2022年四川省普通專升本統一考試高等數學（理工類）標準化考試樣卷及解析命題、解析人：year冉春考試時間：150分鐘，滿分:150分絕密：啟用前一、選擇題（共8小題，每小題4分，共計32分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的）1．當x→0時，a=是無窮小量，則()A．a是比2x高階的無窮小量B．a是比2x低階的無窮小量C．a與2x是同階的無窮小量，但不是等價無窮小量D．a與2x是等價無窮小量正確答案：C解析：故選C．2．=()A．EB．e－1C．一e－1D．一e正確答案：B解析：由于若，則（）A.B.C.D.正確答案：C.解析:=應選C.4．球心在(－1，2，－2)且與xOy平面相切的球面方程是()A．(x+1)2+(y－2)2+(z+2)2=4B．(x+1)2+(y－2)2+(z+2)2=2C．x2+y2+z2=4D．x2+y2+z2=2正確答案：A解析：已知球心為(一1，2，一2)，則代入球面標準方程為(x+1)2+(y－2)2+(z+2)2=r2．又與xOy平面相切，則r=2．故選A．5.冪級數的收斂區間為（）.B.D.正確答案：c解析：這是標準缺項的冪級數，考察正項級數，因,當，即時，級數是絕對收斂的；當，即時，級數是發散的；當，即時，級數化為，顯然是發散的。故原級數的收斂區間為.6.函數的冪級數展開為（）A．B．C．D．正確答案：C.解析:根據可知,,應選C.7．化為極坐標形式為（）A．B．C．D．正確答案：D.解析：積分區域有,應選D.8．設A是n階矩陣，下列命題中錯誤的是()A．AAT=ATAB．A*A=AA*C．(A2)n=(An)2D．(E+A)(E－A)=(E－A)(E+A)正確答案：A解析：因為A是n階矩陣，所以AAT=故AAT不一定等于ATA，故選項A錯誤．填空題（共7小題，每小題4分，共計28分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的）9.函數的單調遞減區間是_________.正確答案：或或或.解析：,10=___________．正確答案：解析：令=u，則x=u2，dx=udu，當x=－1時，u=3，當x=1時，u=1，則原式=11.設，則_______.正確答案：解：12．設二元函數z=ln(x+y2)，則=___________．正確答案：dx解析：由于函數z=ln(x+y2)的定義域為{（x,y）|x+y2＞0}．在z的定義域內為連續函數，因此dz存在，且又由于故13．過點(1，一1，0)與直線垂直的平面方程為___________．正確答案：x－2y+3z一3=0(或(x一1)一2(y+1)+3z=0)解析：∵直線垂直于平面π，∴π的法向量即為直線的方向向量，即n=s=(1，一2，3)，且點(1，一1，0)在平面π上，∴(x－1)－2(y+1)+3z=0．14.區域為，則正確答案：0解析：利用對稱性知其值為0或.15．設A=，矩陣X滿足方程AX+E=A2+X，則X=___________．正確答案：解析：由AX+E=A2+X(A—E)X=A2一E。A=，則A—E=，顯然A—E可逆，所以(A—E)－1(A—E)X=X=(A—E)－1(A2—E)=(A—E)－1．(A—E)(A+E)=A+E，所以X=計算題（每小題必須清楚必要的解答步驟與過程，只給出最后結果的不得分，共9小題，共計90分）16.（本小題滿分8分）計算.解：....................4分.....................8分17.（本小題滿分8分）已知，求.解：方程兩邊對求導得，即，...........4分所以.故.........................6分..............8分18．（本小題滿分8分）設是由方程確定的隱函數，求.解：方程兩邊對求導得..........................................2分即..........................................4分..........................................6分所以...........................................8分解析：若y=y(x)由方程F(x，y)=0確定，求dy常常有兩種方法．(1)將方程F(x，y)=0直接求微分，然后解出dy．(2)先由方程F(x，y)=0求y′，再由dy=y′dx得出微分dy．19．（本小題滿分8分）已知平面過兩點M(3，一2，5)和N(2，3，1)且平行于z軸，求此平面的方程．解：因為平面平行于z軸，故設所求平面方程為Ax+By+D=0．..............2分又過兩點M，N，將其坐標分別代入方程得解得A=，..........................4分再代入方程得Dy+D=0，.....................6分故得5x+y一13=0．..........................8分解析：解本題的關鍵是要抓住題中的兩個條件．其一，此平面平行于z軸，因而此平面方程為Ax+By+D=0；其二，平面過兩個點，那么將這兩個點代入方程后應使等式成立．220.（本小題滿分10分）求，其中區域由直線圍成.2解：積分區域如圖所示：把看作Y型區域，且有..........................................2分故有..........................................5分...........................................10分21．（本小題滿分10分）求y″－2y′一3y=ex的通解．解：其對應的齊次線性微分方程的特征方程為r2一2r一3=0，特征根為r1=－1，r2=3，..........................................2分相應齊次方程的通解為=C1e－x+C2e3x．..........................................6分設方程的特解為y*=Aex，代入y″一2y′一3y=ex，得A=，原方程的特解y*=ex．..........................................10分解析：本題考查二階常系數非齊次線性微分方程的求解．求解二階常系數非齊次線性微分方程y″+py′+qy=f(x)的一般步驟：(1)先求出與其相對應的齊次線性微分方程的通解=C1y1+C2y2；(2)再求出它的一個特解y*；(3)y=C1y1+C2y2+y*即為所求方程的通解．22．（本小題滿分10分）設線性方程組問λ為何值時，方程組無解，λ為何值時，方程組有解，有解時，求方程組的解．解析：對方程組的增廣矩陣作初等行變換，得............................................4分所以λ=0或λ=－3時，方程組無解；............................................6分λ≠0且λ≠－3時，方程組有唯一解，其解為........................................10分解析：本題是利用初等行變換求解非齊次線性方程組．（本小題滿分12分）證明題證明不等式：，其中n＜m，且m，n均為正整數．證明：設f(x)=lnx，因為n＜m，m，n為正整數，所以根據拉格朗日中值定理，易知f(x)在區間[n，m]上，至少存在一點ξ∈(n，m)，使得............................................4分又因為0＜n＜ξ＜m，故，............................................6分從而有............................................10分整理得............................................12分解析：解題的關鍵是掌握拉格朗日中值定理．（本小題滿分16分）證明題設，其中函數在閉區間上連續且，證明在開區間內,方程有唯一實根.證明：因為在上有意義，所以在上連續，...........................................4分,...............