1、幾 何 概 型(一)復 習古典概型的兩個基本特點:（1）所有的基本事件只有有限個;（2）每個基本事件發生都是等可能的.問題情境1.小貓釣魚游戲中,若魚鉤落在紅色的正方形內就可獲得一等獎,問獲得一等獎的概率有多大?若改為圓呢?魚鉤落在大正方形內的任意點.每個基本事件發生都是等可能的嗎？基本事件:2.取一根長度為3m的繩子，拉直后在任意位置剪斷，那么剪得兩段的長度都不小于1m的概率有多大？問題情境從3m的繩子上的任意一點剪斷.每個基本事件發生都是等可能的嗎？基本事件:思考:這三個問題能否用古典概型的方法來求解嗎? 怎么辦呢?問題情境3.射箭比賽的箭靶是涂有五個彩色的分環.從外向內為白色、黑色、藍色

2、、紅色，靶心是金色,金色靶心叫“黃心”.奧運會的比賽靶面直徑為122cm,靶心直徑為12.2cm.運動員在70m外射箭,假設每箭都能中靶,且射中靶面內任一點都是等可能的,那么射中黃心的概率是多少?射中靶面直徑為122cm的大圓內的任意一點.每個基本事件發生都是等可能的嗎？基本事件:記“剪得兩段繩長都不小于1m”為事件A. 把繩子三等分,于是當剪斷位置處在中間一段上時,事件A發生.由于中間一段的長度等于繩長的1/3.對于問題2.3m記“射中黃心”為事件B,由于中靶點隨機地落在面積為 的大圓內,而當中靶點落在面積為 的黃心內時,事件B發生.對于問題3.事件B發生的概率 對于一個隨機試驗,我們將每個

3、基本事件理解為從某個特定的幾何區域內隨機地取一點,該區域中的每一個點被取到的機會都一樣,而一個隨機事件的發生則理解為恰好取到上述區域內的某個指定區域中的點.這里的區域可以是線段、平面圖形、立體圖形等.用這種方法處理隨機試驗,稱為幾何概型.幾何概型的特點:(1)基本事件有無限多個；(2)基本事件發生是等可能的.構建數學 一般地,在幾何區域D中隨機地取一點,記“該點落在其內部一個區域d內”為事件A,則事件A發生的概率:你現在會求幾何概型的概率了嗎？ D的測度不為0,當D分別是線段、平面圖形、立體圖形等時, 相應的“測度”分別是長度、面積和體積.區域應指“開區域” ，不包含邊界點；在區域D內隨機取點

4、是指：該點落在D內任何一處都是等可能的，落在任何部分的可能性只與該部分的測度成正比而與其性狀位置無關探究: 根據前面的情境問題,你怎么來理解測度這個概念的?它可以表示哪些量?注意:幾何概型是無限多個等可能事件的情況，而古典概型中的等可能事件只有有限多個；想一想？ 古典概型與幾何概型的區別是什么?例1.取一個邊長為2a的正方形及其內切圓，隨機向正方形內丟一粒豆子，求豆子落入圓內的概率.2a數學應用數學應用解：記“豆子落入圓內”為事件A數學拓展：模擬撒豆子試驗估計圓周率.由此可得如果向正方形內撒n顆豆子，其中落在圓內的豆子數為m，那么當n很大時，比值m/n，即頻率應接近與P(A)，于是有2.兩根相

5、距8m的木桿上系一根拉直繩子,并在繩子上掛一盞燈,求燈與兩端距離都大于3m的概率.數學應用數學應用記“燈與兩端距離都大于3m”為事件A，由于繩長8m，當掛燈位置介于中間2m時，事件A發生，于是事件A發生的概率解：1.某人上班前，發覺表停了，他打開收音機想聽電臺整點報時，求他等待的時間短于10分鐘的概率.打開收音機的時刻位于(50，60)時間段內則事件A發生. 由幾何概型的求概率公式得 P（A）=（60-50）/60=1/6即“等待報時的時間不超過10分鐘”的概率為1/6.練一練:解：記“等待的時間小于10分鐘”為事件A2.已知地鐵列車每10min一班,在車站停1min.求乘客到達站臺立即乘上車

6、的概率. 3.在1萬平方公里的海域中有40平方公里的大陸貯藏著石油.假如在海域中任意一點鉆探,鉆到油層面的概率是多少?4.如右下圖,假設你在每個圖形上隨機撒一粒黃豆,分別計算它落到陰影部分的概率.練一練:課堂小結：1.幾何概型的定義；2.幾何概型的特點；3.幾何概型與古典概型的區別；4.幾何概型概率的求法。例3.在1L高產小麥種子中混入了一粒帶麥銹病的種子,從中隨機取出10mL,含有麥銹病種子的概率是多少?5.有一杯1升的水,其中含有1個大腸桿菌,用一個小杯從這杯水中取出0.1升,求小杯水中含有這個細菌的概率.練一練:解：記“取出10mL麥種，其中含有麥銹病種子”為事件A國家安全機關監聽錄音機

7、記錄了兩個間諜的談話,發現30min的磁帶上,從開始30s處起,有10s長的一段內容包含間諜犯罪的信息.后來發現,這段談話的部分被某工作人員擦掉了,該工作人員聲稱他完全是無意中按錯了鍵,使從此后起往后的所有內容都被擦掉了.那么由于按錯了鍵使含有犯罪內容的談話被部分或全部擦掉的概率有多大？拓展提高解:記事件A:按錯鍵使含有犯罪內容的談話被部分或全部擦掉則事件A發生就是在40s時間段內按錯鍵故 .(會面問題)甲、乙二人約定在12點到點之間在某地會面，先到者等一個小時后即離去,設二人在這段時間內的各時刻到達是等可能的，且二人互不影響。求二人能會面的概率。解：以x,y分別表示甲、乙二人到達的時刻，于是

8、0 x5,0y5.即 點 M 落在圖中的陰影部分.所有的點構成一個正方形，即有無窮多個結果.由于每人在任一時刻到達都是等可能的，所以落在正方形內各點是等可能的.M(x,y)拓展提高x0 1 2 3 4 5y54321兩人會面的條件是： 0 1 2 3 4 5yx54321y=x+1y=x -1記“兩人會面”為事件A假設你家訂了一份報紙,送報人可能在早上6:307:30之間把報紙送到你家,你父親離開家去工作的時間在早上7:008:00之間,問你父親在離開家前能得到報紙(稱為事件A)的概率是多少?解:以橫坐標X表示報紙送到時間,以縱坐標Y表示父親離家時間建立平面直角坐標系,由于隨機試驗落在方形區域內任何一點是等可能的,所以符合幾何概型的條件.根據題意,只要點落到陰影部分,就表示父親在離開家前能得到報紙,即時間A發生,所以拓展提高課堂小結1.古典概型與幾何概型的區別.相同：兩者基本事件的發生都是等可能的；不同：古典概型要求基本事件有有限個， 幾何概型要求基本事件有無限多個. 2.幾何概型的概率公式. 3.幾何概型問題的概率的求解. Good bye作業:P110習題3