1、學(xué)業(yè)分層測(cè)評(píng)(六)圓錐曲線的極坐標(biāo)方程及應(yīng)用(建議用時(shí)：45分鐘)學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)x2y21過(guò)橢圓2591的左焦點(diǎn)引一條直線與橢圓自上而下交于A、B兩點(diǎn)，若FA2FB，求直線l的斜率x2y2【解】橢圓1中，a5，3，4，259bcb29所以e5，pc4.取橢圓的左焦點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正方向?yàn)闃O軸正方向，建立極坐標(biāo)系，則橢圓的極坐標(biāo)方49549程為454cos.15cos設(shè)A(，)、B(，)由題設(shè)得2.于是99，54cos254cos12125119119解得cos12，所以tan5，即直線l的斜率為5.2已知橢圓方程為16，過(guò)左焦點(diǎn)引弦AB，已知AB8，求AOB的面積53cos【解】如圖，設(shè)A(1，)、B

2、(2，)16所以1253cos16160.由于AB8，160所以259cos28，所以25cos9，sin23.由橢圓方程知2c3b16ea5，c3，則c3.11SAOBSAOFSBOF2OF1sin2OF2sin8.3如圖4-2-4，過(guò)拋物線y22px(p0)的焦點(diǎn)F的弦AB與x軸斜交，M為AB的中點(diǎn)，MNAB，并交對(duì)稱(chēng)軸于N.4-2-42求證：MNAFBF.【證明】取F為極點(diǎn)，F(xiàn)x為極軸建立極坐標(biāo)系，則拋物線的極坐標(biāo)方程為p1cos.設(shè)A(1，)、B(2，)，則ppp2AFBF1cos1cossin2.1)22211pppcos2(1cos1cos)sin2.所以tanMNMFpcosp.

3、sin2tansin2所以MNAFBF.4如圖4-2-5，已知圓：224x0，拋物線G的極點(diǎn)是坐標(biāo)系的原點(diǎn)，焦點(diǎn)是已Fxy知圓的圓心F，過(guò)圓心且傾斜角為的直線l與拋物線G、圓F從上至下按次交于A、B、C、D四點(diǎn)4-2-5當(dāng)直線的斜率為2時(shí)，求ABCD；當(dāng)為何值時(shí)，ABCD有最小值？并求這個(gè)最小值【解】圓F：x2y24x0的圓心坐標(biāo)為(2,0)，半徑為2，所以拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4.以圓心F為極點(diǎn)，F(xiàn)x為極軸建立極坐標(biāo)系則圓F的坐標(biāo)方程為2，拋物線G的極4坐標(biāo)方程為1cos.設(shè)A(1，)、D(，)，所以ABAF2，CDFD2，即ABCDAFFD42444444412881cos24sin2

4、4.4由題意，得tan2，所以sin.58所以ABCDsin246.8(2)ABCDsin24，當(dāng)sin21，即2時(shí)ABF2的面積取到最小值4.5已知拋物線p，過(guò)焦點(diǎn)作互相垂直的極徑、，求的面積的1cosFAFBFAB最小值【解】設(shè)A(1，)、B2，2，則ppp11cos，21sin.1cos2FAB的面積為S1121pp221cos1sinp2cossinp2.cossinsincos2設(shè)tsincos，則sincos1t.2121所以1cossinsincos1t2t2(t1)2.又tsincos2sin42，2，所以當(dāng)t2，即3p22.時(shí)，F(xiàn)AB的面積S有最小值246已知橢圓C的中心在原

5、點(diǎn)，焦點(diǎn)F1、F2在x軸上，點(diǎn)P為橢圓短軸的一個(gè)極點(diǎn)，且F1PF290.求橢圓C的離心率；(2)若直線l過(guò)左焦點(diǎn)F與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，且ABF的面積的最大值為12，求橢12圓C的方程【導(dǎo)學(xué)號(hào)：98990017】【解】2222222(1)由于F1PF290，所以PF1PF2F1F2，即aa4c.所以ec.a2以橢圓的左焦點(diǎn)F1為極點(diǎn)，F(xiàn)x為極軸建立極坐標(biāo)系，設(shè)橢圓的方程為22pp.122coscos2A(1，)、B(2，)，則ABAFFB12pp2cos2pp22p2cos2cos2cos2.由于FF2c，所以ABF的邊AB上的高h(yuǎn)為2c|sin|，ABF的面積S2ABh1222122pc|s

6、in|22pc|sin|2cos21sin22pc1.|sin|sin|1|sin|2，由于|sin所以當(dāng)|sin|1，即2或32時(shí)S取到最大值所以當(dāng)l過(guò)左焦點(diǎn)且垂直于極軸時(shí)，ABF2的面積取到最大值2pc，所以2pc12，b262.a2c262.又c2，a2所以a2122，c262.所求橢圓的方程為x2y21.12622x2y2lxyP是l上一點(diǎn)，射線交橢圓于，又點(diǎn)7已知橢圓1，直線：1，2416128OPRQ在OP上，且滿足|OQ|OP|OR|2，當(dāng)點(diǎn)P在l上搬動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)Q的軌跡方程，并說(shuō)明軌跡是什么曲線【解】如圖，以O(shè)為極點(diǎn)，Ox為極軸，建立極坐標(biāo)系，則：2482，橢圓的極坐標(biāo)方程為2c

7、os23sin直線l的極坐標(biāo)方程2cos24.3sin由于點(diǎn)Q、R、P在同一射線上，可設(shè)點(diǎn)Q、R、P的極坐標(biāo)分別為(，)、(1，)、(，)，依題意，得2248，12cos223sin22cos24.3sin由|OQ|OP|OR|2得221(0)將代入，2448得2cos3sin2cos23sin2，4cos6sin則2cos23sin2(0)這就是點(diǎn)Q的軌跡的極坐標(biāo)方程，化為直角坐標(biāo)方程，得2x23y24x6y，x2y2即1(x、y不同樣時(shí)為0)5523點(diǎn)Q的軌跡為以(1,1)x軸，長(zhǎng)、短半軸長(zhǎng)分別為1015為中心，長(zhǎng)軸平行于2，3的橢圓(去掉坐標(biāo)原點(diǎn))能力提升8建立極坐標(biāo)系證明：已知半圓直徑

8、|AB|2r(r0)，半圓外一條直線l與AB所在直線垂直訂交于點(diǎn)，并且|2(2ar)若半圓上相異兩點(diǎn)，到l的距離|、|TATa2MNMPNQ滿足|MP|：|MA|NQ|：|NA|1，則|MA|NA|AB|.【證明】法一以A為極點(diǎn)，射線AB為極軸建立直角坐標(biāo)系，則半圓的極坐標(biāo)方程為2rcos，設(shè)M(1，1)，N(2，2)，則12rcos1，22rcos2，|MP|2a1cos12a2rcos21，|NQ|2a2cos22a2rcos22，|MP|2a2rcos212rcos1，|NQ|2a2rcos222rcos2，2cos1，cos2是方程rcosrcosa0的兩個(gè)根，由韋達(dá)定理：cos1cos21，|2cos12rcos22|.MANArrAB法二以A為極點(diǎn)，射線AB為極軸建立直角坐標(biāo)系，則半圓的極坐標(biāo)方程為2rco