1、湖南省長沙市沙流河大田方中學2020-2021學年高二數學理下學期期末試卷含解析一、 選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1. 已知、是平面向量，是單位向量若非零向量與的夾角為，向量滿足，則的最小值是（ ）A. B. C. 2D. 參考答案：A【分析】先確定向量、所表示的點的軌跡，一個為直線，一個為圓，再根據直線與圓的位置關系求最小值.【詳解】設，則由得，由得因此，的最小值為圓心到直線的距離減去半徑1，為選A.【點睛】以向量為載體求相關變量的取值范圍，是向量與函數、不等式、三角函數、曲線方程等相結合的一類綜合問題.通過向量的坐標運算

2、，將問題轉化為解方程、解不等式、求函數值域或直線與曲線的位置關系，是解決這類問題的一般方法.2. 在同一平面直角坐標系中，點A（，2）經過伸縮變換：所得的點A的坐標為（）A（1，1）B（1，4）C（，4）D（9，1）參考答案：A【考點】伸縮變換【分析】由伸縮變換：得到，即可得出結論【解答】解：設點A（x，y）由伸縮變換：得到，又已知點A（，2）于是x=1，y=1，變換后點A的坐標為（1，1）故選A3. 某研究型學習小組調查研究學生使用智能手機對學習的影響部分統計數據如下表：使用智能手機不使用智能手機合計學習成績優秀4812學習成績不優秀16218合計201030附表：0.150.100.050

3、.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828經計算，則下列選項正確的是A有99.5%的把握認為使用智能手機對學習有影響B有99.5%的把握認為使用智能手機對學習無影響C有99.9%的把握認為使用智能手機對學習有影響D有99.9%的把握認為使用智能手機對學習無影響參考答案：A根據附表可得k=107.879,所以有的把握認為使用智能手機對學習有影響，選A4. 已知橢圓+=1上一點P到橢圓的一個焦點的距離為3，則點P到另一個焦點的距離為（）A2B3C5D7參考答案：D【考點】橢圓的簡單性質【分析】先根據條件求出a=5；再根據橢圓定義得

4、到關于所求距離d的等式即可得到結論【解答】解：設所求距離為d，由題得：a=5根據橢圓的定義得：2a=3+d?d=2a3=7故選D【點評】本題主要考查橢圓的定義在解決涉及到圓錐曲線上的點與焦點之間的關系的問題中，圓錐曲線的定義往往是解題的突破口5. 如圖，從氣球A上測得正前方的河流的兩岸B，C的俯角分別為75，30，此時氣球的高度是60 m，則河流的寬度BC等于()A240(1)m B180(1)mC120(1)m D30(1)m參考答案：C6. 設f（x）=xsinx，則f（x）（）A既是奇函數又是減函數B既是奇函數又是增函數C是有零點的減函數D是沒有零點的奇函數參考答案：B【考點】6A：函數

5、的單調性與導數的關系；H3：正弦函數的奇偶性；H5：正弦函數的單調性【分析】利用函數的奇偶性的定義判斷f（x）為奇函數，再利用導數研究函數的單調性，從而得出結論【解答】解：由于f（x）=xsinx的定義域為R，且滿足f（x）=x+sinx=f（x），可得f（x）為奇函數再根據f（x）=1cosx0，可得f（x）為增函數，故選：B【點評】本題主要考查函數的奇偶性的判斷方法，利用導數研究函數的單調性，屬于基礎題7. 對于直角坐標系內任意兩點P1（x1，y1）、 P2（x2，y2），定義運算，若M是與原點相異的點，且，則MON（ ）A B C D參考答案：B8. 已知函數在上是單調遞減函數，則實數a

6、的取值范圍是( )A. (1,2)B. (0,2)C. (2,+)D. 參考答案：A分析：由題意可得可得a1，且 4a20，由此求得實數a的取值范圍詳解：由題意可得，a0，且a1，故函數t=4ax在區間0，2上單調遞減再根據y=loga（4ax）在區間0，2上單調遞減，可得a1，且 4a20，解得1a2，故答案為：A點睛：（1）本題主要考查復合函數的單調性，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本題時不要忽略了函數的定義域，即4-ax0恒成立.9. 下列函數中，最小值是2的是（ ） A. B. C. D.log3x+logx3 (x0,x11)參考答案：B10. 給出以下一

7、個算法的程序框圖（如圖所示）： 該程序框圖的功能是（ ）A求出a, b, c三數中的最大數 B 求出a, b, c三數中的最小數C將a, b, c 按從小到大排列 D 將a, b, c 按從大到小排列參考答案：B二、 填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11. 函數在區間上存在極值點,則實數a的取值范圍為_參考答案：(3,2)(1,0) 【分析】利用導數求得的單調性；首先求解出在上無極值點的情況下的范圍，即在上單調時的范圍，取補集可求得結果.【詳解】由題意知：當和時，；當時，則在，上單調遞增；在上單調遞減若在上無極值點，則或或時，在上無極值點當時，在上存在極值點本題正確結果：【點睛】本

8、題考查根據函數在某一區間內極值點的個數求解參數取值范圍的問題.處理此類問題時，可根據二次函數的圖象來進行討論，也可以利用函數在區間內是否單調來確定參數的取值范圍.12. 某數列是等比數列,記其公比為,前項和為,若成等差數列, 參考答案：-213. 若函數滿足，則當h趨向于0時，趨向于_參考答案：-12【分析】由當趨向于時，再根據的定義和極限的運算，即可求解【詳解】當趨向于時，因為，則，所以【點睛】本題主要考查了導數的概念，以及極限的運算，其中解答中合理利用導數的概念與運算，以及極限的運算法則是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題14. 設f（k）=+（kN*），那么f（k+1）f（

9、k）=參考答案：【考點】函數的值【分析】根據函數表達式之間的關系即可得到結論【解答】解：f（k）=+（kN*），f（k+1）=+；（kN*），則f（k+1）f（k）=+（+）=；故答案為：15. 某產品的廣告費用與銷售額的統計數據如下表：廣告費用（萬元）3456銷售額（萬元）25304045根據上表可得回歸方程中的為7.據此模型預報廣告費用為10萬元時銷售額為 （萬元）.參考答案：73.516. 函數的定義域是 ；參考答案：略17. 有七名同學站成一排照畢業紀念照，其中甲必須站在正中間，并且乙、丙兩位同學要站在一起，則不同的站法有 種。參考答案：192略三、 解答題：本大題共5小題，共72分。

10、解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18. （本小題滿分12分）已知函數,函數當時,求函數的表達式;若,函數在上的最小值是2 ,求的值;在的條件下,求直線與函數的圖象所圍成圖形的面積.參考答案：解:,當時,; 當時, 當時,; 當時,.當時,函數.由知當時,當時, 當且僅當時取等號.函數在上的最小值是,依題意得.由解得直線與函數的圖象所圍成圖形的面積=略19. 如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，ABDC，BCD=900。（1）求證：PCBC；（2）求點A到平面PBC的距離。參考答案：（1）證明：因為PD平面ABCD，BC平面ABCD，所以PDBC

11、。由BCD=900，得CDBC，又PDDC=D，PD、DC平面PCD，所以BC平面PCD。因為PC平面PCD，故PCBC。（2）（方法一）分別取AB、PC的中點E、F，連DE、DF，則：易證DECB，DE平面PBC，點D、E到平面PBC的距離相等。又點A到平面PBC的距離等于E到平面PBC的距離的2倍。由（1）知：BC平面PCD，所以平面PBC平面PCD于PC，因為PD=DC，PF=FC，所以DFPC，所以DF平面PBC于F。易知DF=，故點A到平面PBC的距離等于。（方法二）體積法：連結AC。設點A到平面PBC的距離為h。因為ABDC，BCD=900，所以ABC=900。從而AB=2，BC=

12、1，得的面積。由PD平面ABCD及PD=1，得三棱錐P-ABC的體積。因為PD平面ABCD，DC平面ABCD，所以PDDC。又PD=DC=1，所以。由PCBC，BC=1，得的面積。由，得，故點A到平面PBC的距離等于。（方法三）向量法亦可略20. 如圖，橢圓C1：和圓C2：x2+y2=b2，已知圓C2將橢圓C1的長軸三等分，且圓C2的面積為橢圓C1的下頂點為E，過坐標原點O且與坐標軸不重合的任意直線l與圓C2相交于點A，B，直線EA，EB與橢圓C1的另一個交點分別是點P，M（I）求橢圓C1的方程；（）求EPM面積最大時直線l的方程參考答案：【考點】橢圓的簡單性質【分析】（）由圓的面積公式可得b

13、=1，再由三等分可得a=3b=3，進而得到橢圓方程；（）由題意得：直線PE，ME的斜率存在且不為0，PEEM，不妨設直線PE的斜率為k（k0），則PE：y=kx1，代入橢圓方程求得P，M的坐標，再由直線和圓方程聯立，求得A的坐標，直線AB的斜率，求得EPM的面積，化簡整理，運用基本不等式可得最大值，進而得到所求直線的斜率，可得直線方程【解答】解：（）由圓C2的面積為，得：b=1，圓C2將橢圓C1的長軸三等分，可得a=3b=3，所以橢圓方程為： +y2=1；（）由題意得：直線PE，ME的斜率存在且不為0，PEEM，不妨設直線PE的斜率為k（k0），則PE：y=kx1，由，得：或，所以P（，），同

14、理得M（，），kPM=，由，得A（，），所以：kAB=，所以，設，則，當且僅當時取等號，所以k=，則直線AB：y=x=（k）x，所以所求直線l方程為：21. （本小題8分）已知函數在（）處的切線方程為。（）求函數的表達式；（）當滿足什么條件時，函數在區間上單調遞增？參考答案：解：（）因為，1分而函數在處切線為，所以 3分即解得所以即為所求。4分（）由（）知，可知，的單調增區間是。5分所以， 7分所以。所以當時，函數在區間上單調遞增。8分22. 已知函數（）若從集合中任取一個元素，從集合中任取一個元素，求方程有兩個不相等實根的概率；（）若從區間中任取一個數，從區間中任取一個數，求方程沒有實根的概率參考答案：解： （）取集合中任一個元素，取集合1,2,3中任一個元素，的取值的情況有(3,1)，(3,2)，(3,3)，(4,1)，(4,2)，(4,3) ，(5,1)，(5,2)，(5,3)其中第一個數表示的取值，第二個數表示的取值，即基本事件總數為9.設“方程f(x)=0有兩個不相等的實根”為事件A，當a 0，b 0時，方程有兩個不相等實根的充要條