第二章隨機過程

（隨機信號）主要內容：1、隨機信號的概念和統計描述2、平穩隨機信號3、平穩隨機信號自相關函數的性質4、隨機信號的各態歷經性5、正態隨機信號§2.1隨機過程的概念

概率論隨機變量隨機信號分析隨機過程（隨機信號）一、隨機過程的定義

隨機變量：樣本空間實數域隨機過程：樣本空間時間函數族

（定義1）

或者樣本空間隨機變量族（定義2）

定義1設隨機試驗的樣本空間為，如果對于每一個樣本點，總可以依某種規則對應一個時間函數：(T是時間t的變化范圍)。于是，對于所有的樣本點來說，就得到一族時間函數，稱此族時間的函數為隨機過程（也稱隨機信號）

，而族中的每一個時間函數稱為該隨機過程的樣本函數。即：隨機過程是樣本函數的集合，定義1常用于實驗觀測。

例

電阻上的噪聲電壓測量。噪聲電壓信號是典型的隨機信號。

定義2如果對于每一固定的時間點,

都是隨機變量，則稱是隨機過程。

即：隨機過程是隨機變量的集合，定義2常用于理論分析。

雷達接收機噪聲電壓的輸出波形隨機過程

具有以下四種含義：1、若和在發生變化，則隨機過程是一族時間函數，或一族隨機變量，構成了隨機過程的完整概念；2、若和都固定，則隨機過程是一個確定值；3、若取固定值，則隨機過程是一個確定的時間函數，即樣本函數,對應于某次試驗的結果；4、若取固定值，則隨機過程是一個隨機變量；

隨機變量：樣本空間實數域

（簡記為）

隨機過程：樣本空間時間函數空間

或隨機變量空間

（簡記為）

§2.2

隨機信號的統計特性隨機信號是含參量

的隨機變量族，它的統計特性本質上就是帶參量

的隨機變量的統計特性。1、概率特性：分布函數，概率密度函數；2、數字特征：數學期望，均方值，方差，自相關函數，自協方差函數；統計特性也可分為：1、幅值域描述:數學期望、均方值、方差等；2、時間域描述:自相關函數、互相關函數；3、頻率域描述:功率譜密度函數、互功率譜密度函數；2.2.1、隨機過程的概率分布

隨機過程，在任意固定時刻，都是隨機變量。隨機事件：

發生概率：1、一維分布函數與和都有直接的關系，是和的二元函數，記為：

是

時刻的隨機變量直至處的累積概率。2、一維概率密度函數注：一維概率分布描述了隨機過程在各個孤立時刻t的統計特性。

隨機過程，在任意兩個時刻，和都是隨機變量。隨機事件：

發生概率：3、二維分布函數與，，和都有直接的關系，是，，和的四元函數，記為：

是和兩個時刻的隨機變量直至

處的聯合累積概率。4、二維概率密度函數

隨機過程的二維概率分布與二維隨機變量的概率分布之間的區別：

隨機過程的二維概率分布是描述隨機過程在不同時刻t1和t2的狀態之間的關系。二維隨機變量的概率分布是描述不同隨機變量之間的關系。5、n維概率密度函數

2.2.2、隨機過程的數字特征

n維分布較全面描述了隨機過程的統計特性，但它的獲得很困難。由隨機過程的定義2，隨機過程是帶參數t隨機變量族，因此隨機過程的數字特征一般不再是確定的常數，而是t

的函數。1、數學期望(均值函數)隨機過程的數學期望或，即

它是該隨機過程在各個時刻的擺動中心。根據隨機過程在任意時刻都是一個隨機變量：2、均方值隨機過程的均方值或，即

3、方差隨機過程的二階中心矩為隨機過程的方差，記為或，其中稱為標準差。

方差、均方值和均值有數學關系式：

方差描述在該時刻對其數學期望的偏離程度。數學期望、均方值和均方差只能描述隨機過程孤立的時間點上的統計特性。隨機過程孤立的時間點上的統計特性不能反映隨機過程的起伏程度，故采用兩時刻或更多時刻狀態的相關性去描述起伏程度。4、自相關函數設和分別是隨機過程在時刻和的狀態，稱它們的二階原點混合矩為隨機過程的自相關函數，記為

自相關函數反映了隨機過程在兩個不同時刻的狀態之間的相關程度。5、自協方差函數設和分別是隨機過程在時刻和的狀態，稱它們的二階中心混合矩為隨機過程的自相關函數，記為

自協方差函數反映了隨機過程在兩個不同時刻的狀態之間的相關程度。自相關系數隨機過程統計不相關如果對于任意的，都有，或者

，則稱該隨機過程在任意兩個時刻是不相關的。例2.3若隨機過程為式中，

為在[0,1]上均勻分布的隨機變量，求的均值和自相關函數。解：已知

的概率密度函數為則隨機過程的均值隨機過程的自相關函數

例2.4求隨機相位正弦波的數學期望，方差及自相關函數。式中為常數，是在區間上均勻分布的隨機變量。解根據題意有

因為所以則方差那么，自相關函數§2.3

平穩隨機過程平穩性的定義嚴平穩隨機過程及其性質寬平穩隨機過程及其性質

由隨機過程定義2：隨機過程對于每一固定的時間點,

都是隨機變量，即不同的時間點對應不同的隨機變量。若隨機過程滿足平穩性，這些隨機變量的主要（或全部）統計特性相同。

平穩性：隨機信號的主要（或全部）統計特性對于參量t保持不變的特性，即對t的移動不變性。因此對平穩隨機信號的測試不受觀察時刻的影響。平穩性包括嚴平穩性與寬平穩性。2.3.1嚴平穩隨機過程

1、定義如果對于時間的任意個數值

，和任意實數，隨機過程的維分布函數（或概率密度函數）滿足

則稱為嚴(格)平穩隨機過程，或稱窄平穩隨機過程或狹義平穩過程。密度函數平穩性示例密度函數非平穩性示例2、主要性質(1)、若是嚴平穩隨機過程，則它的一維概率密度和數字特征與時間無關。證明根據嚴平穩隨機過程的定義，令，

(2)嚴平穩隨機過程的二維概率密度和數字特征只與，的時間間隔有關，而與時間起點無關。證明：令，

1定義若隨機過程滿足

則稱為寬平穩隨機過程或廣義平穩過程。2.3.2寬平穩隨機過程嚴平穩過程n維概率密度的移動不變性寬平穩過程一、二階矩的移動不變性隨機信號的嚴平穩性與寬平穩性之間的關系：

嚴平穩寬平穩注：高斯信號是個例外，寬平穩的高斯信號也必定是嚴平穩的。若均方值有界不一定是平穩性是隨機信號的統計特性對時間參量t的移動不變性，即平穩隨機信號的測試不受觀察時刻的影響；應用與研究最多的平穩信號是寬平穩信號；嚴平穩性因要求太“苛刻”，更多地用于理論研究中；經驗判據：如果產生與影響隨機信號的主要物理條件不隨時間而改變，那么通常可以認為此信號是平穩的。

非平穩信號：在一定的時間范圍內，非平穩信號可以近似作為平穩信號來處理。如語音信號，人們普遍實施10－30ms的分幀，再采用平穩信號的處理技術解決有關問題。小結：

例2-9判斷以下三個隨機過程是否平穩？式中，是常數，是相互獨立的隨機變量。隨機過程在上均勻分布，Ａ的均值和均方值不為零。

解：(1)當幅度為常數，在上均勻分布時，

因此，X(t)

為平穩過程。

(2)當幅度為隨機變量，相位為常數時，

此時，X(t)不是平穩過程。(3)當幅度、相位和頻率都為隨機變量時，由于相互獨立，且在上均勻分布。

X(t)的數學期望為

X(t)的自相關函數為因此，X(t)

為平穩過程。

例2-10寬平穩過程通過乘法調制器得到隨機信號，是確定常數，是在均勻分布的隨機相位，與統計獨立的，試問是否寬平穩。乘法調制器圖調制器輸出信號特性解：調制器輸出為其均值為因為在上均勻分布，固有所以輸出函數的自相關函數表示為

的均值和自相關函數對觀察時間是平穩的，因此

是廣義平穩的。隨機過程的基本特征：數學期望和自相關函數。平穩隨機過程的數學期望為常數，所以基本特征就是自相關函數。自相關函數提供隨機過程各狀態之間的關聯程度，還是求取隨機過程功率譜密度的工具。§2.5平穩隨機過程自相關函數的性質對平穩隨機過程X(t)，其自相關函數滿足1、是偶函數

證明：2、

即平穩隨機過程的均方值就是自相關函數在時的值。3、X(t)的自相關函數在原點處有最大值證明：任何正函數的數學期望為非負值，有展開因此有4.若平穩隨機過程X(t)滿足X(t)=X(t+T)，則稱X(t)為周期平穩隨機過程，其中T為X(t)的周期。對周期平穩過程X(t)，其自相關函數必為周期函數，且它的周期與X(t)的周期相同，即

證明：

例相位隨機正弦信號的自相關函數可見，與具有相同的周期。5、若平穩隨機過程X(t)含有一個周期分量，則自相關函數也含有一個同周期的周期分量。例如：設隨機過程，式中為在內均勻分布的隨機變量，為平穩隨機過程，和統計獨立。6、對任何不含周期分量的非周期平穩過程均有由此證明：對于此類非周期平穩過程，當增大時，隨機變量之間的相關性會減弱；當在極限的情況下，兩者相互獨立，故有7、當平穩隨機過程含有均值，那它的自相關函數也將會含有一個常數項。8、平穩隨機過程的自相關函數的傅里葉變換在整個頻率軸上是非負的，即且對于所有都成立。注：即不含有階躍函數的因子，如：平頂、垂直邊或幅度上的任何不連續。用平穩過程的自相關函數表示數字特征：(1).數學期望(2).均方值(3).方差(4).協方差圖

隨機過程數字特征例2-14、設隨機過程的自相關函數為求它的均值、均方值、方差和自協函數方差。解：§2.4

隨機過程的各態歷經性圖

噪聲電壓的輸出波形根據隨機過程的定義，隨機過程是大量時間函數的集合（或大量樣本函數的集合）。由統計實驗得到的數據計算各種統計參數：實驗數據：

（一段）樣本函數

統計參數：

意味著需要反復的實驗，觀察大量的樣本函數來得到隨機過程的統計特性。

辛欽證明：在具備一定的補充條件下，有一種平穩隨機過程，對其任一個樣本函數取時間平均(觀察時間足夠長)，從概率意義上趨近于它的集合均值（或統計平均）。對具有以上特性的隨機過程，稱為該隨機過程具有各態歷經性或者遍歷性。

各態歷經性的物理意義：各態歷經性隨機過程的任意一個樣本函數都同樣經歷了隨機過程的各種可能狀態。這類隨機過程的任一個樣本函數都含有整個過程的全部統計信息。于是，實驗只需在任何一個樣本函數上進行就可以了，問題得到大大簡化。時間均值和時間自相關函數對隨機過程X(t)中任意一條樣本函數沿整個時間軸的積分：分別稱為X(t)的時間均值和時間自相關函數。定義：設X(t)是一個平穩隨機過程若，依概率1成立：

稱隨機過程X(t)的均值具有各態歷經性。若，依概率1成立：

稱X(t)的自相關函數具有各態歷經性。寬（或廣義）各態歷經性：X(t)的均值和自相關函數具有各態歷經性。嚴（或狹義）各態歷經性：X(t)的各種參數都具有各態歷經性。應用和研究中特別關注寬各態歷經性。2.4.2各態歷經性的實際意義各態歷經性與隨機實驗對隨機過程的具體表達式未知，使用隨機實驗求隨機過程的統計特性是很困難的，實際上只有具備了各態歷經性，在實際中用隨機實驗求統計特性才比較容易。

平穩性與各態歷經性平穩性隨機過程的統計特性與時間起點無關；各態歷經性直接用它的任一樣本函數的時間平均來代替對整個隨機過程的統計平均。例如：雷達接收機，電阻噪聲電壓測量各態歷經性直接用它的任一樣本函數的時間平均來代替對整個隨機過程的統計平均。

實際中平穩隨機過程自相關函數的電路形式：延時積分平均電路圖自相關儀各態歷經信號的數字特征具有明確物理意義，對單位電阻：噪聲電壓（或電流）的直流分量

交流平均功率總平均功率注：源于電路理論的直流、交流與平均功率本質上都是時間平均的概念。各態歷經過程一定是平穩過程。許多實際的信號，尤其無線電技術領域里遇到的各種平穩的信號和噪聲，都是各態歷經過程。

各態歷經過程平穩過程一定是

例

討論隨機過程各態歷經性。其中，為常數，是在上均勻分布的隨機變量。

解：由上一節知是X(t)是平穩過程，其數學期望和自相關函數分別為時間均值時間自相關函數可得：所以，隨機過程X(t)具有各態歷經性。

例

討論隨機過程X(t)=Y的各態歷經性，式中Y是方差不為零的隨機變量。

解：由于因此X(t)是平穩隨機過程。

時間平均時間平均是一隨機變量，所以故不是各態歷經過程。第六節隨機過程的聯合概率分布和互相關函數前面討論了單個隨機過程的統計特性。實際工作中，常需要研究多個隨機過程的統計特性，包括各自的統計特性和聯合統計特性。接收機有用信號信號＋噪聲圖

接收機輸入為信號與噪聲2.6.1兩個隨機過程的聯合概率分布

兩個隨機過程和的聯合事件其發生概率為定義此兩個過程的維聯合分布函數為

如果存在函數滿足：則稱為此兩個隨機過程的維聯合概率密度函數，且有隨機過程X(t)和Y(t)的獨立對任意的m，n，若隨機過程和滿足

或則稱隨機過程和相互獨立。兩個隨機過程的聯合嚴平穩若隨機過程和的聯合概率分布不隨時間平移而變化，即或則稱隨機過程和是聯合嚴平穩過程。2.6.2互相關函數及其性質互相關函數設兩個隨機過程和，在任意兩個時刻的狀態分別為，則隨機過程和的互相關函數定義為：注：互相關函數是描述隨機過程之間關聯特性的數字特征。互協方差函數：互協方差函數與互相關函數的關系：兩個過程正交和互不相關若兩個隨機過程和對任意兩個時刻都具有

或則稱隨機過程和互為正交過程。若兩個隨機過程和對任意兩個時刻都具有

或則稱隨機過程和互不相關。必定如果正態互為獨立的隨機過程互不相關的隨機過程圖

隨機過程獨立與不相關兩個隨機過程的聯合寬平穩如果兩個隨機過程和是寬平穩隨機過程，且它們的互相關函數是單變量的函數，即則稱隨機過程和為聯合寬平穩隨機過程。兩個隨機過程的聯合寬各態歷經如果隨機過程和是聯合寬平穩的，定義時間互相關函數為如果和的時間互相關函數依概率1收斂于集合的互相關函數，即

則稱和是聯合寬各態歷經隨機過程。聯合平穩隨機過程互相關函數性質(1)、證明：圖2-6-6聯合平穩過程的互相關函數兩個互相關函數關于縱軸對稱(2)、