1、第三章 振動診斷的理論基礎(chǔ) 3-1 機械振動的運動學(xué)3-2 機械系統(tǒng)的建模基礎(chǔ)3-3 單自由度系統(tǒng)的自由振動3-4 單自由度系統(tǒng)的強迫振動1 振動是指物體經(jīng)過它的平衡位置所作的往復(fù)運動或系統(tǒng)的物理量在其平均值(或平衡值)附近的來回變動。振動是自然界最普遍的現(xiàn)象之一。大至宇宙，小至亞原子粒子，無不存在振動。各種形式的物理現(xiàn)象，如聲、光、熱等都包含振動。人們生活中也離不開振動：心臟的搏動、耳膜和聲帶的振動，都是人體不可缺少的功能；人的視覺靠光的刺激，而光本質(zhì)上也是一種電磁振動；生活中不能沒有聲音和音樂，而聲音的產(chǎn)生、傳播和接收都離不開振動。2 在工程技術(shù)領(lǐng)域中，振動現(xiàn)象也比比皆是。例如，橋梁和建筑

2、物在陣風(fēng)或地震激勵下的振動，飛機和船舶在航行中的振動，機床和刀具在加工時的振動，各種動力機械的振動，控制系統(tǒng)中的自激振動等。3 在許多情況下，振動被認為是消極因素。例如，振動會影響精密儀器設(shè)備的功能，降低加工精度，加劇構(gòu)件的疲勞和磨損，從而縮短機器和結(jié)構(gòu)物的使用壽命。振動還可能引起結(jié)構(gòu)的大變形破壞，有的橋梁曾因振動而坍塌；飛機機翼的顫振、機輪的抖振往往造成事故；車、船和機艙的振動會劣化乘載條件；強烈的振動噪聲會形成嚴重的公害。4 然而，振動也有它積極的一面。振動是通信、廣播、電視、雷達等工作的基礎(chǔ)。近幾十年以來，陸續(xù)出現(xiàn)許多利用振動的生產(chǎn)裝備和工藝。例如，振動傳輸、振動篩選、振動研磨、振動拋光

3、、振動沉樁、振動消除內(nèi)應(yīng)力等。它們極大地改善了勞動條件，成十倍、成百倍地提高了勞動生產(chǎn)率。可以預(yù)期，隨著生產(chǎn)實賤和科學(xué)研究的不斷進展，振動的利用還會與日俱增。5把外界對系統(tǒng)的作用或機器自身運動產(chǎn)生的力，稱為激勵或輸入；把機器或結(jié)構(gòu)在激勵作用下產(chǎn)生的動態(tài)行為，稱為響應(yīng)或輸出。振動分析(理論或?qū)嶒灧治?就是研究這三者間的相互關(guān)系。7工程中常見的振動問題A 機械中的振動問題 B 結(jié)構(gòu)中的振動問題C 機械加工過程中的振動問題 8第一節(jié) 機械振動的運動學(xué)一、機械振動及其分類機械振動：由于受外界條件的影響，機械系統(tǒng)將會圍繞其平衡位置作往復(fù)運動；是一種特殊的運動形式。10機械振動分類：1按對系統(tǒng)的輸入不同分

4、類(1)自由振動 系統(tǒng)初始干擾或原有的外激振力取消后產(chǎn)生的振動，即當系統(tǒng)的平衡被破壞后，沒有外力作用而只靠其彈性恢復(fù)力來維持的振動； (2)強迫振動 系統(tǒng)在外力作用下被迫產(chǎn)生的振動；(3)自激振動 由于系統(tǒng)具有非振蕩性能源和反饋特性，并有能源補充，而產(chǎn)生的一種穩(wěn)定的周期性振動。112按系統(tǒng)的輸出特性分類(1) 簡諧振動 振動量的時間歷程為單一正弦或余弦函數(shù)的振動；(2) 非簡諧周期振動 振動量為時間的周期函數(shù)，而又不是簡諧振動的振動，即簡諧振動之外的周期振動；(3) 瞬態(tài)振動 振動量為時間的非周期函數(shù)，且通常只在一定的時間段內(nèi)發(fā)生的振動； 123按系統(tǒng)的自由度之數(shù)目分類 (1) 單自由度系統(tǒng)的

5、振動 (2) 多自由度系統(tǒng)的振動 (3) 彈性體振動 144按描述系統(tǒng)的微分方程分類 (2) 非線性振動 (1) 線性振動 15 2、非簡諧周期振動 非簡諧周期振動，就是指除簡諧振動以外的周期振動。可以用周期性的時間變量函數(shù)來描述，即 非簡諧周期振動，可按傅里葉級數(shù)展開而分解為簡諧振動的疊加，即 17183、準周期振動 所謂準周期振動，也是由一些不同頻率的簡諧振動合成的振動。 19圖3-5 準周期振動時歷曲線及頻譜圖a時歷曲線 b頻譜圖 至少有一組fm /fn為無理數(shù)204、瞬態(tài)振動 瞬態(tài)振動屬于非周期振動，是一種只在某一確定時間段內(nèi)才發(fā)生的振動，可以用各種脈沖函數(shù)或衰減函數(shù)描述的振動。 21

6、5、隨機振動 隨機振動是一種非確定性振動，不能用精確的數(shù)學(xué)關(guān)系式描述，因為這種現(xiàn)象每次觀察都是不一樣的。 隨機振動雖然具有不確定性，但卻具有一定統(tǒng)計規(guī)律性。所謂統(tǒng)計規(guī)律性，就是在一定條件下多次重復(fù)某項實驗或觀察某種現(xiàn)象所得結(jié)果呈現(xiàn)出的規(guī)律性。 22 通過測量(檢測或監(jiān)測)計算或模擬試驗求得機械系統(tǒng)振動的主要參數(shù)及本身結(jié)構(gòu)的動態(tài)特性，是研究各種振動問題的主要內(nèi)容。 分析、計算振動特性的一般步驟應(yīng)是：將實際機械系統(tǒng)簡化為動力學(xué)模型；計算或測定系統(tǒng)的動態(tài)特性參數(shù)；根據(jù)力學(xué)模型查表，或者建立并解出系統(tǒng)振動的運動方程，從而求得所需要的振動特性及有關(guān)參數(shù)。 24一、建立力學(xué)模型的前期準備 1連續(xù)系統(tǒng)的離散

7、化 詳細做法是：把彈性較小、質(zhì)量較大的構(gòu)件簡化為不計彈性的集中質(zhì)量；把質(zhì)量較小、彈性較大的構(gòu)件簡化為不計質(zhì)量的彈性元件；也可把構(gòu)件中阻尼特性較大的部分簡化為不計質(zhì)量和彈性的阻尼元件。25 二 振動系統(tǒng)力學(xué)模型的三要素及自由度 彈簧、質(zhì)量、阻尼、自由度1彈簧 系統(tǒng)線性化后，振動體受到的彈性力與其位移的一次方成正比，這就是說，若某振動體一端受一個作用力F，則它的另一端必有一個大小與F相等，方向與之相反的力作用。力的大小與彈簧兩端點的相對位移成正比 272質(zhì)量 這是表示力和加速度關(guān)系的元件。在力學(xué)模型中，它被抽象為絕對不變形的剛體。 283阻尼工程實際中的阻尼種類很多，在振動、沖擊和噪聲領(lǐng)域涉及到的

8、主要有：粘性阻尼(線性阻尼)、干摩擦阻尼(庫侖阻尼)、結(jié)構(gòu)阻尼(材料內(nèi)阻，也稱滯延阻尼)。（1）粘性阻尼 粘性阻尼是一種最具代表性的理想阻尼形式，在系統(tǒng)線性化的假設(shè)前提下，粘性阻尼力與速度成正比，而方向與速度相反，即 29 （2）干摩擦阻尼 又稱庫侖阻尼，根據(jù)庫侖定律，兩干燥物體接觸面間的摩擦力為30 （3）結(jié)構(gòu)阻尼 結(jié)構(gòu)阻尼是由于材料的內(nèi)摩擦而產(chǎn)生，故又稱內(nèi)摩擦阻尼，簡稱內(nèi)阻。31 由材料力學(xué)的知識知道，當我們對一種材料加載到超過其彈性極限，然后卸載，并繼續(xù)往反方向加載，再卸載。在這樣一個循環(huán)過程中，其應(yīng)力應(yīng)變曲線會形成一個滯后回線，如圖39所示，滯后回線所包圍的面積表示了材料在一個循環(huán)過程

9、中釋放的能量，這部分能量將以熱能的形式逸散出去。32 結(jié)構(gòu)材料實際上不是完全彈性體，在振動過程中，也就是處在加載和卸載過程中，每個振動周期引起一次滯后回線。大量試驗表明，每一循環(huán)由結(jié)構(gòu)阻尼所引起的能量損失在很大一個頻率范圍內(nèi)與頻率無關(guān)，且其值為式中 b材料內(nèi)阻尼系數(shù)，又稱滯遲系數(shù)。 K與材料尺寸、形狀和特性有關(guān)的修正系數(shù)； A 振動振幅； n 振動振幅的指數(shù)。33 (4)等效粘性阻尼 由于粘性阻尼力與速度成線性關(guān)系，而使其在處理振動問題時比較方便，因此，當振動系統(tǒng)中存在非粘性阻尼(如摩擦阻尼、結(jié)構(gòu)阻尼等)時，我們通常用一個等效粘性阻尼Ce來進行近似計算。將非粘性阻尼簡化為粘性阻尼的等效原則，是

10、使得一個周期內(nèi)兩者所消耗的能量相等。即使 WeWr34設(shè)簡諧振動表達式為則等效粘性阻尼力為 而等效粘性阻尼在一個簡諧振動周期內(nèi)所作的功為由WeWr可得，等效粘性阻尼系數(shù)為35 干摩擦阻尼的等效粘性阻尼 干摩擦力F 一般可近似認為是一個常力。它在整個強迫振動過程中大小不變，但方向始終與運動方向相反。即在每1/4個周期內(nèi)，摩擦力作功為FA，而在一個整周期內(nèi)作功總和為 We4FA將其代入式 ，即可求得干摩擦阻尼的等效阻尼系數(shù)為36 流體阻尼的等效粘性阻尼 當物體以較高的速度在粘性較小的流體(包括空氣、液體)中運動時，物體所受的阻力與速度的平方成正比，即有可得流體阻尼在一個整周期內(nèi)所作的功為其等效粘性

11、阻尼系數(shù)為37 結(jié)構(gòu)阻尼的等效粘性阻尼 由式和式得結(jié)構(gòu)阻尼的等效粘性阻尼系數(shù)為38 經(jīng)過這種等效化以后，振動系統(tǒng)的運動微分方程中的阻尼項在各種阻尼情況下都為線性關(guān)系。394. 自由度 一個自由質(zhì)點在空間的位置可以用三個直角坐標來確定，故空間一自由質(zhì)點的自由度數(shù)為3； 一個自由剛體在空間的位置可以用其上某點的三個直角坐標及繞三個坐標軸的轉(zhuǎn)角來確定，空間一自由剛體的自由度數(shù)為6； 一個機械系統(tǒng)被離散化以后，其各集中質(zhì)量的位置可用某幾個獨立的坐標來確定，這幾個獨立坐標稱為廣義坐標。而決定該系統(tǒng)位置的獨立廣義坐標的數(shù)目稱為自由度數(shù)。 對于離散化的集中參數(shù)系統(tǒng)，其自由度數(shù)目是有限的，這種系統(tǒng)的運動狀態(tài)需

12、用常微分方程來描述，常微分方程的數(shù)目應(yīng)等于系統(tǒng)的自由度數(shù)。 40第三節(jié) 單自由度系統(tǒng)的自由振動 自由振動：就是指系統(tǒng)在初始干擾的作用后，僅靠彈性恢復(fù)力來維持的振動形式。其中，系統(tǒng)中不存在阻尼的叫無阻尼自由振動，而有阻尼的則稱之為有阻尼的自由振動。一單自由度系統(tǒng)的無阻尼自由振動 1直線振動 單自由度系統(tǒng)的無阻尼自由振動的力學(xué)模型可用彈簧質(zhì)量系統(tǒng)來描述。 41一單自由度系統(tǒng)的無阻尼自由振動 1直線振動 單自由度系統(tǒng)的無阻尼自由振動的力學(xué)模型可用彈簧-質(zhì)量系統(tǒng)來描述。由靜平衡條件可得 取x軸向下為正，則由牛頓第二定律可得 即 單自由度無阻尼自由直線振動的微分方程式。 42令則可得單自由度系統(tǒng)的無阻尼

13、自由振動微分方程的標準形式，即 此即單自由度系統(tǒng)在無阻尼情況下的自由響應(yīng)的一般形式。 43設(shè)初始條件為： 時， 代入上式，可解得 44結(jié)論：單自由度系統(tǒng)的無阻尼自由振動是一簡諧振動，其振動頻率只取決于系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)特性，而與初始條件無關(guān)，稱為固有頻率，而振動的振幅值和初相位與初始條件有關(guān)；(2) 常力只改變系統(tǒng)的靜平衡位置，而不影響系統(tǒng)的固有頻率、振幅和初相位，即不影響系統(tǒng)的振動。因此，在分析振動問題時，只要以靜平衡位置作為坐標原點就可以不考慮常力，這一點對于建立系統(tǒng)的運動微分方程有幫助。 452扭轉(zhuǎn)振動 工程上還有一種需要用角位移作為廣義坐標來表達的振動形式，即扭轉(zhuǎn)振動，又稱角振動。圖3-1

14、1所示圓盤直桿系統(tǒng)即為扭轉(zhuǎn)振動的力學(xué)模型。 現(xiàn)取為廣義坐標，逆時針方向為正，則通過受力分析，可以建立起系統(tǒng)的扭轉(zhuǎn)振動微分方程為 即 46令 則有 設(shè)初始條件為： 時， 代入上式，可解得 473系統(tǒng)固有頻率的求解 固有頻率是自由振動系統(tǒng)的一個重要特征參量，求解系統(tǒng)固有頻率常用方法： (1) 能量法 當系統(tǒng)只受保守力(如重力、彈性力等)作用而沒有阻尼時，則系統(tǒng)在整個運動過程中將沒有能量的損耗而保持機械能守恒，即有 即48對于簡諧振動，可以選取兩個特殊的瞬時位置，即可選當質(zhì)點正通過靜平衡點時為第一瞬時位置，此時速度最大，即動能最大，而把其勢能定義為零，即有 ；把質(zhì)點到達最大位移時作為第二瞬時位置，此

15、時，系統(tǒng)的勢能最大，而速度為零，即動能為零，此時有 。由此可得 49例： 圖3-12所示為測量低頻振幅用的傳感器中的一個元件無定向擺的示意圖。無定向擺的擺輪上鉸接一搖桿，搖桿的另一端有一敏感質(zhì)量m。在搖桿離轉(zhuǎn)動軸O距離為a的某個位置，左右各聯(lián)結(jié)一剛度為K的平衡彈簧，以保持擺在垂直方向的穩(wěn)定位置。 設(shè)已知整個系統(tǒng)對轉(zhuǎn)動軸O的轉(zhuǎn)動慣量為 試求該系統(tǒng)的固有頻率。 50解：取搖桿偏離靜平衡位置的角位移為廣義坐標，并設(shè) 則 由此得 在搖桿擺過靜平衡位置時，系統(tǒng)的動能最大，為 51當搖桿擺到最大角位移時，系統(tǒng)的勢能最大，為 由 ，得 52即 53 (2)靜變形法 在某些實際問題中，當不能直接給出其系統(tǒng)的彈

16、性剛度K時，采用靜變形法來計算系統(tǒng)的固有頻率是比較方便的。由式5455例 設(shè)一不計自重的懸臂梁，在自由端有一集中質(zhì)量m，抗彎剛度未知，試求這個系統(tǒng)的固有頻率。 解 設(shè)測得懸臂梁在自由端質(zhì)量塊m處的靜位 移為st，則可得該系統(tǒng)的固有頻率為56(3)瑞利法 假設(shè)系統(tǒng)中彈簧的質(zhì)量可以忽略不計，這種簡化在許多實際問題中可能已經(jīng)足夠準確，但當彈簧本身的質(zhì)量占有系統(tǒng)總質(zhì)量的相當比重而不能忽略時，仍采用前面的方法來計算固有頻率，就會使計算值偏高。在這種彈簧本身質(zhì)量不可忽略的情況下，為了得出更精確的計算結(jié)果，就要采用瑞利法計算。它運用能量原理，把一個分布質(zhì)量系統(tǒng)簡化為一個單自由度系統(tǒng)，從而把彈簧分布質(zhì)量對系統(tǒng)

17、振動頻率的影響考慮進去，得出更精確的固有頻率值。57 應(yīng)用瑞利法時，必須先假定一個系統(tǒng)的振動形式，并且固有頻率的計算結(jié)果準確程度取決于這個假定的振動形式與系統(tǒng)的實際振動形式的接近程度。假定的振動形式越準確，則計算結(jié)果就越精確。實踐證明，以靜變形作為假定的振動形式，所得近似解與準確解比較，一般來說誤差是很小的。58例 設(shè)有如圖所示的彈簧質(zhì)量系統(tǒng)，彈簧的剛度為K，靜長度為l，單位長度的質(zhì)量為，質(zhì)量塊m在光滑平面上作水平往復(fù)運動，求該系統(tǒng)的固有頻率。59 解 因為彈簧的質(zhì)量不可忽略，故可用瑞利法來求解。為此，假定彈簧各截面在振動過程中，任一瞬時的位移和一根等直桿在一端固定另一端受軸向靜載荷作用下各截

18、面的位移一樣。根據(jù)材料力學(xué)，這時各截面的軸向位移與它離固定端的距離成正比，設(shè)彈簧在聯(lián)結(jié)質(zhì)量塊的一端位移為x，則距固定端處的位移為x/l。60 設(shè)彈簧在聯(lián)結(jié)質(zhì)量塊的一端位移為x，則距固定端處的位移為x/l，因此，當質(zhì)量m在某一瞬時的速度為 時，彈簧在處的微段d的相應(yīng)速度為 ，則該微段d的動能為 ，所以，整個彈簧的動能為：61 于是整個系統(tǒng)的總動能為質(zhì)量塊m的動能和彈簧質(zhì)量的動能之和，在質(zhì)量塊經(jīng)過靜平衡位置時，系統(tǒng)動能最大，為系統(tǒng)的勢能仍和忽略彈簧質(zhì)量時的一樣，最大勢能為由TmaxVmax，得對于簡諧振動，有代入上式，得62 考慮彈簧質(zhì)量時，系統(tǒng)的固有頻率為63 作業(yè)： 一無質(zhì)量的剛性桿鉸接于O，

19、試確定系統(tǒng)振動的固有頻率。64二、單自由度系統(tǒng)的有阻尼自由振動 工程實際中的阻尼有各種來源，但在線性化的假設(shè)條件下，都可認為阻尼力的大小與物體的運動速度成正比，即為線性阻尼。這樣，有阻尼的單自由度振動系統(tǒng)便可用以下的力學(xué)模型來進行描述，即彈簧質(zhì)量阻尼系統(tǒng)。65與無阻尼自由振動一樣，仍取質(zhì)量塊m的上下運動軌跡為廣義坐標方向，并取向下為正，廣義坐標原點取在靜平衡位置，則由牛頓第二定律可得 66將 代入，并整理可得此即為單自由度系統(tǒng)有阻尼自由振動的運動微分方程。 令 可將上式化為如下的標準形式 由微分方程解的理論，可設(shè)其解為 67代入上式得其特征方程為 其特征根為 當 時，得原方程()的通解為 當

20、，即特征方程有重根時，原方程式()的通解為68 引入一個無量綱量 ，稱為相對阻尼系數(shù)或阻尼比，即當 ，即 ，根式 為實數(shù)，稱為強阻尼狀態(tài)；當 ，即 ，根式 為虛數(shù)，稱為弱阻尼狀態(tài)；當 ，即 ，根式 為零數(shù)，稱為臨界阻尼狀態(tài)；691、弱阻尼狀態(tài)(1)弱阻尼狀態(tài)下的振動響應(yīng) 此時 或 ，利用歐拉(Euler)公式可將式（3-41）改寫為 式中 A，待定常數(shù)，由初始條件決定。 70設(shè)初始條件為： 時， 代入上式，可得 由此可以解得 71由式(3-44)可知，系統(tǒng)的振動已不再是等幅的簡諧振動，而是振幅按 規(guī)律衰減振動，當t時，x0，振動最終將消失，n衰減系數(shù)，n越大，表示阻尼越大，振幅衰減得越快。圖3

21、-17是這種衰減振動的響應(yīng)曲線。72A=1 n=1 n=4 =073A=1 n=0.1 n=4 =074(2)振動特性討論 阻尼系統(tǒng)的振動名義周期略為增大。衰減振動的圓頻率為 衰減振動的周期為 75 阻尼使系統(tǒng)振動的振幅按幾何級數(shù)衰減。相鄰兩個振幅之比為 式中減幅系數(shù)。 工程上，為應(yīng)用方便起見，常用對數(shù)減幅系數(shù)代替減幅系數(shù)，即762、強阻尼狀態(tài)當 ，即 ，根式 為實根，原微分方程的通解為 其中的兩個指數(shù)函數(shù)的指數(shù)均為負數(shù)，系統(tǒng)不再具有振動特性，其位移按指數(shù)規(guī)律衰減。當|C1|C2| ，C10，C20時，運動的時歷曲線如圖3-18所示，即強阻尼可以抑制振動的發(fā)生。 77 圖3-18 強阻尼狀態(tài)下

22、的響應(yīng)曲線 78C1=5 C2=3 n=5 n=4 793、臨界阻尼狀態(tài)在t =0時 此時 ，即 ，特征方程有兩重根 ；原微分方程的通解為系統(tǒng)也不具有振動特性。 的初始條件下，系統(tǒng)的響應(yīng)為80圖3-19 臨界阻尼狀態(tài)系統(tǒng)的響應(yīng)曲線 81臨界阻尼的條件82第四節(jié) 單自由度系統(tǒng)的強迫振動 在工程實際中，還廣泛地存在著一種系統(tǒng)在持續(xù)外界激振作用下的振動，即強迫振動。強迫振動由于有外界激振作用不斷向系統(tǒng)補充能量，所以，振動可無限持續(xù)下去而不會消失。一、系統(tǒng)在簡諧激振力作用下的強迫振動簡諧激振力是一種最簡單外部激振形式，也是分析復(fù)雜的激振作用下系統(tǒng)的強迫振動的基礎(chǔ)。1計算力學(xué)模型及其運動微分方程 83簡

23、諧激振力作用下的單自由度系統(tǒng)的強迫振動力學(xué)模型可用圖3-20來描述。 因為 所以 令 84其解即為單自由度系統(tǒng)在外界簡諧激振作用下的強迫振動。由微分方程解的理論可知，其通解為 其中， 為微分方程左邊對應(yīng)的齊次微分方程的解，即單自由度系統(tǒng)的自由振動響應(yīng)。由上節(jié)的分析可知，在弱阻尼情況下為8586由于微分方程的非齊次項是一個正弦函數(shù)，可知其特解 為一同頻率的正弦函數(shù)，可設(shè)為整理可得 由于在任意時刻，上式都應(yīng)成立，故有 87所以 88引進符號 稱為靜變位； 稱為頻率比； 稱為阻尼比（相對阻尼系數(shù)） 89代入90 912、振動特性的討論 (1)振動頻率 系統(tǒng)在簡諧激振力作用下的強迫振動是與激振力同頻率的簡諧振動；(2)振幅和相位 強迫振動的振幅B和相位差都只取決于系統(tǒng)本身的物理性質(zhì)和激振力的特性，而與初始條件無關(guān)，初始條件只影響瞬態(tài)振動；(3)影響強迫振動的振幅的因素 激振力幅值的影響 當其他條件不變時，強迫振動的振幅與激振力的幅值成正比，即 92 頻率比的影響 頻率比對振幅的影響關(guān)系復(fù)雜，可用振幅頻率特性曲線(簡稱幅頻特性曲線)來描述，為此，引入一個新的變量 稱為振幅放大因子。 93 a當 時， ，即此時的振幅B與激振力幅值作用引起的靜變位差不多，這說明激振力變化緩慢，動力影響不大