1、班海數學精批一本可精細批改的教輔7.5 三角形內角和定理一、學生知識狀況分析 學生技能基礎：學生在以前的幾何學習中，已經學習過平行線的判定定理與平行線的性質定理以及它們的嚴格證明，也熟悉三角形內角和定理的內容，而本節課是建立在學生掌握了平行線的性質及嚴格的證明等知識的基礎上展開的，因此，學生具有良好的基礎。 活動經驗基礎：本節課主要采取的活動形式是學生非常熟悉的自主探究與合作交流的學習方式，學生具有較熟悉的活動經驗二、教學任務分析上一節課的學習中，學生對于平行線的判定定理和性質定理以及與平行線相關的簡單幾何證明是比較熟悉的，他們已經具有初步的幾何意識，形成了一定的邏輯思維能力和推理能力，本節課

2、安排三角形內角和定理的證明旨在利用平行線的相關知識來推導出新的定理以及靈活運用新的定理解決相關問題。為此，本節課的教學目標是： 1.掌握三角形內角和定理的證明及簡單應用。 2.靈活運用三角形內角和定理解決相關問題。 3.用多種方法證明三角形定理，培養一題多解的能力。 4.對比過去撕紙等探索過程，體會思維實驗和符號化的理性作用三、教學過程分析本節課的設計分為四個環節：情境引入探索新知反饋練習課堂小結第一環節：情境引入活動內容：（1）用折紙的方法驗證三角形內角和定理 實驗1：先將紙片三角形一角折向其對邊，使頂點落在對邊上，折線與對邊平行（圖638（1）然后把另外兩角相向對折，使其頂點與已折角的頂點

3、相嵌合（圖（2）、（3），最后得圖（4）所示的結果（1） （2） （3） （4）試用自己的語言說明這一結論的證明思路。想一想，還有其它折法嗎？（2）實驗2：將紙片三角形三頂角剪下，隨意將它們拼湊在一起。 試用自己的語言說明這一結論的證明思路。想一想，如果只剪下一個角呢？活動目的： 對比過去撕紙等探索過程，體會思維實驗和符號化的理性作用。將自己的操作轉化為符號語言對于學生來說還存在一定困難，因此需要一個臺階，使學生逐步過渡到嚴格的證明教學效果： 說理過程是學生所熟悉的，因此，學生能比較熟練地說出用撕紙的方法可以驗證三角形內角和定理的原因。第二環節：探索新知活動內容：用嚴謹的證明來論證三角形內角和

4、定理ABCED看哪個同學想的方法最多？ABCDE方法一：過A點作DEBC DEBCDAB=B，EAC=C（兩直線平行，內錯角相等）DAB+BAC+EAC=180BAC+B+C=180(等量代換)方法二：作BC的延長線CD，過點C作射線CEBA CEBAB=ECD（兩直線平行，同位角相等）A=ACE（兩直線平行，內錯角相等）BCA+ACE+ECD=180A+B+ACB=180(等量代換)活動目的： 用平行線的判定定理及性質定理來推導出新的定理，讓學生再次體會幾何證明的嚴密性和數學的嚴謹，培養學生的邏輯推理能力。教學效果： 添輔助線不是盲目的，而是為了證明某一結論，需要引用某個定義、公理、定理，但

5、原圖形不具備直接使用它們的條件，這時就需要添輔助線創造條件，以達到證明的目的第三環節：反饋練習活動內容： （1）ABC中可以有3個銳角嗎？ 3個直角呢？ 2個直角呢？若有1個直角另外兩角有什么特點？（2）ABC中，C=90，A=30，B=？（3）A=50，B=C，則ABC中B=？（4）三角形的三個內角中，只能有_個直角或_個鈍角（5）任何一個三角形中，至少有_個銳角；至多有_個銳角（6）三角形中三角之比為123，則三個角各為多少度？（7）已知：ABC中，C=B=2A。(a)求B的度數；(b)若BD是AC邊上的高，求DBC的度數？活動目的： 通過學生的反饋練習，使教師能全面了解學生對三角形內角和

6、定理的概念是否清楚，能否靈活運用三角形內角和定理，以便教師能及時地進行查缺補漏教學效果： 學生對于三角形內角和定理的掌握是非常熟練，因此，學生能較好地解決與三角形內角和定理相關的問題。第四環節：課堂小結活動內容：證明三角形內角和定理有哪幾種方法？輔助線的作法技巧.三角形內角和定理的簡單應用.活動目的： 復習鞏固本課知識，提高學生的掌握程度教學效果： 學生對于三角形內角和定理的幾種不同的證明方法的理解比較深刻，并能熟練運用三角形內角和定理進行相關證明.課后練習：課本第179頁隨堂練習；第180頁習題7.6第1，2，3,4題四、教學反思三角形的有關知識是“空間與圖形”中最為核心、最為重要的內容，它

7、不僅是最基本的直線型平面圖形，而且幾乎是研究所有其它圖形的工具和基礎.而三角形內角和定理又是三角形中最為基礎的知識，也是學生最為熟悉且能與小學、中學知識相關聯的知識，看似簡單，但如果處理不好，會導致學生有厭煩心理，為此，本節課的設計力圖實現以下特點：通過折紙與剪紙等操作讓學生獲得直接經驗，然后從學生的直接經驗出發，逐步轉到符號化處理，最后達到推理論證的要求。充分展示學生的個性，體現“學生是學習的主人”這一主題。添加輔助線是教學中的一個難點，如何添加輔助線則應允許學生展開思考并爭論，展示學生的思維過程，然后在老師的引導下達成共識。 三角形外角定理一、學生知識狀況分析 學生技能基礎：學生在前面的幾

8、何學習中，已經學習過平行線的判定定理與平行線的性質定理以及它們的嚴格證明，學習了三角形內角和定理的證明以及相關應用，有相關知識的基礎，并具有一定的邏輯思維能力和嚴謹推理習慣，為今天的學習奠定了良好的基礎 活動經驗基礎：本節課主要采取的活動形式是學生非常熟悉的自主探究與合作交流相結合、實踐和理性證明相結合的學習方式，學生具有較熟悉的活動經驗 二、教學任務分析在前面的學習中，學生對于平行線相關知識以及三角形內角和定理的靈活運用已經有了深入的了解，為今天的學習奠定了知識基礎，并且他們已經具有初步的幾何意識，形成了一定的邏輯思維能力和推理能力，本節課安排關注三角形的外角旨在利用已經學習過的知識來推導出

9、新的定理以及運用新的定理解決相關問題。為此，本節課的教學目標是： 1.掌握三角形外角的兩條性質； 2.進一步熟悉和掌握證明的步驟、格式、方法、技巧 3.靈活運用三角形的外角和兩條性質解決相關問題。 4.進一步培養學生的邏輯思維能力和推理能力，培養學生的幾何意識。 5.通過在數學活動中進行教學，使學生能自主地“做數學”，特別是培養有條理的想象和探索能力，從而做到強化基礎，激發學習興趣 三、教學過程分析本節課的設計分為四個環節：情境引入探索新知反饋練習課堂反思與小結第一環節：情境引入活動內容： 在證明三角形內角和定理時，用到了把ABC的一邊BC延長得到ACD，這個角叫做什么角呢？下面我們就給這種角

10、命名，并且來研究它的性質活動目的： 引出三角形外角的概念，并對其進行研究，激發學生學習興趣。注意事項： 教師應在學生充分展示自己的意見之后，有意識地引導學生從三角形的外角的角度進行思考。第二環節：探索新知活動內容： 三角形的外角定義：三角形的一邊與另一邊的延長線所組成的角，叫做三角形的外角， 結合圖形指明外角的特征有三：(1)頂點在三角形的一個頂點上(2)一條邊是三角形的一邊(3)另一條邊是三角形某條邊的延長線 兩個推論及其應用由學生探討三角形外角的性質：問題1：如圖，ABC中，A=70，B=60，ACD是ABC的一個外角，能由A、B求出ACD嗎？如果能，ACD與A、B有什么關系？問題2：任意

11、一個ABC的一個外角ACD與A、B的大小會有什么關系呢？由學生歸納得出：推論1： 三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和推論 2：三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角例1、已知：BAF，CBD，ACE是ABC的三個外角求證：BAF+CBD+ACE=360分析：把每個外角表示為與之不相鄰的兩個內角之和即得證證明：(略)例2、已知：D是AB上一點,E是AC上一點，BE、CD相交于F,A=62，ACD=35，ABE=20求：(1)BDC度數；(2)BFD度數解：(略)活動目的： 通過三角形內角和定理直接推導三角形外角的兩個推論，引導學生從內和外、相等和不等的不同角度對三角形作更全面的思

12、考注意事項： 新的定理的推導過程應建立在學生的充分思考和論證的基礎之上，教師切勿越俎代庖。第三環節：課堂練習活動內容：已知，如圖，在三角形ABC中，AD平分外角EAC，B=C求證：ADBC分析：要證明ADBC,只需證明“同位角相等”,即需證明DAE=B.證明：EAC=B+C（三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和）B=C（已知）BACDEB=EAC（等式的性質）AD平分EAC（已知）DAE=EAC（角平分線的定義）DAE=B（等量代換）ADBC（同位角相等，兩直線平行）想一想，還有沒有其他的證明方法呢？這個題還可以用“內錯角相等，兩直線平行”來證.證明：EAC=B+C（三角形的一個外角等

13、于和它不相鄰的兩個內角的和）B=C（已知）C=EAC（等式的性質）AD平分EAC（已知）DAC=EAC（角平分線的定義）DAC=C（等量代換）ADBC（內錯角相等，兩直線平行）還可以用“同旁內角互補，兩直線平行”來證.證明：EAC=B+C（三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和）B=C（已知）C=EAC（等式的性質）AD平分EAC（已知）DAC=EAC DAC=C（等量代換）B+BAC+C=180B+BAC+DAC=180 即：B+DAB=180ADBC（同旁內角互補，兩直線平行）ABCDE1F2 已知：如圖，在三角形ABC中，1是它的一個外角，E為邊AC上一點，延長BC到D，連接DE求

14、證：12證明：1是ABC的一個外角（已知）1ACB（三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角）ACB是CDE的一個外角（已知）ACB2（三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角）12（不等式的性質）.如圖，求證：（1）BDCA.（2）BDC=B+C+A.如果點D在線段BC的另一側，結論會怎樣？分析通過學生的探索活動，使學生進一步了解輔助線的作法及重要性，理解掌握三角形的內角和定理及推論.證法一：（1）連接AD，并延長AD，如圖，則1是ABD的一個外角，2是ACD的一個外角.13.24（三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角）1+23+4（不等式的性質）即：BDCBAC.（2）連結

15、AD，并延長AD，如圖.則1是ABD的一個外角，2是ACD的一個外角.1=3+B2=4+C（三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和）1+2=3+4+B+C（等式的性質）即：BDC=B+C+BAC證法二：（1）延長BD交AC于E（或延長CD交AB于E），如圖.則BDC是CDE的一個外角.BDCDEC.（三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角）DEC是ABE的一個外角（已作）DECA（三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角）BDCA（不等式的性質）（2）延長BD交AC于E，則BDC是DCE的一個外角.BDC=C+DEC（三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和）DEC是ABE

16、的一個外角DEC=A+B（三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和）BDC=B+C+BAC（等量代換）活動目的： 讓學生接觸各種類型的幾何證明題，提高邏輯推理能力，培養學生的證明思路，特別是不等關系的證明題，因為學生接觸較少，因此更需要加強練習注意事項： 學生對于幾何圖形中的不等關系的證明比較陌生，因此有必要在證明第2小題中，要引導學生找到一個過渡角ACB，由1ACB，ACB2，再由不等關系的傳遞性得出12。第四環節：課堂反思與小結活動內容：由學生自行歸納本節課所學知識：推論1： 三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和推論 2：三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角活動目的：復習鞏固所學知識，理清思路，培養學生的歸納概括能力注意事項： 學生對于三角形外角的兩個推論以及它們的應用有一定的了解。課后練習：課本第183頁的隨堂練習第1,2題，習題7.7。思考題：課本245頁第4題（給學有余力的同學做）四、教學反思教學中，幫助學生找三角形的外角是難點，特別是當一個角是某個三角形的內角，同時又是另一個