PAGEPAGE9《函數的平均變化率》導學案恩施市第一高級中學高二年級理科數學嚴新國執筆【課程學習目標】1、知識與技能：（1）通過大量的實例的分析，經歷由平均變化率過渡到瞬時變化率的過程，了解導數概念的實際背景，知道瞬時變化率就是導數；（2）理解導數概念和幾何意義，能用定義求解簡單函數的導函數，會求曲線在某點處的切線。2、過程與方法：①通過動手計算培養學生觀察、分析、比較和歸納能力；②通過問題的探究體會逼近、類比、以已知探求未知、從特殊到一般的數學思想方法。3、情感、態度與價值觀：通過運動的觀點體會導數的內涵，使學生掌握導數的概念不再困難，從而激發學生學習數學的興趣。二、重點、難點:重點：導數概念的形成，導數內涵的理解；難點：在平均變化率的基礎上去探求瞬時變化率，深刻理解導數的內涵，通過逼近的方法，引導學生觀察來突破難點【知識體系探究】探究（一）平均變化率問題1：有關氣球膨脹率我們都吹過氣球，回憶一下吹氣球的過程。開始可以輕松的吹進氣體，并且氣球半徑增加的較快；隨著氣球的變大，吹進一口氣往往要使出吃奶的力氣，氣球大小變化卻不明顯。也就是說隨著氣球內空氣容量的增加,氣球的半徑增加越來越慢.思考1.你能用所學的數學知識解釋這個現象嗎？我們先研究當氣球的體積增加1L時，氣球半徑半徑的變化情況。思考2.當氣球的容量V1增加到V2時，氣球的半徑增大的幅度是如何變化的？氣球的平均膨脹率是多少?問題2：有關高臺跳水在高臺跳水運動中,運動員相對于水面的高度h(單位：m)與起跳后的時間t（單位：s）存在函數關系h(t)=-4.9t2+6.5t+10.思考1：如何用運動員在和時的平均速度粗略地描述其運動狀態?hto思考2：上面hto⑴運動員在這段時間內是靜止的嗎？⑵你認為用平均速度描述運動員的運動狀態有什么問題嗎？知識歸納：1.把上述問題進行推廣，對于函數中的變化率問題可以用式子來表示。對于函數，我們把稱為從到的平均變化率。若設，平均變化率可表示為。x1x2x1x2Oyy=f(x)f(x1)f(x2)△y=f(x2)-f(x1)x△x=x2-x13.思考：觀察函數f(x)的圖象平均變化率表示什么?【基礎學習交流與方法技巧探究】練習1．已知函數f(x)=的圖象上的一點及臨近一點,則．練習2.求在附近的平均變化率。變式題：1．質點運動規律為，則在時間中相應的平均速度為．2.物體按照s(t)=3t2+t+4的規律作直線運動,求在4s附近的平均變化率.3.過曲線y=f(x)=x3上兩點P（1，1）和Q(1+Δx,1+Δy)作曲線的割線，求出當Δx=0.1時割線的斜率.探究（二）導數的概念問題：通過探究（一）的學習我們認識到：①平均速度只能粗略地描述運動員的運動狀態，它并不能反映某一刻的運動狀態.②需要尋找一個量，能更精細地刻畫運動員的運動狀態；如：在高臺跳水運動中，如果我們知道運動員相對于水面的高度（單位：）與起跳后的時間（單位：）存在關系，那么我們就會計算任意一段的平均速度，通過平均速度來描述其運動狀態，但用平均速度不一定能反映運動員在某一時刻的瞬時速度，那么如何求運動員的瞬時速度呢？（瞬時速度的概念：我們把物體在某一時刻的速度稱為瞬時速度）動手嘗試：求高臺跳水運動員在2秒時的瞬時速度時，在這段時間內時，在這段時間內當0.01時，當0.01時，當0.001時，當0.001時，當0.0001時，當0.0001時，當0.00001時，當0.00001時，當0.000001時，當0.000001時，。。。。。。。。。。。。思考1：關于這些數據，下面的判斷對嗎？（1）當趨近于0時，即無論從小于2的一邊，還是從大于2的一邊趨近于2時，平均速度都趨近于一個確定的值-13.1。（2）靠近-13.1且比-13.1大的任何一個數都可以是某一段上的平均速度；（3）靠近-13.1且比-13.1小的任何一個數都可以是某一段上的平均速度；（4）-13.1表示在2秒附近，運動員的速度大約是-13.1。思考2：跳水運動員在2秒時的瞬時速度與其平均速度之間有何關系？如何用符號表示？跳水運動員在的瞬時速度如何表示？思考3：瞬時變化率與平均變化率的關系是怎樣的？函數在處的瞬時變化率如何表示？知識歸納：函數在處的瞬時變化率是，我們稱它為函數在處的，記作即=。附注：①導數即為函數y=f(x)在x=x0處的；②定義的形式可以有哪些變化？③求函數在處的導數步驟：。【基礎學習交流與方法技巧探究】練習1（1）求函數y=3x2在x=1處的導數.（2）求函數f(x)=在附近的平均變化率，并求出在該點處的導數．練習2將原油精煉為汽油、柴油、塑膠等各種不同產品，需要對原油進行冷卻和加熱，如果第時，原油的溫度（單位：）為，計算第時和第時，原油溫度的瞬時變化率，并說明它們的意義．變式訓練：1．質點運動規律為，求質點在的瞬時速度．2．求曲線y=f(x)=x3在時的導數．3．例2中，計算第時和第時，原油溫度的瞬時變化率，并說明它們的意義．探究（三）導數的幾何意義問題1：如圖，當沿著曲線趨近于點.⑴割線的斜率與切線PT的斜率有什么關系？⑵切線PT的斜率為多少？問題2：觀察圖形，（1）此處的切線定義與以前學過的切線定義有什么不同？（2）曲線在某點處的切線有哪些特點？（3）如何求過曲線在某點處的切線的斜率呢？與所學的“導數”有什么關系？知識歸納：導數的幾何意義：【基礎學習交流與方法技巧探究】練習1（1）求拋物線過點（1，1）的切線方程。（2）求雙曲線過點（2，）的切線方程。（3）求拋物線過點（，6）的切線方程。練習2.（1）如圖,它表示跳水運動中高度隨時間變化的函數的圖象.根據圖象,請描述、比較曲線在附近的變化情況.（2）如圖,它表示人體血管中藥物濃度(單位:)隨時間(單位:min)變化的函數圖象.根據圖象,估計=0.2,0.4,0.6,0.8時,血管中藥物濃度的瞬時變化率(精確到0.1)思考：1.由函數f(x)在x=x0處求導數的過程可以看到,當時,是一個確定的數，那么,當x變化時，f(x)是否構成了一個函數？為什么？2.討論函數在點處的導數、導函數、導數之間的區別與聯系。知識歸納：導函數的形式：【學習小結】1.平均變化率如何計算？瞬時變化率與平均變化率的關系是怎樣的？如何用符號表示？2．導數與瞬時變化率的關系是怎樣的？如何用符號表示？3.求函數在處的導數步驟：“一差；二比；三極限”4.導數的幾何意義是什么？5.函數在點處的導數、導函數、導數之間的區別與聯系是什么？6.知識探究中你體會了哪些數學思想？【課后鞏固】1將半徑為R的球加熱,若球的半徑增加ΔR,則球的體積增加Δy約等于（）A.R3ΔR B.4πR2ΔRC.4πR2 D.4πRΔR2．一直線運動的物體，從時間到時，物體的位移為，那么為（）Ａ．從時間到時，物體的平均速度；Ｂ．在時刻時該物體的瞬時速度；Ｃ．當時間為時物體的速度；Ｄ．從時間到時物體的平均速度3.在曲線y=2x2－1的圖象上取一點（1，1）及鄰近一點（1+Δx,1+Δy）,則等于（）A.4Δx+2Δx2 B.4+2ΔxC.4Δx+Δx2D.4+Δx4.若曲線y=f(x)在點(x0,f(x0))處的切線方程為2x+y－1=0，則（）A.f′(x0)>0 B.f′(x0)<0C.f′(x0)=0 D.f′(x0)不存在5.已知命題p:函數y=f(x)的導函數是常數函數；命題q:函數y=f(x)是一次函數，則命題p是命題q的（） A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件6.設函數f(x)在x0處可導，則等于（）A.f′(x0) B.0C.2f′(x0) D.－2f′(x0)7.若曲線上每一點處的切線都平行于x軸，則此曲線的函數必是___.8.曲線y=x3在點P（2，8）處的切線方程是___________.9.質點按規律作直線運動，若質點在時的瞬時速度是8，則的值為_____________.