1、彈性力學第五章第1頁，共167頁，2022年，5月20日，22點54分，星期三 彈性力學的基本解法是，根據靜力平衡條件、形變與位移之間的幾何條件和形變與應力之間的物理條件，建立微分方程和邊界條件。近似解法 因此，彈性力學問題屬于微分方程的邊界問題。通過求解，得出函數表示的精確解答。 5-1 差分公式的推導第2頁，共167頁，2022年，5月20日，22點54分，星期三 對于工程實際問題，由于荷載和邊界較復雜，難以求出函數式的解答。為此，人們探討彈性力學的各種近似解法，主要有變分法、差分法和有限單元法。近似解法第3頁，共167頁，2022年，5月20日，22點54分，星期三 差分法是微分方程的一

2、種數值解法。 它不是去求解函數 ，而是求函數在一些結點上的值 。fxo差分法第4頁，共167頁，2022年，5月20日，22點54分，星期三 差分法的內容是：差分法將微分方程用差分方程（代數方程）代替，于是，求解微分方程的問題化為求解差分方程的問題。將導數用有限差商來代替，將微分用有限差分來代替，第5頁，共167頁，2022年，5月20日，22點54分，星期三導數差分公式的導出：導數差分公式 在平面彈性體上劃分等間距h 的兩組網格，分別x 、y 軸。網格交點稱為結點，h稱為步長。第6頁，共167頁，2022年，5月20日，22點54分，星期三應用泰勒級數公式 將 在 點展開，(a)第7頁，共1

3、67頁，2022年，5月20日，22點54分，星期三拋物線差分公式略去式(a)中 以上項，分別用于結點1、3，拋物線差分公式結點3，結點1，第8頁，共167頁，2022年，5月20日，22點54分，星期三拋物線差分公式式(b)又稱為中心差分公式，并由此可導出高階導數公式。從上兩式解出o點的導數公式，第9頁，共167頁，2022年，5月20日，22點54分，星期三 應用泰勒級數導出差分公式，可得出統一的格式，避免任意性，并可估計其誤差量級，式(b)的誤差為 。拋物線差分公式第10頁，共167頁，2022年，5月20日，22點54分，星期三線性差分公式在式(a)中僅取一、二項時，誤差量級為 。線性

4、差分公式式(c)稱為向前差分公式。對結點1，得：第11頁，共167頁，2022年，5月20日，22點54分，星期三對結點3， 得： 式(d)稱為向后差分公式。 線性的向前或向后差分公式，主要用于對時間導數的公式中。第12頁，共167頁，2022年，5月20日，22點54分，星期三 穩定溫度場中的溫度場函數T(x，y)應滿足下列方程和邊界條件： （在A中）, (a) （在 上）, (b) （在 上）. (c)例1第13頁，共167頁，2022年，5月20日，22點54分，星期三 穩定溫度場的基本方程(a)是拉普拉斯方程；在上的第一類邊界條件是已知邊界上的溫度值；在 上的第二類邊界條件是已知熱流密

5、度值，其中是導熱系數。第14頁，共167頁，2022年，5月20日，22點54分，星期三 現在我們將式(a)、(b)、(c)轉化為差分形式。應用圖51網格，和拋物線差分公式，第15頁，共167頁，2022年，5月20日，22點54分，星期三（1）將化為差分公式，得（2）若x邊界516上為第一類邊界條件，則 已知。（3）若y邊界627上為第二類邊界條件，已 知，則 (d)第16頁，共167頁，2022年，5月20日，22點54分，星期三由于 所以得 這時，邊界點2的是未知的，對2點須列出式（d）的方程。此方程涉及到值，可將式（e）代入。(e)第17頁，共167頁，2022年，5月20日，22點5

6、4分，星期三 例2 穩定溫度場問題的差分解。設圖中的矩形域為6m4m ，取網格間距為h=2m，布置網格如圖，各邊界點的已知溫度值如圖所示，試求內結點a、b的穩定溫度值。ab40353025322224222017第18頁，共167頁，2022年，5月20日，22點54分，星期三解：對a、b列出方程如下：解出 （度）.第19頁，共167頁，2022年，5月20日，22點54分，星期三1.比較導數的拋物線差分公式和線性差分公式的區別。2.應用拋物線差分公式(5-2)，試導出三階導數 的差分公式。思考題第20頁，共167頁，2022年，5月20日，22點54分，星期三 對于單連體，按應力函數 求解時

7、， 應滿足:5-2 應力函數的差分解按 求解第21頁，共167頁，2022年，5月20日，22點54分，星期三（3）求出 后，由下式求應力（假設無體力）: 按 求解第22頁，共167頁，2022年，5月20日，22點54分，星期三差分法求解1.應力公式(c)的差分表示。對于o點， 差分法求解：第23頁，共167頁，2022年，5月20日，22點54分，星期三相容方程(e)化為： 對每一內結點， 為未知，均應列出式(e)的方程 。2.相容方程(a)的差分表示，第24頁，共167頁，2022年，5月20日，22點54分，星期三 對邊界內一行結點列式(e)方程時，需要求出邊界點和邊界外一行結點（虛結

8、點）的 值。為了求虛結點的 值，需要求出邊界點 的 、 值。相容方程第25頁，共167頁，2022年，5月20日，22點54分，星期三3.應用應力邊界條件(b)，求出邊界點的 、 、 值。邊界條件第26頁，共167頁，2022年，5月20日，22點54分，星期三 應力邊界條件用 表示 取出坐標 的正方向作為邊界線s 的正向（圖中為順時針向），當移動 時， 為正，而 為負，外法線的方向余弦為邊界條件第27頁，共167頁，2022年，5月20日，22點54分，星期三( f )邊界條件即將上式和式(d)代入式(b)，得第28頁，共167頁，2022年，5月20日，22點54分，星期三邊界條件式( f

9、 )、(g)分別是應力邊界條件的微分、積分形式。再將式(f )對s 積分，從固定的基點A到邊界任一點B，得第29頁，共167頁，2022年，5月20日，22點54分，星期三 通過分部積分從A到B積分，得邊界條件(h)由全微分 求邊界點的 第30頁，共167頁，2022年，5月20日，22點54分，星期三A為定點， 、 和 、 、 均為常數，而式(h)中，加減x，y的一次式不影響應力，可取故邊界結點的 和導數值，由式(g)、(h)簡化為 邊界條件第31頁，共167頁，2022年，5月20日，22點54分，星期三 式(i)的物理意義是：第一式表示從A到B邊界上x向面力的主矢量；第二式表示從A到B邊

10、界上y向面力的主矢量改號;第三式表示從A到B邊界上面力對B點的力距，圖中以順時針向為正。因此，可以按物理意義直接求 邊界條件和第32頁，共167頁，2022年，5月20日，22點54分，星期三 由式(i)的第三式，可求出邊界點的 值; 由式(i)的前兩式，可求出邊界點 的 、 值，然后再求出邊 界外一行虛結點的 值。邊界條件第33頁，共167頁，2022年，5月20日，22點54分，星期三求解步驟（2）由邊界結點的 、 值，求出邊界 外一行虛結點的 值；（1）在邊界上選定基點A， 令 ， 然后計算邊界上各結點的 、 、 ；4.應力函數差分解的步驟第34頁，共167頁，2022年，5月20日，2

11、2點54分，星期三（3）對邊界內所有結點列式(e)的方程， 聯立求各結點的 值；求解步驟（5）按式(d)求各結點的應力。（4）求出邊界外一行虛結點的 值；第35頁，共167頁，2022年，5月20日，22點54分，星期三思考題1、將應力函數看成是覆蓋于區域A和邊 界s上的一個曲面，則在邊界上，各點 的值與從 A（基點）到B面力的合力 距有關， 的一階導數值與A到B的面力 的合力（主矢量）有關；而在區域內， 應力分量與曲面的曲率、扭率有關。第36頁，共167頁，2022年，5月20日，22點54分，星期三53應力函數差分解的實例問題 此題無函數式解答。應用差分法求解。 正方形深梁,上邊受均布荷載

12、 ，下邊兩角點處有支承反力維持平衡，試求其應力。第37頁，共167頁，2022年，5月20日，22點54分，星期三1.本題具有對稱性，取y軸如圖，并取以反映對稱性。取網格如圖。第38頁，共167頁，2022年，5月20日，22點54分，星期三 首先考慮對稱性，可以減少未知值數目，并大量減少計算工作量。 按照物理意義，求出邊界點上的 和其導數值（如書中所示）： 第39頁，共167頁，2022年，5月20日，22點54分，星期三 AB間y向面力主矢量號， AB間x向面力主矢量， AB間面力對B點力矩，注意符號為正.第40頁，共167頁，2022年，5月20日，22點54分，星期三5. 求出應力，如

13、AM線上各點應力，并繪 出分布圖。4. 求出邊界外一行虛結點的 值。3. 對每一內點列差分方程 ，求 出 。2. 由邊界點 的導數值，求出邊界外一行 虛結點的 值。第41頁，共167頁，2022年，5月20日，22點54分，星期三 比較：材料力學解AM上 為直線分布，彈性力學解AM上 為曲線分布， 由此又說明，材料力學解法只適用于桿件。比較第42頁，共167頁，2022年，5月20日，22點54分，星期三（1）差分法是解微分方程邊值問題和彈性 力學問題的有效方法。（2）差分法簡便易行，且總能求出解答。（3）差分法可配合材料力學、結構力學解 法，精確地分析結構的局部應力狀 態。 差分法優點：差分

14、法評價第43頁，共167頁，2022年，5月20日，22點54分，星期三（1）對于曲線邊界和不等間距網格的計算 較麻煩。（2）差分法比較適用于平面問題或二維問 題。（3）凡是近似解，在求導運算時會降低精 度。如 的誤差為 ，則應力 的誤差為 。 缺點：差分法評價第44頁，共167頁，2022年，5月20日，22點54分，星期三思考題：1.試用線性向前或向后差分公式，導出 的 差分方程。a（Z向厚度 ）AyB2FFFxaaa2.用差分法計算 圖中A點的應 力分量。第45頁，共167頁，2022年，5月20日，22點54分，星期三54 彈性體的形變勢能 外力勢能彈性力學變分法，又稱為能量法。因其中

15、的泛函就是彈性體的能量。泛函是以函數為自變量（宗量）的一種 函數。變分法，是研究泛函及其極值的求解方法。第46頁，共167頁，2022年，5月20日，22點54分，星期三應力變分法取應力函數為自變量，并以 余能極小值條件導出變分方程。 本章只介紹位移變分法。位移變分法取位移函數為自變量，并以勢 能極小值條件導出變分方程。 彈性力學變分法，是區別于微分方程邊值問題的另一種獨立解法。其中分為：第47頁，共167頁，2022年，5月20日，22點54分，星期三外力勢能外力做了功，必然消耗了相同 值的勢能。當取 時的外力功和能為零，則：(b)外力功和外力勢能1.彈性體上的外力功和外力勢能外力功：第48

16、頁，共167頁，2022年，5月20日，22點54分，星期三形變勢能（2）應力和應變均從0增長到 ， 故單位體積上，應力所做的功是 非線性 關系 線 性 關系（1）作用于微小單元上的應力，是鄰近 部分物體對它的作用力，可看成是 作用于微小單元上的“外力”。2.應力的功和形變勢能（內力勢能）第49頁，共167頁，2022年，5月20日，22點54分，星期三線性的應力-應變關系非線性的應力-應變關系第50頁，共167頁，2022年，5月20日，22點54分，星期三（3）對于平面應力問題 或平面應變問題 單元體積上應力所做的功都是 (c) 形變勢能第51頁，共167頁，2022年，5月20日，22點

17、54分，星期三（4）假設沒有轉化為非機械能和動能，則 應力所做的功全部轉化為彈性體的 內力勢能，又稱為形變勢能，或應變 能， 存貯于物體內部。 單位體積的形變勢 能（形變勢能密度）。形變勢能第52頁，共167頁，2022年，5月20日，22點54分，星期三（5）整個彈性體的形變勢能是 (d)形變勢能第53頁，共167頁，2022年，5月20日，22點54分，星期三形變勢能 對于平面應變問題， 將 ， 。再將幾何方程代入， 可用位移表示為（6）將物理方程代入，平面應力問題的形 變勢能密度 ，可用形變表示為第54頁，共167頁，2022年，5月20日，22點54分，星期三3.形變勢能 的性質（1）

18、 是應變或位移的二次泛函，故不能應用疊加原理。（2）應變或位移發生時， 總是正的，即（3） 的大小與受力次序無關。（4）對應變的導數，等于對應的應力： (g)形變勢能的性質第55頁，共167頁，2022年，5月20日，22點54分，星期三4.彈性體的總勢能，是外力勢能和內力 （形變）勢能之和，(h)第56頁，共167頁，2022年，5月20日，22點54分，星期三1.試證明在線性的應力與應變關系下， 。2. 試由式(e)導出式(g)。3. 試列出極坐標系中平面應力問題的形變勢能公式，并與式(d)、(e)和( f )相比較。思考題第57頁，共167頁，2022年，5月20日，22點54分，星期三

19、55位移變分方程 在位移變分法中，所取泛函為總勢能 ，其宗量為位移狀態函數 ， 。 現在來導出位移變分方程。第58頁，共167頁，2022年，5月20日，22點54分，星期三 用位移表示的平衡微分方程（在A中） 用位移表示的應力邊界條件（在 上） 位移邊界條件（在上） 。實際位移(a) 其中、屬于靜力平衡條件，屬于約束條件。對于實際位移，可將看成是必要條件，而、是充分條件。1.實際平衡狀態的位移 、 ，必須滿足第59頁，共167頁，2022年，5月20日，22點54分，星期三 2.虛位移狀態 虛位移（數學上稱為位移變分） ， 表示在約束條件允許下，平衡狀態附近的微小位移增量，如圖所示。 虛位移

20、應滿足 上的約束邊界條件，即虛位移(b)（在 上）。第60頁，共167頁，2022年，5月20日，22點54分，星期三 虛位移不是實際外力作用下發生的，而是假想由其他干擾產生的。因此，虛位移狀態 就構成實際平衡狀態附近的一種鄰近狀態。(c)虛位移第61頁，共167頁，2022年，5月20日，22點54分，星期三微分是在同一狀態下，研究由于位置 (坐標) 改變而引起函數的改變。 其中的自變量為坐標變量x,y； 而因變量為函數，如位移，有 (d) 變分與微分的比較變分與微分第62頁，共167頁，2022年，5月20日，22點54分，星期三變分是在同一點位置上，由于狀態改變 而引起泛函的改變。 其中

21、的自變量為狀態函數，如位移；而因變量為泛函，如 ， ， ，有 變分與微分(e)第63頁，共167頁，2022年，5月20日，22點54分，星期三由于微分和變分都是微量，所以 a.它們的運算方式相同，如式(d)，(e)； b.變分和微分可以交換次序，如 變分與微分( f )第64頁，共167頁，2022年，5月20日，22點54分，星期三當發生虛位移（位移變分） 時，虛位移上功和能 由于虛位移引起虛應變，外力勢能的變分：外力的虛功（外力功的變分）：3.在虛位移上彈性體的功和能 第65頁，共167頁，2022年，5月20日，22點54分，星期三 形變勢能的變分，即實際應力在虛應變上的虛功, 由于實

22、際應力在虛應變之前已存在,作為常力計算，故無 系數。虛位移上功和能 ( j )第66頁，共167頁，2022年，5月20日，22點54分，星期三（1）在封閉系統中，假設沒有非機械能的改變，也沒有動能的改變，則按照能量守恒定律，在虛位移過程中形變勢能的增加 應等于外力勢能的減少（即等于外力所做的虛功 ）。位移變分方程4.彈性力學中位移變分方程的導出第67頁，共167頁，2022年，5月20日，22點54分，星期三（2）位移變分方程 將式(g)的 代入上式,得它表示，在實際平衡狀態發生位移的變 分 時，所引起的形變勢能的變 分 ，等于外力功的變分 。位移變分方程第68頁，共167頁，2022年，5

23、月20日，22點54分，星期三位移變分方程它表示，在實際平衡狀態發生虛位移時，外力在虛位移上所做的虛功等于應力在 虛應變上所做的虛功。（3）虛功方程 將式(j)的 代入上 式，得第69頁，共167頁，2022年，5月20日，22點54分，星期三其中 形變勢能的變分，如式( j )所示， 外力功的變分，如式(g)所示。位移變分方程（4）最小勢能原理式(k)可寫成其中U彈性體的形變勢能，如5-4式(d),W彈性體的外力功， 如5-4式(a)。可以證明，式(n)可以寫成為第70頁，共167頁，2022年，5月20日，22點54分，星期三證明如下：位移變分方程第71頁，共167頁，2022年，5月20

24、日，22點54分，星期三由于彈性體的總勢能為故式(o)可以表示為 再將總勢能 對其變量（位移或應變）作二次變分運算，可得 綜合式(p)，(q)，即得(p)(q)(r)位移變分方程第72頁，共167頁，2022年，5月20日，22點54分，星期三位移變分方程 這就是最小勢能原理。它表示在給定的外力作用下，在滿足位移邊界條件的所有各組位移狀態中，實際存在的一組位移對應于總勢能為極小值。第73頁，共167頁，2022年，5月20日，22點54分，星期三最小勢能原理：數學表示如圖(a)，物理意義如圖(b)uu（實際位移）(a)(b)第74頁，共167頁，2022年，5月20日，22點54分，星期三（5

25、）位移變分方程的又一形式 式(l) 中 可化為 又一形式第75頁，共167頁，2022年，5月20日，22點54分，星期三應用分部積分公式 和格林公式 （其中s為平面域A的邊界，l，m為邊界外法線的方向余弦），可將 進行轉換。又一形式第76頁，共167頁，2022年，5月20日，22點54分，星期三在 上，虛位移 ， 對 其余幾項進行同樣的轉換，并代入式( ) ,可得又一形式的位移變分方程：又一形式例如，對第一項計算，(s)第77頁，共167頁，2022年，5月20日，22點54分，星期三因 ， 都是任意的獨立的變分，為了滿足上式, 必須（在A中）(v)（在 上）(w)又一形式第78頁，共16

26、7頁，2022年，5月20日，22點54分，星期三 由此可見，從位移變分方程可以導出平衡微分方程和應力邊界條件，或者說，位移變分方程等價于平衡微分方程和應力邊界條件。第79頁，共167頁，2022年，5月20日，22點54分，星期三 實際平衡狀態的位移必須滿足 a. 上的約束(位移)邊界條件； b. 上的應力邊界條件； c.域A中的平衡微分方程。5.結論結論 位移變分方程可以等價地代替靜力條 件b,c。 第80頁，共167頁，2022年，5月20日，22點54分，星期三結論 由此得出一種變分解法，即預先使位 移函數滿足 上的位移邊界條件，再 滿足位移變分方程，必然也可以找出 對應于實際平衡狀態

27、的位解答。第81頁，共167頁，2022年，5月20日，22點54分，星期三 1.微分和變分各是由什么原因引起的？ 2.試導出式(u)。 3.試比較4.中變分方程 (1)-(5)的不同的 物理解釋。 4.試證明二階變分 。 思考題第82頁，共167頁，2022年，5月20日，22點54分，星期三 位移變分法是取位移為基本未知函數的。 位移函數應預先滿足 上的位移邊界條件，然后再滿足位移變分方程。5-6 位移變分法第83頁，共167頁，2022年，5月20日，22點54分，星期三(a)瑞利-里茨法 （1）因位移函數是未知的，在變分法中采用設定位移試函數的方法，令 1.瑞利-里茨法 第84頁，共1

28、67頁，2022年，5月20日，22點54分，星期三其中 和 均為設定的x，y的函數，并在邊界 上，令 （在 上）（在 上）(c)(b)瑞利-里茨法第85頁，共167頁，2022年，5月20日，22點54分，星期三 u，v已滿足了 上的位移邊界條件。而 ， 用來反映位移狀態的變化，故位移的變分為瑞利-里茨法(d)第86頁，共167頁，2022年，5月20日，22點54分，星期三瑞利-里茨法 位移的變分通過 ， 的變分來反映，故形變勢能的變分為（2）位移(a)還必須滿足位移變分方程第87頁，共167頁，2022年，5月20日，22點54分，星期三將式(d)，( f )代入(e)得因虛位移（位移變

29、分）中的 ， 是完全任意的、獨立的，為了滿足上式，必須:第88頁，共167頁，2022年，5月20日，22點54分，星期三瑞利-里茨法式(g)是瑞利-里茨變分方程。它是關于 ，的線性代數方程組，由上式可解出 ， ,從而得到位移的解答。第89頁，共167頁，2022年，5月20日，22點54分，星期三2.伽遼金法 （1）設定位移試函數如式(a)所示，但令 u,v 不僅滿足 上的位移邊界條件， 而且也滿足 上的應力邊界條件 （用u,v表示）。伽遼金法第90頁，共167頁，2022年，5月20日，22點54分，星期三 將位移的變分 ， （式(d )）代入，同樣由于 ， 為完全任意的和獨立的變分，得到

30、伽遼金法（2）于是，由5-5中式(u)可見，由于 上的應力邊界條件已滿足，設定的位移只需滿足下列變分方程第91頁，共167頁，2022年，5月20日，22點54分，星期三將上式括號內的應力用位移來表示，得伽遼金變分方程:伽遼金法第92頁，共167頁，2022年，5月20日，22點54分，星期三 式( j )也是關于 ， 的線性代數方程組，從上式解出 ， ，便得到位移的解答。伽遼金法第93頁，共167頁，2022年，5月20日，22點54分，星期三 試從位移函數的設定，應滿足的變分方程和求解的計算工作量等方面對瑞利-里茨法和伽遼金法進行比較。思考題第94頁，共167頁，2022年，5月20日，2

31、2點54分，星期三例1 圖示矩形板ab，在上邊及右邊受有均布壓力 及 ，而左邊和下邊受有法向連桿的約束。5-7 位移變分法例題第95頁，共167頁，2022年，5月20日，22點54分，星期三應用瑞利-里茨法 ，設定位移 滿足兩個約束邊界條件 例題 (a)(b)第96頁，共167頁，2022年，5月20日，22點54分，星期三其余的應力邊界條件及平衡微分方程由下列變分方程代替（其中 ）：(c)對式(c)右邊的積分，應包含所有的應力邊界條件（當 或 處積分為0），例題 第97頁，共167頁，2022年，5月20日，22點54分，星期三且其中的 ， 應代入相應的邊界方程。將式(a)代入 U ，計算

32、式(c)的左邊項。 共建立兩個方程，求出 和 ，得位移解答：例題 (d) 對于圖示的簡單問題，式(d)正好是其精確解。第98頁，共167頁，2022年，5月20日，22點54分，星期三例題 (e)例2本題全部為位移邊界條件：第99頁，共167頁，2022年，5月20日，22點54分，星期三本題以y軸為對稱軸，u應為x的奇函數,v應為x的偶函數。例題 (f)設定位移勢函數為第100頁，共167頁，2022年，5月20日，22點54分，星期三 位移(g)已滿足對稱性條件(f)和全部邊界條件(e)。 因 全部為位移邊界條件且均已滿足，從55 式(u)可見，也可應用伽遼金變分法。例題 第101頁，共1

33、67頁，2022年，5月20日，22點54分，星期三 將位移(g)代入上式，求出 得出的位移解答與書中用瑞利-里茨法 給出的結果相同。 因 ，故伽遼金變分方程為 例題 (h)第102頁，共167頁，2022年，5月20日，22點54分，星期三第五章例題例題1例題2例題3例題4例題5例題7例題6例題第103頁，共167頁，2022年，5月20日，22點54分，星期三例題1設圖中的矩形域為 ，取網格間距為h=2m,布置網格如圖，各邊界點的已知溫度值（度）如圖所示，試求內結點a,b的穩定溫度值。ab40353025322224222017第104頁，共167頁，2022年，5月20日，22點54分，

34、星期三解：對a,b列出方程如下：解出第105頁，共167頁，2022年，5月20日，22點54分，星期三例題2用差分法計算圖中A和B點的應力分量。FaBxy3aaaA.71（Z向厚度 ）F65第106頁，共167頁，2022年，5月20日，22點54分，星期三解：為反映對稱性，取A為基點。令 邊界點的應力函數值： 邊界點的導數值： 由上式及 ， 求出邊界外一行虛結點的 值： 第107頁，共167頁，2022年，5月20日，22點54分，星期三對1點列差分方程：代入各 值，解出 。 再求出應力分量： 第108頁，共167頁，2022年，5月20日，22點54分，星期三例題3 正方形 的板塊，厚度

35、 ，受一對集中力F的作用，如圖。試 取 ，應用差分法求解該問題的應力分量。1098HGEDIJBAChhhh323414323111276xyh=l/4FF第109頁，共167頁，2022年，5月20日，22點54分，星期三 解：本題具有的兩個對稱軸，為了反映對稱性，在 y 向外荷載作用下，取 網格結點編號如圖所示。 第110頁，共167頁，2022年，5月20日，22點54分，星期三 計算各邊界結點處的 、 、 值。 在A點及J點，各取 布置于兩側，以 反映荷載的對稱性，按公式（其中 即AB之間面力對B點的力矩，圖中以順時針方向為正）。第111頁，共167頁，2022年，5月20日，22點5

36、4分，星期三求出邊界上各結點的值，如下圖所示。結點A B CDEGH I J 0 0 0 0 0 0 0 0 讀者可檢驗，上述的值反映了邊界結點和邊界外一行虛結點上 值的對稱性。 F/2F/2F/2-Fh/2-Fh/2-Fh第112頁，共167頁，2022年，5月20日，22點54分，星期三 計算邊界外一行結點的 值。 由 得到 由 得到第113頁，共167頁，2022年，5月20日，22點54分，星期三 對內結點1、2、3、4分別列出下列類型 的方程：0點：對結點1，對結點2，第114頁，共167頁，2022年，5月20日，22點54分，星期三對結點3，對結點4，解出第115頁，共167頁，

37、2022年，5月20日，22點54分，星期三按照應力公式及 ，求得AJ及EI截面上的應力分量： 第116頁，共167頁，2022年，5月20日，22點54分，星期三例題4 試證明，在同樣的應變分量 ， 和 下，平面應變情況下單位厚度的形變 勢能大于平面應力情況下的形變勢能。例題 第117頁，共167頁，2022年，5月20日，22點54分，星期三對于平面應變情況，只需將上式中 ， 變換為解：平面應力情況下，單位厚度的形變 勢能是：例題 (a)第118頁，共167頁，2022年，5月20日，22點54分，星期三代入，得顯然，方括號內將式中的 ， 都作為式(b)的變換，整理后得平面應變情況下的形變

38、勢能公式， 例題 (c)第119頁，共167頁，2022年，5月20日，22點54分，星期三 從式可見，在平面應變情況下，形變勢能 中的第一、二、三項均大于平面應力情況下的值，而第四項 不變。因此，平面應變的形變勢能 大于平面應力的形變勢能U 。例題 第120頁，共167頁，2022年，5月20日，22點54分，星期三 例題5 圖中表示一板塊，受到鉛直方向均布拉力作用下發生拉伸變形，并使之兩端固定下來，若在其中切開一小口AB時，試說明板的形變勢能將發生什么變化？例題 CDEFAB第121頁，共167頁，2022年，5月20日，22點54分，星期三解： 當AB線切開時，AB線上的應力趨于0。而形

39、變勢能是正定的， ，當這部應力 時，相應的形變勢能也失去因此，板的總的形變勢能減少。 當AB線切開后，邊界CD和EF仍是固定的，我們可以比較兩種狀態：例題 第122頁，共167頁，2022年，5月20日，22點54分，星期三(b) AB線張開，出現裂紋。這是穩定的平 衡狀態。由于系統的穩定平衡狀態與鄰近的狀態相比，總勢能處于極小值，而(a)、(b)兩種狀態的外力勢能不變，因此，(b)的形變勢能小于(a)，即形變勢能將減少。例題 (a) AB切開后，仍然處于閉合狀態，不發生 張開。這是不穩定的平衡狀態；第123頁，共167頁，2022年，5月20日，22點54分，星期三 例題6 單位厚度 的深梁

40、，兩側邊固定，上下邊受均布荷載q作用，如圖所示。試用位移變分法求解其位移。（取 ，并設 ）。例題 qyxbuvbaaoq第124頁，共167頁，2022年，5月20日，22點54分，星期三解：在圖示荷載作用下，深梁的位移應對稱于x軸，而反對稱于y軸。 因此，位移分量u應為 、 的奇函數，而v為 x 、y 的偶函數，xy如圖所示。可以設定位移勢函數如下：第125頁，共167頁，2022年，5月20日，22點54分，星期三 上式已滿足兩端的約束邊界條件，以及對稱和反對稱性條件。以下按瑞利-里茨法進行計算。例題 第126頁，共167頁，2022年，5月20日，22點54分，星期三假設只取u，v中一項

41、，即將u和v代入形變勢能公式（平面應力問題），得：例題 第127頁，共167頁，2022年，5月20日，22點54分，星期三 在本題中體力 ，在 邊界上只有 的均布荷載， 。由此，瑞利-里茨方程成為 例題 再積分求U，第128頁，共167頁，2022年，5月20日，22點54分，星期三 邊界是 ，且 ，從 到 積分。再將U代入上式，得到兩個求 的方程：第129頁，共167頁，2022年，5月20日，22點54分，星期三當取 ，且 時，上兩式方程簡化為由此解出 ,位移分量的解答是例題 第130頁，共167頁，2022年，5月20日，22點54分，星期三例題7 圖中所示的薄板，厚度 ，三邊固定，一

42、邊受到均布壓力q的作用。試用瑞利-里茨的位移變分法求解，其中取 ， 。例題 第131頁，共167頁，2022年，5月20日，22點54分，星期三aa b xyq第132頁，共167頁，2022年，5月20日，22點54分，星期三解：在瑞利-里茨法中， 設定位移試函數應滿 足位移邊界條件，并 應反映圖示問題的對稱性。取第133頁，共167頁，2022年，5月20日，22點54分，星期三上式已反映了位移對稱于y軸的要求：v為x的偶函數，u為x的奇函數。 僅取各一項進行運算，由于體力 ，面力只存在于AB邊（），因此求解 的位移變分方程為：例題 第134頁，共167頁，2022年，5月20日，22點5

43、4分，星期三當 ，且取泊松系數 時，形變勢能簡化為將u、v 代入,例題 （a）（b）第135頁，共167頁，2022年，5月20日，22點54分，星期三形變勢能U為將U及 代入式(a)，(b)，得(c)(d)第136頁，共167頁，2022年，5月20日，22點54分，星期三從式(c)、 (d)解出例題 于是得到位移分量，再求應力分量，取 ，得：第137頁，共167頁，2022年，5月20日，22點54分，星期三例題 在對稱軸上，x=0， ,在 邊界， ,第138頁，共167頁，2022年，5月20日，22點54分，星期三 本題中，由于u，v中各只取一項，且取 ，因此，求出的位移解的精度較低；

44、而由近似解的位移求應力時，其應力精度要降低一階，其精度更差些。對于實際問題，應取更多的項數進行計算。第139頁，共167頁，2022年，5月20日，22點54分，星期三 第五章 習題提示和答案習題提示和答案5-1 參見書中由低階導數推出高階導數的方 法。5-2 參見書中的方程。5-3 注意對稱性的利用，取基點A如圖。答 案見書中。5-4 注意對稱性的利用,并相應選取基點 A。 答案見書中。 第140頁，共167頁，2022年，5月20日，22點54分，星期三5-7 按位移求微分方程的解法中，位移應滿 足: (1) 上的位移邊界條件， (2) 上的應力邊界條件， (3)區域A中的平衡微分方程。

45、習題提示和答案5-5 注意對稱性的利用，本題有一個對稱 軸。5-6 注意對稱性的利用，本題有二個對稱 軸。第141頁，共167頁，2022年，5月20日，22點54分，星期三5-8 在拉伸和彎曲情況下，引用 的表達式，再代入書中的公式。在 扭轉和彎曲情況下，引用 的表達式，再代入書中的公式。習題提示和答案用瑞利-里茨變分法求解時，設定的位移試函數應預先滿足(1) 上的位移邊界條件，而(2)和(3)的靜力條件由瑞利-里茨變分法來代替。第142頁，共167頁，2022年，5月20日，22點54分，星期三5-9 對于書中圖5-15的問題，可假設 對于書中圖5-16的問題中，y 軸是其對稱軸，x 軸是

46、其反對稱軸，在設定u、v試函數時，習題提示和答案第143頁，共167頁，2022年，5月20日，22點54分，星期三為滿足全部約束邊界條件，應包含公共因子 。此外，其余的乘積項中，應考慮：u應為x和y的奇函數，v應為 x和y的偶函數。第144頁，共167頁，2022年，5月20日，22點54分，星期三5-10 答案見書中。第145頁，共167頁，2022年，5月20日，22點54分，星期三5-11 在u,v 中各取一項,并設 時,用 瑞利-里茨法得出求解的方程是代入 后,上兩式方程是解出習題提示和答案第146頁，共167頁，2022年，5月20日，22點54分，星期三習題提示和答案位移分量的解

47、答為應力分量為第147頁，共167頁，2022年，5月20日，22點54分，星期三 第五章 教學參考資料 （一）本章學習重點及要求 1.彈性力學的基本解法是，根據靜力平衡條件，形變和位移之間的幾何條件和形變與應力之間的物理條件建立微分方程和邊界條件，并由此求解應力、形變和位移。從數學上看，彈性力學問題可化為微分方程的邊值問題，通過求解，得出函數式的精確解答。教學參考資料第148頁，共167頁，2022年，5月20日，22點54分，星期三 但是對于工程實際問題，由于荷載、邊界等較為復雜，難以求出函數式的解答。從彈性力學基本理論建立以來，為了解決工程實際問題，人們就探討了各種可供應用的近似解法。彈

48、性力學中最主要的近似解法是變分法、差分法和有限單元法分法。教學參考資料第149頁，共167頁，2022年，5月20日，22點54分，星期三 2.差分法是微分方程的一種近似數值解 法。在差分法中，將連續函數用一些 結點上的函數值來代替，并從而將微 分方程及其邊界條件變換為差分(代數) 方程，使問題易于求解。在這種方法 中，采用了將函數離散的手段。教學參考資料第150頁，共167頁，2022年，5月20日，22點54分，星期三 3.變分法是彈性力學中另一獨立的求解方法。 在變分法中根據平衡狀態時的能量處于極小值的條件，建立變分方程，并進行求解。彈性力學中的變分方程和微分方程是溝通的，可以互相導出。 由于變分法得出的常常是近似的解答，所以也將變分法歸入彈性力學的近似解法。教學參考資料第151頁，共167頁，2022年，5月20日，22點54分，星期三 4.有限單元法是20世