1、畢業設計（論文）題目： 單級倒立擺LQR控制器的設計及仿真 系 別 信息工程系專業名稱 班級學號 學生姓名 指導教師 二O一四 年 五 月 畢業設計（論文）任務書I、畢業設計(論文)題目：單級倒立擺LQR控制器的設計及仿真業設計(論文)使用的原始資料(數據)及設計技術要求： 1、在深入了解倒立擺的基礎上，熟悉單級倒立擺控制的基本原理 2、了解單級倒立擺控制的發展趨勢。 3、熟悉線性系統的基本理論和非線性系統線性化的基本方法。 4、建立單級倒立擺的數學模型，并編寫MATLAB程序，完成倒立擺的仿真。業設計(論文)工作內容及完成時間： 工作安排如下： 1、查閱文獻，翻譯英文資料，書寫開題報告 第1

2、4周 2、相關資料的獲取和必要知識的學習 第59周 3、設計系統的硬件和軟件模塊并調試 第10-14周 4、撰寫論文 第15-17周 5、總結，準備答辯 第18周要參考資料： 1陽武嬌.基于MATLAB的一階倒立擺控制系統的建模與仿真J.電子元器件應用.2007，9(1):29-31 2 .楊世勇，徐莉蘋，王培進.單級倒立擺的PID控制研究J.控制工程.2007,14:23-53. 3黃忠霖.控制系統MATLAB計算及仿真M.北京：國防工業出版社，2006 4薛安客，王俊宏倒立擺控制仿真與實驗研究現狀J.杭州電子工業學院學報.2002，21(6):25-27. 5 .徐征.基于遺傳算法的PID

3、控制器參數尋優方法的研究D.武漢：武漢大學，2004 6Takahas M，Narukawa T，Yoshida KIntelligent transfer andstabilization control to unstable equilibrium point of double inverted pendulumInt SICE 2003 Annual Co nfeFence，2003，2：1451-145. 系 專業類 班學生（簽名）： 填寫日期： 2014 年 1 月 10 日指導教師（簽名）： 助理指導教師(并指出所負責的部分)： 系主任（簽名）：PAGE 南昌航空大學科技學院2

4、014屆學士學位論文 單級倒立擺LQR控制器的設計及仿真摘要：單級倒立擺系統是一個典型多變量、不穩定和強耦合的非線性系統。這些特性使得許多抽象的控制理論概念，比如系統穩定性、可控性等等，都能通過單級倒立擺系統直觀的表現出來。通過對倒立擺的控制，可以用來檢驗新的控制方法是否有較強的處理非線性和不穩定性問題的能力。Matlab是控制界應用廣泛的計算機輔助設計與分析工具，它集矩陣運算、數值分析、信號處理和圖形顯示于一體，構成了一個方便的、良好的用戶環境，還有其強大的科學計算與可視化功能，簡單易用的開放式可編程環境。線性二次型調節器（LQR）其對象是現代控制理論中以狀態空間形式給出的線性系統 ,而目標

5、函數為對象狀態和控制輸入的二次型函數。LQR理論是現代控制理論中發展最早也最為成熟的一種狀態空間設計法。本文在對倒立擺深入了解的基礎上，介紹了倒立擺系統的特性，并利用牛頓力學對直線一級倒立擺建模，最后通過Matlab對其最優線性二次調節LQR的設計及仿真。關鍵詞：倒立擺 Matlab LQR理論指導老師簽字：Design and Simulation of single inverted pendulum LQR controllerAbstract: The single inverted pendulum system is a typical multi variable instabi

6、lity and strongly coupled nonlinear system. These characteristics make many abstract concepts of control theory such as the stability of the system controllability and so on can be through a single inverted pendulum system show. Through the control of the inverted pendulum, can be used to test wheth

7、er the new control method to deal with nonlinear and instability problem.Matlab is widely used in computer aided design and analysis tools, it sets the matrix operations, numerical analysis, signal processing and integrated graphics, constitute a convenient, good user environment, and its powerful s

8、cientific computing and visualization, open and easy to use programming environment.Linear quadratic regulator (LQR), its object is the modern control theory in the linear system is given in state space form, and the objective function is the two type function object state and control input. LQR the

9、ory is the modern control theory in the development of the earliest and most as a state space design method of mature.In this paper, based on the inverted pendulum on an in-depth understanding, describes the characteristics of the inverted pendulum system, and the use of Newtonian mechanics of linea

10、r inverted pendulum model, and finally through the Matlab on design and Simulation of the optimal linear quadratic regulator .Key Words: Inverted Pendulum Matlab LQR theorySignature of Supervisor:目錄 TOC o 1-3 h z u HYPERLINK l _Toc390164033 1引言 PAGEREF _Toc390164033 h 4 HYPERLINK l _Toc390164034 1.1

11、選題的依據及意義 PAGEREF _Toc390164034 h 4 HYPERLINK l _Toc390164035 1.2倒立擺的發展趨勢 PAGEREF _Toc390164035 h 4 HYPERLINK l _Toc390164036 2倒立擺系統介紹 PAGEREF _Toc390164036 h 6 HYPERLINK l _Toc390164037 2.1倒立擺系統簡介 PAGEREF _Toc390164037 h 6 HYPERLINK l _Toc390164038 2.2倒立擺的分類 PAGEREF _Toc390164038 h 6 HYPERLINK l _To

12、c390164039 2.3倒立擺的特性 PAGEREF _Toc390164039 h 7 HYPERLINK l _Toc390164040 3倒立擺控制理論簡介 PAGEREF _Toc390164040 h 9 HYPERLINK l _Toc390164041 3.1LQR最優控制理論 PAGEREF _Toc390164041 h 9 HYPERLINK l _Toc390164042 3.2PID控制 PAGEREF _Toc390164042 h 9 HYPERLINK l _Toc390164043 3.3狀態空間法 PAGEREF _Toc390164043 h 10 HY

13、PERLINK l _Toc390164044 3.4神經網絡控制 PAGEREF _Toc390164044 h 10 HYPERLINK l _Toc390164045 4直線倒立擺建模 PAGEREF _Toc390164045 h 11 HYPERLINK l _Toc390164046 4.1直線一級倒立擺的物理模型 PAGEREF _Toc390164046 h 11 HYPERLINK l _Toc390164047 4.2系統模型 PAGEREF _Toc390164047 h 15 HYPERLINK l _Toc390164048 5 LQR控制器的設計及仿真 PAGERE

14、F _Toc390164048 h 17 HYPERLINK l _Toc390164049 5.1 LQR基本原理及分析 PAGEREF _Toc390164049 h 17 HYPERLINK l _Toc390164050 5.2 LQR控制參數調節及仿真 PAGEREF _Toc390164050 h 18 HYPERLINK l _Toc390164051 5.3仿真結果分析 PAGEREF _Toc390164051 h 20 HYPERLINK l _Toc390164052 6 結論 PAGEREF _Toc390164052 h 24 HYPERLINK l _Toc3901

15、64053 參考文獻 PAGEREF _Toc390164053 h 25 HYPERLINK l _Toc390164054 致謝 PAGEREF _Toc390164054 h 25單級倒立擺LQR控制器的設計及仿真1引言1.1選題的依據及意義倒立擺有機地結合了機器人技術、控制理論、計算機控制等多個領域和多種技術的，而且這個被控系統自身也是一個快速、高階次、擁有許多變量、非線性、強耦合性、非常不穩定的系統，所以能作為一個很典型的控制對象從而對這個系統進行研究。在上個世紀五十年代，某些高等學院研究控制論的專家來源于火箭發射助推器原理的靈感從而設計出了一階倒立擺實驗設備，從此以后這個控制方法廣

16、泛用于軍工、航天、機器人和一般工業領域中，比如機器人控制系統中的平衡控制、火箭發射中的垂直角度控制、飛機安全著陸、化工過程控制以及平時我們的生活中非常常見的，很多重心在上、支點在下的這些控制問題，大都涉獵到了“倒立擺問題”。因此，非常多的現代控制理論專家們長期把它作為典型的研究對象，并且不斷的從中研究出新穎的控制策略與控制的方法，從而許多的相關科研成果在例如航天航空科技與機器人學方面得到了非常廣泛的應用。近年來控制理論在如今的工程技術界，大多是為了解決面向工程實際、面向工程應用的問題。一項工程的實施也存在一種可行性的試驗問題，用一套比較完好的試驗設備，并且將它的理論方法實現有效的驗證，因此倒立

17、擺可以為這項工程提供一個從基本控制理論走向實踐的方法。所以學習倒立擺可以為我們在探討這些控制理論和方法打好最夯實的地基。1.2倒立擺的發展趨勢在穩定性的控制問題上，倒立擺有普遍和典型的性質。倒立擺作為一個控制器材，結構比較簡易、價格也很低廉，方便模擬和實現各種不同的控制方式。倒立擺這個被控對象是一個具有高階次、不穩定、變量多、非線性、強耦合等特點的系統。通過使用很有效的控制手段，才能使其在一定的干擾下保持穩定。在上個世紀六十年代，國外很多學者對倒立擺系統深入研究，分析了多級倒立擺穩定性的控制，并且得出了bang-bang的穩定控制。而后，控制理論界對這個典型不穩定、非線性的倒立擺系統提出了新的

18、概念，并用其檢測控制方法對各種不穩定、非線性和快速性系統的控制效果，得到了全世界許多科學家的重視。用不同的控制方法去控制不同種類的倒立擺，是一個很有挑戰的課題。從七十年代初，當時的一個研究熱點是使用狀態反饋理論對各個種類的倒立擺控制，而且在許多方面取得了比較理想的效果。但卻因為狀態反饋控制對線性化的數學模型比較依賴，所以對于一般的工業控制特別是數學模型不清楚的非線性控制對象比較乏力。上世紀八十年代后，這種情況有了極大地改善。隨著模糊控制理論的進步和將模糊控制理論應用于倒立擺系統的控制，使得處理非線性問題有了非常大的進步。用模糊理論控制倒立擺，它的意義是為了檢驗模糊理論對快速、絕對不穩定系統的控

19、制能力。在這一時期，將模糊理論用于單級倒立擺的控制系統有了非常大的進步。隨著模糊控制器輸入量的變多，控制的規則方式也隨之成指數增加，就使得模糊控制器的實際情況變得非常繁雜，控制所用的時間增長很多。用雙閉環模糊控制方法控制單級倒立擺，就很好地解決了這個問題。我國北京大學學數學系李洪興教授帶領的科研團隊用變論域自適應模糊控制理論實現了對四級倒立擺的穩定控制是模糊控制理論應用于倒立擺的最新研究成果。 到了上世紀九十年代，將神經網絡應用于倒立擺控制的研究就有了迅速發展。早在1963年，Widrow和Smith就初步將神經網絡用到單級倒立擺小車的控制方法中。神經網絡控制倒立擺理論是以自學習為基礎，用一種

20、全新的理念處理信息，顯示出了很大的發展空間，具有巨大的潛力。除了以上控制理論外，還有許多別的控制方法應用于倒立擺的控制。例如利用云模型實現智能控制倒立擺。這個方法的優勢在于不用建立繁瑣的數學模型，憑借人的感覺、經驗和邏輯的判斷，將人的控制經驗用語言定性的表達出來，然后用語言院子和云模型轉換到里面的語言控制規則器中，輕松地解決了倒立擺控制的非線性和不確定性這兩大問題。遺傳算法是美國密歇根大學Holland教授推薦發展起來的, 是為了模擬生物學中的自然遺傳和達爾文進化理論而提出的并行隨機優化算法。它的核心思想是: 隨著時間的更替,只有最適合的物種才能得以進化。 如今，對倒立擺控制的理論與實踐不斷發

21、展進步，其方法也越來越多，越來越完善，主要分為以PID控制、狀態反饋控制、LQR最優控制為典型代表的非線性系統理論控制和以神經網絡控制、模糊控制、遺傳算法控制為代表的智能控制這兩大類。2倒立擺系統介紹2.1倒立擺系統簡介倒立擺系統在最早被提出時的形式為單級直線形，也就是只有一級擺桿的一端是自由的，而另外一端鉸接就是在直線導軌上面任意滑動的小車上面。隨后人們在這個基礎之上，又進行了擴展，于是出現了許多形式的倒立擺。每一種形式的倒立擺再根據擺桿數量的差異而進一步區分為一級、二級、三級和多級倒立擺。所以擺桿的級數數量越多，它的控制難度就會愈大，但是擺桿的長度變化也是會產生差異的。多級擺的擺桿之間就是

22、自有連接。當今社會中，直線型倒立擺被視為實驗儀器并且它的結構相對簡單、形象直觀、構件參數也非常容易被改變和性價比高等優勢，所以廣泛的用于教學。目前與直線倒立擺相關的控制技術已經差不多日漸成熟，并且在其所在的領域所研究出的成果也是相當繁多。即使環形倒立擺的基座運動形式和直線倒立擺有些許差距，但是二者的相似之處是基座只有一個自由度，能參考相對于成熟的直線倒立擺的研究成果，所以現如今出現了大批的理論成果。平面倒立擺就是所有倒擺系統中最為復雜的一類，原因就是平面倒立擺的基座可以在平面內自由的移動，并且擺桿能沿平面內的任意一條軸線轉動，這就使系統的非線性、耦合性、多變量等特性更加的突出，所以就增加了其控

23、制的難度，并且機械和電子器件發展遇到難以突破的困難，使平面倒立擺工程的實現也帶來了相當程度的困難。即使倒立擺系統的結構形式是有各種結構，但是無論是其中的哪一種結構，對比與其本身而言，歸根結底都是一個非線性、多變量、強耦合、絕對不穩定性系統。2.2倒立擺的分類倒立擺從原來的直線一級倒立擺拓展出不同的種類，主要有直線倒立擺，環形倒立擺，平面倒立擺和復合倒立擺等。倒立擺系統是在運動模塊上設置倒立擺裝置，不同的倒立擺裝置可以裝在相同的模塊中，因此倒立擺的種類變得豐富多變，按倒立擺的結構來分，倒立擺分一下類別：1) 直線倒立擺直線倒立擺是在直線運動模塊上設置擺體組件，直線運動模塊有一個自由度，小車沿著軌

24、道水平運動，在小車上裝載不同的擺體組件，可以組成很多類別的倒立擺，直線柔性倒立擺和一般直線倒立擺的不同之處在于，柔性倒立擺有一對可以沿導軌滑動的小車，并且在主動小車和從動小車之間增加了一個彈簧，作為柔性關節。2) 環形倒立擺環形倒立擺是在圓周運動模塊上裝有擺體組件，圓周運動模塊有一個自由度，可以圍繞齒輪中心做圓周運動，在運動手臂末端裝有擺體組件，根據擺體組件的級數和串連或并聯的方式，可以組成很多形式的倒立擺。3) 平面倒立擺平面倒立擺是在可以做平面運動的運動模塊上裝有擺桿組件，平面運動模塊主要有兩類：一類是XY運動平臺，另一類是兩自由度SCARA機械臂；擺體組件也有一級、二級、三級和四級很多種

25、。4) 復合倒立擺復合倒立擺是一種新型倒立擺，它的結構由運動本體和擺桿組件組成，其運動本體可以很方便的調整成三種模式，一是2)中所述的環形倒立擺，還可以把本體翻轉90度，連桿豎直向下和豎直向上組成托擺和頂擺兩種形式的倒立擺。按倒立擺的級數來分：有一級倒立擺、兩級倒立擺、三級倒立擺和四級倒立擺，一級倒立擺基本用在比較基礎的控制理論實驗，多級倒立擺主要用于控制算法的研究。隨著倒立擺的級數越高，其控制難度會大大增大。目前，可以實現的倒立擺控制最高級數為四級。2.3倒立擺的特性盡管由于選擇的方法很多且構造方式的不同，倒立擺各式各樣，但它們有五個共同的特征。不確定性因為機器本身的原因，會帶來一系列的問題

26、。如元器件的阻力，機器傳動軸之間的縫隙和樣式的偏差。在現實中我們要通過不同的方法彌補偏差來減少不確定性。彌補的不確定性的方法有潤滑齒輪，安裝優質的滾珠軸承和增大軸帶的預緊力等等。非線性 對于倒立擺始終有一個議論的話題，那就是如何控制倒立擺的分線性。由于倒立擺的系統是非線性的，研究能先利用線性化后得到一個類似的系統樣式，由此來控制。（3) 開環不穩定性當倒立擺呈現垂直向上或者垂直向下時，滿足穩定狀態。此時肯定不穩定的平衡點是垂直向上的，穩定的平衡點是垂直向下的。 （4) 耦合性倒立擺上級擺桿與下級擺桿，同等級擺桿之間有存在強大的耦合。模塊之間因為運動，所以產生了非常大的耦合。因此在計算解耦時，需

27、要取管制倒立擺的平衡點相近的地方，而且要舍棄非主要的耦合量。（5) 約束限制受到機構的制約，要進行限制運動模塊行程，限制電機力矩。一旦發生小車碰撞，那就是行程限制的問題，因為它能影響倒立擺的擺起效果。盡可能的減少倒立擺的構造距離，降低電機的功率，這樣能減少支出成本且快速的完成制造。3倒立擺控制理論簡介由于倒立擺系統是絕對不穩定的，所以控制器的設計對于倒立擺控制至關重要。為了使系統在承受一定的干擾下保持穩定，需要給系統設計合適的控制器。目前主要的控制器設計理論有：PID控制理論、根軌跡以及頻率響應法、狀態空間法、最優控制理論、模糊控制理論、神經網絡控制、擬人智能控制、魯棒控制方法、自適應控制，以

28、及把這些控制理論的相互結合組成更加強大的復合理論算法。3.1LQR最優控制理論最優控制理論是現代控制理論中的一個重要方面。最優控制理論主要研究怎么使控制系統的性能指標實現最優化所需要的基本條件和 HYPERLINK /view/4567236.htm t _blank 方法。 最優控制理論是從不同可能的控制方法中尋求出一種最優解并解決的一門 HYPERLINK /view/145919.htm t _blank 學科。它是現代控制理論中不可或缺的重要組成。最優控制理論所研究的主要內容簡單概括為：對一個受控制的動力學系統或運動過程，從一切可能的控制方案中尋求出一個最好的控制方案，使被控系統從初始

29、狀態盡快到達原定的目標狀態的，并且其性能指標值也為最優。LQR最優設計指設計是求出的狀態反饋控制器K。若要使二次型目標函數J取最小值，就由權重矩陣中的Q與R唯一決定，所以選擇合適的Q、R尤其重要。LQR理論是現代控制理論中發展最早也最為成熟的一種狀態空間設計法。特別可貴的是，可以得到狀態線性反饋的最優控制規律，并很容易構成閉環最優控制。而且Matlab的發展開發為LQR理論仿真提供了方便，更為我們更快、更穩、更準地控制目標提供了有利條件。3.2PID控制PID（比例、積分、微分）控制器作為實用化的控制器發展至今將近百年歷史。PID控制器簡單易學，它不需要很精確的系統模型作為先決條件，所以PID

30、控制器應用比較廣泛。PID控制器由比例單元（P）、積分單元（I）和微分單元（D）組成。其輸入e(t）與輸出u(t）的關系為：u(t) = kp e(t)+1/TIe(t)dt + TD*de(t)/dt上面式子中積分的上限是t，下限是0，所以傳遞函數為：G(s)=U(s)/E(s)=kp1+1/(TI*s)+TD*s其中kp為比例系數； TI為積分時間常數； TD為微分時間常數3.3狀態空間法狀態空間法是現代控制理論中以狀態變量描述為基礎上對控制系統分析和研究的方法。狀態變量能對系統運動做完全的描述。倘若運動系統的外界輸入知道，那么根據這個外界輸入的現時值就能完全確定系統在以后每個時段的運動情

31、況。通過狀態變量描述能建立系統內部狀態變量與外部輸入變量和輸出變量之間的關系。反映狀態變量與輸入變量間因果關系的數學描述稱為狀態方程，而輸出變量與狀態變量和輸入變量間的變換關系則由量測方程來描述。3.4神經網絡控制 人工神經網絡由許多個神經元組成，并且采用并行和分布式的信息處理方式的網絡結構，各個神經元有其自己單一的輸出，各個神經元相互連接傳輸，其輸入有多個連接通路，每個連接通路對應一個連接權系數。人工神經網絡和生物神經網絡非常相似，只有經過前期學習才能是系統具有智能特性。然而人工神經網絡的學習方式，其實也就是調節權值和閡值的過程。人工神經網絡控制有很多優點：1）具有并行分布處理信息的能力；2

32、）有學習過程，具有歸納優化輸入數據的功能；3）用于線性或非線性都可以；4）適應能力較強。 4直線倒立擺建模直線一級倒立擺由直線運動模塊和一級擺體組件組成，是最常見的倒立擺之一。4.1直線一級倒立擺的物理模型倒立擺系統可以用機理建模或實驗建模。實驗建模就是把原先確定的輸入量加載到研究對象上，激勵研究對象并用傳感器觀測其輸出，使用數學方法是系統的輸入與輸出聯系起來。其中包括了輸入量的精確選取，輸出量的設計檢測，數學算法的研究等內容。機理建模就是先研究被控對象的運動規律，使用物理化學知識和數學算法把系統內部的輸入狀態關系建立起來。由于倒立擺系統是一個非常不穩定又具有很多特性的系統，所以實驗建模難度會

33、比較大。但是把實際的一些次要因素忽略掉，達到理想狀態。那么這個系統就是一個典型的運動的剛體系統。可以用牛頓力學建立倒立擺的運動系統和數學模型。下面采用牛頓力學方法建立直線一級倒立擺系統的數學模型。忽略空氣阻力和各種摩擦等次要因素，直線一級倒立擺就可以看做小車和勻質桿組成的簡單系統，如圖4-1所示。設定以下量：M 小車質量 m 擺桿質量b 小車摩擦系數l 擺桿軸心到擺桿質心的距離I 擺桿慣量F 加在小車上的力x 小車位置圖4-1直線一級倒立擺模型 擺桿與垂直向上方向的夾角 擺桿與垂直向下方向的夾角圖4-2是系統中小車和擺桿的受力分析圖。其中，N和P為小車與擺桿相互作用力的水平和垂直方向的分量。圖

34、4-2 小車及擺桿受力分析分析小車水平方向所受的合力，可以得到以下方程： (4-1)由擺桿水平方向的受力進行分析可以得到下面等式： (4-2)即： （4-3）把這個等式代入式(4-1)中，就得到系統的第一個運動方程： (4-4)為了推出系統的第二個運動方程，我們對擺桿垂直方向上的合力進行分析，可以得到下面方程： (4-5) (4-6)力矩平衡方程如下： (4-7)合并這兩個方程，約去P和N，得到第二個運動方程： (4-8)設（是擺桿與垂直向上方向之間的夾角），假設與1（單位是弧度）相比很小，即1，則可以進行近似處理： ，。用u來代表被控對象的輸入力F，線性化后兩個運動方程如下： （4-9）對式

35、(4-9)進行拉普拉斯變換，得到 (4-10)由于輸出為角度，求解方程組的第一個方程，可以得到： (4-11)或 (4-12)如果令v=x，則有： （4-13）把上式代入方程組的第二個方程，得到： (4-14)整理后得到傳遞函數： (4-15)其中 設系統狀態空間方程為： (4-16)方程組 對解代數方程，得到解如下： (4-17)整理后得到系統狀態空間方程： (4-18) 由(4-9)的第一個方程為：對于質量均勻分布的擺桿有： 于是可以得到：化簡得到： (4-19)設 則有： (4-20)用牛頓力學方法求得上述狀態方程。4.2系統模型系統模型參數如下:M 小車質量1.096 Kg m 擺桿質

36、量0.109 Kg b 小車摩擦系數0 .1N/m/sec l 擺桿轉動軸心到桿質心的長度0.2 5m I 擺桿慣量0.0034 kg*m*m把上述參數代入，可以得到系統的實際模型。擺桿角度和小車位移的傳遞函數： (4-21)擺桿角度和小車加速度之間的傳遞函數為： (4-22)擺桿角度和小車所受外界作用力的傳遞函數： （4-23）以外界作用力作為輸入的系統狀態方程： （4-24）以小車加速度作為輸入的系統狀態方程： (4-25)5 LQR控制器的設計及仿真5.1 LQR基本原理及分析線性二次最優控制LQR基本原理為：由系統方程: （5-1）確定下列最佳控制向量的矩陣 K： u(t)=-K*x(

37、t) （5-2）使得性能指標達到最小值： （5-3）式中 Q正定(或正半定)厄米特或實對稱陣R為正定厄米特或實對稱陣 圖5-1最優控制LQR控制原理圖對線性系統： （5-4）根據期望性能指標選取Q和R，利用MATLAB命令lqr就可以得到反饋矩陣K的值。 K=lqr(A，B，Q，R) （5-5）改變矩陣Q的值，可以得到不同的響應效果，Q的值越大(在一定的范圍之內)，系統抵抗干擾的能力越強，調整時間越短。5.2 LQR控制參數調節及仿真前面得到了直線一級倒立擺系統比較精確的動力學模型，下面應用LQR控制法設計控制器，要求控制擺桿保持豎直上平衡的同時，跟蹤小車的位置。前面已經得到了直線一級倒立擺系

38、統的系統狀態方程（4-25），假設全狀態反饋可以實現（四個狀態量都可測），找出確定反饋控制規律的向量K。在Matlab中Lqr函數允許選擇兩個參數R和Q，這兩個參數用來平衡輸入量和狀態量的權重。最簡單的情況是假設R=1，Q=。當然，也可以通過改變Q矩陣中的非零元素來調節控制器以得到期望的響應。 （5-6）其中，代表小車位置的權重，而是擺桿角度的權重。下面來求矩陣K，Matlab語句為。Matlab程序為：A= 0 1 0 0; 0 0 0 0; 0 0 0 1; 0 0 29.4 0; B= 0 1 0 3; C= 1 0 0 0; 0 0 1 0; D= 0 0 ; Q11=500; Q33

39、=200; Q=Q11 0 0 0; 0 0 0 0; 0 0 Q33 0; 0 0 0 0; R = 1; K = lqr(A,B,Q,R) Ac = (A-B*K); Bc = B; Cc = C; Dc = D; T=0:0.005:5; U=0.2*ones(size(T);Cn=1 0 0 0; s=size(A,1)Z=zeros(1,s),1;Nbar=rscale(A,B,Cn,0,K); Bcn=Nbar*B; Y,X=lsim(Ac,Bcn,Cc,Dc,U,T); plot(T,X(:,1),y);hold on; plot(T,X(:,2),b);hold on; plo

40、t(T,X(:,3),g);hold on; plot(T,X(:,4),r) legend(CartPos,CartSpd,PendAng,PendSpd)子程序rscale.mfunction Nbar=rscale(A,B,C,D,K)s=size(A,1);Z=zeros(1,s) 1;N=inv(A,B;C,D)* Z;Nx=N(1:s);Nu=N(1+s);Nbar=Nu+K * Nx;5.3仿真結果分析令=1, =1求得運行得到階躍響應曲線如圖5-2所示：圖5-2其中CartPos線是小車的位移曲線，CartSpd線是小車的速度曲線，PendAng線是擺桿角度曲線，PendSpd線是擺桿角速度曲線。從上圖可以看出，閉環控制系統階躍響應的最大偏差很小，但系統上升達到穩定的時間偏大。可以通過增大控制量來減短達到穩定的時間和上升時間。令=10, =20求得運行得到階躍響應曲線如圖5-3所示： 圖5-3從圖中可以發現，增大Q矩陣中的Q11可以使穩定時間和上升時間變短，并且使擺桿的角度變化減小。令=10，=200求得K=-3.1623 -4.1797 36.8693 6.2796運行得到的階躍響應曲線如圖5-