1、第一章代數基本概念1.如果群G中，對任意元素a,b荀ab)2=a2b2,則G為交換群.證明:對任意a,bG，由結合律我們可得到(ab)2=a(ba)b,a2b2=a(ab)b再由已知條件以及消去律得到ba=ab,由此可見群G為交換群.2.如果群G中，每個元素a都適合a2=e,則G為交換群.證明:方法1對任意a,bG,ba=bae=ba(ab)2=ba(ab)(ab)=ba2b(ab)=beb(ab)=b2(ab)=e(ab)=ab因此G為交換群.方法2對任意a,bG,a2b2=e=(ab)2,由上一題的結論可知G為交換群.3設G是一非空的有限集合，其中定義了一個乘法ab,適合條件:a(bc)=

2、(ab)c;由ab=ac推出a=c;(3)由ac=bc推出a=b;證明G在該乘法下成一群.證明:方法1設G=%,a2，,a,k是1,2,n中某一個數字，由可知若ij(I,j=l,2,n),有12nikjk再由乘法的封閉性可知ikjk再由乘法的封閉性可知aaaakikjaaaa6=3嚴2,魯=%,%雹，,akan6=3嚴2,魯=%,雹，anak由1和3知對任意aG,存在aG,使得tmaa=a.kmt由2和4知對任意aG,存在aG,使得tsaa=a.skt由下一題的結論可知G在該乘法下成一群.下面用另一種方法證明,這種方法看起來有些長但思路比較清楚。方法2為了證明G在給定的乘法運算下成一群，只要證

3、明G存在幺元(單位元)，并且證明G每一個元素都可逆即可.為了敘述方便可設G=a,a2，,a.12n(I)證明G存在幺元.1存在atG,使得aiat=ai.(這一點的證明并不難，這里不給證明)；2證明aa=aa;itti因為a(aa)a=(aa)(aa)=(a)21t1t1t1t1a(aa)a=(aa)a=a(aa)=(a)2,11tt11t11t1故此a(aa)a=a(aa)a.1t1t11tt由條件(1),(2)可得到aa=aa.1tt1證明at就是G的幺元；對任意aG,ka(aa)=(aa)a=aa1tk1tk1k由條件(2)可知aa=a.tkk類似可證aa=a.ktk因此at就是G的幺元

4、.(U)證明G任意元素都可逆；上面我們已經證明G存在幺元，可以記幺元為e,為了方便可用a,b,c,等符號記G元素下面證明任意aG,存在bG,使得ab=ba=e.對任意aG,存在bG，使得ab=e；(這一點很容易證明這里略過.)證明ba=ab=e;因為a(ab)b=aeb=ab=ea(ba)b=(ab)(ab)=ee=e再由條件(2),(3)知ba=ab.因此G任意元素都可逆.由(I),(U)及條件(1)可知G在該乘法下成一群.4設G是非空集合并在G定義一個乘法ab.證明:如果乘法滿足結合律，并且對于任一對元素a,bG,下列方程ax=b和ya=b分別在G恒有解，則G在該乘法下成一群.證明：取一元

5、aG,因xa=a在G有解，記一個解為e，下面證明e為G的左幺元.對任意aabG,ax=b在G有解，記一個解為c,那么有ac=b，所以eb=e(ac)=(ea)c=ac=b,aaa因此e為G的左幺元.a再者對任意dG,xd=e在G有解，即G任意元素對e存在左逆元，又因乘法滿足結合律，故aa此G在該乘法下成一群.總結群有幾種等價的定義:(1)幺半群的每一個元素都可逆，則稱該半群為群.設G是一個非空集合，G定義一個代數運算，該運算滿足結合律，并且G包含幺元，G任意元素都有逆元，則稱G為該運算下的群.設G是一個非空集合,G定義一個代數運算,該運算滿足結合律，并且G包含左幺元，G任意元素對左幺元都有左逆

6、元，則稱G為該運算下的群.(4)設G是一個非空集合，G定義一個代數運算，該運算滿足結合律，并且對于任一對元素a,bG,下列方程ax=b和ya=b分別在G恒有解，則稱G為該運算下的群.值得注意的是如果一個有限半群滿足左右消去律,則該半群一定是群.5.在33中找出兩個元素x,y,適合3(xy)2x2y2.思路在一個群G中，x,yG,xy=yx(xybx2y2(這一點很容易證明)因此只要找到S3中兩個3不可交換的元素即可.我們應該在相交的輪換中間考慮找到這樣的元素.解:取x=,y=那么(xy)2=x2y2.注意我們可以通過mathematica軟件編寫S的群表，輸出程序如下：nPra_,b_,n:=

7、(*兩個置換的乘積*)(Tableabi,I,1,n);Sen:=(*1,2,n的所有可能的排列做成一個表格*)(PermutationsTablei,I,1,n);Stablen:=(*生成S群表*)n(a=Sen;Tableprai,aj,n,I,1,n,j,1,n)當n=3時群表如下：說明：表示置換，剩下的類似.為了讓更清楚，我們分別用e,a,b,c,d,f表示,那么群表如下:6.對于n2,作一階為2n的非交換群.7設G是一群，a,bG,如果a-iba=br，其中r為一正整數，證明a-ibai=.證明：我們采用數學歸納法證明.當k=1時，a-1ba=br=,結論成立;假設當k=n時結論成

8、立，即a-nban=成立，下面證明當k=n+1時結論也成立.我們注意到a-1bka=bkr，因此a-(n+1)ban+1=a-1(a-nban)a=a-1a=，可見k=n+1時結論也成立.由歸納原理可知結論得證.8證明:群G為一交換群當且僅當映射是一同構映射.證明:(I)首先證明當群G為一個交換群時映射是一同構映射.由逆元的唯一性及可知映射為一一對應，又因為,并且群G為一個交換群，可得因此有綜上可知群G為一個交換群時映射是一同構映射.(n)接著證明當映射是一同構映射，則群G為一個交換群.若映射是一同構映射，則對任意有，另一方面，由逆元的性質可知因此對任意有，即映射是一同構映射，則群G為一個交換

9、群.9設S為群G的一個非空子集合，在G中定義一個關系ab當且僅當ab-iS.證明這是個等價關系的充分必要條件為S是一個子群.wwwwws證明:首先證明若是等價關系，則S是G的一個子群.對任意aG,有aa,故此aa-i=eS;對任意a,bS，由(ab)b-i=aS,可知abb,又be-i=bS,故be,由傳遞性可知abe,即(ab)e-i=abS.再者因ae-i=aS,故ae,由對稱性可知ea,即ea-i=a-iS.可見S是G的一個子群.接著證明當S是G的一個子群，下面證明是一個等價關系.對任意aG,有aa-i=eS，故此aa（自反性）;若ab，貝Iab-iS，因為S為G的子群，故（ab-i）-

10、i=ba-iS，因此ba（對稱性）;若ab,bc,那么ab-iS,bc-iS,故ab-ibc-i=ac-iS,因此ac（傳遞性）.綜上可知是一個等價關系.10.設n為一個正整數,nZ為正整數加群Z的一個子群，證明nZ與Z同構.證明:我們容易證明為Z到nZ的同構映射，故此nZ與Z同構.11證明:在34中，子集合4B=e,(12)(34),(13)(24),(14)(23)是子群，證明B與卩4不同構.4證明:可記a=(12)(34),b=(13)(24),c=(14)(23)，那么置換的乘積表格如下:eabceabc由該表格可以知道B中的元素對置換的乘法封閉，并且B的每一元都可逆（任意元的逆為其本

11、身），因此B為S/勺子群.這個群（以及與其同構的群）稱為4Klein（C.L.Klein,1849-1925）四元群.假設B與U4同構，并設f為B到U4的同構映射，貝I存在B中一元x使得f（x）=i（i為虛44數單位）,那么f(x2)=f2(x)=i2=-1另一方面，f(x2)=f(e)=1(注意X2=e),產生矛盾所以假設不成立，即B與比不同構.4討論日與卩4都是4元交換群,但是后者是循環群，前者不是，這是這兩個群的本質區別.4證明:如果在一階為2n的群中有一n階子群，它一定是正規子群.證明:方法1設H是2n階群G的n階子群，那么對任意aH,有HaH=，并且aHG,HG,又注意到aH和H中都

12、有n個元素，故此HaH=G.同理可證對任意aH,有HHa=，HHa=G,因此對任意aH,有aH=Ha.對任意aH,顯然aHH,HaH又因aH,Ha及H中都有n個元素，故aH=Ha=H.綜上可知對任意aG,有aH=Ha,因此H是G的正規子群.方法2設H是2n階群G的n階子群，那么任取aH,hH,顯然有aha-iH.對給定的xH,有HxH=,HxH=G.這是因為若假設yHxH,則存在hH，使得y=xh,即*=丫5H產生矛盾，因此HxH=;另一方面，xHG,HG,又注意到xH和H中都有n個元素，故此HxH=G.那么任取aH,由上面的分析可知axH,從而可令a=xh1這里氣日.假設存在hH,使得aha

13、-1H,則必有aha-1xH,從而可令aha-1=xh2這里hH.2那么xh1ha-1=xh2,即a=h2h1hH,產生矛盾.因此，任取aH,hH,有aha-1H.綜上可知對任取aG,hH,有aha-iH,因此H為G的一個正規子群.設群G的階為一偶數，證明G中必有一元素ae適合a2=e.證明:設bG,且階數大于2,那么brb-i,而b-i的階數與b的階數相等換句話說G中階數大于2的元素成對出現，幺元e的階數為1,注意到G的階數為宜偶數，故此必存在一個2階元，（切確的說階數為2的元素有奇數個）.討論1設G是一2n階交換群，n為奇數則G中只有一個2階元為什么？提示：采用反證法，并注意用Lagran

14、ge定理.2群G中，任取aG,有an=e，那么G定是有限群嗎？如果不是請舉出反例，若是有限群，階數和n有什么關系？令A=,B=證明:集合B,B2,Bn,AB,AB2,ABn在矩陣的乘法下構成一群，而這個群與群D同構.n證明:下面證明G=B,B2,Bn,AB,AB2,ABn在矩陣的乘法下構成一群.首先證明對乘法運算封閉.下面進行分類討論：BiBj=Bi+j，注意到Bn=故此BiBj=BrG這里i+j=kn+r,kZ,0rn.ABiBj=BrG這里i+j=kn+r,kZ,Orn.容易證明BAB=A=ABn,BA=BiAB(s+i)n=ABn-tG,這里i=sn+t,kZ,Otn.那么Bi(ABj)

15、=(BiA)Bj=(ABn-t)BjG(ABi)(ABj)=A(BiABj)=A(ABn-t)Bj)=A2(Bn-tBj)=Bn-tBj)G由,(2),(3)，知G對乘法運算封閉.(D)因集合G對矩陣乘法封閉，再由矩陣乘法的性質可知，結合律肯定成立.(皿)顯然Bn=A2=E為幺元.(W)對Bi(i=1,2,n),有BiBn-i=E;對ABi(i=1,2,n)，有(ABi)(Bn-iA)=E,因此G任何一元都可逆.由(I),(U),(皿)，(W)可知G在矩陣乘法下構成一群.最后證明G與D同構.n令f:GDnf(Bi)=Ti,f(ABi)=STi(i=1,2,n),可以證明f就是G到D的同構映射，

16、這里不予證明了.n設i是一個正整數，群G中任意元素a,b都適合(ab)k=akbk,k=I,i+1,i+2證明G為交換群.證明:對任意a,bGai+2bi+2=(ab)i+2=(ab)(ab)i+1=(ab)(ai+1bi+1)=a(bai+1)bi+1,根據消去律可得TOC o 1-5 h zai+1b=bai+1.(1)同時ai+1bi+1=(ab)i+1=(ab)(ab)i=(ab)(aibi)=a(bai)bi+1,根據消去律可得aib=bai.(2)因此ai+1b=a(aib)=a(bai)=(ab)ai(3)另外bai+1=(ba)ai(4)結合(1),(3),(4)有(ab)ai

17、=(ba)ai(5)由消去律可得到ab=ba.因此G為交換群.16在群SL2(Q沖，證明元素a=的階為4，元素b=的階為3，而ab為無限階元素.證明：可以直接驗證a的階為4，b的階為3.因為ab=，對任何正整數n，(ab)n=H可見ab的階為無限.注意在一群中，有限階元素的乘積并丕二定也是有限階的，但兩個可交換的有限階元素的乘積一定是有限階元素.問題若一群中所有元素的階數都有限，那么這個群一定是有限群嗎？如果G為一個交換群，證明G中全體有限階元素組成一個子群.證明:交換群G中全體有限階元素組成的集合記為S，任取a,bS,并設a的階為m，b的階為n，則(ab)mn=(am)n(bn)m=e因此a

18、b為有限階元素，即abS.a-i的階數與a相同，故此a-1也是有限階元素，即a-iS.綜上可知S為G的一個子群.如果G只有有限多個子群，證明G為有限群.證明:采用反證法證明假設G為無限群，則G中元素只可能有兩種情況：(1)G中任意元素的階數都有限、(2)G中存在一個無限階元素.(1)首先看第一種情況：G中取a嚴e,并設其階數為珥，貝I循環群月,為G的一個子群；G中取a2Gi，并設其階數為n2,貝I循環群G2=，為G的一個子群；G中取a3GiUG2，并設其階數為巴，貝I循環群G3=，-為G的一個子群；31233我們一直這樣做下去，可以得到G的互不相同的子群構成的序列G(n=1,2,)，所以nG有

19、無窮多個子群，產生矛盾；(2)再看第二種情況:設aG的階數為無窮，那么序列G=，G=，G=，12n是G的互不相同的子群，所以G有無窮多個子群，產生矛盾.綜上就可知“G是無限群”這個假設不成立，因此G是有限群.寫出D的所有正規子群.n設H,K為群G的子群，HK為G的一子群當且僅當HK=KH.證明：(I)設HK=KH，下面證明HK為G的一子群.任取a,bHK,可令a=hk，b=hk1122這里hH，kK，i=1,2.ii那么ab=(h1k1)(h2k2)=h1(k1h2)k2(1)(2)因HK=KH，故此(2)kh=hk1233這里hH,kK.33由(1),(2)知ab=氣丄町叮吋丿吋嚴皿.另外，

20、a-i=(hk)-1=KH=HK.(4)11由(3),知HK是G的子群.(A)HK為G的一子群，下面證明HK=KH.若aHK,易知a-iKH.HK是子群，任取aHK,有a-iHK，因此(a-i)-i=aKH,那么有HKKH.若aKH,易知a-iHK.HK是子群，任取aKH,有a-iHK，因此(a-i)-i=aHK,那么有KHHK.綜上知，HK=KH.設H,K為有限群G的子群，證明證明：因HPK為H的子群，那么可設H的左陪集分解式為H=h(HPK)Uh(HPK)U-Uh(HPK)TOC o 1-5 h zi2r這里r為HPK在H中的指數，hiH，當iHj，hi-ihHnK(事實上等價于hi-ih

21、.K)，i，j=1,2，,r.又(HnK)K=K，所以HK=hKUhKU-UhK.(1)i2r注意到hfihjK,所以當iHj(i,j=1,2,r)時，hKPhK=.(2)ij由(1),(2)我們得到總結左陪集的相關結論設H為G的一子群，那么aaH;aHoaH=H;baHoaH=bH;aH=bHoa-ibH;aHPbH工，有aH=bH.設M,N是群G的正規子群證明：MN=NM;MN是G的一個正規子群；如果MN=e,那么MN/N與M同構.證明：方法1任取aMN,可設a=mn(mM,nN).因為M為G的正規子群，故n-imnM.所以a=n(n-imn)NM，故此MNCNM.同樣的方法可以證明NMC

22、MN.因此MN=NM.方法2任取a，bMN，可設a=mn(mM，nN)，b=mn(mM，nN).下面只要11112222證明MN為G的一個子群即可(由第20題可知)，也就是說只要證明ab-iMN即可.因為ab-1=mnn-1m-1=m(nn-1m-1nn-1)(nn-1)，112211222112而M為G的正規子群，故nn-im-inn-iM,12221所以ab-iMN.由(i)可知MN為G的一個子群.任取aMN,可設a=mn(mM,nN).因為M和N為G的正規子群，對任意gG,有g-iag=g-imng=(g-img)(g-ing)MN.所以MN為G的正規子群.易知N為MN的正規子群，因此M

23、N/N是一個群.因為MN=e，對任何mHmijM,有mN工mN注.ij作一個MN/N到M的映射f注，f:MN/NfMmNm，那么該映射顯然是一一對應，另外f(mNmN)=f(mmN)=mm，ijijij因此f為MN/N到M的同構映射，即MN/N與M同構.討論只要M和N的一個是正規子群，那么MN就是子群，或者說成立MN=NM.這一點我們從(i)的證明方法2可知.M和N中有一個不是正規子群時MN一定不是正規子群.注意1MN=e，對任何mHmM,有mNHmN.ijij證明：若存在mHmM,有mN=mN，那么mm-iN，而mm-iM.因此mm-iijijijijijMN,產生矛盾.2.設f:MN/Nf

24、MmNm,則由于對任何mmM,有mNHmN，故此f為MN/N到M的一個映射.ijij設G是一個群，S是G的一非空子集合令C(S)=xG|xa=ax,對一切aSN(S)=xG|x-iSx=S.證明：C(S),N(S)都是G的子群；C(S)是N(S)的正規子群.證明：首先證明C(S)是G的子群.任取x,yC(S),那么對任意aS有xa=ax,ya=ay.那么一方面，(xy)a=x(ya)=x(ay)=(xa)y=(ax)y=a(xy)，所以xyC(S).另一方面,xa=axa=x-1axax-1=x-1a所以x-iC(S).因此，C(S)是G的子群.接著證明N(S)都是G的子群.任取x,yN(S)

25、，則x-iSx=S,y-iSy=S.那么一方面,(xy)-1S(xy)=x-1(y-1Sy)x=x-1Sx=S所以xyN(S).另一方面，x-1Sx=SS=xSx-1所以x-iN(S).因此，叫S)是G的子群.任取xC(S),aS,貝lxa=ax,即a=x-iax,亦即S=x-iSx.因此xN(S),即C(S)N(S).任取xC(S),yN(S),aS，則存在aS使得yay-i=a，因此a=y-iay.yyy那么(y-1xy)a(y-1xy)-1=y1x(yay-1)x-1y=y1(xax-1)y=y-1ay=a,yy即(y-1xy)a=a(y-1xy).所以y-ixyC(S),因此C(S)是N(S)的正規子群.證明任意2階群都與乘法群1,-1同構.證明：略.試定出所有互不相同的4階群.解：我們分類討論:(1)存在四階元；(2)不存在四階元.(1)若存在一個四階元，并設a為一個四階元，那么該四階群為.若不存在四階元，那么除了單位元e的階為1,其余元