1、信號的截斷、能量泄漏用計算機進行測試信號處理時，不可能對無限長的信號進行測量和運算，而是取其有限的時 間片段進行分析，這個過程稱信號截斷。為便于數(shù)學(xué)處理，對截斷信號做周期延拓，得到虛擬的無限長信號。為便于數(shù)學(xué)處理，對截斷信號做周期延拓，得到虛擬的無限長信號。周期延拓后的信號與真實信號是不同的，下面我們就從數(shù)學(xué)的角度來看這種處理帶來的誤差情 況。設(shè)有余弦信號x(t), 用矩形窗函數(shù)w(t)與其相乘，將截斷信號譜 XT()與原始信號譜X()相比較可知，它已不是原來的兩條譜線，而是兩段振蕩的連續(xù)譜. 原來集中在f0處的能量被分散到兩個較寬的頻帶中去了，這種現(xiàn)象稱之為頻譜能量泄漏。將截斷信號譜 XT(

2、)與原始信號譜X()相比較可知，它已不是原來的兩條譜線，而是兩段振蕩的連續(xù)譜. 原來集中在f0處的能量被分散到兩個較寬的頻帶中去了，這種現(xiàn)象稱之為頻譜能量泄漏。周期延拓信號與真實信號是不同的：能量泄漏誤差能量泄漏實驗：克服方法之一：信號整周期截斷DFT與FFT傅里葉變換的四種基本形式1連續(xù)時間與連續(xù)頻率的傅里葉變換連續(xù)傅里葉變換x(t )X( txa (t)0)exa (t)0X(f) x()efXa ( f)Xa ( f)0aaaa連續(xù)非周期信號的傅立葉變換F () F () f (t)e jtdtf0 (t)EFTt例：E0F) F) ESa 2從傅立葉積分得到2連續(xù)時間與離散頻率的傅里葉

3、變換傅里葉級數(shù)xp (t) kX(kf1 txp (t)xp (t)0T1 1X(kf1 )1fX(kf1 )0p1 x(t)ej2X(kf1 )0p0FTFFTF)E1Fn Fn 1T12f (t).ejn t1TTdt 112ETSa1 n1E2例：FT FT f (t ) Fn n1 )n 0周期重復(fù)FT1nEf (t)FStEE1 nSan2 n)13離散時間與連續(xù)頻率的傅里葉變換序列傅里葉變換xa(nT)x(xa(nT)x(n)0Ttn0/ T1x(n) X(e)ejndX(ej)x(n)en例：從非周期信號抽樣得到離散非周期序列f (t)1F)FT11TF n)ss nFT(s)n

4、s0s相卷 1)TsFTs0s (t (t nT)Tsn0f(t)Tsst相乘0t頻域周期重復(fù)時域抽樣p() s ns )4離散時間與離散頻率的傅里葉變換離散傅里葉級數(shù)x(n)0tnX (k)0f例：從連續(xù)周期信號的抽樣得到 Ef (tEf (t)T1tFTF)E1 2E 1TstEE1 TnSan n)s21第一個域離散函數(shù)第二個域周期函數(shù)連續(xù)函數(shù)且易證：非周期函數(shù)一個域中的周期函數(shù)的周期)另一個域中離散函數(shù)的離散間隔從離散傅立葉級數(shù)(DFS)葉變換(DFT)1效仿連續(xù)周期信號有傅立葉級數(shù)，記作：1xp (t) Fnenjn1t TT xT2(t)exT2jn1t dtN離散周期序列也有傅立

5、葉級數(shù)，記作：Nxp (n)ak k N 12 knN 1jNakjNk 02 knjjN周期性以N為周期jjN1pakpn0 x(n)e2 kn 1NX p (k)X(kX(k) pNx(n)ejkn2Npn 1n0 x(n) 1Nk 0NX(kjkn2Nppk 1N周期序列的基頻是Nej( 2 )nNej(2N)nkKp(k)N諧波成分中只有N個是獨立的NNej(N)nkej()n(kNp(k)周期的xp xp (n)N0N2NXXp(k)0N2N有限長序列是周期序列的一個周期有限長序列x有限長序列x(n) x(n)0(0 n N 1)(other)x(n)n 1的N個值x(n)可看成是周

6、期序列的主值序列，記作x(n) xp (n)GN (n)周期序列x(n) xp(n)0(0 n N (other)當(dāng)n 1叫做xp(n)的主值周期， x(n) xp (n)GN (n) 有限長序列的以N為周期的周期延拓xp (n) x(n)NX X p(k)的主值序列X(k也是周期性的，相當(dāng)于有限長序列周期延拓Xp(k)X(k)N0 N 1時，其主值序列相當(dāng)于一個有限長序列X(k) X p (k)GN(k)X(kx(n)都取主值周期，得到離散傅立葉變換(DFT)對X(k)N1j Nn0N1Nn0NnhereWj 1NN1XX(k)ej Nk0 1NN1X(k)Wnkk0k 周期為N和周期為2N

7、的不同W當(dāng)主值周期為0N-1時，WN j2eNDFTx(DFTx(n)Nn0N x(n)Wnk N當(dāng)主值周期為02N-1時，W2 N j2e2NDFTx(nDFTx(n) 2 Nn0nk2 N2Nx(n)W2Nn0 x(n)WnNk2（接下頁）2N X(k) DFTx(n)x(n)W nk2NN 2N2N 2Nn0 x(n)W nk x(n k (nN )n0 N 2N2NnNkN 1kn2 n22x(n)Wn k WkNn0N2n02N2N(1)kX1NkDFT 小結(jié)是的主值序列DFT是嚴(yán)格按傅立葉分析的概念得來的只是一種借用形式，一種算法用DFT計算信號的頻譜時，采樣頻率必須大于兩倍的信號

8、最高截止頻率對周期信號要取一個整周期Nxp (n)DFSnDFSN2NX p (k)周期性以N為周期0 x(n)0NNk2n2DFTNDFT共軛性以N/2共軛X (k)0Nk快速傅立葉變換快速傅立葉變換(FFT)是離散傅立葉變換的一種 有效的算法，通過選擇和重新排列中間結(jié)果，減小 運算量。展開各點的DFT計算公式：XR(1)=x(0).cos(2pi*0*1/N)+x(1).cos(2pi*1*1/N)+x(2).cos(2pi*2*1/N). XR(2)=x(0).cos(2pi*0*2/N)+x(1).cos(2pi*1*2/N)+x(2).cos(2pi*2*2 /N).有大量重復(fù)的co

9、s、sin計算，F(xiàn)FT的作用就是用技 巧減少cos、sin項重復(fù)計算。當(dāng)采樣點數(shù)為1024點,DFT要求一百萬次以上計算量，而FFT則只要求一萬次。以DFT為基礎(chǔ)的數(shù)字信號分析采樣信號頻譜是一個連續(xù)頻譜，不可能計算出所有頻率點值，設(shè)頻率取樣間隔為：f = fs / N頻率取樣點為0,f,2f,3f,.，該公式就是離散傅立葉計算公式(DFT)該公式就是離散傅立葉計算公式(DFT)1、柵欄效應(yīng)T算法計算信號頻率為T算法計算信號頻率為Fs。則計算得到，1，2，N/2為提高效率,通常采用FF率分量與頻率取樣點譜，設(shè)數(shù)據(jù)點數(shù)為N，采樣頻的離散頻率點為:Xs(Fi) ，F(xiàn)i = i*Fs/ N , i = 不重合，則只能按四舍五入的原則，取相鄰的頻率取樣點譜線值代替。00ff柵欄效應(yīng)誤差實驗：2 能量泄漏與柵欄效應(yīng)的關(guān)系頻譜的離散取樣造成了柵欄效應(yīng)，譜峰越尖銳，產(chǎn)生誤差的可能性就越大。例如，余弦信號的頻譜為線譜。當(dāng)信號頻率與頻譜離散取樣點不等時，柵欄效應(yīng)的誤差為無窮大。從這個意義上說，能量泄漏誤差不