1、理論力學教學材料第十一章第1頁，共51頁，2022年，5月20日，17點0分，星期四 引 言 引進慣性力的概念，將動力學系統的二階運 動量表示為慣性力，進而應用靜力學方法研究動 力學問題 達朗伯原理（動靜法）。 達朗伯原理為解決非自由質點系的動力學問題提供了有別于動力學普遍定理的另外一類方 法。 達朗伯原理一方面廣泛應用于剛體動力學求解動約束反力；另一方面又普遍應用于彈性桿件求解動應力。第2頁，共51頁，2022年，5月20日，17點0分，星期四工程實際問題第3頁，共51頁，2022年，5月20日，17點0分，星期四11.1 慣性力OrvmOmmgFTan 是小球給繩子的反力，即是慣性力m 力

2、FT就是通常所說的向心力。小球將給繩子以反作用力 ,反作用力 就是小球的慣性力，通常所說的離心力。質點慣性力的大小等于質點與其加速度的乘積，方向與加速度的方向相反，它不作用于質點本身而作用于施力物體上。第4頁，共51頁，2022年，5月20日，17點0分，星期四sFgFNFmaxzyOmAFN 約束力；F 主動力；11.2 達朗伯原理(動靜法)根據牛頓定律ma F + FNF + FN ma 0Fg maF + FN Fg 0Fg 質點的慣性力。 非自由質點的達朗伯原理 作用在質點上的主動力和約束力與假想施加在質點上的慣性力，形式上組成平衡力系。一. 質點達朗伯原理第5頁，共51頁，2022年

3、，5月20日，17點0分，星期四Fg maF + FN Fg0應用達朗伯原理求解非自由質點動約束力的方法達朗伯原理(動靜法)1、分析質點所受的主動力和約束力；2、分析質點的運動，確定加速度；3、在質點上施加與加速度方向相反的慣性力。非自由質點達朗貝爾原理的投影形式第6頁，共51頁，2022年，5月20日，17點0分，星期四 飛球調速器的主軸O1y1以勻角速度轉動。試求調速器兩臂的張角。設重錘C的質量為m1，飛球A，B的質量各為m2，各桿長均為l，桿重可以忽略不計。例 題 1第7頁，共51頁，2022年，5月20日，17點0分，星期四 方向如圖示。應用質點達朗伯原理，列出兩投影方程： 當調速器穩

4、定運轉時，慣性力（即離心力）F*垂直并通過主軸，其大小為解： 如把重錘C簡化為一質點，它在桿AC，BC的拉力和重力作用下平衡，由此容易求出以F1值代入前兩式，可解出 由此式可知，調速器兩臂的張角與主軸轉動角速度有關。利用這個結果可以選擇m1 ，m2 ，l等參數，使在某一轉速下，角為某一值，從而可以求得重錘C的相應位置，帶動調節裝置進行調速。 第8頁，共51頁，2022年，5月20日，17點0分，星期四Ol 如圖所示一圓錐擺。質量m = 0.1 kg的小球系于長l = 0.3 m 的繩上，繩的一端系在固定點O，并與鉛直線成 =60 角。如小球在水平面內作勻速圓周運動，求小球的速度v與繩的張力F的

5、大小。 例 題 2第9頁，共51頁，2022年，5月20日，17點0分，星期四取上式在自然軸上的投影式，有：解：OlntbmgFF*以小球為研究的質點。質點作勻速圓周運動，只有法向加速度，在質點上除作用有重力mg和繩拉力F外，再加上法向慣性力F*，如圖所示。根據達朗伯原理，這三力在形式上組成平衡力系，即解得：第10頁，共51頁，2022年，5月20日，17點0分，星期四二. 質點系的達朗伯原理a2a1aiF1F2FiFN1FN2FNiFg1Fg2Fgim1mim2質點系的主動力系質點系的約束力系質點系的慣性力系對質點系應用達朗伯原理，得到第11頁，共51頁，2022年，5月20日，17點0分，

6、星期四例 題 3已知：AB桿的質量為m ，長為l，繞AC軸的角速度為。求：BC 繩的張力及A處的約束反力。ACBABxFAxFTmg解： 取AB桿為研究對象dFgFg 分析AB桿的運動，計算慣性力FAy第12頁，共51頁，2022年，5月20日，17點0分，星期四ACBABxFAxFTmgdFgFgFAy第13頁，共51頁，2022年，5月20日，17點0分，星期四OxyFgidFTFTOR例 題 4均質薄圓環，圓心固定。已知：m ，R， 。求：輪緣橫截面的張力。解： 取上半部分輪緣為研究對象第14頁，共51頁，2022年，5月20日，17點0分，星期四 剛體慣性力系特點 剛體慣性力的分布與剛

7、體的質量分布以及剛體上各點的絕對加速度有關。Fgimiai 對于平面問題(或者可以簡化為平面問題)，剛體的慣性力為面積力，組成平面力系。 對于一般問題，剛體的慣性力為體積力，組成空間任意力系。11.3 剛體慣性力系的簡化第15頁，共51頁，2022年，5月20日，17點0分，星期四 慣性力系的主矢 慣性力系的主矢等于剛體的質量與剛體質心加速度的乘積，方向與質心加速度方向相反。這一簡化結果與運動形式無關。 慣性力系的主矩慣性力系的主矩與剛體的運動形式有關。aCa1a2anmm2mnm1FgnFg1Fg2FgR1、剛體作平動 剛體平移時，慣性力系簡化為通過剛體質心的合力。第16頁，共51頁，202

8、2年，5月20日，17點0分，星期四2、剛體繞定軸轉動(具有質量對稱面)向轉軸簡化OC慣性力系主矢OCmiMgO慣性力系主矩OMgO第17頁，共51頁，2022年，5月20日，17點0分，星期四 當剛體具有質量對稱平面且繞垂直于對稱平面的定軸轉動時，慣性力系向轉軸簡化為對稱平面內的一個力和一個力偶。這個力等于剛體質量與質心加速度的乘積，方向與質心加速度方向相反，作用線通過轉軸；這個力偶的矩等于剛體對轉軸的轉動慣量與角加速度的乘積，轉向與角加速度相反。OCMgCOMgO向轉軸簡化若將剛體慣性力系向質心C簡化，則可以將向轉軸O簡化的主矢向質心平移，同時加上相應的附加力偶 。 主矢的大小方向不變，作

9、用在質心，即 主矩則為MgO與 的代數和，即第18頁，共51頁，2022年，5月20日，17點0分，星期四3、剛體作平面運動(具有質量對稱面) 具有質量對稱平面的剛體作平面運動，并且運動平面與質量對稱平面互相平行。對于這種情形，先將剛體的空間慣性力系向質量對稱平面內簡化，得到這一平面內的平面慣性力系，然后再對平面慣性力系作向質心簡化。CaCMgC第19頁，共51頁，2022年，5月20日，17點0分，星期四例 題 5已知：m , h , , l。求：A、D處約束反力。mgFNFAxFAyFgBDCA解： 取 AB 桿為研究對象BADah其中：第20頁，共51頁，2022年，5月20日，17點0

10、分，星期四其中：mgFNFAxFAyFgBDCA第21頁，共51頁，2022年，5月20日，17點0分，星期四CDahbCmgFFg例 題 6已知：m , h ,a , b, f。求：為了安全運送貨物，小車的 amax。解： 取 貨箱為研究對象FNd貨物不滑的條件：F f FN ， a f g貨物不翻的條件：d b/2 ， a bg/h為了安全運送貨物，應取兩者中的小者作為小車的amax。第22頁，共51頁，2022年，5月20日，17點0分，星期四例 題 7 已知：質量為m 、長為l=2r的均質桿 AB, 焊在半徑為r的圓盤上，其角速度為，角加速度為。求：A端的約束反力。OrlAB解： 取

11、AB 桿為研究對象FAxFAymgABCOMgOMA（1）分析運動，向轉軸簡化，慣性力的主矢和主矩分別為：第23頁，共51頁，2022年，5月20日，17點0分，星期四FAxFAymgABCOMgOMA由達朗伯原理，有第24頁，共51頁，2022年，5月20日，17點0分，星期四FAxFAymgABCMAMgC（2）將慣性力系向質心C簡化，其主矢主矩分別為：由達朗伯原理，有第25頁，共51頁，2022年，5月20日，17點0分，星期四練習 已知,均質圓盤均質桿純滾動.求:F 多大,能使桿B 端剛好離開地面?純滾動的條件?解得得解:剛好離開地面時,地面約束力為零.第26頁，共51頁，2022年，

12、5月20日，17點0分，星期四得 解得由第27頁，共51頁，2022年，5月20日，17點0分，星期四ABCMlMAC例 題 8已知：A物體與輪C的質量求： （1）A 物體上升的加速度； （2）B 端的約束反力。均為m，BC桿的質量為m1，長為l，在輪C上作用一主動力偶M。解： （1）取 A物體與輪C為研究對象mgmgFAgMgCFCxFCy其中：第28頁，共51頁，2022年，5月20日，17點0分，星期四其中：MACmgmgFAgMgCFCxFCy第29頁，共51頁，2022年，5月20日，17點0分，星期四（2）取 BC 桿為研究對象BCFCxFCyMBFBxFBym1g第30頁，共51

13、頁，2022年，5月20日，17點0分，星期四例 題 9已知：兩均質且長度為l直桿自水平位置無初速地釋放。求： 兩桿的角加速度和 O、A處的約束反力。解: (1) 取系統為研究對象ABOMg1Mg2mgmgFgR2FgR1FOyFOxBAO12其中第31頁，共51頁，2022年，5月20日，17點0分，星期四BAO12CaABA2CaAaCAaA由加速度基點法有aC所以代入第32頁，共51頁，2022年，5月20日，17點0分，星期四(2) 取AB 桿為研究對象Mg2mgFgR2FAyFAxBA2第33頁，共51頁，2022年，5月20日，17點0分，星期四 (3) 取系統為研究對象Mg1Mg

14、2mgmgFgR2FgR1FOyFOxBAO12第34頁，共51頁，2022年，5月20日，17點0分，星期四例 題 10質量為m和2m，長度分別為l和2l 的勻質細桿OA 和AB 在A 點光滑鉸接，OA桿的A端為光滑固定鉸鏈，AB桿的B端放在光滑水平面上。初瞬時，OA桿水平，AB桿鉛直。由于初位移的微小擾動，AB桿的B端無初速地向右滑動，試求當OA桿運動到鉛垂位置時，A點處的約束反力。ABO解: (1) 取系統為研究對象，由動能定理得：第35頁，共51頁，2022年，5月20日，17點0分，星期四FAxOA1ABCFNB22mgFgRyFgRxFAyFAx(2) 取OA 桿為研究對象(3)

15、取AB桿為研究對象FAyMgC第36頁，共51頁，2022年，5月20日，17點0分，星期四ABC2OAAB21(4) 對AB 桿進行運動分析取A點為基點，研究B點取A點為基點，研究C點第37頁，共51頁，2022年，5月20日，17點0分，星期四(2) 取OA 桿為研究對象(3) 取AB桿為研究對象FAxOA1ABCFNB22mgFgRyFAyFAxFAyMgC第38頁，共51頁，2022年，5月20日，17點0分，星期四解得：FAxOA1FAyFAxABCFNB22mgFgRyFgRxFAyMgC第39頁，共51頁，2022年，5月20日，17點0分，星期四11.4 靜平衡與動平衡的概念A

16、BmmFg1Fg1Fg2理想狀態Fg2第40頁，共51頁，2022年，5月20日，17點0分，星期四mmABFg1Fg2FRAFRBFg2偏心狀態Fg1 由慣性力引起的軸承約束反力FRA、FRB都不等于零，他們稱之為附加動反力。第41頁，共51頁，2022年，5月20日，17點0分，星期四ABmmFRBFRA偏角狀態Fg1Fg2第42頁，共51頁，2022年，5月20日，17點0分，星期四ABmmFRAFRB既偏心又偏角狀態Fg2Fg1第43頁，共51頁，2022年，5月20日，17點0分，星期四 11-4 繞定軸轉動剛體的軸承動約束力第44頁，共51頁，2022年，5月20日，17點0分，星

17、期四解得第45頁，共51頁，2022年，5月20日，17點0分，星期四即:必有通過質心的慣性主軸稱為中心慣性主軸因此,避免出現軸承動約束力的條件是:剛體的轉軸應是剛體的中心慣性主軸.引起的軸承約束力稱動約束力,由稱滿足的軸z為慣性主軸動約束力為零的條件為:第46頁，共51頁，2022年，5月20日，17點0分，星期四 結論與討論 引進慣性力的概念，將動力學系統的二階運 動量表示為慣性力，進而應用靜力學方法研究動 力學問題 達朗伯原理(動靜法)。 達朗伯原理為解決非自由質點系的動力學問題提供了有別于動力學普遍定理的另外一類方法。 達朗伯原理一方面廣泛應用于剛體動力學求解動約束力；另一方面又普遍應用于彈性桿件求解動應力。第47頁，共51頁，2022年，5月20日，17點0分，星期四 質點的慣性力定義為質點的質量與加速度的乘積，并冠以負號，即 質點的達朗伯原理：質點上的主動力、約束反力和慣性力在形式上組成平衡力系，有 質點系的達朗伯原理：在質點系中每個質點上都假想地加上該質點的慣性力，則作用于各質點的真實力與慣性力在形式上組成平衡力系，有Fg maF + FN Fg0Fi + FNi Fgi0 (i=1,2, n)第48頁，共51頁，2022年，5月20日，17點0分，星期四 剛體的慣性力系簡化結果1、剛體作平動 質體作平動時，慣性力系簡化為一個通過質心的合力