二次函數的圖象與性質第4課時

二次函數的圖象與性質2.能夠利用二次函數的對稱軸和頂點坐標公式解決一些數學問題.1.經歷探索y=ax2+bx+c的圖象特征，會用配方法求其對稱軸、頂點坐標公式.2.能夠利用二次函數的對稱軸和頂點坐標公式解決一些數學問題.1.指出下列二次函數的開口方向、對稱軸和頂點坐標.(1)y=2(x－3)2

－5(2)y=－0.5(x+1)2(3)y=3(x+4)2+22.它們分別可以看成是由哪個函數圖象通過怎樣的平移得到的？1.指出下列二次函數的開口方向、對稱軸和頂點坐標.(1)【解析】1.（1）開口：向上，對稱軸：直線x=3,頂點坐標（3，-5）（2）開口：向下，對稱軸：直線x=-1,頂點坐標（-1，0）（3）開口：向上，對稱軸：直線x=-4,頂點坐標（-4，2）2.（1）由y=2x2向右平移3個單位，再向下平移5個單位.（2）由y=-0.5x2向左平移1個單位.（3）由y=3x2向左平移4個單位，再向上平移2個單位.【解析】1.（1）開口：向上，對稱軸：直線x=3,頂點坐標（我們知道,作出二次函數y=3x2的圖象,通過平移拋物線y=3x2可以得到二次函數y=3x2-6x+5的圖象.那是怎樣平移的呢？y=3x2-6x+5=3(x-1)2+2只要將表達式右邊進行配方就可以知道了.配方后的表達式通常稱為配方式或頂點式我們知道,作出二次函數y=3x2的圖象,通過平移拋物線y=3這個結果通常稱為頂點坐標公式.二次函數y=ax2+bx+c的頂點式【探究新知】這個結果通常稱為頂點坐標公式.二次函數y=ax2+bx+c的因此,二次函數y=ax2+bx+c的圖象是一條拋物線.結論頂點坐標公式因此,二次函數y=ax2+bx+c的圖象是一條拋物線.結論根據公式確定下列二次函數圖象的對稱軸和頂點坐標：

【跟蹤訓練】根據公式確定下列二次函數圖象的對稱軸和頂點坐標：【跟蹤訓練【解析】（1）對稱軸為直線x=3,頂點坐標為（3，-5）.（2）對稱軸為直線x=8,頂點坐標為（8，1）.（3）對稱軸為直線x=1.25,頂點坐標為（1.25，-1.125）.（4）對稱軸為直線x=0.75,頂點坐標為（0.75，9.375）.【解析】（1）對稱軸為直線x=3,頂點坐標為（3，-5）.（如圖,橋梁的兩條鋼纜具有相同的拋物線形狀.按照圖中的直角坐標系,左面的一條拋物線可以用y=x2+x+10表示,而且左、右兩條拋物線關于y軸對稱．⑴鋼纜的最低點到橋面的距離是多少？⑵兩條鋼纜最低點之間的距離是多少？你有哪些計算方法？與同伴進行交流.y/mx/m

橋面

-5O10

5【例題】如圖,橋梁的兩條鋼纜具有相同的拋物線形狀.按照圖中的直角坐標（1）將函數y=x2+x+10配方,求得頂點坐標,從而獲得鋼纜的最低點到橋面的距離;y/m

x/m

橋面-50510由此可知鋼纜的最低點到橋面的距離是1m.【解析】方法一（1）將函數y=x2+x+10配方,求得頂點坐y/m

x/m

橋面-50510（2）y/mx/m橋面-50510（2）（1）由此可知鋼纜的最低點到橋面的距離是1m.方法二y/m

x/m

橋面-50510（1）由此可知鋼纜的最低點到橋面的距離是1m.方法二y/m確定下列二次函數的開口方向、對稱軸和頂點坐標.【跟蹤訓練】確定下列二次函數的開口方向、對稱軸和頂點坐標.【跟蹤訓練】【解析】（1）開口：向上，對稱軸：直線x=1,頂點坐標為（1，0）.（2）開口：向上，對稱軸：直線x=1,頂點坐標為（1，-3）.（3）開口：向上，對稱軸：直線x=1,頂點坐標為（1，-1）.（4）開口：向上，對稱軸：直線x=0.5,頂點坐標為（0.5，-2.25）.（5）開口：向下，對稱軸：直線x=-6,頂點坐標為（-6，27）.【解析】（1）開口：向上，對稱軸：直線x=1,頂點坐標為（1.（菏澤·中考）如圖為拋物線y=ax2+bx+c的圖象,A,B,C為拋物線與坐標軸的交點，且OA=OC=1，則下列關系中正確的是（）A.a+b=-1B.a-b=-1C.b<2a

D.ac<0【解析】選B.∵拋物線開口向上，∴a＞0,∵拋物線與y軸交于正半軸，∴c＞0，∴ac＞0，故D錯；∵OA=OC=1，∴A，C兩點的坐標分別為（-1，0），（0，1），∴當x=0時，y=1，即c=1；當x=-1時，y=0，即a-b+c=0，∴a-b=-c=-1，故B對；由圖象可知x=1時，y＞0，即a+b+c＞0，∴a+b＞-1，故A錯；∵對稱軸，∴b＞2a，故C錯.1.（菏澤·中考）如圖為拋物線y=ax2+bx+c的圖象,2.（鄂州·中考）二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，有下列結論①a，b異號；②當x=1和x=3時，函數值相等；③4a+b=0；④當y=4時，x的取值只能為0．其中正確的個數為（）A.1

B.2

C.3

D.4【答案】選C.

2.（鄂州·中考）二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的圖A.0，5B.0，1C.-4，5D.-4，1，的值分別為（）3．（安徽·中考）若二次函數配方后為則【答案】選D.A.0，5B.0，1，的值分別為（4．（福州·中考）已知二次函數y＝ax2＋bx＋c的圖象如圖所示，則下列結論正確的是()A.a＞0

B.c＜0C.b2－4ac＜0D.a＋b＋c＞0【答案】選D.

4．（福州·中考）已知二次函數y＝ax2＋bx＋c的圖象如圖xyOA.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限5．（

萊蕪·中考）二次函數的圖象如圖所示，則一次函數的圖象不經過()【答案】選D.xyOA.第一象限B.第二象限5．（萊蕪·中考6．（株洲·中考）已知二次函數(a為常數），當a取不同的值時，其圖象構成一個“拋物線系”．下圖分別是當a=-1,a=0,a=1,a=2時二次函數的圖象.它們的頂點在同一條直線上，這條直線的解析式是

.【答案】6．（株洲·中考）已知二次函數(a為常數），當a取不同的值時【規律方法】二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)與y=ax2(a≠0)的關系1.相同點:(1)形狀相同(圖象都是拋物線,開口方向相同).(2)都是軸對稱圖形.(3)都有最大(或小)值.(4)a>0時,開口向上,在對稱軸左側,y隨x的增大而減小；在對稱軸右側,y隨x的增大而增大.a<0時,開口向下,在對稱軸左側,y隨x的增大而增大；在對稱軸右側,y隨x的增大而減小.【規律方法】二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)與y=ax2.不同點:(1)位置不同.(2)頂點不同:分別是和(0,0).(3)對稱軸不同:分別是和y軸.(4)最值不同:分別是和0.2.不同點:(1)位置不同.3.聯系:(a≠0)的圖象可以看成y=ax2的圖象先沿x軸整體左(右)平移||個單位（當時向右平移，當時向左平移）,再沿對稱軸整體上(下)平移||個單位(當>0時向上平移;當<0時,向下平移)得到的.3.聯系:(a≠0)的圖二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象和性質１.頂點坐標與對稱軸２.位置與開口方向二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象和性質１.頂點坐３.增減性與最值拋物線頂點坐標對稱軸位置開口方向增減性最值y=ax2+bx+c(a>0)y=ax2+bx+c(a<0)由a,b和c的符號確定由a,b和c的符號確定向上向下在對稱軸的左側,y隨x的增大而減小.在對稱軸的右側,y隨x的增大而增大.

在對稱軸的左側,y隨x的增大而增大.在對稱軸的右側,y隨x的增大而減小.

根據圖形填表：３.增減性與最值拋物線頂點坐標對稱軸位置開口方向增減性最值y希望不能和憂愁結伴，憂愁會拖后腿，希望和歡樂交朋友，歡樂會催你前行.——冰心希望不能和憂愁結伴，憂愁會拖后腿，希望和歡樂交朋友，歡樂會催二次函數的圖象與性質第4課時

二次函數的圖象與性質2.能夠利用二次函數的對稱軸和頂點坐標公式解決一些數學問題.1.經歷探索y=ax2+bx+c的圖象特征，會用配方法求其對稱軸、頂點坐標公式.2.能夠利用二次函數的對稱軸和頂點坐標公式解決一些數學問題.1.指出下列二次函數的開口方向、對稱軸和頂點坐標.(1)y=2(x－3)2

－5(2)y=－0.5(x+1)2(3)y=3(x+4)2+22.它們分別可以看成是由哪個函數圖象通過怎樣的平移得到的？1.指出下列二次函數的開口方向、對稱軸和頂點坐標.(1)【解析】1.（1）開口：向上，對稱軸：直線x=3,頂點坐標（3，-5）（2）開口：向下，對稱軸：直線x=-1,頂點坐標（-1，0）（3）開口：向上，對稱軸：直線x=-4,頂點坐標（-4，2）2.（1）由y=2x2向右平移3個單位，再向下平移5個單位.（2）由y=-0.5x2向左平移1個單位.（3）由y=3x2向左平移4個單位，再向上平移2個單位.【解析】1.（1）開口：向上，對稱軸：直線x=3,頂點坐標（我們知道,作出二次函數y=3x2的圖象,通過平移拋物線y=3x2可以得到二次函數y=3x2-6x+5的圖象.那是怎樣平移的呢？y=3x2-6x+5=3(x-1)2+2只要將表達式右邊進行配方就可以知道了.配方后的表達式通常稱為配方式或頂點式我們知道,作出二次函數y=3x2的圖象,通過平移拋物線y=3這個結果通常稱為頂點坐標公式.二次函數y=ax2+bx+c的頂點式【探究新知】這個結果通常稱為頂點坐標公式.二次函數y=ax2+bx+c的因此,二次函數y=ax2+bx+c的圖象是一條拋物線.結論頂點坐標公式因此,二次函數y=ax2+bx+c的圖象是一條拋物線.結論根據公式確定下列二次函數圖象的對稱軸和頂點坐標：

【跟蹤訓練】根據公式確定下列二次函數圖象的對稱軸和頂點坐標：【跟蹤訓練【解析】（1）對稱軸為直線x=3,頂點坐標為（3，-5）.（2）對稱軸為直線x=8,頂點坐標為（8，1）.（3）對稱軸為直線x=1.25,頂點坐標為（1.25，-1.125）.（4）對稱軸為直線x=0.75,頂點坐標為（0.75，9.375）.【解析】（1）對稱軸為直線x=3,頂點坐標為（3，-5）.（如圖,橋梁的兩條鋼纜具有相同的拋物線形狀.按照圖中的直角坐標系,左面的一條拋物線可以用y=x2+x+10表示,而且左、右兩條拋物線關于y軸對稱．⑴鋼纜的最低點到橋面的距離是多少？⑵兩條鋼纜最低點之間的距離是多少？你有哪些計算方法？與同伴進行交流.y/mx/m

橋面

-5O10

5【例題】如圖,橋梁的兩條鋼纜具有相同的拋物線形狀.按照圖中的直角坐標（1）將函數y=x2+x+10配方,求得頂點坐標,從而獲得鋼纜的最低點到橋面的距離;y/m

x/m

橋面-50510由此可知鋼纜的最低點到橋面的距離是1m.【解析】方法一（1）將函數y=x2+x+10配方,求得頂點坐y/m

x/m

橋面-50510（2）y/mx/m橋面-50510（2）（1）由此可知鋼纜的最低點到橋面的距離是1m.方法二y/m

x/m

橋面-50510（1）由此可知鋼纜的最低點到橋面的距離是1m.方法二y/m確定下列二次函數的開口方向、對稱軸和頂點坐標.【跟蹤訓練】確定下列二次函數的開口方向、對稱軸和頂點坐標.【跟蹤訓練】【解析】（1）開口：向上，對稱軸：直線x=1,頂點坐標為（1，0）.（2）開口：向上，對稱軸：直線x=1,頂點坐標為（1，-3）.（3）開口：向上，對稱軸：直線x=1,頂點坐標為（1，-1）.（4）開口：向上，對稱軸：直線x=0.5,頂點坐標為（0.5，-2.25）.（5）開口：向下，對稱軸：直線x=-6,頂點坐標為（-6，27）.【解析】（1）開口：向上，對稱軸：直線x=1,頂點坐標為（1.（菏澤·中考）如圖為拋物線y=ax2+bx+c的圖象,A,B,C為拋物線與坐標軸的交點，且OA=OC=1，則下列關系中正確的是（）A.a+b=-1B.a-b=-1C.b<2a

D.ac<0【解析】選B.∵拋物線開口向上，∴a＞0,∵拋物線與y軸交于正半軸，∴c＞0，∴ac＞0，故D錯；∵OA=OC=1，∴A，C兩點的坐標分別為（-1，0），（0，1），∴當x=0時，y=1，即c=1；當x=-1時，y=0，即a-b+c=0，∴a-b=-c=-1，故B對；由圖象可知x=1時，y＞0，即a+b+c＞0，∴a+b＞-1，故A錯；∵對稱軸，∴b＞2a，故C錯.1.（菏澤·中考）如圖為拋物線y=ax2+bx+c的圖象,2.（鄂州·中考）二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，有下列結論①a，b異號；②當x=1和x=3時，函數值相等；③4a+b=0；④當y=4時，x的取值只能為0．其中正確的個數為（）A.1

B.2

C.3

D.4【答案】選C.

2.（鄂州·中考）二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的圖A.0，5B.0，1C.-4，5D.-4，1，的值分別為（）3．（安徽·中考）若二次函數配方后為則【答案】選D.A.0，5B.0，1，的值分別為（4．（福州·中考）已知二次函數y＝ax2＋bx＋c的圖象如圖所示，則下列結論正確的是()A.a＞0

B.c＜0C.b2－4ac＜0D.a＋b＋c＞0【答案】選D.

4．（福州·中考）已知二次函數y＝ax2＋bx＋c的圖象如圖xyOA.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限5．（

萊蕪·中考）二次函數的圖象如圖所示，則一次函數的圖象不經過()【答案】選D.xyOA.第一象限B.第二象限5．（萊蕪·中考6．（株洲·中考）已知二次函數(a為常數），當a取不同的值時，其圖象構成一個“拋物線系”．下圖分別是當a=-1,a=0,a=1,a=2時二次函數的圖象.它們的頂點在同一條直線上，這條直線的解析式是

.【答案】6．（株洲·中考）已知二次函數(a為常數），當a取不同的值時【規律方法】二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)與y=ax2(a≠0)的關系1.相同點:(1)形狀相同(圖象都是拋物線,開口方向相同).(2)都是軸對稱圖形.(3)都有最大(或小)值.(4)a>0時,開口向上,在對稱軸左側,y隨x的增大而減小；在對稱軸右側,y隨x的增大而增