1、新教材必修第一冊5.4.1正弦函數、余弦函數的圖像5.4.2正弦函數、余弦函數的性質課標解讀1.正弦函數、余弦函數的圖像（理解）2.周期函數的概念.（了解）3.正弦函數與余弦函數的性質.（理解）學法指導1.在學習本節內容時，應在三角函數定義的基礎上，利用單位圓作出正弦函數和余弦函數的圖像，再利用圖象形象直觀探究、把握、記憶正弦和余弦函數的性質.2.教材上重點研究了正弦函數的圖象及性質，同學們可以通過類比學習余弦函數的性質.知識導圖知識全解知識點1：正弦函數與余弦函數的圖像1.正弦函數的圖象（1）函數的圖象根據三角函數的定義，利用單位圓，我們可以得到的圖象，如圖所示.由誘導公式一可知，函數的圖像

2、與的圖象形狀完全一致.因此將函數的圖象不斷向左、向右平移（每次移動個單位長度），就就可以得到正弦函數，的圖像.（2）五點法觀察下圖，在函數的圖象上，以下五個點在確定圖象形狀時起關鍵作用.描出這五個點，函數的圖象形狀就基本確定了.因此，在精確度要求不高時，常先找出這五個關鍵點，再用光滑的曲線將它們連接起來，得到正弦函數的的簡圖.這種作圖方法叫做“五點（畫圖）法”余弦函數的圖象（1）圖象變換法作余弦函數的圖象由誘導公式六，我們知道，而函數的圖象可以通過正弦函數，的圖像.向左平移個單位長度而得到，所以將正弦函數的圖象向左平移個單位長度，就得到余弦函數的圖象.（2）五點法作余弦函數的圖象類似于正弦函數

3、圖象的作作法，從余弦函數的圖象可以看出，要作出函數在上的圖象，起關鍵作用的五個點是：先描出這五個點用一條光滑的曲線連接起來就得到了函數在上的簡圖，再通過左右平移（每次移動個單位長度）即可得到余弦函數，的圖象.3.正弦曲線、余弦曲線正弦函數的圖象和余弦函數的圖象分別叫做正弦函數和余弦曲線.它們是具有相同形狀的“波浪起伏”的連續光滑曲線.例1-1：（1）作出函數的簡圖；（2）作出函數的簡圖.答案：（1）（2）例1-2：作出函數的簡圖.答案：知識點2：正弦函數、余弦函數的性質1.周期函數（1）定義：一般地，設函數的定義域為D，如果存在一個非零常數T，使得對每一個都有，且，那么函數就叫做周期函數.非零

4、常數叫做這個函數的周期函數.（2）最小正周期：如果在周期函數的所有周期中存在一個最小的正數，那么這個最小正數就叫做的最小正數就叫做的最小正周期.2.正弦函數、余弦函數的性質正弦函數與余弦函數的圖像與性質如下表：函數函數定義域RR值域-1,1-1,1周期性最小正周期：最小正周期：奇偶性奇函數偶函數單調性增區間減區間最值當時，；當時，.當時，；當時，；.圖象的對稱性對稱中心：對稱軸方程：對稱中心：對稱軸方程：例2-3：若函數和在區間D上都是增函數，則區間D可以是（ ）A. B. C. D. 答案:D例2-4：設，則（ ）A. B. C. D.答案：A例2-5：求下列函數的定義域和值域：（1）； （

5、2）； （3）.答案：（1）1,3; （2）； （3）.重難拓展知識點3：函數周期性的探究1.對周期函數定義的理解在已知函數是周期函數的前提下，對于一個非零常數為函數的周期的反面理解是只要定義域中有一個值，使得，則就不是的周期.例如，對于，我們在得到它是以為周期的周期函數后，一個自然的問題是：還有沒有其他的數是正弦函數的周期？例如是不是它的周期？可以得到，雖然對于常數，對自變量取時都有，但并非“每一個值”都成立，如自變量取時就有，因此不是正弦函數的周期.2.周期函數定義的幾點說明（1）周期函數的定義是對定義域中的每一個值來說的.如果只有個別的滿足，那么是不能成為的周期的.（2）從等式來看，自變

6、量本身所加的非零常數才是周期，如，不是周期，而應寫成，即2是的周期.（3）不是所有的函數都是周期函數，如就不是周期函數.（4）周期函數的周期不唯一，如果是函數的周期，那么也是函數的周期.（5）設周期為的函數的定義域為，若，則必有.因此周期函數的定義域一定既無上界也無下界.（6）函數的周期性是函數在定義域上的整體性質.若一個函數為周期函數，則只需研究它在一個周期范圍內的整體性質，就可以知道它的整體性質.3.對最小正周期概念的理解（1）不是所有的周期函數都存在最下正周期的.例如，常數函數，所有非零常數都是它的周期，顯然在非零實數組成的集合中，不存在最小的正數，所以常數函數不存在最小正周期.又如函數

7、任何一個非零有理數都是它的周期，但沒有最小正周期.說明某正數是函數的最小正周期，只需說明比該周期小的任意正數都不是該函數的周期即可.（3）若無特別說明，本書中所說的周期一般都是最小正周期.4.一類周期函數的周期公式（1）一般地，函數的最小正周期（2）若函數的周期是，則函數的周期為,5.抽象函數的周期性（1）若函數滿足，則函數是周期函數，為它的一個周期.（2）若函數，滿足，則函數是周期函數，為它的一個周期.若，則的一個周期為.（3）若函數和的圖象有兩條對稱軸，則函數是周期函數，為它的一個周期.（4）若函數的圖象存在對稱中心A，B，則函數為周期函數，且為它的一個周期.（5）若函數的圖象存在對稱軸，

8、對稱中心B，則函數為周期函數，且為它的一個周期.（6）若，則為函數的一個周期.例3-6：求下列函數的最小正周期：（1） （2）.答案：（1） （2）.例3-7：干支紀年法（農歷）是屹立于世界民族之林的科學歷法之一，與國際公歷歷法并存.黃帝時期，就有了使用六十花甲子的干支紀年歷法.干支是天干地支的總稱，把干支順序相配正好六十為一周期.周而復始，循環記錄.甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸十個符號叫做天干；子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥十二個符號叫做地支，受此周期規律的啟發，可以求得函數的最小正周期為（ ）A. B. C. D.答案：C例3-8：若對于任意實數x，都有，（常數為

9、正整數），則是否為周期函數？若為周期函數，求它的一個周期；若不是周期；若不是周期函數，說明理由.答案：由，得，由+得，所以所以故函數為周期函數，周期為.例3-9：（多選題）定義表示不超過的最大整數，例如，若，則下列結論中正確的是（ ）A.是奇函數B.是周期函數，周期為1C.的最小值為0，無最大值D.無最小值，最大值為答案：BC知識點4：正弦型函數及余弦函數的性質1.函數正弦型函數及余弦函數的性質函數定義域RR值域單調性當時，將視為一個整體，帶入相應的單調區間求解；當時，注意單調區間的變化.奇偶性當時為奇函數當時為偶函數當時為偶函數當時為奇函數周期性圖象對稱性將視為一個整體，帶入相應的對稱軸方程

10、或對稱中心的橫坐標滿足的方程求解2.三角函數的最值與單調性、奇偶性、周期性的聯系（1）三角函數的最值與單調性之間的聯系相鄰兩個最大值之間的距離為一個周期，兩個最大值之間有一個最小值，從左至右第一個最大值對應的與最小值對應的之間構成的區間為減區間，第一個最小值對應的與第二個最大值對應的所構成的區間，從而三角函數的單調遞減區間為，單調遞增區間為，單調遞增區間為.當然也可以從右至左來看，最大值對應的自變量的值向左半個周期所對應的區間為增區間，此時三角函數的單調遞增區間為，單調遞減區間為函數的最小值的相應情況可類似討論.（2）三角函數的最值與奇偶性之間的聯系三角函數為偶函數當且取得最值.三角函數為奇函

11、數當且僅當.（3）三角函數的最值與周期性之間的聯系由三角函數的圖象可知，相鄰兩個最大值之間的區間長度為周期，相鄰最大值與最小值之間的區間長度為，相鄰的圖象最高（低）點與圖象與軸的交點之間的區間長度為例4-10：（多選題）關于函數，下列命題正確的是（ ）A.若，是的整數倍B.原函數等價于C.的圖象關于點對稱D.的圖象關于直線對稱答案：BD例4-11若函數是R上的偶函數，則等于（ ）0 B. C. D. 答案：C例4-12：若是函數（）的兩個相鄰的零點，則（ ）.2 B. C. 1 D.答案：A題型與方法題型1：正、余弦函數圖象的應用1.函數圖形的識別問題例13.函數在上的圖象大致為（ ）答案：B

12、例14：（多選題）已知函數的部分圖象如圖所示，將此圖象作以下變化后的圖象可以與原來圖象重合的變換方法是（ ）若著軸上一點旋轉180沿軸正方向平移以軸為軸作對稱以軸的某一條垂線為軸作軸對稱.答案：BD變式訓練1：1.函數的大致圖象為（ ）答案：D2.解三角不等式例15：不等式的解集為 .答案：3.利用圖象解決與函數零點或圖象交點個數有關的問題例16：已知函數，若函數圖象上關于原點對稱的點至少有3對，則實數的取值范圍是（ ）A.（0,） B. （） C.（） D.（）答案：A變式訓練2：若集合，= .答案：變式訓練3：方程的實數解的個數為 .答案：2題型2：值域與最值問題1.利用三角函數的有界性和

13、單調性求值域（或最值）例17：求下列函數的值域；（1）（2）答案：（1） （2）2.化為型函數求值域（或最值）例18：求使下列函數取得最大值和最小值時的的值，并求出函數的最大值和最小值：（1）（2）答案：（1） （2） 3.分離常量求值域（或最值）例19：求函數的值域.答案：變式訓練4：求下列函數的值域：（1） （2）答案：（1）； （2）題型3：單調性問題1.求正、余弦型函數單調遞減區間（母題）例20：函數的單調遞增區間為 .答案：子題1：函數的單調減區間為 .答案：子題2：函數的單調遞增區間為 .答案：例21：已知函數在區間上是增函數，且在區間上恰好取得一次最大值1，則的取值范圍是（ ）A

14、. B. C. D.答案：C變式訓練5：函數的單調遞增區間是（ ）A. B. C. D.答案：D變式訓練6：當時，函數取得最大值，則的一個單調減區間是（ ）.A. B. C. D.答案：B2.比較大小例22：比較下列各組數的大小（1）；（2）（3）答案：（1） （2） （3）題型4：奇偶性與對稱性問題1.由函數奇偶性確定參數的值例23：已知函數是奇函數，則的值可以是（ ）0 B. C. D. 答案：B2.三角函數圖象的對稱性例24：如果函數的圖象關于點中心對稱，那么|的最小值為 .答案：例25：已知函數的圖象關于直線對稱，且，則的最小值為（ ）2 B. 4 C.6 D.8答案：A變式訓練7：已

15、知函數在處取得最大值，則函數的圖象（ ）A.關于點對稱 B.關于點對稱 C.關于直線對稱 D.關于直線對稱 答案：A題型5：函數的周期性例26：求下列函數的最小正周期.；答案：（1）；（2）.例27：已知函數，若函數圖象的一個對稱中心到對稱軸的距離的最小值為，則的值為 .答案：變式訓練8.已知的圖象在0,1上有10個最高點，則的取值范圍為（ ）A. B. C. D.答案：A題型6：函數性質的綜合應用例28：已知函數（其中為常數）.求的單調區間；當時，的最大值為4，求的值；求使取最大值時的取值集合.答案：（1）函數的單調遞增區間是，單調遞減區間是.（2）最大 （3）.易錯提醒易錯1：忽略有界性例

16、29:求函數的最大值.答案：若時，最大值為；若時，最大值為；若時，最大值為.易錯2：忽略定義域例30：函數的單調增區間為 .答案：高考鏈接考向1：正弦、余弦函數的圖象例31：函數在上的圖象大致為（ ）答案：D考向2：正、余弦函數的單調性例32：已知函數，則的單調遞增區間為 .答案：考向3：正余弦函數的最值例33：設函數，若對任意的實數都成立，則的最小值為 .答案：例34：函數的最大值是 .答案：1考向4：正、余弦函數的周期性與對稱性例35：函數的最小正周期為（ ）A. B. C. D.答案：C變式探源1：逆向問題由一條對稱軸方程確定參數值1.已知函數的圖象關于直線對稱，則的值是 .答案：變式探

17、源2：逆向問題由兩條對稱軸的方程確定的值2.若直線是函數圖象的兩條相鄰的對稱軸，則 .A. 2 B. C. 1 D.答案：A 考向5：正、余弦函數的綜合問題例37：關于函數有下列四個結論：是偶函數；在區間上單調遞增；在上有4個零點；的最大值為2.其中所有正確結論的編號是（ ）A. B. C. D.答案：C基礎鞏固1.函數的最小正周期為（ ）A. B. C. D.2.下列函數的圖象中，關于直線對稱的是（ ）A. B. C. D.3.若函數，則不等式的解集為（ ）A. B. C. D.4.在內，使成立的的取值范圍是（ ）A. B. C. D.5.方程的實數根有（ ）A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 無窮多個6.已知函數，則（ ）A.的最小值為-1 B.點是的圖象的一個對稱中心C.的最小正周期為 D.在上單調遞增能力提升7.函數在區間0,上的最小值為（ ）A.-1 B. C. D. 08.設，則下列結論錯誤的是（ ）A.的一個周期為 B.的圖象關于直線對稱C.的一個零點為 D.在上單調遞減9.已知奇函數滿足，則的取值可能是（ ）A. 4 B. 6 C.8