1、 PAGE 頁碼 11 / NUMPAGES 總頁數 11六年級奧數第10講一般工程問題學生版學習目標了解工作量、工作時間及工作效率的意思；能夠從題目中找出工作量、工作時間及工作效率；理解三者之間的關系,并用三者關系解題。知識梳理 工程問題指的是與工程建造有關的數學問題。然而其內容已不僅是工程方面的,還包括水管注水、行路等許多方面。工程問題常涉及到工作量、工作效率和工作時間,且這三者之間具有如下關系式：工作量=工作效率工作時間工作時間=工作量工作效率工作效率=工作量工作時間工作量指工作的多少,它可以是全部工作量,一般用單位“1”表示；也可是部分工作量,常用分數表示。例如,工程的一半表示成,工程

2、的三分之一表示成。工作效率指工作的快慢,也就是單位時間里所干的工作量。工作效率的單位是一個復合單位,用“工作量天”或“工作量時”等表示。但在不引起誤會的情況下,一般不寫工作效率的單位。工程問題可分為兩類：一類是已知具體工作量,另一類是未給具體工作量。在解答工程問題時,我們要遵循以下原則：一是工作量沒有具體給出的,可設工作量為單位“1”；二是由于工作總量為“1”,那么,參與這項工作的每個人隊單獨做的工作效率可用此人隊單獨做的工作時間的倒數表示。典例分析 考點一：用“組合法”解工程問題 在解答工程問題時,如果對題目提供的條件孤立、分散、靜止地看,則難以找到明確的解題途徑,若用“組合法”把具有相依關

3、系的數學信息進行恰當組合,使之成為一個新的基本單位,便會使隱蔽的數量關系立刻明朗化,從而順利找到解題途徑例1、一項工程,甲、乙兩隊合作15天完成,若甲隊做5天,乙隊做3天,只能完成工程的EQ F(7,30),乙隊單獨完成全部工程需要幾天？例2、一項工程,甲隊獨做12天可以完成。甲隊先做了3天,再由乙隊做2天,則能完成這項工程的EQ F(1,2)。現在甲、乙兩隊合做若干天后,再由乙隊單獨做。做完后發現兩段所用時間相等。求兩段一共用了幾天？例3、一項工作,甲、乙、丙3人合做6小時可以完成。如果甲工作6小時后,乙、丙合做2小時,可以完成這項工作的EQ F(2,3)；如果甲、乙合做3小時后,丙做6小時

4、,也可以完成這項工作的EQ F(2,3)。如果由甲、丙合做,需幾小時完成？考點二：特殊工程問題 有些工程題中,工作效率、工作時間和工作總量三者之間的數量關系很不明顯,這時我們就可以考慮運用一些特殊的思路,如綜合轉化、整體思考等方法來解題。例1、修一條路,甲隊每天修8小時,5天完成；乙隊每天修10小時,6天完成。兩隊合作,每天工作6小時,幾天可以完成？例2、有兩個同樣的倉庫A和B,搬運一個倉庫里的貨物,甲需要10小時,乙需要12小時,丙需要15小時。甲和丙在A倉庫,乙在B倉庫,同時開始搬運。中途丙轉向幫助乙搬運。最后,兩個倉庫同時搬完,丙幫助甲、乙各多少時間？例3、甲、乙兩人合作加工一批零件,8

5、天可以完成。中途甲因事停工3天,因此,兩人共用了10天才完成。如果由甲單獨加工這批零件,需要多少天才能完成？考點三：周期工程問題周期工程問題中,工作時工作人員或物體是按一定順序輪流交替工作的。解答時,首先要弄清一個循環周期的工作量,利用周期性規律,使貌似復雜的問題迅速地化難為易。其次要注意最后不滿一個周期的部分所需的工作時間,這樣才能正確解答。例1、一項工程,甲單獨做需要12小時,乙單獨做需要18小時。若甲做1小時后乙接替甲做1小時,再由甲接替乙做1小時兩人如此交替工作,問完成任務時需共用多少小時？例2、一項工程,甲、乙合作26 EQ F(2,3) 天完成。如果第一天甲做,第二天乙做,這樣交替

6、輪流做,恰好用整數天完成。如果第一天乙做,第二天甲做,這樣交替輪流做,比上次輪流做要多半天才能完成。這項工程由甲單獨做要多少天才能完成？例3、打印一部稿件,甲單獨打要12小時完成,乙單獨打要15小時完成。現在,甲、乙兩人輪流工作。甲工作1小時,乙工作2小時；甲工作2小時,乙工作1小時；甲工作1小時,乙工作2小時如此這樣交替下去,打印這部書稿共要多少小時？實戰演練 課堂狙擊1、移栽西紅柿苗若干棵,如果哥、弟二人合栽8小時完成,先由哥哥栽了3小時后,又由弟弟栽了1小時,還剩總棵數的EQ F(11,16)沒有栽,已知哥哥每小時比弟弟每小時多栽7棵。共要移栽西紅柿苗多少棵？2、一條公路,甲隊獨修24天

7、可以完成,乙隊獨修30天可以完成。先由甲、乙兩隊合修4天,再由丙隊參加一起修7天后全部完成。如果由甲、乙、丙三隊同時開工修這條公路,幾天可以完成？3、一件工作,甲獨做要20天完成,乙獨做要12天完成。這件工作先由甲做了若干天,然后由乙繼續做完,從開始到完工共用了14天。這件工作由甲先做了幾天？ 4、放滿一個水池的水,如果同時開放號閥門,15小時放滿；如果同時開放號閥門,12小時可以放滿；如果同時開放號閥門,8小時可以放滿。問：同時開放這五個閥門幾小時可以放滿這個水池？5、一批零件,如果第一天甲做,第二天乙做,這樣交替輪流做,恰好用整數天數完成。如果第一天乙做,第二天甲做,這樣交替輪流做,做到上

8、次輪流完成時所用的天數后,還剩60個不能完成。已知甲、乙工作效率的比是5：3。甲、乙每天各做多少個？6、有一項工程,由甲、乙、丙三個工程隊每天輪做。原計劃按甲、乙、丙次序輪做,恰好整數天完成呢感。如果按乙、丙、甲次序輪做。比原計劃多用0.5天；如果按丙、甲、乙次序做,比原計劃多用 EQ F(1,3) 天。已知甲單獨做13天完成。且3個工程隊的工效各不相同。這項工程由甲、乙、丙合作要多少天完工？7、有一項工程,由三個工程隊每天輪做。原計劃按甲、乙、丙次序輪做,恰好用整數天完成呢感。如果按乙、丙、甲次序輪做。比原計劃多用 EQ F(1,3) 天；如果按丙、甲、乙次序做,比原計劃多用 EQ F(1,

9、4) 天。已知甲單獨做7天完成。且3個工程隊的工效各不相同。這項工程由甲、乙、丙合作要多少天完工？課堂反擊1、一項工程,甲隊獨做15天完成。若甲隊先做5天,乙隊再做4天能完成這項工程的EQ F(8,15)。現由甲、乙兩隊合做若干天后,再由乙隊單獨做。做完后發現,兩段時間相等。這兩段時間一共是幾天？一項工作,甲、乙、丙三人合做,4小時可以完成。如果甲做4小時后,乙、丙合做2小時,可以完成這項工作的EQ F(13,18)；如果甲、乙合做2小時后,丙再做4小時,可以完成這項工作的EQ F(11,18)。這項工作如果由甲、丙合做需幾小時完成？一件工作,甲單獨做12小時完成。現在甲、乙合做4小時后,乙又

10、用6小時才完成。這件工作始終由甲、乙合做幾小時可以完成？4、一個水池安裝了甲、乙兩根進水管。單開甲管,24分鐘能包空池灌滿；單開乙管,18分鐘能把空池灌滿。現在,甲、乙兩管輪流開放,按照甲1分鐘,乙2分鐘,甲2分鐘,乙1分鐘,甲1分鐘,乙2分鐘如此交替下去,灌滿一池水共需幾分鐘？5、有一項工程,由三個工程隊每天輪做。原計劃按甲、乙、丙次序輪做,恰好用整數天完成呢感。如果按乙、丙、甲次序輪做。比原計劃多用 EQ F(1,3) 天；如果按丙、甲、乙次序做,比原計劃多用 EQ F(1,4) 天。已知甲單獨做7天完成。且3個工程隊的工效各不相同。這項工程由甲、乙、丙合作要多少天完工？6、有一項工程,由三個工程隊每天輪做。原計劃按甲、乙、丙次序輪做,恰好整數天完成呢感。如果按乙、丙、甲次序輪做。比原計劃多用 EQ F(1,2) 天；如果按丙、甲、乙次序做,比原計劃多用 EQ F(1,2) 天。已知甲單獨做10天完成。且3個工程隊的工效各不相同。這項工程由甲、乙、丙合作要多少天完工？名師點撥 解題過程中,我們會發現,解答工程問題,常常是圍繞找工作效率進行中,有些工