1、第五節(jié) 定積分應(yīng)用一、平面圖形面積五、變力所作功二、平行截面面積為已知立體體積三、旋轉(zhuǎn)體體積四、函數(shù)平均值六、小結(jié) 思考題Applications of Integration第1頁(yè)第1頁(yè)一、平面圖形面積曲邊梯形面積曲邊梯形面積第2頁(yè)第2頁(yè)解兩曲線交點(diǎn)面積元選 為積分變量第3頁(yè)第3頁(yè)解兩曲線交點(diǎn)選 為積分變量第4頁(yè)第4頁(yè)于是所求面積闡明：注意各積分區(qū)間上被積函數(shù)形式問題：積分變量只能選 嗎？第5頁(yè)第5頁(yè)解兩曲線交點(diǎn)（一）選 x 為積分變量第6頁(yè)第6頁(yè)選 為積分變量x86422-2-44y第7頁(yè)第7頁(yè)解由對(duì)稱性知總面積等于4倍第一象限部分面積第8頁(yè)第8頁(yè)二、平行截面面積為已知立體體積 一個(gè)立體如

2、圖所表示，假如已知該立體上垂直于一定軸各個(gè)截面面積，那么，這個(gè)立體體積可用定積分來(lái)計(jì)算.立體體積體積元第9頁(yè)第9頁(yè)解取坐標(biāo)系如圖底圓方程為截面面積立體體積第10頁(yè)第10頁(yè)解取坐標(biāo)系如圖底圓方程為截面面積立體體積第11頁(yè)第11頁(yè)三、旋轉(zhuǎn)體體積 旋轉(zhuǎn)體就是由一個(gè)平面圖形饒這平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成立體這直線叫做旋轉(zhuǎn)軸圓柱圓錐圓臺(tái)第12頁(yè)第12頁(yè)xyo旋轉(zhuǎn)體體積為第13頁(yè)第13頁(yè)解直線 方程為第14頁(yè)第14頁(yè)第15頁(yè)第15頁(yè)第16頁(yè)第16頁(yè) 繞y軸及x軸旋轉(zhuǎn)所成橢球體體積 解由對(duì)稱性知總體積等于第一象限部分曲線繞x軸旋轉(zhuǎn)體積2倍yx旋轉(zhuǎn)軸第17頁(yè)第17頁(yè)yx旋轉(zhuǎn)軸第18頁(yè)第18頁(yè)四、函數(shù)平均值實(shí)例

3、：用某班所有學(xué)生考試成績(jī)算術(shù)平均值來(lái)描述這個(gè)班成績(jī)概貌.算術(shù)平均值公式只適合用于有限個(gè)數(shù)值問題：求氣溫在一晝夜間平均溫度.入手點(diǎn)：連續(xù)函數(shù) 在區(qū)間 上平均值.討論思想：分割、求和、取極限.第19頁(yè)第19頁(yè)（1）分割：每個(gè)小區(qū)間長(zhǎng)度設(shè)各分點(diǎn)處函數(shù)值為函數(shù) 在區(qū)間 上平均值近似為每個(gè)小區(qū)間長(zhǎng)度趨于零.（2）求和：（3）取極限：第20頁(yè)第20頁(yè)函數(shù) 在區(qū)間 上平均值為幾何平均值公式區(qū)間長(zhǎng)度第21頁(yè)第21頁(yè)解例1已知某化學(xué)反應(yīng)速度為 ，其中a、k為常數(shù)，求時(shí)間區(qū)間 內(nèi)平均速度。第22頁(yè)第22頁(yè)解例2假設(shè)試驗(yàn)中所測(cè)到血液胰島素水平按下列函數(shù)形式改變： 問在60分鐘內(nèi)胰島素水平平均值是多少？第23頁(yè)第23

4、頁(yè)第24頁(yè)第24頁(yè)五、物理學(xué)及醫(yī)學(xué)上應(yīng)用第25頁(yè)第25頁(yè)解設(shè)木板對(duì)鐵釘阻力為第一次錘擊時(shí)所作功為例1 用鐵錘把釘子釘入木板，設(shè)木板對(duì)鐵釘阻力與鐵釘進(jìn)入木板深度成正比，鐵錘在第一次錘擊時(shí)將鐵釘擊入1厘米，若每次錘擊所作功相等，問第 n 次錘擊時(shí)又將鐵釘擊入多少？設(shè) 次擊入總深度為 厘米次錘擊所作總功為第26頁(yè)第26頁(yè)依題意知，每次錘擊所作功相等次擊入總深度為第 次擊入深度為第27頁(yè)第27頁(yè)P(yáng)1L例2 脈管穩(wěn)定流動(dòng)中血流量。求單位時(shí)間內(nèi)，通過(guò)該截面血流量Q。解將截面分為n個(gè)環(huán)，每個(gè)環(huán)厚度為P2Rr 血管某截面上某點(diǎn)與血管中心距離為r，第28頁(yè)第28頁(yè)第29頁(yè)第29頁(yè)解設(shè)均勻細(xì)桿線密度為 ，則例3 求質(zhì)量為M，長(zhǎng)為 l 均勻細(xì)桿過(guò)其端點(diǎn)且垂直于桿軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。過(guò)其中心呢？第30頁(yè)第30頁(yè)第31頁(yè)第31頁(yè)x0y第32頁(yè)第32頁(yè)六、小結(jié)1、求在直角坐標(biāo)系下平面圖形面積.（注意恰當(dāng)選擇積分變量有助于簡(jiǎn)化 積分運(yùn)算）3、旋轉(zhuǎn)體體積2、平行截面面積為已知立體體積。繞 軸旋轉(zhuǎn)一周繞 軸旋轉(zhuǎn)一周第33頁(yè)第33頁(yè)5、利用“微元法”思想求變力作功等物理、醫(yī)學(xué)問題（注意熟悉相關(guān)物理、醫(yī)學(xué)知識(shí)）4、函數(shù)平均值第3