1、一、公式二、平面上曲線積分與路徑無關(guān)的等價(jià)條件機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第三節(jié)第十一章公式及其應(yīng)用一、公式單連通區(qū)域 ( 無“洞”區(qū)域 )復(fù)連通區(qū)域 ( 有“洞”區(qū)域 )區(qū)域 D 分類域 D 邊界 L 的正向:靠左.域的定理1. 設(shè)區(qū)域 D 是由分段光滑正向閉曲線 L 圍成,在 D 上具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù) , 則有函數(shù)(公式 )或機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束1)若D 既是 X - 型區(qū)域 , 又是 Y - 型區(qū)域 , 且證明:則定理1目錄上頁下頁返回結(jié)束即同理可證、兩式相加得:定理1目錄上頁下頁返回結(jié)束2)若D不滿足以上條件,則可通過加輔助線將其分割為有限個(gè)上述形式的區(qū)域 , 如圖證畢定理對(duì)復(fù)連通區(qū)域

2、也成立。定理1目錄上頁下頁返回結(jié)束公式推論: 正向閉曲線 L 所圍區(qū)域 D 的面積所圍面積.例如, 橢圓定理1目錄上頁下頁返回結(jié)束例1.設(shè) L 是一條分段光滑的平面閉曲線, 證明證: 令則公式 , 得利用機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束其中D 是以 O(0,0) , A(1,1) ,例2. 計(jì)算B(0,1) 為頂點(diǎn)的三角形閉域 .解: 令, 則公式 , 有利用二重積分一般仍采用二次積分法計(jì)算。機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束I ( x 2 y cos x 2 xy sin x y2e x ) dx例3.計(jì)算L (2) d y,22其中，L : x 3 y 3 a 3 取正向 .分析：（用曲線的參數(shù)式方程較麻煩

3、！）用公式易得I=0.答:函數(shù)P,Q形式復(fù)雜或積分曲線參數(shù)方程難于寫出時(shí)嘗試公式.思考:用公式求解的第二類曲線積分問題的特點(diǎn).其中L 為上半例4. 計(jì)算圓周解: 為了使用區(qū)域?yàn)镈 , 則原式從 O (0, 0) 到 A (4, 0).公式, 添加輔助線段它與L 所圍注意驗(yàn)證定理?xiàng)l件!機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束其中L為平面上任例5. 計(jì)算一條不過原點(diǎn)(?)的分段光滑正向閉曲線.解: 令設(shè) L 所圍區(qū)域?yàn)镈,1)由公式知機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束在D 內(nèi)作圓周2)取逆時(shí)針方向, 記 L 和 l 所圍的區(qū)域?yàn)? 對(duì)區(qū)域應(yīng)用公式,得0(,0)是奇點(diǎn)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束思考題u中 ( x, y x y2

4、2.1 d, 其利用公式計(jì)算L nxL是閉曲線上沿外法線的方向?qū)?shù) .在xxx 4 y 2.計(jì)算I, 其中L為任一條不過原點(diǎn)的L簡(jiǎn)單正向閉曲線 .分析：二、平面上曲線積分與路徑無關(guān)的等價(jià)條件定理2.設(shè)D 是單連通域 , 函數(shù)在D 內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則以下四個(gè)條件等價(jià):(1) 沿D 中任意光滑閉曲線 L , 有(2) 對(duì)D 中任一分段光滑曲線 L, 曲線積分與路徑無關(guān), 只與起止點(diǎn)有關(guān).(3)的全微分,在 D 內(nèi)是某一函數(shù).即(4) 在 D 內(nèi)每一點(diǎn)都有機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束證明 (1)設(shè)線, 則(2)為D 內(nèi)任意兩條由A 到B 的有向分段光滑曲(根據(jù)條件(1)說明: 積分與路徑無關(guān)時(shí),

5、曲線積分可記為定理2目錄上頁下頁返回結(jié)束證明 (2)在D內(nèi)取定點(diǎn)(3)和任一點(diǎn)B( x, y ), 因曲線積分與路徑無關(guān), 有函數(shù)則同理可證由可微條件知定理2目錄上頁下頁返回結(jié)束證明 (3)(4)設(shè)存在函數(shù) u ( x , y ) 使得則P, Q 在 D 內(nèi)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù),從而在D內(nèi)每一點(diǎn) 都有定理2目錄上頁下頁返回結(jié)束證明 (4)(1)設(shè)L為D中任一分段光滑閉曲線, 所圍區(qū)域?yàn)?如圖) ,公式 , 得利用證畢定理2目錄上頁下頁返回結(jié)束應(yīng)用:根據(jù)定理2 , 若在某單連通區(qū)域內(nèi)則計(jì)算曲線積分時(shí), 可選擇簡(jiǎn)單方便的積分路徑;(但要保證可用積分法求d u = P dx + Q dy在域 D 內(nèi)的原

6、函數(shù):及動(dòng)點(diǎn)則原函數(shù)為取定點(diǎn)或定理2目錄上頁下頁返回結(jié)束其中L為例6. 求y sin x.的曲線2是某個(gè)函數(shù)u (x , y)的全微分,例7. 驗(yàn)證并求出這個(gè)函數(shù).證:設(shè)則。由定理2 可知, 存在函數(shù) u (x , y)，。機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束作用下沿曲線 L :例8. 設(shè)質(zhì)點(diǎn)在力場(chǎng)移動(dòng)到求力場(chǎng)所作的功W由解:令則有可見, 在不含原點(diǎn)的單連通區(qū)域內(nèi)積分與路徑無關(guān).機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束取圓弧思考: 積分路徑是否可以取為什么？注意: 本題只在不含原點(diǎn)的單連通區(qū)域內(nèi)積分與路徑無關(guān) !機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例9. 驗(yàn)證在右半平面 ( x 0 ) 內(nèi)存在原函數(shù) , 并求出它.證: 令則由定理

7、2 可知存在原函數(shù)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束或機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例10.求下列方程通解.(全微分方程)解法：還原法,曲線積分法,湊微分法.內(nèi)容小結(jié)1.公式2. 等價(jià)條件設(shè) P, Q 在單連通區(qū)域 D 內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 則有在 D 內(nèi)與路徑無關(guān).對(duì) D 內(nèi)任意閉曲線 L 有在 D 內(nèi)有在 D 內(nèi)有3.總結(jié)第二類曲線積分的計(jì)算方法.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束思考與練習(xí)1. 設(shè)且都取正向, 問下列計(jì)算是否正確 ?機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束提示:2. 設(shè)提示:第四節(jié) 目錄上頁下頁返回結(jié)束從點(diǎn)備用題 1. 設(shè) C 為沿依逆時(shí)針的半圓, 計(jì)算到點(diǎn)解: 添加輔助線如圖 , 利用原式 =公式 .機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束2. 質(zhì)點(diǎn)M 沿著以AB為直徑的半圓, 從 A(1