.克拉默（Cramer）法則對方程個數與未知量的個數相等的95定理1（克拉默法則）的行列式,那么線性方程組（1）有解，并且解是唯一的，解可以通過系數表示為

如果線性方程組（1）的系數矩陣定理1（克拉默法則）的行列式96注意：將行列式