1、工程電磁場第二章1第1頁，共76頁，2022年，5月20日，4點29分，星期三第二章 靜電場的基本原理2.1 庫侖定律與電場強度兩個點電荷之間的作用力用下式表示 在真空中， 兩個靜止點電荷q1及q2之間的相互作用力的大小和q1與q2的乘積成正比，和它們之間距離R的平方成反比；作用力的方向沿著它們的聯線，同號電荷相斥，異號電荷相吸。2第2頁，共76頁，2022年，5月20日，4點29分，星期三 0是真空中的介電常數 電荷量的單位庫侖，C 距離的單位米，m 力的單位牛，N 0的單位是法/米，F/m庫侖定律是靜電場的基礎，也是電磁場的基礎點電荷：只帶電荷而沒有形狀和大小的物體。3第3頁，共76頁，2

2、022年，5月20日，4點29分，星期三2. 電場強度電荷在其周圍產生電場，產生電場的電荷稱為電場的源。相對于觀察者靜止的電荷產生的電場，稱為靜電場。 真空中放置一個點電荷q，在其附近放置一個試驗電荷q1。在靜電場中的某一點（x, y,z），q1受到的作用力F與q1的電荷量成正比，而作用力F與q1電荷量的比值與試驗電荷無關，我們定義表征靜電場的基本場矢量電場強度為：單位伏/米，V/m點電荷q產生的電場強度R是從點電荷所在的源點(x,y,z)到場點(x,y,z)的距離；eR為源點到場點的單位矢量4第4頁，共76頁，2022年，5月20日，4點29分，星期三5第5頁，共76頁，2022年，5月20

3、日，4點29分，星期三3. 分布電荷的電場強度電場力的疊加原理兩個點電荷共同產生的電場強度N個點電荷共同產生的電場強度6第6頁，共76頁，2022年，5月20日，4點29分，星期三線密度面密度體密度電荷元電荷元產生的電場強度與點電荷相同，是一個無窮小的量，積分可得整個源區所有電荷產生的電場強度7第7頁，共76頁，2022年，5月20日，4點29分，星期三線電荷、面電荷、體電荷產生的電場強度例2-1-1真空中長度為2l的直線段，均勻帶電，電荷線密度為。求線段外任一點P的電場強度。解 根據對稱性分析，采用柱坐標系分析比較方便。坐標的源點位于線段的中心，z軸與線段重合。場點P的坐標為（r, , z）

4、，取電荷元dz，源點坐標為（0, , z）8第8頁，共76頁，2022年，5月20日，4點29分，星期三電荷源在p點產生的電場強度的各分量為場點坐標（r, , z）是不變量，源點坐標（0, , z）中z是變量，統一用表示9第9頁，共76頁，2022年，5月20日，4點29分，星期三總的電場強度若為無限長直導線10第10頁，共76頁，2022年，5月20日，4點29分，星期三11第11頁，共76頁，2022年，5月20日，4點29分，星期三12第12頁，共76頁，2022年，5月20日，4點29分，星期三13第13頁，共76頁，2022年，5月20日，4點29分，星期三14第14頁，共76頁，2

5、022年，5月20日，4點29分，星期三例2-1-2如圖所示，真空中圓形線電荷半徑為a，均勻帶電，電荷線密度為，求在其軸線上任一點的電場強度。解 根據電荷分布的對稱性，采用圓柱坐標系。設坐標原點在圓形線電荷的圓心，z軸與線電荷圓心軸線重合。場點P的坐標為(0,z) ，取一個電荷元ad ，源點坐標為（a， ，0)。再取一個電荷元ad ,源點坐標為(a， +，0)。這樣，兩對稱電荷元在P點產生的電場強度沿er方向兩個分量符號相反，相互抵消;沿e 方向的電場強度為零;沿ez方向的兩個分量符號相同。因此，由這兩個對稱電荷元產生的電場強度為計算P點電場強度時，場點坐標(0,z)不變，源點坐標（a， ，0

6、)中只有 是變量。15第15頁，共76頁，2022年，5月20日，4點29分，星期三16第16頁，共76頁，2022年，5月20日，4點29分，星期三17第17頁，共76頁，2022年，5月20日，4點29分，星期三2. 2電位與靜電場的環路定理1. 電位場點的坐標是(x, y, z)，用距離矢量r表示; 源點的坐標是(x, y, z)，用距離矢量r表示；R是以上兩距離矢量之差，也就是從源點到場點的距離矢量，且可見，R與(x, y, z) 和(x, y, z)都有關系。當源點不變，場點變化時， 的梯度表示為 。當場點不變，源點變化時， 的梯度表示為 18第18頁，共76頁，2022年，5月20

7、日，4點29分，星期三電場強度計算公式梯度是對場點進行的，是電荷密度，是源點的函數，與場點無關式中，體積分是對源點進行的，源點變化；求梯度是對場點進行的，場點變化，故兩種運算相互獨立，可以交換次序由上式可知，電場強度可表示為某個標量函數的負梯度。我們把這個標量函數定義為電位，并用 來表示，則19第19頁，共76頁，2022年，5月20日，4點29分，星期三體電荷面電荷線電荷N個點電荷 電位的表示式中有常數C，說明電位數值不是惟一的。但由電位求負梯度得到的電場強度卻是惟一的。電位的惟一性問題，可以由選擇電位參考點來解決。電位的參考點就是強迫電位為零的點。在電荷分布于有限區域的情況下，選擇無窮遠處

8、為電位參考點，計算比較方便。這時，前面電位計算式中的常數C為零。20第20頁，共76頁，2022年，5月20日，4點29分，星期三21第21頁，共76頁，2022年，5月20日，4點29分，星期三2.電位與電場強度的關系由電位計算電場強度，是求梯度的運算，也就是求微分的運算由電場強度計算電位，是相反的運算，也就是求積分的運算。考慮電場強度的線積分Q點電位已知Q點為參考電位，且=0，則這就是說，P點的電位等于電場強度從P點到參考點的線積分。電場強度是單位電荷受到的電場力。所以，P點的電位表示將單位電荷從P點移動到參考點，電場力所做的功。電位和電壓的單位是伏，V。22第22頁，共76頁，2022年

9、，5月20日，4點29分，星期三3.靜電場環路定理對電場強度求旋度，可得即電場強度的旋度為零，這是靜電場環路定理的微分形式 根據斯托克斯定理，有電場強度的閉合線積分為零，是靜電場環路定理的積分形式23第23頁，共76頁，2022年，5月20日，4點29分，星期三對閉合曲線acbda，應用環路定理可見，ab兩點之間的電位差與積分路徑無關，這是靜電場環路定理的具體體現。旋度處處為零的場稱為無旋場。靜電場是無旋場。24第24頁，共76頁，2022年，5月20日，4點29分，星期三4 等電位面與電場強度線 等電位面和電場強度線是對電場的形象表示。等電位面就是由電位相同的點組成的曲面，其方程為電場強度線

10、是一族有方向的線。電場強度線上每一點的切線方向就是該點的電場強度方向。設dl為P點電場強度線的有向線段元，則電場強度可表示為E= kdl。在直角坐標系中，有電場強度線方程點電荷電場25第25頁，共76頁，2022年，5月20日，4點29分，星期三 例2-2-1如圖所示，在位于直角坐標系坐標原點的點電荷q所產生的靜電場中，求P1 (0,0,1)到P2(0,2,0)的電位差。解 （1）由電位公式直接計算，P1和P2點的電位分別為（2）由電場強度積分計算，根據點電荷的電場強度公式26第26頁，共76頁，2022年，5月20日，4點29分，星期三2 .3 高斯通量定理1.高斯通量定理的微分形式在體電荷

11、情況下，討論電場強度的散度:上式的散度運算是對場點進行，體積分運算對源點進行，兩種獨立運算可以交換次序，即由于是電荷密度，是源點的函數，與場點無關，所以27第27頁，共76頁，2022年，5月20日，4點29分，星期三式中，體積分的被積函數在R=0(即源點與場點重合這一點)之外的區域上全為零。因此，積分區域可縮小到場點附近的小區域。假定小區域是以場點為球心，以R為半徑的球體，因為R可以任意小，所以可認為小體積中的為常數，并將其移到積分號之前。根據散度定理，有28第28頁，共76頁，2022年，5月20日，4點29分，星期三高斯通量定理的微分形式即靜電場中任一點上電場強度的散度等于該點的體電荷密

12、度與真空的介電常數之比29第29頁，共76頁，2022年，5月20日，4點29分，星期三2.高斯通量定理的積分形式由高斯通量定理的微分形式，利用散度定理可得式中，S為任意閉合面，q為該閉合面內電荷總量。這就是高斯通量定理的積分形式。30第30頁，共76頁，2022年，5月20日，4點29分，星期三 例2-3-1真空中半徑為a的均勻帶電球，若其電荷體密度為，求球體內外的電場強度和電位。 解 如圖所示，根據電荷分布的對稱性，作半徑為r的球面S，則在S上電場強度量值處處相等，方向都沿半徑方向。根據高斯通量定理當ra時31第31頁，共76頁，2022年，5月20日，4點29分，星期三當ra時設無窮遠處

13、為電位參考點，則當ra時當ra時32第32頁，共76頁，2022年，5月20日，4點29分，星期三 例2-3-2如圖所示，真空中，半徑為A的大圓球內有一個半徑為a的小圓球，兩圓球面之間部分充滿體密度為的電荷，小圓球內電荷密度為零(空洞)。求小圓球(空洞)內任一點的電場強度。解 根據疊加原理，空洞內P點的電場強度，可以看作是由充滿電荷、電荷體密度為的大球和充滿電荷、電荷體密度為- 的小球在P共同產生的電場強度。 因為大球內電荷產生的電場強度為33第33頁，共76頁，2022年，5月20日，4點29分，星期三小球內電荷產生的電場強度為34第34頁，共76頁，2022年，5月20日，4點29分，星期

14、三2. 4電偶極子1. 電偶極子 所謂電偶極子就是兩個相距很近的等量異號電荷組成的整體。設電偶極子兩電荷的電荷量分別為q和-q，從負電荷到正電荷的距離矢量為d，則可以用一個矢量來表示電偶極子。這個矢量叫做電偶極矩，記為p，且2.電偶極子的電位 電偶極子產生的電場，就是電偶極子的兩個點電荷共同產生的電場。在如圖所示的直角坐標和球坐標系情況下，設電偶極矩的方向與二軸一致，且電偶極子位于坐標原點，則電偶極子的電位為35第35頁，共76頁，2022年，5月20日，4點29分，星期三R遠大于d電偶極子產生的電場與單個點電荷產生的電場的空間分布規律有明顯不同。點電荷的電位與R成反比，而電偶極子的電位與R2

15、成反比。36第36頁，共76頁，2022年，5月20日，4點29分，星期三37第37頁，共76頁，2022年，5月20日，4點29分，星期三3.電偶極子的電場強度在球坐標系中，電偶極子的電場強度38第38頁，共76頁，2022年，5月20日，4點29分，星期三39第39頁，共76頁，2022年，5月20日，4點29分，星期三2 .5導體和電介質靜電場中的導體 在靜電平衡條件下，導體內部電位的梯度為零，導體內部電位各處相等，即導體是一個等電位體，導體表面是一個等位面。導體外表面電場強度只有法向分量，其切向分量為零，即導體外表面上電場強度的方向與外表面垂直。 例2-5-1無限長同軸電纜截面如圖所示

16、，內導體半徑為R，單位長度所帶電荷為外導體內半徑R2，外半徑R3，單位長度所帶電荷為- 。假定內外導體之間為真空。求各區域的電場強度。40第40頁，共76頁，2022年，5月20日，4點29分，星期三2.靜電場中的電介質 與導體不同，電介質中的電荷不能自由運動。這些電荷束縛在分子或原子范圍之內，只能作微小的移動，因此叫做束縛電荷。3.電介質內電偶極子產生的電場 電介質極化后，其內部存在大量按一定規律分布的電偶極子。將電偶極子偶極矩的密度定義為極化強度P,用來表示電介質極化的程度，即電偶極子元PdV所產生的電位為41第41頁，共76頁，2022年，5月20日，4點29分，星期三根據矢量恒等式令根

17、據散度定理，第一項體積分可化為閉合面積分，因此42第42頁，共76頁，2022年，5月20日，4點29分，星期三 因此，電介質內電偶極子產生的電場，可看成是極化電荷產生的電場，且電位和電場強度分別表示為43第43頁，共76頁，2022年，5月20日，4點29分，星期三2. 6電位移矢量考慮極化電荷的高斯通量定理 極化電荷與自由電荷一樣產生電場強度。因此，在有電介質存在的情況下，高斯通量定理應表示為在閉合曲面S內的極化電荷為44第44頁，共76頁，2022年，5月20日，4點29分，星期三第一項體積分應用散度定理，并把真空當作一種特殊的電介質，即在真空中，P=0，得高斯通量定理可寫成45第45頁

18、，共76頁，2022年，5月20日，4點29分，星期三2.電位移矢量在有電介質存在的情況下，高斯誦量定理可以寫成定義一個新的場矢量D，叫做電位移矢量，且高斯通量定理可寫成46第46頁，共76頁，2022年，5月20日，4點29分，星期三高斯通量定理微分形式47第47頁，共76頁，2022年，5月20日，4點29分，星期三3.靜電場的輔助方程 電位移矢量D與電場強度E有關。P是極化強度，其值在真空中為零，在電介質中與電場強度有關。這里的電場強度是電介質中實際電場強度，是由自由電荷和束縛電荷共同產生的總的電場強度。式中，x是電介質的極化率令r=1+x稱之為電介質的相對介電常數。 = 0 r稱之為電

19、介質的介電常數 這就是線性、各向同性電介質中靜電場的輔助方程。它建立了電介質中兩個基本場矢量D和E之間的簡單關系。48第48頁，共76頁，2022年，5月20日，4點29分，星期三對于一般的電介質，輔助方程還應該寫成D線從正自由電荷發出，終止于負自由電荷。E線從正電荷(包括自由電荷和極化電荷)發出，終止于負電荷(包括自由電荷和極化電荷)。P線從負極化電荷發出，終止于正極化電荷。49第49頁，共76頁，2022年，5月20日，4點29分，星期三2. 7靜電場的基本方程與分界面條件1 靜電場基本方程的微分形式輔助方程2.靜電場基本方程的積分形式對應于微分形式，前面也已導出了靜電場基本方程的積分形式

20、50第50頁，共76頁，2022年，5月20日，4點29分，星期三3.電介質分界面條件在不同電介質的分界面上，存在極化面電荷(束縛面電荷)，也可能存在自由面電荷。這造成分界面兩側場矢量不連續。這種場矢量的不連續性雖然不會影響積分形式基本方程的應用，卻使微分形式的基本方程在不同電介質分界面處的應用遇到困難。因此必須研究場矢量的分界面條件。 電場強度E應滿足的分界面條件。圍繞分界面上一點P做一個小矩形閉合曲線，abcda。en是分界面法線方向的單位矢量，由第一種電介質指向第二種電介質;et是一個切線方向的單位矢量;e是與et垂直的另一個切線方向的單位矢量， 代表其方向垂直于紙面向里。51第51頁，

21、共76頁，2022年，5月20日，4點29分，星期三52第52頁，共76頁，2022年，5月20日，4點29分，星期三為P點沿分界面切線方向的一個矢量 e可以取為任意的切線方向這就是電場強度應滿足的分界面條件。53第53頁，共76頁，2022年，5月20日，4點29分，星期三電位移矢量D應滿足的分界面條件若分界面上沒有自由面電荷分布這就是電位移矢量應滿足的分界面條件。54第54頁，共76頁，2022年，5月20日，4點29分，星期三4.電介質分界面場圖（1）電場強度切線方向連續;（2）電位移矢量法線方向連續。例2-7-1給定平行平板電容器的尺寸、電介質的介電常數，在圖2-7-6(a)中給定極板

22、電壓，在圖2-7-6 ( b)中給定極板總電荷量，求這兩種情況下電容器中的電場強度。圖2-7-6(a)55第55頁，共76頁，2022年，5月20日，4點29分，星期三圖2一7一6(b)56第56頁，共76頁，2022年，5月20日，4點29分，星期三例 有兩相距為d的平行無限大平面電荷，電荷面密度分別為和- 。求兩無窮大平面分割出的三個空間區域的電場強度。作高斯面據高斯通量定理，可得在區域（1）和（3）中，電場強度為零；再作高斯面據高斯通量定理，可得在區域（2），57第57頁，共76頁，2022年，5月20日，4點29分，星期三例 求厚度為，體電荷密度為的均勻帶電無限大平板在空間三個區域產生

23、的電場強度。解 如圖2-5所示的三個區域中，作高斯面S1，據高斯通量定理，電場強度在S1上的通量為 可得在區域（1）和（3）中，電場強度 58第58頁，共76頁，2022年，5月20日，4點29分，星期三對于區域（2），如圖建立坐標系，作高斯面S2，據高斯通量定理，電場強度在S2上的通量為 59第59頁，共76頁，2022年，5月20日，4點29分，星期三60第60頁，共76頁，2022年，5月20日，4點29分，星期三2. 8靜電場的邊值問題1.電位的泊松方程和分界面條件根據靜電場基本方程的微分形式和輔助方程，有在均勻電介質中稱為靜電場的泊松方程。當場域中沒有電荷分布時稱為靜電場的拉普拉斯方

24、程61第61頁，共76頁，2022年，5月20日，4點29分，星期三 靜電場的泊松方程或拉普拉斯方程是從場矢量表示的靜電場的基本方程和輔助方程推導出來的，因此它等價于場矢量的基本方程加上輔助方程。在不同電介質分界處，電位也應該滿足一定的分界面條件。當分界面上沒有自由面電荷分布時62第62頁，共76頁，2022年，5月20日，4點29分，星期三邊值問題（Boundary Problem)63第63頁，共76頁，2022年，5月20日，4點29分，星期三2.靜電場的邊值問題 以前討論的靜電場問題可以歸結為兩類。第一類問題是己知全部場源(包括自由電荷和束縛電荷)求電場強度或電位。這類問題可以根據電場強度的積分公式和電位的積分公式直接計算，某些場源對稱情況還可以利用高斯通量定理來求解。 第二類問題相反，是已知電位或電場強度求場源分布。這可以通過計算梯度和散度求出，并表示為靜電場的邊值問題，就是已知求解區域中場的基本方程，給定邊界條件，計算求解區域內場量的問題。64第64頁，共76頁，2022年，5月20日，4點29分，星期三靜電場邊值問題電荷分布已知無界空間有界空間（邊界