1、小測驗九(11 0其度量矩陣為A二12 00 3 /則向量則I在此內積之下的度量矩陣一、填空題1、已知三維歐式空間V中有一組基%,以2，以3,。=2% + 32 _3的長度為， 八 一 (22、設R21中的內積為(a,p) =aA。,A =1為。3、 在n維歐幾里德空間中，一組標準正交基的度量矩陣為。4、在歐氏空間R4中，已知以二(2,1,3,2), p= (1,2,2,1)，則I a |=，a與p的夾角為(內積按通常的定義)。5、設Rn為歐氏空間，則有柯西-施瓦茨不等式： 設A是實對稱矩陣，若Aa=3a, Ap=5p,則(a, p)=。二、已知二次型f (X , X , X ) = t (X

2、 2 + x 2 + x 2) + 2 xx + 2 xx 2 x x1231231 21 32 3t為何值時二次型f是正定的？取t = 1，用正交線性替換化二次型f為標準形三、設,a2,a3是3維歐氏空間V的一組基，這組基的度量矩陣為(1 1 2 1 2 1令Y =a1 +a2，證明y是一個單位向量；若p =a1 +a2 +左氣與y正交，求k四、設匕=x e Rn : x1 + x2 + + xn = 0 V2 = x e Rn : x1 = x2 =Xn，證明 * 和 V2都是Rn的子空間，且互為正交補。五、證明題已知b是對稱變換，證明：b的不變子空間w的正交補W上也是a的不變子空間.實對

3、稱矩陣的特征值為實數。正交矩陣的模為1。實反對稱矩陣的特征值為0或純虛數。實對稱矩陣的屬于不同特征值的特征向量彼此正交。小測驗九答案一、填空題1、已知三維歐式空間V中有一組基%,。2，。3,-1其度量矩陣為A = -1-1 0、2 0 ，則向量0 3 /P = 2% + 3a2 偵3 的長度為(2,3,-1)A(2,3,-1)Ti/2=51/2， 八 一 (22、設 R2中 的內積為(a, P) =aA。, A =1在此內積之下的度量矩陣為3、 在n維歐幾里德空間中，一組標準正交基的度量矩陣為E。4、 在歐氏空間R4中，已知以=(2,1,3,2), P = (1,2,-2,1)，則I a |=

4、 32，a與p的夾角為90o (內積按通常的定義)。| I5、設Rn為歐氏空間，則有柯西-施瓦茨不等式：公氣=勺腥：聲b；。設A是實對稱矩陣，若Aa=3a, Ap=5p,貝0(a,。)= 0 .二、已知二次型f (X , X , X ) = t (X 2 + x 2 + x 2) + 2 xx + 2 xx 2 x x1231231 21 32 3t為何值時二次型f是正定的？取t = 1，用正交線性替換化二次型f為標準形.解：(1)當t1時，該二次型正定。(2)當t=1時，求得特征值為2，2，-1。當特征值為2時，相應的特征向量為：(1,1,0), (1,0,1).正交化后為(1,1,0),

5、(1,-1,2)當特征值為-1時，相應的特征向量為：(-1,1,1)正交線性替換為x=Ty,其中T =二.V2SXV2 _!_& T_62_V6 _1_V21_V2。 1 I,原二次型變為2y2+2y2-y2.三、設七 % a3是3維歐氏空間V的一組基，這組基的度量矩陣為(1 -1 2 -1 2 -12 -1 6 ,(1)令Y =a +a，證明Y是一個單位向量；(2)若0=%+。2 +楸3與y正交，求k解：(1) (y, y)=1,所以丫是單位向量.(2) k= -1.四、設匕=x G Rn : x1 + x2 + + xn = 0 V2 = x G Rn : x1 = x2 =xn，證明 V

6、和 V2 都是Rn的子空間，且互為正交補。證明：作為線性方程組的解空間，顯然它們都是Rn的子空間.對任意的a = (x ,x ,.,x ) gV，P = (y ,y ,.,y ) gV ，貝ij，12 n 112 n 2(a,p) = yi( xi + x 2 + + xn) = 0。五、證明題已知b是對稱變換，證明：b的不變子空間W的正交補W上也是a的不變子空間.證明：正交矩陣的模為1。3 .實對稱矩陣的特征值為實數。實反對稱矩陣的特征值為0或純虛數。實對稱矩陣的屬于不同特征值的特征向量彼此正交。證明：要證明a (W上)C W1。VaeW,P gW1，因為W是不變子空間，所b(a)gW,有(

7、a(a),p) = 0.又因為a是對稱變換，所(a,a(p) = (a(a),p) = 0,得a(p)gW1.證明：設A是正交矩陣，人是A的任一個特征值，a壬0為相應的特征向量。考慮到Aa = Xa及A = A，得(Aa)T (Aa) = XaT人a =元人aTa =aTATAa =aTa。(XX - 1)a T a = 0,由 aT a 正 0,得 IX 1=1。證明：設A是實對稱矩陣，X是A的任一個特征值，a壬0為相應的特征向量?？紤]到Aa = Xa及At = A，得(a)T(Aa) = aTXa =XaTa = (aTAT)a = (Aa)ta = XaTa，(X-X) = 0所以X是實數.證明：設A是實反對稱矩陣，X是A的任一個特征值，a莉為相應的特征向量?？紤]到Aa = Xa及At = 一A，得(a)T (Aa) = aTXa = XaTa = -(aT AT)a = -(Aa)ta = - XaTa，(X + X) = 0