1、第二章直線和圓的方程章末素養提升| 體 系 構 建 | | 核 心 歸 納 | 1直線的傾斜角(1)定義：x軸正向與直線向上方向之間所成的角叫做這條直線的傾斜角當直線與x軸平行或重合時，規定它的傾斜角為0(2)傾斜角的范圍為0，)3直線方程8點與圓的位置關系點M(x0，y0)與圓(xa)2(yb)2r2的位置關系：若點M(x0，y0)在圓外，則(x0a)2(y0b)2r2；若點M(x0，y0)在圓上，則(x0a)2(y0b)2r2；若點M(x0，y0)在圓內，則(x0a)2(y0b)2r29直線與圓的位置關系(半徑r，圓心到直線的距離為d)11與圓相關最值的幾何結論(1)如圖，已知圓C及圓外一

2、定點P，設圓C的半徑為r，則圓上點到點P距離的最小值為|PM|PC|r，最大值為|PN|PC|r(即連接PC并延長，M為PC與圓的交點，N為PC延長線與圓的交點)(2)如圖，已知圓C及圓內一定點P，則過點P的所有弦中最長的為直徑，最短的為與該直徑垂直的弦AB(3)如圖，已知圓C和圓外的一條直線l，則圓上點到直線距離的最小值為|PM|dr，距離的最大值為|PN|dr(過圓心C作l的垂線，垂足為P，CP與圓C交于點M，其反向延長線交圓C于點N(d為圓心到直線的距離)(4)如圖，已知圓C和圓外的一條直線l，則過直線l上的點作圓的切線，切線長的最小值為|PM| 素 養 提 升 | 素養1數學運算角度分

3、類與整合思想的應用思想方法解讀：當問題的對象不能進行統一研究時，就需要對研究的對象按某個標準進行分類，然后對每一類分別研究，給出每一類的結論，最終綜合各類結果得到整個問題的解答實質上分類討論就是“化整為零，各個擊破，再積零為整”的數學思想本題考查兩條直線的位置關系以及直線與圓相交的弦長問題本題的易錯點，一是未討論a的值，直接令斜率相等；二是求出a的值未代回到直線方程進行驗證涉及直線和圓相交的弦長問題時，通常是結合勾股定理表示弦長1設三條直線2x3a2y180,2ax3y120和3x2y60能圍成直角三角形，求實數a 素養2直觀想象角度數形結合思想的應用思想方法解讀：實質就是將抽象的數學語言與直

4、觀的圖形結合起來，實現代數問題幾何化，幾何問題代數化是通過數與形的相互轉化來解決數學問題的思想其應用包括以下兩個方面：(1)“以形助數”，把某些抽象的數學問題直觀化、生動化，能夠變抽象思維為形象思維(2)“以數定形”，把直觀圖形數量化，使形更加精確本題主要考查直線和圓相交的性質，體現了數形結合的數學思想，屬于中檔題一般直線和圓的題很多情況下是利用數形結合來解決的，聯立的時候較少；在求圓上的點到直線或者定點的距離時，一般是轉化為圓心到直線或者圓心到定點的距離，再加減半徑，分別得到最大值和最小值；涉及圓的弦長或者切線長時，經常用到垂徑定理 素養3邏輯推理角度1函數與方程思想的應用思想方法解讀：1函

5、數的思想：通過建立函數關系或構造函數，運用函數的圖象和性質去分析問題、轉化問題，從而使問題得到解決的思想2方程的思想：建立方程或方程組或者構造方程或方程組，通過解方程或方程組或者運用方程的性質去分析問題、轉化問題，從而使問題獲得解決的思想與圓有關的最值問題的處理方法大致分為兩類：一類是運用幾何特征及幾何手段先確定達到最值的位置，再計算；另一類是通過建立目標函數后，轉化為函數的最值問題從題型看，主要有斜率型最值問題；截距型最值問題；距離型最值問題；面積型最值問題3(2021年西昌期末)已知圓M過C(1，1)，D(1,1)兩點，且圓心M在xy20上(1)求圓M的方程；(2)設P是直線3x4y80上

6、的動點，PA，PB是圓M的兩條切線，A，B為切點，求四邊形PAMB面積的最小值角度2轉化與化歸思想思想方法解讀：在研究和解決有關數學問題時采用某種手段將問題通過變換使之轉化，進而解決問題的一種思想其應用包括以下三個方面：(1)一般總是將復雜的問題通過變換轉化為簡單的問題；(2)將難解的問題通過變換轉化為容易求解的問題；(3)將未解決的問題通過變換轉化為已解決的問題已知O：x2y21，若直線ykx2上總存在點P，使得過點P的O的兩條切線互相垂直，則實數k的取值范圍是_【答案】k|k1或k1本題主要考查直線和圓相交的性質，點到直線的距離公式的應用，體現了轉化的數學思想，屬于中檔題圓是一個對稱圖形，

7、依其對稱性，圓上的點到直線的最大(小)距離為圓心到直線的距離加上(減去)半徑凡是涉及與圓有關的距離問題，均可轉化為圓心到直線的距離問題【答案】2x4y30| 鏈 接 高 考 | 【答案】B點到直線的距離【點評】該題考查的是有關解析幾何初步的問題，涉及的知識點有直線過定點問題，利用幾何性質是解題的關鍵，屬于基礎題(2022年甲卷)設點M在直線2xy10上，點(3,0)，(0,1)均在M上，則M的方程為_【答案】(x1)2(y1)25圓的標準方程【點評】本題考查圓的標準方程，屬于基礎題，設出點M的坐標，利用點(3,0)，(0,1)均在M上，求得圓心及半徑，即可得圓的方程【答案】4以點到直線的距離公

8、式為工具考查最值問題【點評】解決此類問題的關鍵，利用點到直線的距離公式轉化為函數的最值問題，利用基本不等式求最值【答案】5與圓的弦長相關的問題(2020年浙江)設直線l：ykxb(k0)，圓C1：x2y21，C2：(x4)2y21，若直線l與C1，C2都相切，則k_；b_以圓的切線為背景研究直線與圓的位置關系【點評】解決此類問題，常利用圓心到切線的距離等于半徑來處理(2022年新高考)寫出與圓x2y21和(x3)2(y4)216都相切的一條直線的方程_【點評】先判斷兩圓位置關系，分情況討論即可(2020年新課標)已知M：x2y22x2y20，直線l：2xy20，P為l上的動點，過點P作M的切線PA，PB，切點為A，B，當|PM|AB|最小時，直線AB的方程為()A2xy10B2xy10C2xy10D2xy10【答案】D以圓為背景的最值與范圍問題【點評】解決此類問題的方法：(1)利用解析幾何的基本思想方法(即幾何問題代數化)，把它轉化為代數問題，通過代數的計算，使問題得到解決；(2)直線與圓和平面幾何聯系十分緊密