1、第二節 概率分布 第三章 概率論第1頁第1頁 在學習隨機事件及其概率時,我們理解了樣本空間概念1、拋擲一骰子出現點數2、拋擲一硬幣正反面出現情況3、某都市120電話臺一晝夜呼喚次數4、一批產品中任取一產品合格情況一、隨機變量第2頁第2頁實例1 在一裝有紅球、白球袋中任摸一個球,觀測摸出球顏色.S=紅色、白色 非數量將 S 數量化 可采用下列辦法 紅色白色第3頁第3頁即有 X (紅色)=1 , X (白色)=0.這樣便將非數量 S=紅色，白色 數量化了.第4頁第4頁實例2 拋擲骰子,觀測出現點數.S=1，2，3，4，5，6樣本點本身就是數量恒等變換且有則有第5頁第5頁1、隨機變量定義第6頁第6頁

2、隨機變量伴隨試驗結果不同而取不同值, 因此隨機變量取值也有一定概率規律.(2)隨機變量取值含有一定概率規律普通函數是定義在實數軸上,而隨機變量是定義在樣本空間上 (樣本空間元素不一定是實數).2.闡明(1)隨機變量與普通函數不同第7頁第7頁實例1 設某射手每次射擊打中目的概率是0.8,現該射手射了30次, 則是一個隨機變量.且 X(e) 所有也許取值為:第8頁第8頁實例2 設某射手每次射擊打中目的概率是0.8,現該射手不斷向目的射擊 , 直到擊中目的為止,則是一個隨機變量.且 X(e) 所有也許取值為:第9頁第9頁實例3 某公共汽車站每隔 5 分鐘有一輛汽車通過, 假如某人到達該車站時刻是隨機

3、, 則是一個隨機變量.且 X(e) 所有可能取值為:第10頁第10頁3、隨機變量分類(1)離散型 隨機變量所取也許值是有限多個或無限可列個, 叫做離散型隨機變量.(2)連續型 隨機變量所取也許值能夠連續地充滿某個區間,叫做連續型隨機變量.第11頁第11頁1、定義二、離散型隨機變量第12頁第12頁離散型隨機變量分布律也可表示為闡明：離散型隨機變量有下列性質 第13頁第13頁例 離散型隨機變量分布律下列：試求：(1)常數c值；(2) 概率 (3)概率 解：(1)依據分布律性質，因此，第14頁第14頁例 離散型隨機變量分布律下列：試求：(1)常數c值；(2) 概率 (3)概率 解：(2)(3)第15

4、頁第15頁例：一只袋中裝有5只球，編號1，2，3，4，5在袋中同時取出3只，以X表示取出3只球中最大號碼，寫出隨機變量X分布律。第16頁第16頁解練第17頁第17頁2、常見離散型隨機變量概率分布 貝努利試驗：假如隨機試驗E只有兩個也許結果 與 ，就稱該試驗為貝努利試驗新生兒性別登記；拋擲硬幣正面出現情況；檢查產品質量是否合格；明天會不會下雨；參與英語等級考試結果；射手對目的進行射擊；參與總統競選結果；第18頁第18頁例 我國新生兒性別登記情況. 隨機變量 X 服從 (01) 分布.其分布律為第19頁第19頁設隨機變量 X 只也許取0與1兩個值 , 它分布律為則稱 X 服從 (01) 分布或兩點

5、分布.1.(0-1)分布 第20頁第20頁實例 200件產品中,有190件合格品,10件不合格品,現從中隨機抽取一件,那么,若要求取得不合格品,取得合格品.則隨機變量 X 服從(0 1)分布.第21頁第21頁 兩點分布是最簡樸一個分布,任何一個只有兩種也許結果隨機現象, 比如新生嬰兒是男還是女、明天是否下雨、種籽是否發芽等, 都屬于兩點分布.闡明第22頁第22頁n重貝努利試驗（貝努利概型）：將貝努利試驗獨立重復進行n次，則稱這一串重復獨立試驗為n重貝努利試驗若在一次貝努利試驗中，關懷事件A是否發生。那么在n重貝努利試驗中，則會關懷事件A發生次數第23頁第23頁發生k次情形有多少種？發生k次概率

6、？第24頁第24頁稱這樣分布為二項分布.記為二項分布兩點分布2.二項分布 第25頁第25頁二項分布是常見一類分布如：獨立地進行射擊5次，擊中目的次數獨立地進行試驗5次，成功次數k個燈泡，使用超出1000小時燈泡個數n個供水設備，正在使用個數它們都是服從二項分布第26頁第26頁二項分布是應用廣泛一類主要分布如：在港口建設中要理解n年中年最大波高過米次數；在機器維修問題中要理解n臺機床需要修理機床數；在昆蟲群體問題中要理解n個蟲卵中能孵化成蟲個數；在高層建筑防火安全通道設計中要理解n層樓中發生火災樓層數；它們都是服從二項分布第27頁第27頁例 在相同條件下互相獨立地進行 5 次射擊,每次射擊時擊中

7、目的概率為 0.6 ,則擊中目的次數 X 分布律.故X (5,0.6)第28頁第28頁 大學英語六級考試（舊）是為全面檢查大學生英語水平而設置一個考試，含有一定難度。除英文寫作占15分外，其余85道各種答案選擇每題1分，即每一道題附有A，B，C，D四個選擇答案，要求考生從中選擇最佳答案。這種考試方式使有學生產生想碰運氣僥幸心理，那么靠碰運氣能通過英語六級考試嗎？選擇題能考出真實成績嗎？第29頁第29頁分析：按及格計算，85道選擇題必須答對51道題以上。假如瞎猜想話，則每道題答正確概率為1/4，答錯概率是3/4。顯然，各道題解答互不影響，因此，能夠將解答85道選擇題當作85重貝努利試驗。請問剛好

8、答對51道選擇題概率？第30頁第30頁例：既有張一百元人民幣，已知其中混有張假幣，從中取張，假如正好將張假幣取出來算是成功一次，某人這樣做了次，成功次，設各次成功是否互相獨立，試問此人對假幣有無一定判別能力？解：設成功為事件A，古典概型P(A)=1/C210=1/45設為成功次數，據題意知(10,1/45),成功次概率為因此，他對假幣有一定判別能力小概率原理：概率很小事件在一次試驗中認為是不會發生。第31頁第31頁例：某柜臺上有4位售貨員，只準備了兩臺臺秤，已知每位售貨員在8小時內都有2小時時間使用臺秤，求臺秤不夠用概率。解：已知每位售貨員在8小時內都有2小時時間使用臺秤，闡明每位售貨員使用臺

9、秤概率皆為p=1/4。 同時使用臺秤售貨員個數X是一個離散型隨機變量，它服從參數為n=4,p=1/4二項分布，即第32頁第32頁臺秤不夠用，意味著同時使用臺秤售貨員超出2個，因此時間X2表示臺秤不夠用。注意到X2范圍內，離散型隨機變量X也許取值只有兩個，即X=3與X=4，有概率因此，臺秤不夠用概率是0.0508。第33頁第33頁. 泊松分布 第34頁第34頁泊松分布背景及應用泊松分布是一個比較常見離散型隨機變量分布.第二次世界大戰時，德軍隔著英吉利海峽用飛彈轟擊倫敦，以后發覺，各區落下飛彈數服從泊松分布。第35頁第35頁二十世紀初盧瑟福和蓋克兩位科學家在觀測與分析放射性物質放出 粒子個數情況時

10、,他們做了2608次觀測(每次時間為7.5秒)發覺放射性物質在要求一段時間內, 其放射粒子數X 服從泊松分布.第36頁第36頁在生物學、醫學、工業統計、保險科學及公用事業排隊等問題中 , 泊松分布是常見.它經常用來描述“稀有事件”數目.如:某頁書上印刷錯誤字數；某醫院一天內急診病人數；某地區某一時間間隔內發生交通事故數；一年內爆發戰爭數目；腐敗現象發生和發展；等等都服從泊松分布第37頁第37頁例：某都市天天發生火災次數服從參數泊松分布，求該都市一天發生次或次以上火災概率解：設該都市一天發生火災次數為，則XP(0.8)第38頁第38頁0.10.20.30.40.50.60.70.80.9048.

11、8187.7408.6703.6065.5488.4966.44931.0905.1638.2223.2681.3033.3293.3476.35952.0045.0164.0333.0573.0758.0988.1217.14383.0002.0011.0003.0072.0126.0198.0284.03834.00010.0007.0016.0030.0050.007750.0002.0004.0007.001260.0001.0002700第39頁第39頁 公元15至1931年這432年間，有223年沒有爆發戰爭（已爆發，正繼續不算），一年中爆發1次、2次、3次和4次總年數分別是142

12、年、48年、和4年，平均每年爆發0.69次戰爭。把實際數據與參數為0.69泊松分布理論數據作比較，見下表。1年中戰爭數實際年數理論年數0223216.68091142149.509824851.580931511.8636442.0465第40頁第40頁例 有一繁忙汽車站，有大量汽車通過，設每輛車在一天某段時間內出事故概率為0.001.在某天該時段內有1000輛汽車通過，問出事故車輛數不小于2概率是多少？將每輛車通過當作一次試驗，設出事故車輛數為X，則隨機變量X服從參數為n=1000,p=0.001二項分布，其分布律為：第41頁第41頁泊松定理注：普通情況下，n10，p0.1時，能夠用泊松分布

13、代替二項分布。第42頁第42頁 此題中，n=1000,p=0.001，可用泊松分布（參數 ）近似代替。第43頁第43頁例(壽命保險問題)在保險公司里有2500名同一年齡和同社會階層人參與了人壽保險，在一年中每人死亡概率為0.002，每個參與保險人在1月1日必須交12元保險費，而在死亡時家屬可從保險公司里領取元補償金，求(1)保險公司虧本概率；(2)保險公司贏利不少于10000元概率第44頁第44頁第45頁第45頁第46頁第46頁第47頁第47頁 在農村尤其是偏遠地域和經濟落后地域，人們“傳宗接代”、“多子多?！?、“早生兒子早享?！钡扔^念意識還很強，一對夫婦一定要生個兒子才肯罷休現象并不少見；假

14、設生女兒概率為p，求生到兒子為止，子女數目X分布律。 4. 幾何分布 第48頁第48頁 例 某公共汽車站每隔 5 分鐘有一輛汽車通過, 假如某人到達該車站時刻是隨機, 則是一個隨機變量.且 X(e) 所有也許取值為:事實上“某人等到2分59秒”這種隨機事件幾乎不也許發生，研究0，5中一個點概率無意義，通常關注取值落在一個區間上概率。三、連續型隨機變量第49頁第49頁1.概率密度函數定義第50頁第50頁12.概率密度函數性質第51頁第51頁注意 對于任意也許值 a ,連續型隨機變量取 a 概率等于零.即連續型隨機變量取值落在某一區間概率與區間開閉無關第52頁第52頁例第53頁第53頁解第54頁第

15、54頁第55頁第55頁第56頁第56頁解第57頁第57頁1. 均勻分布 常見連續型隨機變量分布第58頁第58頁解由題意,R 概率密度為故有例 設電阻值 R 是一個隨機變量，均勻分布在 1100 求 R 概率密度及 R 落在950 1050 概率第59頁第59頁練：某公共汽車站從早晨6時起，每15分鐘來一輛車，即6:00,6:15,6:30,6:45等時刻有汽車進站。如某乘客到達此站時間是6:00到6:30之間均勻分布隨機變量，試求該乘客等待時間少于5分鐘概率。第60頁第60頁第61頁第61頁2. 指數分布第62頁第62頁 指數分布在實際應用中經常碰到，在排隊論及可靠性理論中指數分布慣用來表示機

16、器維修時間，尋呼臺收到服務到達時間間隔，元器件使用壽命生物壽命等。應用與背景第63頁第63頁練：到某服務單位辦事總要排隊等待。設等待時間T是服從指數分布隨機變量，概率密度函數為某人到此處辦事，等待時間若超出15min，他就憤然拜別。設此人一個月去該處10次，求（1）正好有兩次憤然拜別概率（2）至少有2次憤然拜別概率第64頁第64頁第65頁第65頁第66頁第66頁3. 正態分布(或高斯分布)第67頁第67頁正態概率密度函數幾何特性第68頁第68頁第69頁第69頁第70頁第70頁 正態分布是最常見最主要一個分布,比如測量誤差, 人生理特性尺寸如身高、體重等 ;正常情況下生產產品尺寸:直徑、長度、重

17、量高度等都近似服從正態分布.正態分布應用與背景 第71頁第71頁原則正態分布概率密度表示為原則正態分布第72頁第72頁原則正態分布概率密度函數圖形第73頁第73頁解例第74頁第74頁第75頁第75頁普通正態分布與原則正態分布關系第76頁第76頁例第77頁第77頁第78頁第78頁例:公共汽車車門高度是按成年男子與車門頂碰頭概率小于1%要求設計.若成年男子身高X(cm)服從 分布,問車門高度應擬定為多少?第79頁第79頁第80頁第80頁 某公司在某次招工考試中，準備招工300名（280名正式工，20名暫時工），而報考人數是1657名，考試滿分為400分。 考試后不久，通過當地新聞媒介得到下列信息：

18、考試平均分166分，360分以上高分考生31名。某考生A成績是256分，問他能否被錄用?如被錄用能否是正式工？第81頁第81頁解：設考生考試成績為X，則X是隨機變量，對于一次成功考試來說，X應服從正態分布，本題中，由于考試成績高于360分頻率是31 / 1657,因此第82頁第82頁下面預測該考生考試名次，他考分為256分，查表知闡明考試成績高于256分人數大約占總結識16.6%，因此，考試名次排在該生之前大約有即該考生大約排名276名，因此被錄為正式工也許性較大。第83頁第83頁解：由于最低分數線x0確實定應使高于此線考生頻率等于300/1657，即因此能錄用最低分數線是251分，該考生能被

19、錄用。第84頁第84頁3.2.2 隨機變量數字特性一、隨機變量數學盼望二、隨機變量函數數學盼望三、數學盼望性質1. 數學盼望第85頁第85頁引例1 分賭本問題(產生背景) A, B 兩人賭技相同, 各出賭金100元,并商定先勝三局者為勝, 取得所有 200 元.由于出現意外情況 ,在 A 勝 2 局 B 勝1 局時,不得不終止賭博, 假如要分賭金,該如何分派才算公平? 注:1654年,一個騎士就此問題討教于帕斯卡, 帕斯卡與費馬通信討論這一問題, 共同建立了概率論第一個基本概念-數學盼望第86頁第86頁在已賭過三局(A 勝2局B 勝1局)基礎上，若繼續賭A 勝 1/2B 勝 1/2A 勝 1/

20、2B 勝 1/2A勝出概率 1/2+1/2*1/2=3/4 B勝出概率 1/2*1/2=1/4 在賭技相同情況下,A, B 最后獲勝也許性大小之比為即A 應取得賭金 而 B 只能取得賭金第87頁第87頁因而A盼望所得賭金即為X “盼望”值,等于X 也許值與其概率之積累加.即為若設隨機變量 X 為:在 A 勝2局B 勝1局前提下, 繼續賭下去 A 最后所得賭金.則X 所取也許值為:其概率分別為:第88頁第88頁 引例2(射擊問題) 射手在同樣條件下進行射擊，命中環數為隨機變量 ，其分布律下列： 求該射手平均每次命中環數。 第89頁第89頁數學盼望又能夠稱為盼望，均值。離散型隨機變量數學盼望第90

21、頁第90頁關于定義幾點闡明 (1) E(X)是一個實數,它是一個加權平均, 也稱均值. (2) 級數絕對收斂性確保了級數和不隨級數各項順序改變而改變 .第91頁第91頁試問哪個射手技術較好?例 誰技術好?乙射手甲射手比一比第92頁第92頁解故甲射手技術比較好.第93頁第93頁例 投資理財決議 某人既有10萬元鈔票進行為期一年投資，既有2種投資方案：一是購買股票，二是存入銀行贏利息。若買股票，則一年收益主要取決于全年經濟形式好（概率30%）、中檔（概率50%）、和差（概率20%）三種狀態，形式好就能贏利40000元，形式中檔也能贏利10000元，形式差就要損失0元。若存入銀行，則按8%年利率取得

22、利息8000元。第94頁第94頁解設 X 為投資利潤，則存入銀行利息:故應選擇股票投資.第95頁第95頁0132p0.40.30.20.1第96頁第96頁02123222p0.40.30.20.1-1153p0.40.30.20.1第97頁第97頁例3 最優訂購方案 某商場訂購下一年掛歷，零售價80元/本，進價50元/本，若當年賣不出去，則降價到20元/本所有銷售出去。依據往年經驗，需求概率下列：在當年售出150本、160本、170本和180本概率分別為0.1，0.4，0.3，0.2。有下列四種訂購方案 ：(1)訂購150本； (2)訂購160本； (3)訂購170本； (4)訂購180本，請

23、問哪種方案可使盼望利潤最大？第98頁第98頁(1)訂購150本:設隨機變量X表示該方案下利潤(百元)(2)訂購160本:設隨機變量Y表示該方案下利潤(百元)第99頁第99頁(3)訂購170本:設隨機變量Z表示該方案下利潤(百元)(4)訂購180本:設隨機變量R表示該方案下利潤(百元)選擇方案2或3，可使盼望利潤最大。第100頁第100頁例 設由自動生產線加工某種零件內徑X(mm)服從正態分布 ，內徑小于10或不小于12為不合格品，其余為合格品。銷售每件合格品贏利，銷售每件不合格品虧損。已知銷售利潤T(元)與銷售零件內徑X有下列關系：求銷售一個零件平均利潤是多少？第101頁第101頁注意T是離散

24、型隨機變量。第102頁第102頁連續型隨機變量數學盼望 第103頁第103頁例 已知隨機變量 在區間a,b上服從均勻分布，求第104頁第104頁第105頁第105頁例：對圓直徑作近似測量，其值均勻分布在區間a,b上，求圓面積數學盼望。第106頁第106頁第107頁第107頁 例 設隨機變量XE (1)，求解 X概率密度為 第108頁第108頁例 國際市場每年對我國某種商品需求量是隨機變量X(噸),它服從,4000上均勻分布.已知每售出1噸,可掙得外匯3千元,但如售不出去而積壓,則每噸需花庫存費用及其它損失工1千元,問需組織多少貨源,才干使國家收益盼望最大?第109頁第109頁第110頁第110

25、頁小結第111頁第111頁三、 數學盼望性質 性質1 若C是常數,則E(C)=C.性質2 若C是常數,則E(C )=CE( ).第112頁第112頁課堂練習（口答）第113頁第113頁分布盼望第114頁第114頁第115頁第115頁 3 方差一、 隨機變量方差概念二、 隨機變量方差計算三、隨機變量方差性質第116頁第116頁X2P 2 3 5 7 81/8 1/8 1/2 1/8 1/8X1P 4 5 61/4 1/2 1/4設有兩種球形產品，其直徑取值規律下列： 兩種產品直徑均值是相同，但產品2偏差大，假如需要使用直徑為5產品，則產品1較產品2抱負。引例一、隨機變量方差概念若需要直徑為5產品

26、，選哪種產品較抱負？第117頁第117頁甲、乙兩門炮同時向一目的射擊10發炮彈，其落點距目的位置如圖：你認為哪門炮射擊效果好一些呢?甲炮射擊結果乙炮射擊結果乙炮由于乙炮彈著點較集中在中心附近 . 中心中心第118頁第118頁1、方差定義稱為均方差或原則差.即 方差刻畫了隨機變量取值與數學盼望偏離程度,它大小能夠衡量隨機變量取值穩定性. 設 是一隨機變量，假如 存在，則稱為 方差，記作 或 .第119頁第119頁2. 方差意義(2)若方差 ，則隨機變量 恒取常數值。(1)方差是一個慣用來表達隨機變量 取值分散程度量. 假如 值大, 表示 取值分散程度大, 代表性差; 而假如 值小,則表示 取值比

27、較集中, 以 作為隨機變量代表性好.第120頁第120頁（慣用）計算方差簡化公式:第121頁第121頁解 P 4 5 61/4 1/2 1/4例 設有一個球形產品，其直徑取值規律下列： 求 。 第122頁第122頁第123頁第123頁三 、方差性質C 為常數a為常數第124頁第124頁第125頁第125頁一、二元離散型隨機變量 二、二元連續型隨機變量 3.2.3 二元隨機變量及其分布第126頁第126頁一、二元隨機變量定義 在實際問題中,一個隨機試驗結果w相應不但是一個隨機變量,經常要考慮多個隨機變量.比如:考慮某地域兒童健康情況要同時考慮身高X,體重Y,肺活量Z等.若只研究一個就是一元,若同時研究兩個或兩個以上,作為整體(X,Y,Z)來研究