1、1第八章 分離變數(傅里葉級數)法 分離變數法是定解問題的一種基本解法，適用于大量的第一節、齊次方程的分離變數法征值問題，本章限于本征函數是三角函數的情況。個常微分方程，其中有的常微分方程帶有附加條件，構成本各種各樣的定解問題，其基本思想是把偏微分方程分解成幾Example :7上面給出的是內問題,如果是外問題,怎么辦?Find the solution of代入方程10例4：帶電的云跟大地之間的靜電場可近似看成勻強電場，電場強度為E0豎直 表示為定解問題，取圓柱的軸為z軸，如果把導線看成無限+帶電云AByx大地在xy平面的剖面是個圓：x2+y2=a2,a為半徑。解柱外空間沒有電荷，電勢u滿足

2、二維拉普拉斯方程（柱外空間）長，則靜電場的強度電勢與z無關，我們只在xy平面研究。體圓柱如何改變靜電場。“無限遠”的靜電場保持勻強，現在來看導臨近的電場也就不再是勻強電場，離圓柱輸電線是導電圓柱體，柱面產生感應電荷水平架設的輸電線處在靜電場中，如圖：11對于導體來說，電荷不再移動，說明導體中各處的電勢相同，分離變數法代入拉普拉斯方程可以分解為兩個常微分方程，但邊界條件為：不能分解為X（x）或Y（y）的邊界條件，無法進行下去！邊界是圓，提示我們采用平面極坐標系。在極坐標系中，方程可表示為：其中為極徑，為極角導體電勢為零表示為齊次的邊界：如下：又電勢只是相對高低，可以把導體的電勢作為零點，邊界條件

3、12在無限遠處，電勢保持為E0，故在無限遠處，Ey0，ExE0即隱含著非齊次邊界條件：現在問題轉化成極坐標系中的定解問題：解分離變數設：代入泛定方程可得左邊與無關，右邊與無關，除非為一常數！14從而可求得本征值和本征函數：把本征值代入常微分方程可得：歐拉型常微分方程作代換方程可化為：由此我們可得到分離變數形式的解為：15拉普拉斯方程是線性的，其一般解為所有本征解的疊加：為了確定上式中的系數，先代入齊次邊界條件：一個傅里葉級數為零，所有的系數為零，即：17最后我們可得柱外的靜電勢為：對于此一般解，中間一項，即是原來靜電場的電勢分布，最后一項當充分大時，可以忽略，代表在圓柱附近對勻強電場的修正，是

4、柱面感應電荷的影響。對于系數是任意常數，表明有不確定的因素！在物理上，此不確定因素出在原來導體所帶電量上，這一項正是圓柱原來帶的電量。討論設原來圓柱體不帶電，則D00，此時18若只看y軸下方，則如圖，可以看成平行+帶電云AByx大地此時，上下兩端，即A和B點的電場強度為：是原來電場的兩倍！且與半徑無關！此處最容積擊穿！Y軸上的電勢與導體圓柱相同A電容器的極板必須加工的非常平滑！兩倍！對于高壓電容器來說，很危險！容易擊穿，故高壓此突起的電場強度是其他勻強電場強度的板電容器之間的靜電場，但上面帶有突起19例5：長為l的理想傳輸線，一端x0接交流電，電動勢為另一端xl是開路，求解線上的穩恒電振蕩。理

5、想傳輸線是一種理想化的模型，實際上總有損耗，初始條件引起的自由振蕩總是逐漸衰減，經過許多個周期之后，自由振蕩消失，此時的電振蕩完全是由交流電源引起的，電源提供的能量正好補償了消耗，使得振蕩可以維持而不衰減，這就是現實中的穩恒電振蕩。解初始條件所引起的自由振蕩已經消失，故不用考慮初始條件，這里的定解問題是沒有初始條件的。最后取結果的虛部即可20穩恒振蕩完全由交流電源引起，故周期相同，則：代入泛定方程，可得X的常微分方程：方程的解為：故：第二項是電源發出的波，第一項是反射波系數A和B由邊界條件確定，邊界中有電流，故還需要j的表達式由物理定律可得電流：（具體參看相關資料）把v和j分別代入邊界條件可得：21則穩恒振蕩由給出，系數A和B由上面的關系給出。22輸入端電壓同電流之比叫做輸入阻抗：當此時對電源來說，相當于一個短路元件！24（2）（3）Eq.(2) is a St