1、14.2 乘法公式14.2.1 平方差公式 人教版 數學 八年級 上冊 某同學在計算97103時將其變成(1003)(100+3)并很快得出結果，你知道他運用了什么知識嗎？這節課，我們就來一起探討上述計算的規律.導入新知觀察與思考多項式與多項式是如何相乘的？ (x 3)( x5)=x25x3x15=x28x15. (a+b)(m+n)=am+an+bm+bn探究新知知識點平方差公式面積變了嗎？a米5米5米a米(a5)米相等嗎？探究新知(x 1)( x1)；(m 2)( m2)； (2m 1)(2m1)； (5y z)(5yz).計算下列多項式的積，你能發現什么規律？做一做探究新知x2 12m2

2、22(2m)2 12(5y)2 z2 這些計算結果有什么特點？想一想(a+b)(ab)=a2b2兩數和與這兩數差的積,等于這兩個數的平方差.公式變形:1.(a b ) ( a + b) = a2 b22.(b + a )( b + a ) = a2 b2探究新知平方差公式注：這里的兩數可以是兩個單項式也可以是兩個多項式等 (a+b)(ab)=(a)2(b)2 相同為a 相反為b，b適當交換合理加括號探究新知平方差公式公式中的a和b，既可以是具體的數，也可以是單項 式或者多項式；2. 左邊是兩個二項式的積，并且有一項完全相同，另 一項互為相反數；3. 右邊是相同項的平方減去相反項的絕對值的平方.

3、(a+b)(a b)=a2 b2.溫馨提示探究新知(1+x)(1x)(3+a)(3a)(0.3x1)(1+0.3x)(1+a)(1+a)aba2b21x3a12x2(3)2a2a1a212 0.3x1( 0.3x)212(ab)(a+b)填一填探究新知口答下列各題： (1)(a+b)(a+b)=_. (2)(ab)(b+a)= _. (3)(ab)(a+b)= _. (4)(ab)(ab)= _.a2b2a2b2b2a2b2a2做一做探究新知例1 計算：(1) (3x2 )( 3x2 ) ； (2)(x+2y)(x2y).(2) 原式= (x)2 (2y)2= x2 4y2.解： (1)原式=

4、(3x)222=9x24；素養考點 1利用平方差公式計算易錯警示：當相同項帶有“負號”時，必須用括號括起來.探究新知 利用平方差公式計算：(1)(3x5)(3x5)； (2)(2ab)(b2a)；(3)(7m8n)(8n7m)解：(1)原式=(3x)2529x225；(2)原式=(2a)2b24a2b2；(3)原式=(7m)2(8n)249m264n2；鞏固練習例2 計算:(1) 10298; (2) (y+2) (y2) (y1) (y+5) .= 100222解: (1) 10298=10000 4 =(1002)(1002)=9996；= y24y24y+5(2)(y+2)(y2) (y

5、1)(y+5)= y222(y2+4y5)= 4y + 1. 通過合理變形，利用平方差公式，可以簡化運算. 不符合平方差公式運算條件的乘法，按乘法法則進行運算.素養考點 2利用平方差公式簡便運算探究新知(1) 5149; (2)(3x+4)(3x4)(2x+3)(3x2) . 解: (1) 原式=(501)(501) = 50212=2500 1=2499； (2) 原式=(3x)242(6x2+5x6)= 9x2166x25x+6= 3x25x10.鞏固練習 計算:例3 先化簡，再求值：(2xy)(y2x)(2yx)(2yx)，其中x1，y2.解：原式4x2y2(4y2x2)原式512522

6、15.4x2y24y2x25x25y2.當x1，y2時，素養考點 3利用平方差公式進行化簡求值探究新知先化簡,再求值: (3x)(3+x)+(x+1)(x1),其中x=2.鞏固練習解：(3x)(3+x)+2(x+1)(x1) =9x2+2(x21) =9x2+2x22 =7+x2 當x=2時， 原式=7+22 =7+4=11例4 對于任意的正整數n，整式(3n1)(3n1)(3n)(3n)的值一定是10的整數倍嗎？即(3n1)(3n1)(3n)(3n)的值是10的倍數解：原式9n21(9n2)10n210.(10n210)10=n21.n為正整數，n21為整數素養考點 4利用平方差公式進行證明

7、探究新知 對于平方差中的a和b可以是具體的數，也可以是單項式或多項式.在探究整除性或倍數問題時，一般先將代數式化為最簡，然后根據結果的特征，判斷其是否具有整除性或倍數關系 歸納總結探究新知鞏固練習 如果兩個連續奇數分別是2n1，2n+1(其中n為正整數)，證明兩個連續奇數的平方差是8的倍數.證明：(2n+1)2(2n1)2 =(2n+1)+(2n1)(2n+1)(2n1) =(2n+1+2n1)(2n+12n+1) =4n2 =8n 因為8n是8的倍數，所以結論成立.例5 王大伯家把一塊邊長為a米的正方形土地租給了鄰居李大媽今年王大伯對李大媽說：“我把這塊地一邊減少4米，另外一邊增加4米，繼續

8、租給你，你看如何？”李大媽一聽，就答應了你認為李大媽吃虧了嗎？為什么？a2a216，解：李大媽吃虧了理由：原正方形的面積為a2，改變邊長后面積為(a4)(a4)a216，李大媽吃虧了素養考點 5利用平方差公式解決實際問題探究新知 解決實際問題的關鍵是根據題意列出算式，然后根據公式化簡算式，解決問題 歸納總結探究新知如圖1,在邊長為a的正方形中挖掉一個邊長為b的正方形(ab ),把余下的部分剪成一個矩形(如圖2).通過計算兩個圖形(陰影部分)的面積,驗證了一個等式,這個等式是( )A. a2b2 = (a+b) (ab)B. (a+b)2=a2+2ab+b2C. (ab)2=a22ab+b2D.

9、 (a+2b)(ab)=a2+ab2b2ba圖1ba圖2鞏固練習A1. 化簡(x1)(x+1)的結果是 2. 某同學化簡a(a+2b)(a+b)(ab)出現了錯誤，解答過程如下：原式=a2+2ab(a2b2) (第一步) =a2+2aba2b2(第二步) =2abb2 (第三步)(1)該同學解答過程從第步開始出錯，錯誤原因是 ；(2)寫出此題正確的解答過程 原式=a2+2ab(a2b2)=a2+2aba2+b2=2ab+b2x21二去括號時沒有變號連接中考1. 下列運算中，可用平方差公式計算的是()A(xy)(xy) B(xy)(xy)C(xy)(yx) D(xy)(xy)C2. 計算(2x+

10、1)(2x1)等于() A4x21 B2x21 C4x1 D4x2+1 A3. 兩個正方形的邊長之和為5，邊長之差為2，那么用較大的正方形的面積減去較小的正方形的面積，差是_10基礎鞏固題課堂檢測(1)(a+3b)(a 3b)；=4a29；=4x4y2.原式=(2a+3)(2a3)=a29b2 ；=(2a)232 原式=(2x2 )2y2 原式=(a)2(3b)2 (2)(3+2a)(3+2a)；(3)(2x2y)(2x2+y).4. 利用平方差公式計算：課堂檢測解:解:解:5. 計算： 20152 20142016.解： 20152 20142016= 20152 (20151)(2015+

11、1)= 20152 (2015212 )= 20152 20152+12 =1課堂檢測6. 利用平方差公式計算:(1)(a2)(a+2)(a2 + 4) 解:原式=(a24)(a2+4) =a416.(2) (xy)(x+y)(x2+y2)(x4+y4).解：原式=(x2y2)(x2+y2)(x4+y4) =(x4y4)(x4+y4) =x8y8.課堂檢測先化簡，再求值：(x+1)(x1) +x2(1x) +x3，其中x2.解：原式=x21x2x3x3=2x21.將x2代入上式，原式=2221=7.能力提升題課堂檢測已知x1，計算：(1x)(1x)1x2，(1x)(1xx2)1x3，(1x)(1xx2x3) 1x4(1)觀察以上各式并猜想：(1x)(1xx2xn)_；(n為正整數)(2)根據你的猜想計算：(12)(1222232425)_；222232n_(n為正整