1、2021-2022高考數學模擬試卷考生請注意：1答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1下列命題為真命題的個數是（ ）（其中，為無理數）；.A0B1C2D32如圖所示，矩形的對角線相交于點，為的中點，若，則等于（ ）ABCD3已知等差數列的前13項和為52，則（ ）A25

2、6B-256C32D-324由曲線圍成的封閉圖形的面積為（ ）ABCD5在中，則邊上的高為（ ）AB2CD6已知，則，的大小關系為（ ）ABCD7將函數的圖象向左平移個單位長度，得到的函數為偶函數，則的值為（）ABCD8已知全集，集合，則（ ）ABCD9若復數z滿足,則復數z在復平面內對應的點在( )A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限10秦九韶是我國南宋時期的數學家，普州（現四川省安岳縣）人，他在所著的數書九章中提出的多項式求值的秦九韶算法，至今仍是比較先進的算法如圖的程序框圖給出了利用秦九韶算法求某多項式值的一個實例，若輸入的值為2，則輸出的值為ABCD11已知為拋物線的焦點，點在拋物

3、線上，且，過點的動直線與拋物線交于兩點，為坐標原點，拋物線的準線與軸的交點為.給出下列四個命題：在拋物線上滿足條件的點僅有一個；若是拋物線準線上一動點，則的最小值為；無論過點的直線在什么位置，總有；若點在拋物線準線上的射影為，則三點在同一條直線上.其中所有正確命題的個數為（ ）A1B2C3D412a為正實數，i為虛數單位，則a=（ ）A2BCD1二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13的展開式中的常數項為_.14若，則_.15函數的定義域是 16如圖，在中，點在邊上，且，將射線繞著逆時針方向旋轉，并在所得射線上取一點，使得，連接，則的面積為_三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明

4、、證明過程或演算步驟。17（12分）在最新公布的湖南新高考方案中，“”模式要求學生在語數外3門全國統考科目之外，在歷史和物理2門科目中必選且只選1門，再從化學、生物、地理、政治4門科目中任選2門，后三科的高考成績按新的規則轉換后計入高考總分.相應地，高校在招生時可對特定專業設置具體的選修科目要求.雙超中學高一年級有學生1200人，現從中隨機抽取40人進行選科情況調查，用數字16分別依次代表歷史、物理、化學、生物、地理、政治6科，得到如下的統計表：序號選科情況序號選科情況序號選科情況序號選科情況113411236211563123522351223422235322363235131452324

5、53323541451413524235341355156152362525635156624516236261563623672561715627134371568235182362823538134923519145292463923510236202353015640245（1）雙超中學規定：每個選修班最多編排50人且盡量滿額編班，每位老師執教2個選修班（當且僅當一門科目的選課班級總數為奇數時，允許這門科目的1位老師只教1個班）.已知雙超中學高一年級現有化學、生物科目教師每科各8人，用樣本估計總體，則化學、生物兩科的教師人數是否需要調整？如果需要調整，各需增加或減少多少人？（2）請創建列

6、聯表，運用獨立性檢驗的知識進行分析，探究是否有的把握判斷學生“選擇化學科目”與“選擇物理科目”有關.附：0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828（3）某高校在其熱門人文專業的招生簡章中明確要求，僅允許選修了歷史科目，且在政治和地理2門中至少選修了1門的考生報名.現從雙超中學高一新生中隨機抽取3人，設具備高校專業報名資格的人數為，用樣本的頻率估計概率，求的分布列與期望.18（12分）設為拋物線的焦點，為拋物線上的兩個動點，為坐標原點.（）若點在線段上，求的最小值；（）當時，求點縱坐標的取值范圍.19（12分）已知函數.（1）求函數的單調區間；（2）當時，

7、如果方程有兩個不等實根，求實數t的取值范圍，并證明.20（12分）已知橢圓的短軸長為，離心率，其右焦點為.（1）求橢圓的方程；（2）過作夾角為的兩條直線分別交橢圓于和，求的取值范圍.21（12分）如圖在四邊形中，為中點，.（1）求；（2）若，求面積的最大值.22（10分）在直角坐標系xOy中，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，已知：，：，：.（1）求與的極坐標方程（2）若與交于點A，與交于點B，求的最大值.參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1C【解析】對于中，根據指數冪的運算性質和不等式的性質，可判定值

8、正確的；對于中，構造新函數，利用導數得到函數為單調遞增函數，進而得到，即可判定是錯誤的；對于中，構造新函數，利用導數求得函數的最大值為，進而得到，即可判定是正確的.【詳解】由題意，對于中，由，可得，根據不等式的性質，可得成立，所以是正確的；對于中，設函數，則，所以函數為單調遞增函數，因為，則又由，所以，即，所以不正確；對于中，設函數，則，當時，函數單調遞增，當時，函數單調遞減，所以當時，函數取得最大值，最大值為，所以，即，即，所以是正確的.故選：C.【點睛】本題主要考查了不等式的性質，以及導數在函數中的綜合應用，其中解答中根據題意，合理構造新函數，利用導數求得函數的單調性和最值是解答的關鍵，著

9、重考查了構造思想，以及推理與運算能力，屬于中檔試題.2A【解析】由平面向量基本定理，化簡得，所以，即可求解，得到答案【詳解】由平面向量基本定理，化簡，所以，即，故選A【點睛】本題主要考查了平面向量基本定理的應用，其中解答熟記平面向量的基本定理，化簡得到是解答的關鍵，著重考查了運算與求解能力，數基礎題3A【解析】利用等差數列的求和公式及等差數列的性質可以求得結果.【詳解】由，得.選A.【點睛】本題主要考查等差數列的求和公式及等差數列的性質，等差數列的等和性應用能快速求得結果.4A【解析】先計算出兩個圖像的交點分別為，再利用定積分算兩個圖形圍成的面積.【詳解】封閉圖形的面積為.選A.【點睛】本題考

10、察定積分的應用，屬于基礎題.解題時注意積分區間和被積函數的選取.5C【解析】結合正弦定理、三角形的內角和定理、兩角和的正弦公式，求得邊長，由此求得邊上的高.【詳解】過作，交的延長線于.由于，所以為鈍角，且，所以.在三角形中，由正弦定理得，即，所以.在中有，即邊上的高為.故選：C【點睛】本小題主要考查正弦定理解三角形，考查三角形的內角和定理、兩角和的正弦公式，屬于中檔題.6D【解析】構造函數，利用導數求得的單調區間，由此判斷出的大小關系.【詳解】依題意，得，.令，所以.所以函數在上單調遞增，在上單調遞減.所以，且，即，所以.故選：D.【點睛】本小題主要考查利用導數求函數的單調區間，考查化歸與轉化

11、的數學思想方法，考查對數式比較大小，屬于中檔題.7D【解析】利用三角函數的圖象變換求得函數的解析式，再根據三角函數的性質，即可求解，得到答案【詳解】將將函數的圖象向左平移個單位長度，可得函數又由函數為偶函數，所以，解得，因為，當時，故選D【點睛】本題主要考查了三角函數的圖象變換，以及三角函數的性質的應用，其中解答中熟記三角函數的圖象變換，合理應用三角函數的圖象與性質是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題8D【解析】根據函數定義域的求解方法可分別求得集合，由補集和交集定義可求得結果.【詳解】，.故選：.【點睛】本題考查集合運算中的補集和交集運算問題，涉及到函數定義域的求解，屬于基礎題

12、.9A【解析】化簡復數，求得，得到復數在復平面對應點的坐標，即可求解.【詳解】由題意，復數z滿足，可得，所以復數在復平面內對應點的坐標為位于第一象限故選：A.【點睛】本題主要考查了復數的運算，以及復數的幾何表示方法，其中解答中熟記復數的運算法則，結合復數的表示方法求解是解答的關鍵，著重考查了推理與計算能力，屬于基礎題.10C【解析】由題意，模擬程序的運行，依次寫出每次循環得到的，的值，當時，不滿足條件，跳出循環，輸出的值【詳解】解：初始值，程序運行過程如下表所示：，跳出循環，輸出的值為其中得故選：【點睛】本題主要考查了循環結構的程序框圖的應用，正確依次寫出每次循環得到，的值是解題的關鍵，屬于基

13、礎題11C【解析】：由拋物線的定義可知，從而可求 的坐標；：做關于準線的對稱點為，通過分析可知當三點共線時取最小值，由兩點間的距離公式，可求此時最小值；：設出直線方程，聯立直線與拋物線方程，結合韋達定理，可知焦點坐標的關系，進而可求，從而可判斷出的關系；：計算直線 的斜率之差，可得兩直線斜率相等，進而可判斷三點在同一條直線上.【詳解】解：對于，設，由拋物線的方程得，則， 故，所以或，所以滿足條件的點有二個，故不正確； 對于，不妨設，則關于準線的對稱點為， 故，當且僅當三點共線時等號成立，故正確； 對于，由題意知， ，且的斜率不為0，則設方程為：，設與拋物線的交點坐標為，聯立直線與拋物線的方程為

14、， ，整理得，則，所以， 則.故的傾斜角互補，所以，故正確.對于，由題意知 ，由知，則 ，由，知，即三點在同一條直線上，故正確.故選:C.【點睛】本題考查了拋物線的定義，考查了直線與拋物線的位置關系，考查了拋物線的性質，考查了直線方程，考查了兩點的斜率公式.本題的難點在于第二個命題，結合初中的“飲馬問題”分析出何時取最小值.12B【解析】，選B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。1331【解析】由二項式定理及其展開式得通項公式得：因為的展開式得通項為，則的展開式中的常數項為： ，得解.【詳解】解：，則的展開式中的常數項為：.故答案為：31.【點睛】本題考查二項式定理及其展開式的通

15、項公式，求某項的導數，考查計算能力.1413【解析】由導函數的應用得：設，所以，又，所以，即，由二項式定理：令得：，再由，求出，從而得到的值；【詳解】解：設，所以，又，所以，即，取得：，又，所以，故，故答案為：13【點睛】本題考查了導函數的應用、二項式定理，屬于中檔題15【解析】解：因為，故定義域為16【解析】由余弦定理求得，再結合正弦定理得，進而得，得，則面積可求【詳解】由，得，解得.因為，所以，所以.又因為，所以.因為，所以.故答案為【點睛】本題考查正弦定理、余弦定理的應用，考查運算求解能力，是中檔題三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（1）不需調整（2）列聯

16、表見解析；有的把握判斷學生“選擇化學科目”與“選擇物理科目”有關（3）詳見解析【解析】（1）可估計高一年級選修相應科目的人數分別為120，2，推理得對應開設選修班的數目分別為15，1推理知生物科目需要減少4名教師，化學科目不需要調整（2）根據列聯表計算觀測值，根據臨界值表可得結論（3）經統計，樣本中選修了歷史科目且在政治和地理2門中至少選修了一門的人數為12，頻率為用頻率估計概率，則，根據二項分布概率公式可得分布列和數學期望【詳解】（1）經統計可知，樣本40人中，選修化學、生物的人數分別為24，11，則可估計高一年級選修相應科目的人數分別為120，2根據每個選修班最多編排50人，且盡量滿額編班

17、，得對應開設選修班的數目分別為15，1現有化學、生物科目教師每科各8人，根據每位教師執教2個選修班，當且僅當一門科目的選課班級總數為奇數時，允許這門科目的一位教師執教一個班的條件，知生物科目需要減少4名教師，化學科目不需要調整（2）根據表格中的數據進行統計后，制作列聯表如下：選物理不選物理 合計選化學 19524 不選化學 61016合計2515 40則，有的把握判斷學生”選擇化學科目”與“選擇物理科目”有關（3）經統計，樣本中選修了歷史科目且在政治和地理2門中至少選修了一門的人數為12，頻率為用頻率估計概率，則，分布列如下： 012 3 0.343 0.4410.1890.021數學期望為【

18、點睛】本題主要考查了離散型隨機變量的期望與方差，考查獨立性檢驗，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力18（）（）【解析】（1）由拋物線的性質，當軸時，最小；（2）設點，分別代入拋物線方程和得到三個方程，消去，得到關于的一元二次方程，利用判別式即可求出的范圍.【詳解】解：（1）由拋物線的標準方程，根據拋物線的性質，當軸時，最小，最小值為，即為4.（2）由題意，設點，其中，.則，因為，所以.由，得，由，且，得，解不等式，得點縱坐標的范圍為.【點睛】本題主要考查拋物線的方程和性質和二次方程的解的問題，考查運算能力，此類問題能較好的考查考生的邏輯思維能力、運算求解能力、分析問題解決問題的

19、能力等，易錯點是復雜式子的變形能力不足，導致錯解.19（1）當時，的單調遞增區間是，單調遞減區間是；當時，的單調遞增區間是，單調遞減區間是；（2），證明見解析.【解析】（1）求出，對分類討論，分別求出的解，即可得出結論；（2）由（1）得出有兩解時的范圍，以及關系，將，等價轉化為證明，不妨設，令，則，即證，構造函數，只要證明對于任意恒成立即可.【詳解】（1）的定義域為R，且.由，得；由，得.故當時，函數的單調遞增區間是，單調遞減區間是；當時，函數的單調遞增區間是，單調遞減區間是.（2）由（1）知當時，且.當時，；當時，.當時，直線與的圖像有兩個交點，實數t的取值范圍是.方程有兩個不等實根，即.要證，只需證，即證，不妨設.令，則，則要證，即證.令，則.令，則，在上單調遞增，.，在上單調遞增，即成立，即成立.【點睛】本題考查函數與導數的綜合應用，涉及到函數單調性、極值、零點、不等式證明，構造函數函數是解題的關鍵，意在考查直觀想象、邏輯推理、數學計算能力，屬于較難題.20（1）；（2）.【解析】（1）由已知短軸長求出，離心率求出關系，結合，即可求解；（2）當直線的斜率都存在時，不妨設直線的方程為，直線與橢圓方程聯立，利用相交弦長公式求出，斜率為，求出，得到關于的表達式，根據表達式的特點用“”判別式法求出范圍，當有一斜率不存在時，另一條斜率為，根據弦長公