1、ESC 第四章 積分及應(yīng)用 第四章 積分及應(yīng)用不定積分的概念與性質(zhì) 換元積分法 定積分的概念與性質(zhì) 分部積分法 積分的應(yīng)用無限區(qū)間上的廣義積分基本積分公式ESC一、定積分的概念與性質(zhì)由定積分定義知：積分下限 積分上限 積分號(hào) 被積函數(shù) 被積表達(dá)式 積分變量 稱為積分區(qū)間. 由定積分定義還可知,案例中:曲邊梯形面積是曲邊方程在區(qū)間 上的定積分,即ESC一、定積分的概念與性質(zhì)由定積分定義知：1. 定積分 是一個(gè)數(shù)值,該數(shù)值取決于被積函數(shù) 和積分區(qū)間 ,與積分變量無關(guān),即2. 交換定積分的上下限,定積分變號(hào),即特別地, 有ESC一、定積分的概念與性質(zhì)設(shè) 在 上連續(xù)，則下列各式中不成立的是（） 若 ,

2、則例1ESC一、定積分的概念與性質(zhì)面積由定積分的定義知特別地,在區(qū)間 上,若則ESC一、定積分的概念與性質(zhì)在區(qū)間 上,若ESC一、定積分的概念與性質(zhì)在區(qū)間 上,若有正有負(fù), 則圖中陰影部分的面積為ESC一、定積分的概念與性質(zhì)例2用幾何圖形說明下列等式成立: (1) (1)由定積分的幾何意義,該面積就是作為曲邊的函數(shù) 在區(qū)間 上的定積分,即上半單位圓的面積為ESC一、定積分的概念與性質(zhì)(2) (2)由定積分的幾何意義,該面積就是作為直線的函數(shù) 在區(qū)間 上的定積分,即該三角形的面積為ESC一、定積分的概念與性質(zhì)性質(zhì)1常數(shù)因子 可提到積分符號(hào)前 性質(zhì)2代數(shù)和的積分等于積分的代數(shù)和 ESC性質(zhì)3(定積

3、分對(duì)積分區(qū)間的可加性)一、定積分的概念與性質(zhì) 對(duì)任意三個(gè)數(shù)總有 (1)當(dāng) 時(shí),由定積分的幾何意義可知 曲邊梯形 的面積=曲邊梯形 的面積+曲邊梯形 的面積. ESC一、定積分的概念與性質(zhì)性質(zhì)3(定積分對(duì)積分區(qū)間的可加性) 對(duì)任意三個(gè)數(shù)總有 (2)當(dāng) 時(shí),由前一種情形,應(yīng)有 交換上下限,有 移項(xiàng), 有其他情形可類似推出. ESC一、定積分的概念與性質(zhì)性質(zhì)4(比較性質(zhì))若函數(shù) 和 在閉區(qū)間 上總有 則性質(zhì)5（估值定理）如果函數(shù)在上有最大值和 最小值，則ESC一、定積分的概念與性質(zhì)性質(zhì)6(積分中值定理)如果函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，則在內(nèi)至少有一點(diǎn)，使得， ESC一、定積分的概念與性質(zhì)結(jié)論設(shè)函數(shù) 在對(duì)稱區(qū)間

4、 上連續(xù), (1) 若 是奇函數(shù),即則(2) 若 是偶函數(shù),即則ESC二、不定積分的概念與性質(zhì)1. 原函數(shù)定義定義4.2 (原函數(shù)定義) 在某區(qū)間 上,若有 或 則稱函數(shù) 是函數(shù) 在該區(qū)間上的一個(gè)原函數(shù). 2. 不定積分定義定義4.3 (不定積分定義) 函數(shù) 的所有原函數(shù),稱為 的不定積分,記作 被積函數(shù) 積分號(hào) 積分變量 被積表達(dá)式 其中 ESC二、不定積分的概念與性質(zhì)由不定積分的定義知 求被積函數(shù) 的不定積分,關(guān)鍵是求出被積函數(shù) 的一個(gè)原函數(shù) 然后再加上任意常數(shù)ESC二、不定積分的概念與性質(zhì)性質(zhì)1求不定積分與求導(dǎo)數(shù)或求微分互為逆運(yùn)算 或 或 性質(zhì)2不定積分運(yùn)算性質(zhì) ESC二、不定積分的概念

5、與性質(zhì)求下列不定積分: 例3(1) (2) 解(1)由不定積分的運(yùn)算性質(zhì) 解(2)由不定積分的運(yùn)算性質(zhì) ESC二、不定積分的概念與性質(zhì)例4（1）設(shè) 則_。（2）若 則_。（3）_。解（1）（3）（2）（4）則_。（4）（5）_。（5）ESC二、不定積分的概念與性質(zhì)例5設(shè)曲線過點(diǎn)（-1，2）， 并且曲線上任意一點(diǎn)處切線的斜率等于這點(diǎn)橫坐標(biāo)的兩倍，求此曲線的方程解設(shè)所求曲線方程為過曲線上任意一點(diǎn)的斜率為，ESC二、不定積分的概念與性質(zhì)所以，是的一個(gè)原函數(shù)，因?yàn)椋视智€過點(diǎn)(-,2)，有，即于是所求曲線方程為ESC 例6 通過各種生產(chǎn)技術(shù)試驗(yàn)，制造商發(fā)現(xiàn)產(chǎn)品的邊際成本是由函數(shù) =2q+6（千元/臺(tái)

6、）給出的，式中q是產(chǎn)品的單位數(shù)量已知生產(chǎn)的固定成本為9千元，求生產(chǎn)成本二、不定積分的概念與性質(zhì)ESC二、不定積分的概念與性質(zhì) 解生產(chǎn)成本的導(dǎo)數(shù) 是邊際成本即所以其中C是任意常數(shù)由固定成本的定義，知 C(0)= 9推得C = 9，于是得到滿足條件的生產(chǎn)成本ESC三、積分基本公式 為求積分,必須掌握!如下不定積分的基本積分公式:根據(jù)導(dǎo)數(shù) 基本公式 可推得 ESC三、積分基本公式ESC三、積分基本公式記住這些公式ESC四、換元積分法例3 求下列積分ESC五、分部積分法 分部積分 法公式 或 設(shè)函數(shù) 在閉區(qū)間 上都有連續(xù)的導(dǎo)數(shù), 則 或 設(shè)函數(shù) 都有連續(xù)的導(dǎo)數(shù),則ESC五、分部積分法下面列出應(yīng)用分部積

7、分法的常見積分形式及 ，的選取方法：1.，(，為正整數(shù))應(yīng)利用分部積分法計(jì)算一般，設(shè)，被積表達(dá)式的其余部分設(shè)為ESC五、分部積分法2.，(，為整數(shù))應(yīng)使用分部積分法計(jì)算一般，設(shè)，而被積表達(dá)式的其余部分設(shè)為ESC五、分部積分法例4 求下列積分ESC六、無限區(qū)間上的廣義積分廣義積分 定義 (1)函數(shù) 在無限區(qū)間 上的廣義積分記作取 ,若極限存在,則稱廣義積分收斂,并以這一極限值為該廣義積分的值,即若上述極限不存在,則稱廣義積分發(fā)散.ESC六、無限區(qū)間上的廣義積分廣義積分 定義 (2)函數(shù) 在無限區(qū)間 上的廣義積分用極限存在與否來定義它的斂散性. (3)函數(shù) 在無限區(qū)間 上的廣義積分定義為 其中 是

8、任一有限數(shù),僅當(dāng)?shù)仁接叶说膬蓚€(gè)廣義積分都收斂時(shí),左端的廣義積分才收斂；ESC六、無限區(qū)間上的廣義積分例1計(jì)算廣義積分 按廣義積分?jǐn)可⑿缘亩x,取 則先計(jì)算定積分 再取極限 ESC六、無限區(qū)間上的廣義積分 為了書寫方便,計(jì)算廣義積分時(shí),也采取牛頓萊布尼茨公式的記法.即,若 是函數(shù) 的一個(gè)原函數(shù),則 這里, 要理解為極限記號(hào),即 ESC六、無限區(qū)間上的廣義積分例2計(jì)算廣義積分 解按無限區(qū)間 上廣義積分?jǐn)可⑿缘亩x, ESC六、無限區(qū)間上的廣義積分例3計(jì)算廣義積分解ESC六、無限區(qū)間上的廣義積分例4 計(jì)算廣義積分解ESC六、無限區(qū)間上的廣義積分例6 計(jì)算廣義積分解ESC六、無限區(qū)間上的廣義積分在計(jì)算

9、 時(shí)，我們應(yīng)用了洛必達(dá)法則ESC七、積分的應(yīng)用由連續(xù)曲線直線 和 軸所圍成的曲邊梯形的面積 為 由定積分的幾何意義知面積ESC七、積分的應(yīng)用在區(qū)間 上,若有正有負(fù),ESC七、積分的應(yīng)用由兩條連續(xù)曲線兩條直線 所圍成的平面圖形的面積 按如下方法求得: (1)在區(qū)間 上,若有 則面積的計(jì)算公式為 ESC七、積分的應(yīng)用由兩條連續(xù)曲線兩條直線 所圍成的平面圖形的面積 按如下方法求得: (2)在區(qū)間 上,若不具有條件 則面積的計(jì)算公式為 ESC七、積分的應(yīng)用由連續(xù)曲線直線 和 軸所圍成的曲邊梯形的面積 為 ESC七、積分的應(yīng)用由兩條連續(xù)曲線兩條直線 所圍成的平面圖形的面積 為 ESC七、積分的應(yīng)用用定積

10、分求平面圖形面積的程序 根據(jù) 已知條件 畫出草圖選擇積分變量并 確定積分限: 直接判定或解方程組 確定曲線的交點(diǎn) 用相應(yīng)的公式計(jì)算面積.ESC七、積分的應(yīng)用例1求曲線 ，與直線所圍成的平面圖形的面積解如圖曲線 ， 與直線的交點(diǎn)分別為，,則所求面積ESC七、積分的應(yīng)用例2 求由曲線 所圍成平面圖形的面積。 解 如圖 ，由 得 11ESC七、積分的應(yīng)用練習(xí)：1、求由曲線 與 及 軸所圍成的圖形的面積。 2、求由下列曲線所圍成的平面圖形的面積ESC七、積分的應(yīng)用 設(shè)某產(chǎn)品的邊際成本為 =1（萬元/百臺(tái)），邊際收入 （萬元/百臺(tái)）其中 為產(chǎn)量，固定成本為1（萬元），求：（1）總成本函數(shù) 、總收入函數(shù) ;（2）產(chǎn)量 為多少時(shí)，總利潤最大？ 最大利潤是多少？例3ESC七、積分的應(yīng)用例4某工廠生產(chǎn)A產(chǎn)品，固定成本為400（萬元），每多生產(chǎn)一單位產(chǎn)品總成本增加10（萬元），若產(chǎn)銷平衡，又已知該商品的邊際收入函數(shù)為： ，求（1）總成本函數(shù) 和總利潤函數(shù) ； （2）當(dāng) 為多少時(shí)利潤 最大？最大利潤是多少？E