1、第四章定積分2微積分基本定理明目標 知重點填要點記疑點探要點究所然內容索引010203當堂測查疑缺 041.直觀了解并掌握微積分基本定理的含義.2.會利用微積分基本定理求函數的積分.明目標、知重點填要點記疑點1.微積分基本定理如果f(x)是區間a，b上的連續函數，并且 ，那么 f(x)dx .2.定積分和曲邊梯形面積的關系設曲邊梯形在x軸上方的面積為S上，x軸下方的面積為S下，則F(x)f(x)F(b)F(a)(1)當曲邊梯形的面積在x軸上方時，如圖(1)，則 f(x)dx .(2)當曲邊梯形的面積在x軸下方時，如圖(2)，則 f(x)dx .(3)當曲邊梯形的面積在x軸上方、x軸下方均存在時

2、，如圖(3)，則 f(x)dx ，若S上S下，則 f(x)dx .S上S下S上S下0探要點究所然探究點一微積分基本定理思考1如圖，一個做變速直線運動的物體的運動規律是yy(t)，并且y(t)有連續的導數，由導數的概念可知，它在任意時刻t的速度v(t)y(t).設這個物體在時間段a，b內的位移為s，你能分別用y(t)，v(t)表示s嗎？答由物體的運動規律是yy(t)知：sy(b)y(a)，小結(1)一般地，如果f(x)是區間a，b上的連續函數，并且F(x)f(x)，那么 f(x)dxF(b)F(a).這個結論叫做微積分基本定理，又叫做牛頓萊布尼茨公式.(2)運用微積分基本定理求定積分 f(x)d

3、x很方便，其關鍵是準確寫出滿足F(x)f(x)的F(x).思考2對一個連續函數f(x)來說，是否存在唯一的F(x)，使F(x)f(x)？若不唯一，會影響微積分基本定理的唯一性嗎？答不唯一，根據導數的性質，若F(x)f(x)，則對任意實數c，F(x)cF(x)cf(x).不影響，因為例1計算下列定積分：反思與感悟求簡單的定積分關鍵注意兩點：(1)掌握基本函數的導數以及導數的運算法則，正確求解被積函數的原函數，當原函數不易求時，可將被積函數適當變形后再求解；(2)精確定位積分區間，分清積分下限與積分上限.跟蹤訓練1計算下列定積分：探究點二分段函數的定積分例2已知函數f(x) 先畫出函數圖像，再求這

4、個函數在0,4上的定積分.解圖像如圖.反思與感悟求分段函數的定積分，分段標準是使每一段上的函數表達式確定，按照原分段函數的分段情況即可；對于含絕對值的函數，可轉化為分段函數.跟蹤訓練2設f(x)求 f(x)dx.探究點三定積分的應用例3計算下列定積分：(1) sin xdx；解因為(cos x)sin x，(cos )(cos 0)2；(2) sin xdx；(cos 2)(cos )2；(3) sin xdx.反思與感悟由例3我們可以發現，定積分的值可能取正值也可能取負值，還可能是0：定積分的值與曲邊梯形面積之間的關系：(1)位于x軸上方的曲邊梯形的面積等于對應區間的積分；(2)位于x軸下方

5、的曲邊梯形的面積等于對應區間的積分的相反數；(3)定積分的值就是位于x軸上方的曲邊梯形面積減去位于x軸下方的曲邊梯形面積.跟蹤訓練3求曲線ysin x與直線x ，x ，y0所圍圖形的面積(如圖所示).解所求面積為當堂測查疑缺 1231.定積分 (2xex)dx的值為()A.e2 B.e1 C.e D.e14C2.若 (2x )dx3ln 2，則a的值是()A.5 B.4 C.3 D.21234解得a2.D123412344.已知f(x) ，計算 f(x)dx.解取F1(x)2x22x，則F1(x)4x2；1234取F2(x)sin x，則F2(x)cos x.所以呈重點、現規律1.求定積分的一些常用技巧(1)對被積函數，要先化簡，再求積分.(2)若被積函數是分段函數，依據定積分“對區間的可加性”，分段積分再求和.(3)對于含有絕對值符號的被積函數，要去掉絕對值符號才能積分.2.由于定積分的值可取正值，也可取