1、PAGE13函數的綜合運用一、知識導學1在應用中深化基礎知識在復習中基礎知識經歷一個由分散到系統，由單一到綜合的發展過程這個過程不是一次完成的，而是螺旋式上升的因此要在應用深化基礎知識的同時，使基礎知識向深度和廣度發展2以數學知識為載體突出數學思想方法數學思想方法是觀念性的東西，是解決數學問題的靈魂，同時它又離不開具體的數學知識函數內容最重要的數學思想是函數思想和數形結合的思想此外還應注意在解題中運用的分類討論、換元等思想方法解較綜合的數學問題要進行一系列等價轉化或非等價轉化因此本課題也十分重視轉化的數學思想3要重視綜合運用知識分析問題解決問題的能力和推理論證能力的培養函數是數學復習的開始，還

2、不可能在大范圍內綜合運用知識但從復習開始就讓學生樹立綜合運用知識解決問題的意識是十分重要的推理論證能力是學生的薄弱環節，近幾年高考命題中加強對這方面的考查，尤其是對代數推理論證能力的考查是十分必要的本課題在例題安排上作了這方面的考慮4函數應用題主要研究如何利用函數思想解決生產實踐中的實際問題，要求各位同學有較寬的知識面，能讀懂題意，然后對問題進行分析，靈活運用所學過的數學知識，建立量與量的函數關系，把實際問題材轉化為函數問題，通過對函數問題材的解決達到實際問題解決目的二、疑難知識導析1為了能較快地解決函數綜合問題，要求各位學生（1）在全面復習函數有關知識的基礎上，進一步深刻理解函數的有關概念，

3、全面把握各類函數的特征，提高運用基礎知識解決問題的能力（2）掌握初等數學研究函數的方法，提高研究函數的能力，重視數形結合數學思想方法的運用和推理論證能力的培養（3）初步溝通函數與方程、不等式及解析幾何有關知識的橫向聯系，提高綜合運用知識解決問題的能力（4）樹立函數思想，使學生善于用運動變化的觀點分析問題2對數學應用題的學習，是提高分析問題、解決問題能力的好途徑不少人在數學應用題面前，束手無策；有的讀不懂題意；有的不會歸納抽象、建模，因此要解好應用題，首先應加強提高閱讀理解能力，然后將普通語言轉化為數學語言和數學符號，實際問題轉化為數學問題，再運用數學方法、數學思想去解決問題三、經典例題導講例1

4、不等式錯解：錯因：當時，真數且在所求的范圍內（因），說明解法錯誤原因是沒有弄清對數定義此題忽視了“對數的真數大于零”這一條件造成解法錯誤，表現出思維的不嚴密性正解例2將進價為8元的商品，按每件10元售出，每天可銷售0件，若每件售價漲價元，其銷售量就減少10件，問應將售價定為多少時，才能使所賺利潤最大，并求出這個最大利潤錯解：設每件售價提高元，利潤為y元，則y=1時，（元）錯因：沒理解題意，每天銷售0件是在定價10元時的情況下，所設的應理解為在定價目10元的基礎上，再每件售價提高元，故利潤每件應為（2）元，此時的銷售量為（020）元正解：設每件售價提高元，利潤為y元，則y=故當，即定價為14元時

5、，每天可獲得最大利潤為720元例3某工廠改進了設備，在兩年內生產的月增長率都是m，則這兩年內第二年三月份的產值比第一年三月份的產值的增長率是多少錯解：設第一年三月份的產值為a，則經過二年，三月份的產值是a1m11,則所求增長率為，或把第二年三月份的產值寫為a1m13錯因：對增長率問題的公式未透徹理解而造成錯解，則此后第月的產值為，指數是基數所在時間后所跨過的時間間隔數正解：設第一年三月份的產值為a，則第四個月的產值為a1m，五月份的產值為a1m2，從此類推，則第二年的三月份是第一年三月份后的第12個月，故第二年的三月份的產值是a1m12，又由增長率的概念知，這兩年的第二年的三月份的產值比第一年

6、的三月份的產值的增長率為例4在一個交通擁擠及事故易發生路段，為了確保交通安全，交通部門規定，在此路段內的車速v（單位：m/h）的平方和車身長（單位：m）的乘積與車距d成正比，且最小車距不得少于半個車身長假定車身長均為（單位：m）且當車速為50（m/h）時，車距恰為車身長，問交通繁忙時，應規定怎樣的車速，才能使在此路段的車流量Q最大車流量=錯解：，將，代入得，又將代入得，由題意得（）將Q=（）當且僅當時，綜上所知，（m/h）時，車流量Q取得最大值錯因：上述解法中結果雖然正確，但解題過程中是錯誤的，即雖然車速要求，但在行駛過程中車速有可能低于25（m/h），所以解題材中應分兩類情形求解，得分段函數

7、正解：（1）依題意，則顯然當時，Q是關于的增函數，當時，當時，Q=當且僅當時，上式等號成立綜上所述，當且僅當時，車流量Q取得最大值例5定義在R上的函數滿足：對任意實數，總有，且當時，（1）試求的值；（2）判斷的單調性并證明你的結論；（3）設，若，試確定的取值范圍（4）試舉出一個滿足條件的函數解：（1）在中，令得：因為，所以，（2）要判斷的單調性，可任取，且設在已知條件中，若取，則已知條件可化為：由于，所以為比較的大小，只需考慮的正負即可在中，令，則得時，當時，又，所以，綜上，可知，對于任意，均有函數在R上單調遞減（3）首先利用的單調性，將有關函數值的不等式轉化為不含的式子，即由，所以，直線與圓

8、面無公共點所以，解得（4）如點評：根據題意，將一般問題特殊化，也即選取適當的特值（如本題中令；以及等）是解決有關抽象函數問題的非常重要的手段；另外，如果能找到一個適合題目條件的函數，則有助于問題的思考和解決例6設為實數，函數，（1）討論的奇偶性；（2）求的最小值解：（1）當時，函數此時，為偶函數當時，此時既不是奇函數，也不是偶函數（2）（i）當時，當，則函數在上單調遞減，從而函數在上的最小值為若，則函數在上的最小值為，且（ii）當時，函數若，則函數在上的最小值為，且若，則函數在上單調遞增，從而函數在上的最小值為綜上，當時，函數的最小值為當時，函數的最小值為當時，函數的最小值為點評：（1）探索函

9、數的奇偶性，可依據定義，通過代入有，即可得，當時，函數函數為偶函數通過可得化得此式不管還是都不恒成立，所以函數不可能是奇函數（2）由于本題中含有絕對值，需要去掉，故分類討論，既要對二次函數值域的研究方法熟練掌握，又要將結論綜合，對學生的綜合運用數學知識能力及數學思想作了較好的考查例7某公司為幫助尚有萬元無息貸款沒有償還的殘疾人商店，借出20萬元將該商店改建成經營狀況良好的某種消費品專賣店，并約定用該店經營的利潤逐步償還債務所有債務均不計利息已知該種消費品的進價為每件40元；該店每月銷售量q（百件）與銷售價p（元件）之間的關系用右圖中的一條折線（實線）表示；職工每人每月工資為600元，該店應交付

10、的其它費用為每月130元（1）若當銷售價p為52元件時，該店正好收支平衡，求該店的職工人數；（2）若該店只安排40名職工，則該店最早可在幾年后還清所有債務，此時每件消費品的價格定為多少元？分析：本題題目的篇幅較長，所給條件零散雜亂，為此，不僅需要劃分段落層次，弄清每一層次獨立的含義和相互間的關系，更需要抓住矛盾的主要方面由題目的問題找到關鍵詞“收支平衡”、“還清所有債務”，不難想到，均與“利潤”相關從閱讀和以上分析，可以達成我們對題目的整體理解，明確這是一道函數型應用題為此，首先應該建立利潤與職工人數、月銷售量q、單位商品的銷售價名則又由圖可知：所以，由已知，當時，即，解得即此時該店有50名職

11、工（2）若該店只安排40名職工，則月利潤當時，求得時，S取最大值7800元當時，求得時，S取最大值6900元綜上，當時，S有最大值7800元設該店最早可在n年后還清債務，依題意，有解得所以，該店最早可在5年后還清債務，此時消費品的單價定為55元點評：求解數學應用題必須突破三關：（1）閱讀理解關：一般數學應用題的文字閱讀量都比較大，要通過閱讀審題，找出關鍵詞、句，理解其意義（2）建模關：即建立實際問題的數學模型，將其轉化為數學問題（3）數理關：運用恰當的數學方法去解決已建立的數學模型四、典型習題導練=gt，則總不改變f值域的代換是ABt=t12t=cost2用鐵管做一個形狀為直角三角形的鐵框架，

12、要使直角三角形面積為1平方米，有下列四種長度的鐵管，最合理（夠用，浪費又最少）的是（）A.4.1米3函數的圖像大致是（）1、2為方程424mm2=0的兩個實根，當m=_時，1222有最小值_是實數，記M=m|m1,f=log324m4m1證明：當mM時，f對所有實數都有意義；反之，若f對所有實數都有意義，則mM2當mM時，求函數f的最小值3求證：對每個mM,函數f的最小值都不小于16（荊州質量檢測）某影院共有1000個座位，票價不分等次，根據該影院的經營經驗，當每張票價不超過10元時，每提高一元，將有30張票不能售出，為了獲得更高的收益，需給影院定一個比較合理的價格，要求它符合以下三個基本條件：為了方便找零與算賬，票價為1元的整數倍；影院放一場電影成本費用支出為5750元；（元）表示每張票的價格，用y（元）表示該影院放映一場電影的凈收入（1）求函數的解析式和它的定義域；（2）試問在符合基本條件的前提下，每張票價定為多少時