1、新高一數學下期中試卷及答案選擇題在長方體ABCD-AC中，AB=BC=2,與平面BB&C所成的角為30，則該長方體的體積為（）A.8B.6忑c.Sy/2D.8笛已知直線/過點（1,0）,且傾斜角為直線/。：x-2y-2=0的傾斜角的2倍，則直線/的方程為（）A.4x-3y-3=0B.3x-4y-3=0C3x-4y-4=0D4x-3y一4=0陀螺是漢族民間最早的娛樂工具之一，也稱陀羅，北方叫做“打老?！?陀螺的主體形狀一般是由上面部分的圓柱和卞面部分的圓錐組成如圖畫出的是某陀螺模型的三視圖，已知網格紙中小正方形的邊長為1,則該陀螺模型的體積為（）A.C.32“B.+45龍A.C.32“B.+45

2、龍332“D.+33龍34.3蘭+32龍3已知三棱錐S-ABC的所有頂點都在球。的球面上，SC為球O的直徑，且SC丄Q4,SC丄OB,2AB為等邊三角形，三棱錐S-ABC的體積為婕，則球O3的半徑為（）A.3B.的半徑為（）A.3B.1C.2D.45.己知點P（x,y）是直線b+y+4=0（k0）上一動點，PA/3是圓C:x2+y2-2y=0的兩條切線，切點分別為若四邊形PACE的面積最小值為2,則R的值為（）D2A.D2A.32己知正四面體ABCD中，M為棱AD的中點，設P是（含邊界）內的點，若點P到平面ABC,平面ACD,平面誠的距離相等，則符合條件的點P（）A.僅有一個B.有有限多個C.

3、有無限多個D.不存在在我國古代數學名著九章算術中，將四個面都為直角三角形的四面體稱為螫腸，如圖，在鱉ABCD中，A3丄平面BCD,且AB=BC=CD,則異面直線AC與所成角的余弦值為（）C1A.21B.2C.更2D.28.己知直線仏T+y-2+。=0在兩坐標軸上的截距相等，則實數0=（)A1B一1C._2或1D2或19.用一個平面去截正方體，則截面不可能是（）A.直角三角形B.等邊三角形C.正方形D正六邊形10.在三棱錐P-ABC中，P4丄平面ZBAC=120,AP=y/2,AB=2,M是線段BC上一動點，線段PM長度最小值為JJ,則三棱錐P-ABC的外接球的表面積是（）A.C.18兀D.40

4、龍11.已知實數九）滿足2x+y+5=0,A.C.18兀D.40龍11.已知實數九）滿足2x+y+5=0,那么的最小值為（A.B.V10c.2怎D271012.在長方體ABCD-AC中，AAl=AiDl=a,A1Bl=2a9點p在線段4卩上運動，當異面直線CP與所成的角最人時，則三棱錐C-PAQ的體積為（）D.D.填空題13.已知棱長為1的正方體ABCDA/QD中，E,F,M分別是線段AB、AD./Vh的中點，又P、0分別在線段兒艮、AQ上，且A1P=A1g=x（0r0)截直線x+y=0所得線段的長度是2近、則圓M與圓N:(.r-1)2+(y-廳=1的位置關系是.已知直線Ax+By-4A=0與

5、圓O：x2+y2=36交于M,N兩點,則線段MN中點G的軌跡方程為.已知平面a,B,Y是空間中三個不同的平面，直線1,m是空間中兩條不同的直線，若a丄丫，丫Gci=m,丫GB=1,1丄m,則m丄B;1丄a；B丄丫；a丄B.由上述條件可推出的結論有(請將你認為正確的結論的序號都填上).將正方形ABCD沿對角線3D折成直二面角A-BD-C,AB與平面BCD所成角的大小為60MCD是等邊三角形43與CD所成的角為60AC丄3D二面角B-AC-D為120。則上面結論正確的為.18.已知圓M:x2+(y-2)2=l,0是x軸上的動點，QA,分別切圓M于4，BTOC o 1-5 h z兩點，則動弦AB的中

6、點P的軌跡方程為.圓臺的兩個底面面積之比為4：9,母線與底面的夾角是60。，軸截面的面積為180JJ，則圓臺的側面積為.若圓Gx2+y2+2x-4y+3=0,關于直線2ax+by+6=0對稱，則由點(a,b)向圓所作的切線長的最小值為.三、解答題在平面直角坐標系坨V中，已知兩直線/1：x-3y-3=0和A：x+y+l=0,定點4(1,2).(1)若人與h相交于點P,求直線AP的方程；(2)若A恰好是AABC的角平分線所在的直線，人是中線CM所在的直線，求AABC的邊所在直線的方程.如圖，在三棱錐S-ABC中，ASAC為等邊三角形，AC=4,BC=4藕,丄AC,cosZSCB=-至，D為AB的中

7、點.4S(1)求證：4C丄SD：(2)求直線SD與平面SAC所成角的人小.如圖，直角梯形BDFE中，EF!IBD、BE丄BD、EF=2忑,等腰梯形ABCD中,AB/CD,AC丄BD,AE=2CD=4,且平面BDFE丄平面ABCD.求證：AC丄平面BDFE；若BF與平面ABCD所成角為壬，求二面角B-DF-C的余弦值.4已知圓C:(x-2)2+(y-3)2=4外有一點(4,-1),過點P作直線/當直線/與圓C相切時，求直線/的方程：當直線/的傾斜角為135。時，求直線/被圓C所截得的弦長.如圖，在RtAOB中，ZOAB=30,斜邊4B=4，RtAOC以通過RrAOB以直線AO為軸旋轉得到，且平面

8、丄平面AOC.動點D在斜邊ABh.求證：平面COD丄平面AOB；當)為4B的中點時，求異面直線AO與CD所成角的正切值.如圖，三棱柱ABC-AC,中，平面AAQC丄平面AAB,平面AAC丄平面ABC,AB=AC=AAl=2,點p、M分別為棱BC、CC；的中點，過點B、M的平面交棱于點N、使得AP平面BMNR(1)求證：43丄平面MQC；若棱錐杯的體積為孕求知C的正弦值.【參考答案】杯*試卷處理標記,請不要刪除_、選擇題.C解析：C【解析】【分析】首先畫出長方體ABCD-AQC口,利用題中條件，得到ZAC=30,根據AB=2,求得BC、=2書,可以確定Cq=2Q,之后利用長方體的體枳公式求出長方

9、體的體積.【詳解】在長方體ABCD-ACft,中，連接BC,CiCi根據線面角的定義可知=30,因為AB=2,所以BC、=2*,從而求得CC、=2近,所以該長方體的體積為V=2x2x2/2=8/2故選C.【點睛】該題考查的是長方體的體積的求解問題，在解題的過程中，需要明確長方體的體積公式為長寬高的乘積，而題中的條件只有兩個值，所以利用題中的條件求解另一條邊的長就顯得尤為重要，此時就需要明確線面角的定義，從而得到量之間的關系，從而求得結果.D解析：D【解析】設直線/0的傾斜角為a,則斜率k0=tana=扌，所以直線/的傾斜角為2a,斜率R=tan2a=,2山=,又經過點（i,0）,所以直線方程為

10、y=（兀一1）,即1-tana334x-3y-4=0,選D.D解析：D【解析】【分析】由三視圖可知，該陀螺模型是由一個正四棱錐、一個圓柱、一個圓錐組合而成根據柱體、錐體的體枳計算公式即得該陀螺模型的體枳.【詳解】由三視圖可知，該陀螺模型是由一個正四棱錐、一個圓柱、一個圓錐組合而成.II32所以該陀螺模型的體積V=-x42x2+x32x3+-xx32x2=+33-.333故選：D.【點睛】本題考查三視圖，考查學生的空間想彖能力，屬于基礎題.C解析：C【解析】【分析】根據題意作出圖形，欲求球的半徑廣.利用截面的性質即可得到三棱錐S-ABC的體枳可看成是兩個小三棱錐S-ABO和C-加O的體積和，即可

11、計算出三棱錐的體積，從而建立關于廠的方程，即可求出廣，從而解決問題.【詳解】解：根據題意作出圖形：設球心為0,球的半徑廠.SC丄OA,SCIOB,.SC丄平面AOB,三棱錐S-ABC的體枳可看成是兩個小三棱錐S-ABO和C-ABO的體積和.冬棱郵BC=冬梭fftswo+冬棱傕cwo=-x-xrxrx2=?.r=2.故選：c.【點睛】本題考查棱錐的體積，考查球內接多面體，解題的關鍵是確定將三棱錐S-ABC的體枳看成是兩個小三棱錐S-ABO和C-的體積和，屬于中檔題.D解析：D【解析】【分析】當且僅當PC垂直于也+y+4=0伙0)時，四邊形P4CB的面枳最小，求出|PC|后可得最小面枳，從而可求R

12、的值.【詳解】圓C方程為F+b-l)=l,圓心C(0,l),半徑為1.因為FA，PB為切線,PC|=|P4|+1且S四邊形pac8=2xx|PA|xl=|PA|=2.當|P4|最小時，%邊形PAC8最小，此時|PC|最小且PC垂直于/cx-by+4=0(k0).【點睛】【點睛】圓中的最值問題，往往町以轉化圓心到幾何對彖的距離的最值來處理，這類問題屬于中檔題.A解析：A【解析】【分析】根據正四面體的對稱性分析到平面ABC,平面ACD,平面他的距離相等的點的軌跡，與MCM所在平面的公共部分即符合條件的點P.【詳解】在正四面體ABCD中，取正三角形3CD中心0,連接AO,根據正四面體的對稱性，線段A

13、O上任一點到平面ABC,平面ACD,平面的距離相等，到平面ABC,平面ACD,平面遜的距離相等的點都在40所在直線上，AO與所在平面相交且交于ABCM內部，所以符合題意的點P只有唯一一個.故選:A【點睛】此題考查正四面體的幾何特征，對稱性，根據幾何特征解決點到平面距離問題，考查空間想象能力.A解析：A【解析】如圖，分別取BC,CD,AD、BD的中點連MN,NP、PM、PQ,則MNBD.NPAC,.NM即為異面直線AC和BD所成的角（或其補角）.又由題意得丄M0,PQ=-AB.MQ=-CD.設AB=BC=CD=2,則PM=忑又MN=-BD=/2,NP=-AC=yf2,22:.PNM為等邊三角形，

14、乙PNM二60,異面直線AC與BD所成角為60。，其余弦值為.選A.2點睛：用幾何法求空間角時遵循“一找、二證、三計算”的步驟，即首先根據題意作出所求的角，并給出證明，然后將所求的角轉化為三角形的內角.解題時要注意空間角的范闈，并結合解三角形的知識得到所求角的人小或其三角函數值.8.D解析：D【解析】【分析】根據題意討論直線它在兩坐標軸上的截距為0和在兩坐標軸上的截距不為0時，求出對應d的值，即可得到答案.【詳解】由題意，當一2+a=0,即a=2時，直線ax+y2+a=0化為2x+y=0,此時直線在兩坐標軸上的截距都為0,滿足題意；亠+丄=1當一2+aHO，即時，直線ax+y2+a=0化為2-

15、a2-a，2-a由直線在兩坐標軸上的截距相等，可得=2-a,解得a=l；a綜上所述，實數a=2或a=l.故選：D.【點睛】本題主要考查了直線方程的應用，以及直線在坐標軸上的截距的應用，其中解答中熟記直線在坐標軸上的截距定義，合理分類討論求解是解答的關鍵，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎題.9.A解析：A【解析】【分析】【詳解】畫出截面圖形如圖顯然A正三角形C正方形：D正六邊形可以畫出三角形但不是直角三角形；故選4.用一個平面去截正方體，則截面的情況為：截面為三角形時，可以是銳角三角形、等腰三角形、等邊三角形，但不可能是鈍角三角形、直角三角形；截面為四邊形時，可以是梯形（等腰梯形）、平行四邊形

16、、菱形、矩形，但不可能是直角梯形；截面為五邊形時，不可能是正五邊形；截面為六邊形時，可以是正六邊形.故可選A.10.C解析：C【解析】【分析】首先確定三角形為等腰三角形，進一步確定球的球心，再求出球的半徑，最后確定球的表面積.【詳解】解：如圖所示：三棱錐P-ABC中，P4丄平面ABC,AP=、AB=2,M是線段BC上一動點，線段PM長度最小值為J亍,則：當AM丄BC時，線段PM達到最小值，由于：Q4丄平面ABC,所以：PA2+AM2=PM2解得：AM=1，所以：BM=卡，則：ZBAM=60,由于：ABAC=120,所以：ZM4C=60。則：為等腰三角形.所以：BC=2jJ,在aABC中，設外接

17、圓的直徑為2廠=2孫=4,5/7/120則：廠=2,所以：外接球的半徑/?=所以：外接球的半徑/?=則：S=4龍?=18龍，2故選：C.【點睛】本題考查的知識要點：三棱錐的外接球的球心的確定及球的表面積公式的應用.11A解析:A【解析】由題意知，表示點（X）到坐標原點的距離，又原點到直線2x+y+5=0的距離為d=-=J=L=75,Q+F所以J?寸的距離的最小值為巧，故選A.12.B解析：B【解析】【分析】當P與A重合時，異面直線CP與BA】所成的角最人，由此能求出當異面直線CP與BA】所成的角最大時，三棱錐C-PAiDi的體積.【詳解】如圖，當P與A重合時，B異面直線CP與BA】所成的角最人

18、，當異面直線CP與BA1所成的角最人時，三棱錐C-PAiDi的體積：11（11（13故選:B.【點睛】求錐體的體積要充分利用多面體的截面和旋轉體的軸截面，將空間問題轉化為平面問題求解，注意求體積的一些特殊方法一一分割法、補形法、等體積法.割補法：求一些不規則幾何體的體積時，常用割補法轉化成已知體積公式的幾何體進行解決.等積法：等積法包括等面積法和等體積法.等積法的前提是幾何圖形（或幾何體）的面積（或體積）通過已知條件可以得到，利用等積法可以用來求解幾何圖形的高或幾何體的高，特別是在求三角形的高和三棱錐的高時，這一方法回避了通過具體作圖得到三角形（或三棱錐）的高，而通過直接計算得到高的數值.二、

19、填空題【解析】【詳解】連接BDB1D1A1P=A1Q=xPQB1D1BDEF則PQ平面MEF乂平面MEFQ平面MPQ=1二PQ11EF二1平面ABCD故成立；又EF丄ACA1丄AC故解析：【解析】【詳解】連接BDBD,VAiP=AiQ=x,:,PQ/B1D1/BD/EF,則P0平面MEF,又平面MEFC平面MPQ=lt:.PQ/1,1/EF,/平面ABCD,故成立：又EF丄AC,/丄AC,故成立；-1/EF/BD,故直線/與平面BCCb不垂直，故成立；當x變化時，/是過點M且與直線EF平行的定直線，故不成立.即不成立的結論是.00/EB相交【解析】【分析】根據直線與圓相交的弦長公式求出的值結合

20、兩圓的位置關系進行判斷即可【詳解】解：圓的標準方程為則圓心為半徑圓心到直線的距離圓截直線所得線段的長度是即則圓心為半徑圓的圓心為半徑則即兩個解析：相交【解析】【分析】根據直線與圓相交的弦長公式，求出“的值，結合兩圓的位置關系進行判斷即可.【詳解】解：圓的標準方程為M:x2+(y-a)2=a2(a0),圓心到直線x+y=o的距離d則圓心為(0、d),半徑圓心到直線x+y=o的距離d圓M用+V2-2=0(d0)截直線x+y=0所得線段的長度是2,即a即a=4,a=2,則圓心為M(0,2),半徑R=2,圓N-(x-1)2+(y-l)2=l的圓心為N(l,1),半徑r=l,則MN=邁，.R+r=3,R

21、-r=,:.R-rMNR+r,即兩個圓相交.故答案為：相交.【點睛】本題主要考查直線和圓相交的應用，以及兩圓位置關系的判斷，根據相交弦長公式求出a的值是解決本題的關鍵.【解析】【分析】直線過定點設代入方程利用點差法計算得到答案【詳解】直線過定點設則兩式相減得到即故整理得到：故答案為：【點睛】本題考查了軌跡方程意在考查學生對于點差法的理解和掌握解析：（x-2）2+r=4【解析】【分析】直線A.x+By-4A=0過定點（4,0）,設MgjjNd/），G（x,y）,代入方程利用點差法計算得到答案.【詳解】直線Av+By-4A=0過定點（4,0）,設M（x,yl）,N（x29y2）fG（x,y），則彳

22、+y；=36,可+yj=36,兩式相減得到（兀+耳）（兀一耳）+（+兒）（耳一比）=，即2x+2炒=0.故2x+2一y=0,整理得到：（x2）+才=4.x-4故答案為：（x-2）+y=4.【點睛】本題考查了軌跡方程，意在考查學生對于點差法的理解和掌握.【解析】【分析】對每一個選項分析判斷得解【詳解】根據已知可得面卩和面Y可成任意角度和面a必垂直所以直線m可以和面卩成任意角度不正確；luyl丄m所以1丄a正確；顯然不對；因為lu31丄a解析：【解析】【分析】對每一個選項分析判斷得解.【詳解】根據已知可得面B和面Y可成任意角度，和面必垂直.所以直線m可以和面B成任意角度，不正確；1UY，：丄m,所

23、以1丄a,正確；顯然不對；因為luB,1丄a,所以a丄B,正確.故答案為【點睛】本題主要考查空間線面垂直和面面垂直的證明，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎題.17【解析】【分析】作出此直二面角的圖象由圖形中所給的位置關系對命題逐一判斷即可得出正確結論【詳解】作出如圖的圖象E是BD的中點易得ZAED=90。即為此直二面角的平面角對于命題AB與平面BCD解析：【解析】【分析】作出此直二面角的圖象，由圖形中所給的位置關系對命題逐一判斷，即可得出正確結論.【詳解】作出如圖的圖彖，E是BD的中點，易得ZAED=90為此直二面角的平面角對于命題AB與平面BCD所成的線面角的平面角是ZABE=

24、45,故AB與平面BCD成60。的角不正確；對于命題，在等腰直角三角形AEC中AC等于正方形的邊長，故厶4仞是等邊三角形，此命題正確：對于命題可取AD中點F,4C的中點H,連接EH,FH,則EF,是中位線，故ZEFH或其補角為異面直線AB與CD所成角，又EF,FH其長度為正方形邊長的一半，而皿是直角三角形AEC的中線，其長度是AC的一半即正方形邊長的一半，故是等邊三角形，由此AB與CD所成的角為60。，此命題正確；對于命題，BD丄面AEC,故AC丄此命題正確；對于命題，連接EH,HD、則BH丄AC,DH丄AG則ZBHD為二面角B-AC-D的平面角，又eh=dh=Qacjbd=JI4C,gZEH

25、D=丄,故二面角B-AC-D不是120。23綜上知是正確的故答案為【點睛】本題考查與二面角有關立體幾何中線線之間的角的求法，線面之間的角的求法，以及線線之間位置關系的證明方法.綜合性較強，對空間立體感要求較高.【解析】【分析】轉化條件點三點共線即可得到點滿足的條件化簡即可得解【詳解】由圓的方程可知圓心半徑為設點點三點共線可得由相似可得即聯立消去并由圖可知可得故答案為：【點睛】本題考查了圓的性質和軌跡方程的(7Y1解析：.v+y-=一(y2)4丿16【解析】【分析】轉化條件點P、M、Q三點共線、|=即可得到點P滿足的條件，化簡即可得解.【詳解】由圓的方程可知圓心(0,2),半徑為1.設點尸(x,

26、y),0(eO),點、p、M、0三點共線，可得口=2,x-a由相似可得=即+4店+(y_2)，=1,聯立消去并由圖可知y2,可得TOC o 1-5 h z71x2+(y-)2=(y2).16一)71故答案為：x2+(y-)2=-(y3邁，所以切線長的最小值為&3廚一何=4.故答案為4點睛：本題主要考查直線與圓的位置關系，考查了轉化思想利用勾股關系，切線長取得最小值時即為當點(d,b)與圓心的距離最小時.三、解答題(1)AP:y=3x-l.(2)A+7y+17=0.【解析】【分析】根據題意，聯立兩直線得其交點坐標，進而寫出直線4P的方程；根據題意，設3+3,/),則M寧，干j,利用點M在直線厶上

27、，得心-2,5(-3-2),再利用到角公式得kBC=-y即可得到BC的直線方程.【詳解】fx-3v-3=0fx=O即兩直線的交點P(O.-l),(1)由題意，聯立彳，c即兩直線的交點P(O.-l),x+y+l=Oy=-1所以，直線AP的斜率所以，直線AP的斜率k=ai舌=3,故直線杠的方程為:(2)設點B的坐標為+3,r),則點M(弓，字J,又點M在直線A上,即寧解得m故爪3廠2),-2-2所以“右i，1k_kk_k直線A的斜率k=q,由到角公式得，；：=；，1即一=1+/bc1-1二T，解得kBC=1+丄73所以BC所在直線方程為y+2=-|(x+3),化簡得x+7y+17=0.【點睛】本題

28、考查直線方程，兩直線的位置關系，到角公式，屬于基礎題.22.(1)證明見解析；(2)6【解析】【分析】取4C的中點O,連接OS、OD,證明出OS丄AC,OD丄AC,利用直線與平面垂直的判定定理可得出4C丄平面SOD,即可證明出4C丄SD：延長SO,過點D作SO延長線的垂線，垂足記為說明直線SD與平面&1C所成的角為ZOSD,求出OSD三邊邊長，利用余弦定理求出ZOSD,即可求出直線SD與平面SAC所成角的大小.【詳解】(1)取4C的中點O,連接OS、OD,:環C為等邊三角形，0為4C的中點，.SO丄4C,.D、0分別為AB4C的中點，/.OD/BC.BC丄AC,:.OD丄AC,-SOrOD=O

29、f:.AC丄平面SOD,.SDu平面SOD,:.AC丄SD；（2）延長SO,過點D作SO延長線的垂線，垂足記為-AC丄平面SOD,DHu平面SOD,:.DH丄AC,：DH丄SO，SOrAC=O,:,DH丄平面SAC,所以，直線SD與平面SAC所成的角為ZOSD，由（2）知，OD=*C=2,-/AC丄BC,.AB=jAC2BC2二&-SAC是邊長為4的等邊三角形，SO=4sin-=23.3在出EC中，SC=4,BC=4*，由余弦定理得SB2=SC2+BC2-2SCBCcosZSCB=88，二SB=2屁TOC o 1-5 h z由余弓玄定理得cosZS4B=，2SA-AB8/.SD2=SA2+AD

30、2-2SAADcosZSAD=36，:.SD=6.在ASOD中，由余弦定理得cosZOSD=SO+SDOD=.2SOSD2-0ZOSD，又4Cu平面ABCD,:-AC丄平面bdfe；（2）設ACBD=O.V四邊形ABCD為等腰梯形，ZDOC=-.AB=2CD=492OD=OC=邁,OB=OA=2邁,:FEHOB,：.四邊形為平行四邊形,：OFHBE,又:BE丄平面ABCD,：OF丄平面ABCD,AFBO為BF與平面ABCD所成的角，.IZFBO=,4又:AFOB=g,：.OF=OB=2近,以O為原點，Q4為x軸，OB為）軸，OF為z軸，建立空間直角坐標系，則（0,22,0）,D（0,-/2,0

31、）,F（0,0,2/2）,C（-0,0）M（2/2,0,0）,DF=（0,72,22）,CD=（/2,-5/2,0）,4C丄平面,平面的法向量為（1,0,0）,設平面DFC的一個法向量為n=（x,y,z）,點睛：立體幾何中求“空間角”，一種方法是根據“空間角”的定義作出它的“平面角”，再通過解三角形求得，其方法是一作二證三計算；第二種方法是在圖形中有相互垂直的三條直線（或兩條）時，可建立空間直角坐標系，利用空間向量法求角，這種方法主要的就是計算，減少了作輔助線，證明的過程，只要計算過關，一般都能求得正確結論.（1）x=4或3x+4v-8=0（2）2忑.【解析】【分析】（1）根據題意分斜率不存在和斜率存在兩種情況即可求得結呆；先求出直線方程，然后求得圓心C與直線/的距離，由弦長公式即可得出答案.【詳解】解：（1）由題意可得c（2,3）,直線/與圓C相切當斜率不存在時，直線/的方程為x=4,滿足題意當斜率存在時，設直線/的方程為=k,kx-y-4k-l=0 x-42k-3-4k-l