1、高壓鍋銷售量的預測分析摘要Logistic增長曲線模型和Gompertz增長曲線模型是計量經濟學等學科中的兩個常用模型，可以用來擬合銷售量的增長趨勢。本文運用以上兩種曲線模型研究了某地區高壓鍋的銷售量的變化規律，并根據給定的1981年到1993年高壓鍋銷售量的數據，運用趨勢分析法，分別建立指數增長模型、Logistic增長曲線模型和Gompertz增長曲線模型來對高壓鍋的銷售量進行預測分析，并對各模型進行了比較分析。一、模型的背景問題描述趨勢分析法又叫比較分析法、水平分析法，它是通過對中各類相關數字資料，將兩期或多期連續的相同指標或比率進行定基對比和環比對比，得出它們的增減變動方向、數額和幅度

2、，以揭示企業財務狀況、經營情況和現金流量變化趨勢的一種分析方法。趨勢分析法在定量預測。趨勢分析法又可稱為趨勢曲線分析、曲線擬合或曲線回歸。它是根據已有的歷史數據資料來擬合一條曲線，使得這條曲線能夠反映出研究對象本身的增長趨勢，然后按增長趨勢曲線，對要求的未來的某一點進行估計，預測出該點該時刻的研究對象的預測值。能夠正確并掌握認識銷售量的變化規律，才能建立正確的銷售量預測模型，做出準確的預報，為企業未來發展方向，企業發展定位，商品生產作出有利預測。下表為某地區1981年到1993年間高壓鍋的銷售量列表（單位：萬臺）。表1-1： 高壓鍋的銷售量（單位：萬臺）年份ty年份ty1981043.6519

3、8871238.7519821109.8619898一五60.0019832一八7.2119909一八24.2919843312.671991102199.0019854496.581992112438.8919865707.651993122737.7119876960.25本文根據表1-1高壓鍋的銷售量數據，分析銷售量的變化規律，得到該地區高壓鍋的銷售量的變化趨勢的擬合曲線，建立銷售量的模型，通過建立的銷售量模型，得到模擬曲線，根據得到的擬合曲線，并對該地區的高壓鍋銷售量進行預測。通過預測對該地區高壓鍋生產企業作出指導。當地企業可以根據預報的高壓鍋銷售量，對高壓鍋生產量進行控制，避免了因為

4、市場的盲從效應而造成的損失。二、基本假設1、產品的銷售不受人為因素影響。2、高壓鍋的銷售量隨時間連續變化。3、任一單位時刻，高壓鍋的增長量與當時的高壓鍋總量成正比。4、銷售量的增長律短時間內是不變的。5、在處理數據、擬合曲線，得到模擬曲線的過程，都不考慮隨機誤差。6、在一段時間里，銷售市場是平穩發展的，在高壓鍋的銷售過程中，市場對高壓鍋的需求量穩定。7、假設說明：嚴格的說，討論銷售量所建立的模型屬于離散型模型，但在銷售量基數很大的情況下，突然地增加或減少的只是單一的個體或少數幾個個體數，相對于全體數量而言，這種改變量是極其微小的，因此，銷售量可以看作是可隨時間的連續變化，這樣，就可以采用微分方

5、程的工具來研究這一問題。三、問題分析本文要求根據某地的1981年到1993年間高壓鍋銷售量的數據，建立高壓鍋的銷售量模型。根據 表1-1：高壓鍋的銷售量（單位：萬臺）提供的數據，以時間t為衡軸，銷售量y為縱軸，建立銷售時間t與銷售量的關系圖，如圖表3-1：圖表 3-1高壓鍋的銷售量高壓鍋的銷售量05001000一五0020002500300002468101214時間t銷量y根據圖表3-1，顯然，高壓鍋的銷售量隨時間的變化呈指數增長。產品的銷售平穩，經濟發展的穩定，銷售市場的平穩發展，高壓鍋在銷售過程中，市場的外部環境總體穩定，在這一假設下，高壓鍋的銷售量是隨著時間的連續變化而變化的，也就是說

6、，高壓鍋的銷售數量是連續變化的，但總體分析可以得出增長量與當時的高壓鍋總量成正比，銷售量的增長律是不變的。據此，建立高壓鍋的銷售量指數增長模型。四、符號說明 固有高壓鍋銷售量增長率，即： 時段的高壓鍋銷售量數 高壓鍋的最大銷售量，顯然有五、模型建立1、建立高壓鍋指數增長模型假設商品是自然銷售的，即不受人為因素影響，記時刻t的銷售量為x(t)，在銷售量基數很大的情況下，突然地增加或減少的只是單一的個體或少數幾個個體數，相對于全體數量而言，這種改變量是極其微小的，可以忽略不計。即銷售量可以看作是可隨時間連續變化的，將x(t)視為連續、可微函數。記初始時刻(t=0)的銷售量為，假設銷售量增長率為常數

7、r，即單位時間內的x(t)的增量等于r乘以x(t)。考慮到時間內高壓鍋銷售量的增量，有令，得到滿足微分方程 (1)由這個方程解出： （2）（2）式的參數r和可以用表1-1數據估計。為了利用最小二乘法，將（2）式取對數，可得， （3）分別以1981年到1992年的數據和1981年到1993年的數據擬合（3）式，用matlab計算：t=0:11; x=43.65 109.86 一八7.21 312.67 496.58 707.65 960.25 1238.75 一五60 一八24.29 2199 2438.89;y=log(x); p=polyfit(t,y,1) r=p(1),x0=exp(p(

8、2) Y=polyval(p,t); X=exp(Y); p = 0.3435 4.4914r = 0.3435x0 = 89.2424得到r0.3435，89.2424t=0:12; x=43.65 109.86 一八7.21 312.67 496.58 707.65 960.25 1238.75 一五60 一八24.29 2199 2438.89 2737.71;y=log(x); p=polyfit(t,y,1) r=p(1),x0=exp(p(2) Y=polyval(p,t); X=exp(Y);得到r0.3205，97.1060結果分析：用上面得到的參數r和代入（3）式，將結果與實

9、際數據比較。X1是用1981年到1992年的數據擬合的結果，計算人口x2用的是全部數據的擬合的結果。表5-1年實際銷售量計算銷售量x1計算銷售量想198143.6589.242497.10601982109.86125.8205一三3.79421983一八7.21177.3910一八4.34391984312.67250.0989253.99211985496.58352.6078349.95451986707.65497.一三2348225700.8937664.346019881238.75988.17一五9一五.34691989一五60.00一三93.21261

10、.21990一八24.29196421737.719912199.00276932394.219922438.89390443298.819932737.71550474545根據表5-1的數據，用matlab制作指數增長型擬合圖形，圖5-1.1表示用1981年到1992年的數據擬合的結果圖，圖5-1.2表示用全部數據（1981年到1993年）擬合的結果。圖5-1.1、圖5-1.2中曲線是計算結果，“*”表示實際數據。圖表 5-1.2圖表 5-1.2通過以上數據及圖表，明顯地，對于高壓鍋的銷售量的分析指數模型并不適用，其原因是高壓鍋的銷售是受市場的影響的，人的消費觀念不會一成不變，購買欲是不隨

11、時間穩定變化的，由此可見，高壓鍋的銷售量的增長律是不變的假設不成立。需重新建立模型分析。2.高壓鍋銷售線性模型的假設由圖表3-1，假設y和t滿足線性關系，所以建立線性模型，設利用最小二乘法確定的具體值，并根據的值擬合高壓鍋的銷售情況，與原數據進行比較。MATLAB的程序實現如下：y=43.65 109.86 一八7.21 312.67 496.58 707.65 960.25 1238.75 一五60.00 一八24.29 2199.00 2438.89 2737.71;t=0:12;p=polyfit(t,y,1);yy=polyval(p,t,1) plot(t,y,*,t,yy)畫出原數

12、據與擬合曲線，如圖5-2圖5-2線性模型的誤差分析預測的標準誤差為：.模型分析從圖形及標準誤差可以看出，線性模型雖然簡單，但誤差太大。并且當時，而高壓鍋銷售量是有限的，也就是說高壓鍋的銷售量是一個有限的數，不可能是一個無限大的。所以，用線性模型不能完全反映高壓鍋的銷售情況。必須尋找一個更好的模型去分析高壓鍋的銷售情況。3.建立高壓鍋logistic模型由于高壓鍋在進入市場初期沒有太多人家了解或清楚高壓鍋，致使人們對高壓鍋的購買數量不大，所以此時高壓鍋銷售數量的增長率小；隨著時間的推移，人們開始認識到使用高壓鍋的好處，高壓鍋的銷售量增長率也逐漸提高；之后越來越多的人家都有高壓鍋了，而高壓鍋的經久

13、耐用決定了高壓鍋銷售量的增長率會逐漸減少；到最后該地區基本上所有人家都有高壓鍋了，高壓鍋的銷售數量將趨于一個定值，即L，此時銷售數量的增長率將趨于0.所以，綜上所述，高壓鍋的銷售情況滿足Logistic模型。設高壓鍋的銷售數量的增長率為 r（t），高壓鍋的銷售量的上限為L ， 銷售量為 y（t）則有 ： . （2-1）. （2-2）建立模型. (2-3) 模型分析 當L與y(t)相比很大時，與ry相比可以忽略不計，Logistic模型可以轉化為指數模型；而當L與y相比不是很大時，就不能忽略，其作用是使高壓鍋的銷售量的增長速度減緩下來。用Matlab對一階常微分方程模型做分析，程序如下：y=43

14、.65 109.86 一八7.21 312.67 496.58 707.65 960.25 1238.75 一五60.00 一八24.29 2199.00 2438.89 2737.71;t=0:12;y0=43.65;tt,yy=ode45(xLogistic,t,y0); plot(t,y,*,tt,yy); 作圖結果，如圖5-3圖5-3對線性化Logistic增長模型并做非線性回歸線性化Logistic增長曲線模型Logistic增長曲線模型為. (3-1)兩邊同時取倒數得 ，整理得. (3-2)兩邊同時取對數得 . (3-3)令，.即可得到一個線性關系式：. (3-4)所以Logist

15、ic增長曲線模型能線性化。用Matlab對Logistic模型做非線性回歸Matlab程序如下：y=43.65 109.86 一八7.21 312.67 496.58 707.65 960.25 1238.75 一五60.00 一八24.29 2199.00 2438.89 2737.71;t=0:12;L=3000; y1=log(L./y-1); p=polyfit(t,y1,1);k=-p(1);a=exp(p(2);yy=L./(1+a*exp(-k*t);plot(t,y,*,t,yy);擬合Logistic模型，畫出擬合圖形，如圖5-4圖5-44擬合Gompertz模型線性化Gom

16、pertz模型Gompertz增長曲線模型為. (4-1)兩邊同時除以 L 得. (4-2)兩邊同時取對數 得. (4-3)再兩邊同時取對數得. (4-4)令，. 得線性關系式. (4-5)擬合Gompertz模型用Matlab擬合Gompertz模型 Matlab程序如下y=43.65 109.86 一八7.21 312.67 496.58 707.65 960.25 1238.75 一五60.00 一八24.29 2199.00 2438.89 2737.71;t=0:12;L=3000; y1=log(log(y/L);a=polyfit(t,y1,1);b=-exp(a(2);k=-a

17、(1);yy=L*exp(-b*exp(-k*t);plot(t,y,*,t,yy); 畫出Gompertz模型并與原數據比較，作圖如圖5-5圖5-5六綜合評價與結論兩模型相同之處Logistic增長曲線模型，俗稱“S曲線”，由Verhulst于一八45年提出，當時主要目的是模擬人口的增長。其一般形式為. (5-1)也稱狹義的邏輯增長曲線模型。增長曲線有兩個重要特征。一是y隨著t的增加直至+而趨向于K，K即是Y的飽和值；反過來，當t-時，y0。二是增長曲線具有一個拐點，在拐點之前，y的增長速度越來越快；在拐點之后，y的增長速度越來越慢，逐漸趨近于0。在現實經濟生活中，許多指標的增長過程具有這兩

18、個特征。例如，一種新產品、新技術的普及率，一種耐用品的存量，它們的增長過程都遵循邏輯增長曲線模型。所以，邏輯增長曲線模型在經濟預測中有廣泛的應用，是一種重要的預測模型。Gompertz曲線用于描述這樣一類現象：初期增長緩慢，以后逐漸加快，當達到一定程度后，增長率又逐漸下降，最終接近一條水平線。Gompertz曲線通常用于描述事物的發展由萌芽、成長到飽和的周期過程。在現實生活中有許多現象符合Gompertz曲線形式，如工業生產的增長、產品的壽命周期和一定時期的人口增長等。可見Gompertz增長曲線與邏輯增長曲線相似，只是二者的拐點的位置不同。分析兩種模型的拐點Logistic模型轉化為微分形式

19、是. (5-2)Gompertz模型轉化為微分形式是. (5-3)在Logistic模型中dy/dt是關于y的二次函數，很容易看出，當y=L/2是增長率最大，即是模型的拐點。利用Matlab作圖，去L=3000，很容易作出Logistic模型與Gompertz模型的拐點，估計處Gompertz模型的拐點在y=10一五.2處，如圖5-1圖6-1七參考文獻1姜啟源，謝金星，葉俊，數學模型，北京：高等教育出版社，2005，一三-216.2 中國人口增長預測模型3數學模型簡介及其給予MATLAB的實現.遼寧工程技術大學理學院應用數學系.2008年8月 DATE M.d.yyyy 9.15.2022 D